2020年黑龙江省哈尔滨市南岗区“nf联盟”中考数学一模试卷 - 解析版

这是一份2020年黑龙江省哈尔滨市南岗区“nf联盟”中考数学一模试卷 - 解析版，共25页。试卷主要包含了﹣的相反数是，下列计算正确的是，如图，矩形纸片ABCD等内容，欢迎下载使用。

2020年黑龙江省哈尔滨市南岗区“NF联盟”中考数学一模试卷
一.选择题（每小题3分，共计30分）
1．﹣的相反数是（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
2．下列计算正确的是（　　）
A．2a2+4a2＝6a4 B．（a+1）2＝a2+1
C．（a2）3＝a5 D．x7÷x5＝x2
3．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．反比例函数y＝的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　）
A．k＜3 B．k≤3 C．k＞3 D．k≥3
5．如图所示的立体图形是由8个棱长为1的小立方体组成的，其主视图是（　　）

A． B． C． D．
6．斜坡的倾斜角为α，一辆汽车沿这个斜坡前进了500米，则它上升的高度是（　　）
A．500•sinα米 B．米 C．500•cosα米 D．米
7．把抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣3 B．y＝﹣（x﹣1）2+3
C．y＝﹣（x+1）2﹣3 D．y＝﹣（x+1）2+3
8．如图，矩形纸片ABCD．沿着BE折叠，使C、D两点分别落在C1、D1处，若∠ABC1＝45°，则∠ABE的度数为（　　）

A．21° B．21.5° C．22° D．22.5°
9．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G．则下列结论中错误的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
10．五一假期，小明一家自驾游去离家路程为170千米的某地，如图是汽车行驶的路程y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象，当他们离目的地的路程还有20千米时，汽车行驶的时间是（　　）

A．2小时 B．2.25小时 C．2.3小时 D．2.45小时
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．已知地球距离月球表面约为384000千米，那么384000用科学记数法表示为　 　．
12．在函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．
13．分解因式：4a2﹣16＝　 　．
14．计算：﹣3＝　 　．
15．扇形的弧长为2π，圆心角度数为90°，此扇形的半径为 　 　．
16．不等式组的整数解是　 　．
17．从2、3、6三个数字中随机抽取1个，这个数字是3的整数倍的概率是　 　．
18．如图，BE是⊙O的直径，点A是圆上一点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C，若AB＝AC，CE＝2，⊙O的半径为　 　．

19．在正方形ABCD中，点E在直线BC上，AB＝6，tan∠AEB＝3．则CE的长为　 　．
20．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，过点A作AD⊥BC．垂足为D，点F为AD上一点，连接CF延长交AB于点E，∠AFE＝2∠EAF，若AF＝9，DF＝3，则CF的长为　 　．

三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21．（7分）先化简，再求代数式÷（x﹣）的值，其中x＝2sin60°+tan45°．
22．（7分）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有线段AB，点A、B均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出以AB为一边的等腰直角△ABC，且点C在小正方形的顶点上；
（2）在方格纸中画出以AC为腰的等腰△ACD，点D在小正方形的顶点上，且△ACD的面积为3.5；
（3）连接BD，请直接写出线段BD的长．

23．（8分）九年三班的小雨同学想了解本校九年级学生对哪门课程感兴趣，随机抽取了部分九年级学生进行调查（每名学生必选且只能选择一门课程）．将获得的数据整理绘制如下两幅不完整的统计图．

根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中一共抽取了　 　名学生，m的值是　 　．
（2）请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是　 　度；
（4）若该校九年级共有1000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级学生中有多少名学生对数学感兴趣．
24．（8分）在△ABC中，AB＝AC，过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E，以E为顶点，ED为一边，作∠DEF＝∠A，另一边EF交AC于点F．

（1）如图1，求证：四边形ADEF为平行四边形；
（2）如图2，延长DE到点G，使EG＝DE，连接AE，AG，FG，若AD＝AG，请直接写出图2中与△ADE全等的三角形．
25．（10分）盛夏来临之际，服装加工厂甲、乙两个车间共同加工一款亚麻休闲装，且每人每天加工的件数相同，甲车间比乙车间少10人，甲车间每天加工服装400件，乙车间每天加工服装600件．
（1）求甲、乙两车间各有多少人；
（2）甲车间更新了设备，平均每人每天加工的件数比原来多了10件，乙车间的加工效率不变，在两个车间总人数不变的情况下，加工厂计划从乙车间调出一部分人到甲车间，使每天两个车间加工的总数不少于1300件，求至少要从乙车间调出多少人到甲车间？
26．（10分）△ABC内接于⊙O，CO的延长线交AB于点D，AE⊥CD于点E．

