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2021-2022学年四川省成都育才学校八年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年四川省成都育才学校八年级（上）期中数学试卷 解析版，共25页。试卷主要包含了选择题，四象限角平分线上．，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年四川省成都育才学校八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分，请将正确的答案涂在答题卡上）
1．（3分）边长为1的正方形的对角线的长是（ ）
A．整数 B．分数 C．有理数 D．无理数
2．（3分）下列几组数不能构成直角三角形的是（ ）
A．，， B．2，3，4 C．3，4，5 D．6，8，10
3．（3分）点A（﹣2，1）到y轴的距离为（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．
4．（3分）在实数，0，，，0.1010010001…，，中无理数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．（3分）估计的值在（ ）之间．
A．2到3 B．3到4 C．4到5 D．5到6
6．（3分）在平面直角坐标系中，点P（a，a﹣4）在第四象限，则a的取值范围是（ ）
A．a＞4 B．a＜0 C．0＜a＜4 D．﹣4＜a＜0
7．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2 B．x≥2且x≠﹣1 C．x＞2且x≠﹣1 D．x≠﹣1
8．（3分）已知是二元一次方程组的解，则m+n的值为（ ）
A． B．5 C． D．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AB的中点，点D是AC边上一点，且DE⊥AB，连接DB．若AC＝6，BC＝3，则CD的长（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）下列说法中正确的有（ ）个．
①和是同类二次根式；②的平方根是3；③（﹣1，﹣x2）位于第三象限；④（π﹣3）2的算术平方根是π﹣3；⑤若x+y＝0，则点P（x，y）在第二、四象限角平分线上．
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11．（4分）在平面内，已知M（3，0），N（﹣2，0），则线段MN的中点坐标P（ ， ），MN长度为 ．
12．（4分）的算术平方根是 ．
13．（4分）在如图所示的数轴上，以单位长度为边长画一个正方形，以实数1对应的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，则点A所表示的实数是 ．
14．（4分）如图，一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它需要爬行的最短路线的长是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共54分）
15．（16分）计算：
（1）2；
（2）；
（3）﹣|﹣2|；
（4）．
16．（8分）（1）解方程组；
（2）解不等式（组）．
17．（6分）已知点P（2a﹣2，a+5），解答下列各题：
（1）若点P在x轴上，求点P的坐标；
（2）若点Q的坐标为（4，5），直线PQ∥y轴，求点P的坐标；
（3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a2020+的值．
18．（6分）一个数的算术平方根为2m﹣6，它的平方根为±（m﹣1），求m的值．
19．（8分）如图，在下面的直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，4）三点，其中a，b满足关系式．
（1）求a，b的值；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（10分）如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在的直线上．连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（点C、E、F、G按顺时针排列），连接BF．
（1）如图1，当点E与点D重合时，BF的长为 ；
（2）如图2，当点E在线段AD上时，若AE＝1，求BF的长；
（提示：过点F作BC的垂线，交BC的延长线于点M．交AD的延长线于点N．）
（3）当点E在直线AD上时，若AE＝6，请直接写出BF的长 ．
一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（4分）比较大小： ；化简：＝ ．
22．（4分）若m＝2+，则代数式m2﹣4m﹣7的值为 ．
23．（4分）如果关于x的不等式组的整数解只有1，2，3，那么a的取值范围是 ，b的取值范围是 ．