（1）如图1，求证：∠ABC＝∠CAE；
（2）如图2，CH⊥AB，H是垂足，若∠ACD＝2∠BCD．，求证：AD＝2HE；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长CH交⊙O于点F，连接BF和AF，FP⊥AE交⊙O于点P，延长CD交BF于点N，若DN＝2OD，△ACF的面积为60，求线段AP的长．
27．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣8ax+12a（a＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点D，AB＝2DE．

（1）求抛物线的解析式；
（2）过点C作CF∥AB，交抛物线于点F，连接AF，点P为直线AF下方抛物线上一点．过点P作y轴的平行线，交直线AF于点G，令P点横坐标为t，GP长度为d，求d与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的平行线，交线段FA的延长线于点K，且∠FCA﹣∠APK＝45°，求tan∠BKG的值．

2020年黑龙江省哈尔滨市南岗区“NF联盟”中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题3分，共计30分）
1．﹣的相反数是（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．
【解答】解：﹣的相反数是．
故选：B．
2．下列计算正确的是（　　）
A．2a2+4a2＝6a4 B．（a+1）2＝a2+1
C．（a2）3＝a5 D．x7÷x5＝x2
【分析】根据合并同类项对A进行判断；根据完全平方公式对B进行判断；根据幂的乘方法则对C进行判断；根据同底数幂的除法法则对D进行判断．
【解答】解：A、2a2+4a2＝6a2，所以A选项不正确；
B、（a+1）2＝a2+2a+1，所以B选项不正确；
C、（a2）5＝a10，所以C选项不正确；
D、x7÷x5＝x2，所以D选项正确．
故选：D．
3．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
4．反比例函数y＝的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　）
A．k＜3 B．k≤3 C．k＞3 D．k≥3
【分析】根据反比例函数的性质解题．
【解答】解：∵当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴函数图象必在第四象限，
∴k﹣3＜0，
∴k＜3．
故选：A．
5．如图所示的立体图形是由8个棱长为1的小立方体组成的，其主视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】主视图有3行，每行小正方形的数目为，2，4．
【解答】解：如图所示：
故选：D．
6．斜坡的倾斜角为α，一辆汽车沿这个斜坡前进了500米，则它上升的高度是（　　）
A．500•sinα米 B．米 C．500•cosα米 D．米
【分析】根据题意画出图形，再利用坡角的正弦值即可求解．
【解答】解：如图，∠A＝α，AE＝500．
则EF＝500sinα．
故选：A．

7．把抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣3 B．y＝﹣（x﹣1）2+3
C．y＝﹣（x+1）2﹣3 D．y＝﹣（x+1）2+3
【分析】抛物线的平移问题，实质上是顶点的平移，原抛物线y＝﹣x2顶点坐标为（0，0），向左平移1个单位，然后向下平移3个单位后，顶点坐标为（﹣1，﹣3），根据抛物线的顶点式可求平移后抛物线的解析式．
【解答】解：根据题意，
原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣3），
∴平移后抛物线解析式为：y＝﹣（x+1）2﹣3．
故选：C．
8．如图，矩形纸片ABCD．沿着BE折叠，使C、D两点分别落在C1、D1处，若∠ABC1＝45°，则∠ABE的度数为（　　）

A．21° B．21.5° C．22° D．22.5°
【分析】根据折叠前后对应角相等即可得出∠CBE的度数，再根据∠ABC为直角即可得到答案．
【解答】解：设∠ABE＝x，
根据折叠前后角相等可知，∠C1BE＝∠CBE＝45°+x，
∵∠ABC＝90°，
∴45°+x+x＝90°，
解得x＝22.5°．
故选：D．
9．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G．则下列结论中错误的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】根据相似三角形的判定推出△AEG∽△ACF，△ADG∽△ABF，△ADE∽△ABC，再根据相似三角形的性质得出比例式即可．
【解答】解：A、∵DE∥BC，
∴＝，正确，故本选项不符合题意；
B、∵DE∥BC，
∴△AEG∽△ACF，△ADG∽△ABF，
∴＝，＝，
∴＝，正确，故本选项不符合题意；
C、∵DE∥BC，
∴△AEG∽△ACF，△ADG∽△ABF，
∴＝，＝，
∴＝，正确，故本选项不符合题意；
D、∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，错误，故本选项符合题意；
故选：D．
10．五一假期，小明一家自驾游去离家路程为170千米的某地，如图是汽车行驶的路程y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象，当他们离目的地的路程还有20千米时，汽车行驶的时间是（　　）

A．2小时 B．2.25小时 C．2.3小时 D．2.45小时
【分析】根据待定系数法，可得一次函数解析式，根据函数值，可得相应自变量的值．
【解答】解：如图所示：

设AB段的函数解析式是y＝kx+b，
y＝kx+b的图象过A（1.5，90），B（2.5，170），
，解得，
∴AB段函数的解析式是y＝80x﹣30，
离目的地还有20千米时，即y＝170﹣20＝150km，
当y＝150时，80x﹣30＝150，
解得：x＝2.25，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．已知地球距离月球表面约为384000千米，那么384000用科学记数法表示为　3.84×105　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于384000有6位，所以可以确定n＝6﹣1＝5．
【解答】解：384 000＝3.84×105．
故答案为：3.84×105．
12．在函数y＝中，自变量x的取值范围是　x≠﹣2　．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x+2≠0，解得答案．
【解答】解：根据题意得：x+2≠0，
解可得：x≠﹣2．
13．分解因式：4a2﹣16＝　4（a+2）（a﹣2）　．
【分析】首先提取公因式4，进而利用平方差公式进行分解即可．
【解答】解：4a2﹣16＝4（a2﹣4）＝4（a+2）（a﹣2）．
故答案为：4（a+2）（a﹣2）．
14．计算：﹣3＝　2　．
【分析】直接化简二次根式，进而合并求出答案．
【解答】解：原式＝3﹣3×＝2．
故答案为：2．
15．扇形的弧长为2π，圆心角度数为90°，此扇形的半径为 　4　．
【分析】根据弧长公式直接解答即可．
【解答】解：设半径为r，
2π＝，
解得：r＝4，
故答案为：4．
16．不等式组的整数解是　﹣2　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x+2＜0，得：x＜﹣1，
解不等式﹣x+1≤3，得：x≥﹣2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜﹣1，
∴不等式组的整数解为﹣2，
故答案为：﹣2
17．从2、3、6三个数字中随机抽取1个，这个数字是3的整数倍的概率是　　．
【分析】确定是数字3的倍数的数字的个数，利用概率公式求解即可．
【解答】解：∵2、3、6三个数字中是3的整数倍的有3和6，
∴从2、3、6三个数字中随机抽取1个，这个数字是3的整数倍的概率是，
故答案为：．
18．如图，BE是⊙O的直径，点A是圆上一点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C，若AB＝AC，CE＝2，⊙O的半径为　2　．

【分析】连接OA，由圆的性质以及切线的性质，再结合已知条件可求出∠C＝30°，进而可求出圆的半径．
【解答】解：连接OA，
∵AC是圆的切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB，
∵∠AOC＝∠B+∠OAB，
∴∠OAC＝2∠B＝2∠C，
∴3∠C＝90°，
∴∠C＝30°，
∴OA＝OC，
∵OA＝OE，
∴OE＝CE＝2，
即⊙O的半径为2，
故答案为：2．

19．在正方形ABCD中，点E在直线BC上，AB＝6，tan∠AEB＝3．则CE的长为　4或8　．
【分析】解直角三角形ABE得BE，分两种情况：点E在边BC上；点E在CB的延长线上．求出CE便可．
【解答】解：∵AB＝6，tan∠AEB＝3，
∴BE＝，
当点E在边BC上时，如图1，

则CE＝BC﹣BE＝6﹣2＝4；
当点E在CB的延长线上时，如图2，

则CE＝BC+BE＝6+2＝8，
故答案为：4或8．
20．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，过点A作AD⊥BC．垂足为D，点F为AD上一点，连接CF延长交AB于点E，∠AFE＝2∠EAF，若AF＝9，DF＝3，则CF的长为　5　．