24．（4分）如图，在长方形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，EF交BC于点H，延长BF、DC相交于点G，若DG＝4，BC＝6，则DC＝ ．
25．（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则AP+PC的最小值是 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
26．（8分）已知x＝，y＝．
（1）求x2+y2+xy的值；
（2）若x的小数部分是m，y的小数部分是n，求（m+n）2021﹣的值．
27．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为BC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交AE于点D且∠BCF＝∠CAE，CG平分∠ACB交AD于点G．
（1）如图1，求证：CF＝AG；
（2）如图2，延长CG交AB于H，连接BG，过点C作CP∥BG交AE的延长线于点P，求证：PA＝CP+CF；
（3）如图3，在（2）问的条件下，当∠GBC＝2∠FCH时，若AG＝8，求BC的长．
28．（12分）已知点A（t，2）是平面直角坐标系中第一象限的点，点B，C分别是y轴负半轴和x轴正半轴上的点，连接AB，AC，BC．
（1）如图1，若OB＝2，OC＝3，且A，B，C在同一条直线上，求t的值；
（2）在（1）的条件下，如图2，在x轴上是否存在一点P，使得△ABP是等腰三角形．如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）如图3，当t＝2，∠ACO+∠ACB＝180°时，求BC+OC﹣OB的值．
2021-2022学年四川省成都育才学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分，请将正确的答案涂在答题卡上）
1．（3分）边长为1的正方形的对角线的长是（ ）
A．整数 B．分数 C．有理数 D．无理数
【分析】构造直角三角形，利用解直角三角形进行求解，熟悉数的分类也是解题的一个关键．
【解答】解：边长为1的正方形的对角线的长＝，
故选：D．
2．（3分）下列几组数不能构成直角三角形的是（ ）
A．，， B．2，3，4 C．3，4，5 D．6，8，10
【分析】先求出两小边的平方和，再求出长边的平方，看看是否相等即可．
【解答】解：A、，能构成直角三角形，故A不符合题意；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故B符合题意；
C、32+42＝52，能构成直角三角形，故C不符合题意；
D、62+82＝102，能构成直角三角形，故D不符合题意；
故选：B．
3．（3分）点A（﹣2，1）到y轴的距离为（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．
【分析】根据点到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
【解答】解：∵点A（﹣2，1），
∴点A（﹣2，1）到y轴的距离＝|﹣2|＝2，
故选：C．
4．（3分）在实数，0，，，0.1010010001…，，中无理数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据无理数的定义即可判断选择项．
【解答】解：在实数，0，，，0.1010010001…，，中，
＝2是整数，0是整数，是分数，＝0.5是小数这4个数是有理数，
0.1010010001…，，这3个数是无理数．
故选：D．
5．（3分）估计的值在（ ）之间．
A．2到3 B．3到4 C．4到5 D．5到6
【分析】先估算出的范围，即可求出结果．
【解答】解：∵＜＜，
∴2＜＜3，
∴3＜+1＜4，
故选：B．
6．（3分）在平面直角坐标系中，点P（a，a﹣4）在第四象限，则a的取值范围是（ ）
A．a＞4 B．a＜0 C．0＜a＜4 D．﹣4＜a＜0
【分析】根据点P在第四象限得出不等式组，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：∵点P（a，a﹣4）在第四象限，
∴，
解得：0＜a＜4，
故选：C．
7．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2 B．x≥2且x≠﹣1 C．x＞2且x≠﹣1 D．x≠﹣1
【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，x+1≠0，
解得，x≥2，
故选：A．
8．（3分）已知是二元一次方程组的解，则m+n的值为（ ）
A． B．5 C． D．
【分析】根据方程组解的定义，方程组的解适合方程组中的每个方程，转化为关于m、n的方程组即可解决问题．
【解答】解：∵是二元一次方程组的解，
∴，
解得，
∴m+n＝5．
故选：B．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AB的中点，点D是AC边上一点，且DE⊥AB，连接DB．若AC＝6，BC＝3，则CD的长（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD＝BD，根据勾股定理列式计算即可．