【分析】通过证明△CDN∽△ADC，可得，通过证明△CNF∽△ANC，可得，由勾股定理可求解．
【解答】解：如图，过点C作CN平分∠BCE，交AD于N，

∴∠DCN＝∠ECN，
设∠EAF＝α，则∠AFE＝2∠EAF＝2α，
∴∠DFC＝2α，
∴∠DCF＝90°﹣2α，
∴∠DCN＝∠ECN＝45°﹣α，
∵∠BAC＝45°，
∴∠DAC＝45°﹣α，
∴∠DAC＝∠DCN，
又∵∠ADC＝∠CDN，
∴△CDN∽△ADC，
∴，
∴DC2＝DA•DN＝12•DN，
∵∠DAC＝∠DCN，
又∵∠ANC＝∠CNF，
∴△CNF∽△ANC，
∴，
∴NC2＝AN•NF＝（12﹣DN）（3﹣DN），
∵DC2+DN2＝CN2，
∴12•DN+DN2＝（12﹣DN）（3﹣DN），
∴DN＝，
∴CD＝4，
∴CF＝＝＝5，
故答案为5．
三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21．（7分）先化简，再求代数式÷（x﹣）的值，其中x＝2sin60°+tan45°．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝÷＝•＝，
当x＝2×+1＝+1时，原式＝．
22．（7分）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有线段AB，点A、B均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出以AB为一边的等腰直角△ABC，且点C在小正方形的顶点上；
（2）在方格纸中画出以AC为腰的等腰△ACD，点D在小正方形的顶点上，且△ACD的面积为3.5；
（3）连接BD，请直接写出线段BD的长．

【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（3）根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示，△ABC即为所求；
（2）如图所示，△ACD即为所求；
（3）BD＝＝．

23．（8分）九年三班的小雨同学想了解本校九年级学生对哪门课程感兴趣，随机抽取了部分九年级学生进行调查（每名学生必选且只能选择一门课程）．将获得的数据整理绘制如下两幅不完整的统计图．

根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中一共抽取了　50　名学生，m的值是　18　．
（2）请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是　108　度；
（4）若该校九年级共有1000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级学生中有多少名学生对数学感兴趣．
【分析】（1）根据统计图化学对应的数据和百分比可以求得这次调查的学生数，进而求得m的值；
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据可以求得选择数学的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据可以求得“数学”所对应的圆心角度数；
（4）根据统计图中的数据，可以求得该校九年级学生中有多少名学生对数学感兴趣．
【解答】解：（1）在这次调查中一共抽取了：10÷20%＝50（名）学生，
m%＝9÷50×100%＝18%，
故答案为：50，18；
（2）选择数学的有；50﹣9﹣5﹣8﹣10﹣3＝15（名），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是：360°×＝108°，
故答案为：108；
（4）1000×＝300（名），
答：估计该校九年级学生中有300名学生对数学感兴趣．

24．（8分）在△ABC中，AB＝AC，过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E，以E为顶点，ED为一边，作∠DEF＝∠A，另一边EF交AC于点F．

（1）如图1，求证：四边形ADEF为平行四边形；
（2）如图2，延长DE到点G，使EG＝DE，连接AE，AG，FG，若AD＝AG，请直接写出图2中与△ADE全等的三角形．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BDE＝∠A，根据题意得到∠DEF＝∠BDE，根据平行线的判定定理得到AD∥EF，根据平行四边形的判定定理证明；
（2）根据等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形以及矩形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，
∵∠DEF＝∠A，
∴∠DEF＝∠BDE，
∴AD∥EF，
∴四边形ADEF为平行四边形；
（2）由（1）得，四边形ADEF为平行四边形，
∴AD＝EF，AF＝DE，
∵AE＝AE，
∴△ADE≌△EFA（SSS），
∵EG＝DE，
∴AF∥DE，AF＝GE，
∴四边形AEGF是平行四边形，
∵AD＝AG，EG＝DE，
∴AE⊥EG，
∴四边形AEGF是矩形，
∴∠AEG＝∠AED＝90°，
∵AE＝AE，
∴△ADE≌△AGE（SAS），
∵四边形AEGF是矩形，
∴△FEG≌△AGE≌GAF≌△ADE．

25．（10分）盛夏来临之际，服装加工厂甲、乙两个车间共同加工一款亚麻休闲装，且每人每天加工的件数相同，甲车间比乙车间少10人，甲车间每天加工服装400件，乙车间每天加工服装600件．
（1）求甲、乙两车间各有多少人；
（2）甲车间更新了设备，平均每人每天加工的件数比原来多了10件，乙车间的加工效率不变，在两个车间总人数不变的情况下，加工厂计划从乙车间调出一部分人到甲车间，使每天两个车间加工的总数不少于1300件，求至少要从乙车间调出多少人到甲车间？
【分析】（1）设甲车间有x人，乙车间有（x+10）人，根据甲、乙两个车间每人每天加工的件数相同，列方程求解；
（2）设要从乙车间调出y人到甲车间，根据调动以后每天两个车间加工的总数不少于1300件，列不等式求解．
【解答】解：（1）设甲车间有x人，乙车间有（x+10）人，由题意得
＝，
解得：x＝20，
经检验：x＝20是原分式方程的解，且符合题意，
则x+10＝30，
答：甲车间有20人，乙车间有30人；

（2）设要从乙车间调出y人到甲车间，由题意得
（20+y）（+10）+（30﹣y）≥1300，
解得：y≥10．
答：至少要从乙车间调出10人到甲车间．
26．（10分）△ABC内接于⊙O，CO的延长线交AB于点D，AE⊥CD于点E．

（1）如图1，求证：∠ABC＝∠CAE；
（2）如图2，CH⊥AB，H是垂足，若∠ACD＝2∠BCD．，求证：AD＝2HE；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长CH交⊙O于点F，连接BF和AF，FP⊥AE交⊙O于点P，延长CD交BF于点N，若DN＝2OD，△ACF的面积为60，求线段AP的长．
【分析】（1）连接AO并延长交⊙O于F点，所以∠ACF＝90°，则∠ACE+∠FCE＝90°，因为AE⊥CD，所以∠ACE+∠CAE＝90°，所以∠CAE＝∠FCE，因为OC＝OF，所以∠FCE＝∠AFC，又∠AFC＝∠ABC，所以∠ABC＝∠CAE；
（2）设∠BCD＝x，则∠ACD＝2∠BCD＝2x，利用（1）中结论，可以求出∠ADC＝∠CAD＝90°﹣x，从而CA＝CD，当CH⊥AD，可以得到H为AD中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，可以得到AD＝2HE；
（3）延长CN交⊙O于G，利用∠BGC＝∠CAD，∠BDC＝∠CDA，又由（2）可得，∠CDA＝∠CAD，所以∠BGC＝∠BDG，因为∠ABF＝∠ACF，∠GBF＝∠GCF，又由∠GCF＝∠ACF，可以证明BF平分∠GBO，所以BF⊥CG，根据垂径定理，可以得到CG垂直平分BF，设OD＝y，则DN＝NG＝2y，所以半径OG＝5y，在直角△DNB中，利用勾股定理求出BN＝4y，因为直径CG⊥BF，所以CG垂直平分BF，所以CF＝CB，，可以推导出∠GCB＝∠FCG＝∠ACF，再证明△ACF≌△DCB，所以△DCB的面积为60，可以列出关于y的方程，从而求出y的值，在直角三角形中求出tan∠ABF＝，所以tan∠APF＝tan∠ABF＝，再证明四边形FNEQ是矩形，利用AQ＝AE﹣QE，求出AQ的长度，解直角△APQ，即可求出AP．
【解答】证明：（1）如图1，连接AO并延长交⊙O于F，连接CF，
∵AF是⊙O直径，
∴∠ACF＝90°，
∴∠ACE+∠FCE＝90°，
∵AE⊥CD，
∴∠AEC＝90°，
∴∠ACE+∠CAE＝90°，
又∵∠ACE+∠FCE＝90°，
∴∠CAE＝∠FCE，
∵OC＝OF，
∴∠FCE＝∠AFC，
∴∠AFC＝∠CAE，
∵，
∴∠ABC＝∠AFC，
∴∠ABC＝∠CAE；
（2）设∠BCD＝x，如图2，
∴∠ACD＝2∠BCD＝2x，
∴∠CAE＝90°﹣∠ACD＝90°﹣2x，
由（1）可得，∠ABC＝∠CAE＝90°﹣2x，
∴∠ADC＝∠ABC+∠BCD＝90°﹣x，
在△ACD中，∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠ACD＝90°﹣x，
∴∠ADC＝∠CAD，
∴CA＝CD，
∵CH⊥AD，
∴AH＝DH，
在Rt△AED中，H为AD的中点，
∴AD＝2HE；
解：（3）如图3，延长CN交⊙O于G，连接BG，
∵∠BGC＝∠CAD，∠BDG＝∠CDA，
由（2）可得，∠CAD＝∠CDA，
∴∠BGC＝∠BDG，
∴BD＝BG，
∵CH⊥AD，AC＝CD，
∴∠ACF＝∠FCG，
∵，
∴∠ABF＝∠ACF，
同理，∠GBF＝∠FCG，
∴∠ABF＝∠GBF，
∵BD＝BG，
∴BF⊥CG，GN＝ND，
设OD＝y，则DN＝2OD＝2y，
∴NG＝DN＝2y，
∴OG＝OC＝OB＝5y，ON＝3y，
在Rt△OBN中，BN＝＝4y，
∵直径CG⊥BF，
∵CG垂直平分BF，
∴CB＝CF，，
∴∠BCD＝∠GCF＝∠ACF，
在△BCD与△FCA中，
，
∴△BCD≌△FCA（SAS），
∴S△ACF＝S△BCD＝60，
∴，
∴，
∴，
∵y＞0，
∴y＝，
∴DN＝FN＝4y＝，DN＝2y＝，BN＝4y＝，
CD＝AD＝6y＝，
∴tan∠ABF＝tan∠APF＝，
∵FP⊥AE于Q，
∴∠FQE＝∠AEG＝FNC＝90°，
∴四边形FQEN为矩形，
∴EQ＝FN＝，
在Rt△DHC中，tan∠FCN＝tan∠ABF＝，
∴，
∴CH＝2DH，
∴＝，
∴DH＝6，CH＝12，
∵，
∴，
∴，
∴﹣＝，
在Rt△APQ中，tan∠APF＝，
∴，
∴PQ＝2AQ＝，
∴＝4．



27．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣8ax+12a（a＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点D，AB＝2DE．

（1）求抛物线的解析式；
（2）过点C作CF∥AB，交抛物线于点F，连接AF，点P为直线AF下方抛物线上一点．过点P作y轴的平行线，交直线AF于点G，令P点横坐标为t，GP长度为d，求d与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的平行线，交线段FA的延长线于点K，且∠FCA﹣∠APK＝45°，求tan∠BKG的值．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）设点P的坐标为（t，t2﹣4t+6），则点G的坐标为（t，t﹣2），则d＝（t﹣2）﹣（t2﹣4t+6）＝﹣t2+5t﹣8；
（3）证明∠APK＝∠ACQ＝∠HAP，在Rt△ACQ中，tan∠ACQ＝＝tan∠HAP，在Rt△QBK中，KQ＝AK+AQ＝，BQ＝2，则tan∠BKG＝tan∠QKB＝＝．
【解答】解：（1）令y＝ax2﹣8ax+12a＝0，解得x＝2或6，
故点A、B的坐标分别为（2，0）、（6，0），
∵AB＝2DE，故DE＝2，
则点D的坐标为（4，﹣2），
将点D的坐标代入抛物线表达式并解得a＝，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+6；

（2）由抛物线的对称性得，点F的坐标为（8，6），
设直线AF的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故直线AF的表达式为y＝x﹣2，

设点P的坐标为（t，t2﹣4t+6），则点G的坐标为（t，t﹣2），
则d＝（t﹣2）﹣（t2﹣4t+6）＝﹣t2+5t﹣8；

（3）连接BC交AF于点Q，连接KB，设PG交x轴于点H，

由直线AF的表达式知，直线AF与x轴的夹角为45°，由OB＝OC知，直线BC与x轴负半轴的夹角为45°，
∴∠AQB＝90°，则△ABQ为等腰直角三角形，则AQ＝BQ＝AB＝×（6﹣2）＝2，
∵∠FAC﹣∠APK＝45°，∠FCA﹣∠ACQ＝45°，
∴∠APK＝∠ACQ＝∠HKP，
∵PK∥x轴，故∠APK＝∠HAP，
∴∠APK＝∠ACQ＝∠HAP，
在Rt△ACQ中，由A、C的坐标得，AC＝，
则sin∠ACQ＝＝，则tan∠ACQ＝＝tan∠HAP，
设点P的坐标为（t，t2﹣4t+6），
在Rt△HKP中，AH＝t﹣2，则tan∠HAP＝＝，
解得t＝2（舍去）或5，
故点P的坐标为（5，﹣），
当y＝﹣＝x﹣2时，x＝，故点K的坐标为（，﹣），
在Rt△QBK中，由A、K的坐标得，AK＝，则KQ＝AK+AQ＝，BQ＝2，
∴tan∠BKG＝tan∠QKB＝＝．