【解答】解：∵点E是AB的中点，DE⊥AB，
∴DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
则CD＝AC﹣AD＝6﹣BD，
在Rt△BCD中，BD2＝CD2+BC2，即BD2＝（6﹣BD）2+32，
解得，BD＝，
∴AD＝，
∴CD＝AC﹣AD＝6﹣＝，
故选：A．
10．（3分）下列说法中正确的有（ ）个．
①和是同类二次根式；②的平方根是3；③（﹣1，﹣x2）位于第三象限；④（π﹣3）2的算术平方根是π﹣3；⑤若x+y＝0，则点P（x，y）在第二、四象限角平分线上．
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据同类二次根式，算术平方根，平方根，点的坐标逐个判断即可．
【解答】解：∵＝3，＝，
∴和是同类二次根式，故①正确；
∵＝9，
∴的平方根是±3，故②错误；
当x＝0时，点（﹣1，﹣x2）位于x轴的负半轴上，
当x≠0时，点（﹣1，﹣x2）位于第三象限，故③错误；
（π﹣3）2的算术平方根是π﹣3，故④正确；
若x+y＝0，则点P（x，y）在第二、四象限角平分线上，故⑤正确；
即正确的个数有3个，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11．（4分）在平面内，已知M（3，0），N（﹣2，0），则线段MN的中点坐标P（ ， 0 ），MN长度为 5 ．
【分析】观察M、N两点坐标可知纵坐标都是0，直线MN即x轴，线段MN的中点P的横坐标为两点横坐标的平均数，纵坐标是0；线段MN的长为两点横坐标的差．
【解答】解：∵M（3，0），N（﹣2，0），
∴线段MN的中点坐标P为（，0），即（，0）．
MN＝3﹣（﹣2）＝5，
故答案为：，0，5．
12．（4分）的算术平方根是 2 ．
【分析】首先根据算术平方根的定义求出的值，然后再利用算术平方根的定义即可求出结果．
【解答】解：∵＝4，
∴的算术平方根是＝2．
故答案为：2．
13．（4分）在如图所示的数轴上，以单位长度为边长画一个正方形，以实数1对应的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，则点A所表示的实数是 1+ ．
【分析】根据勾股定理计算出正方形得对角线的长度，以对角线为半径画弧，根据数轴上点的特征即可计算出结果．
【解答】解：如图：
根据勾股定理得CD＝＝，
∵半圆以CD为半径，
∴CD＝CA＝，
∴点A表示的实数是1+．
故答案为：1+．
14．（4分）如图，一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它需要爬行的最短路线的长是 10cm ．
【分析】将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案．
【解答】解：如图1所示：
AB＝＝10（cm），
如图2所示：
AB＝＝（cm）．
∵10＜，
∴蚂蚁爬行的最短路程是10cm．
故答案为：10cm．
三、解答题（本大题共6小题，共54分）
15．（16分）计算：
（1）2；
（2）；
（3）﹣|﹣2|；
（4）．
【分析】（1）根据二次根式的混合运算的法则计算即可；
（2）根据二次根式的混合运算的法则计算即可；
（3）根据零指数幂的性质，负整数指数幂的性质，二次根式的混合运算法则计算即可；
（4）根据二次根式的混合运算的法则计算即可．
【解答】解：（1）2
＝6﹣
＝；
（2）
＝2×2×
＝8；
（3）﹣|﹣2|
＝1+3﹣3﹣2+
＝2﹣2；
（4）
＝3﹣2﹣5+2﹣1
＝2﹣5．
16．（8分）（1）解方程组；
（2）解不等式（组）．
【分析】（1）整理为一般式，再利用加减消元法求解即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）方程组整理得：，
①﹣②，得：2x＝﹣10，
解得x＝﹣5，
将x＝﹣5代入②，得：﹣10﹣3y＝5，
解得y＝﹣5，
∴；
（2）解不等式3﹣2（x﹣1）＜6x，得：x＞，
解不等式1﹣≥0，得：x≤4，
则不等式组的解集为＜x≤4．
17．（6分）已知点P（2a﹣2，a+5），解答下列各题：
（1）若点P在x轴上，求点P的坐标；
（2）若点Q的坐标为（4，5），直线PQ∥y轴，求点P的坐标；
（3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a2020+的值．
【分析】（1）根据x轴上的点的纵坐标为0，可得关于a的方程，解得a的值，再求得点P的横坐标即可得出答案．
（2）根据平行于y轴的直线的横坐标相等，可得关于a的方程，解得a的值，再求得其纵坐标即可得出答案．
（3）根据第二象限的点的横纵坐标的符号特点及它到x轴、y轴的距离相等，可得关于a的方程，解得a的值，再代入要求的式子计算即可．
【解答】解：（1）∵点P在x轴上，
∴a+5＝0，
∴a＝﹣5，
∴2a﹣2＝2×（﹣5）﹣2＝﹣12，
∴点P的坐标为（﹣12，0）．
（2）点Q的坐标为（4，5），直线PQ∥y轴，
∴2a﹣2＝4，
∴a＝3，
∴a+5＝8，
∴点P的坐标为（4，8）．
（3）∵点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，
∴2a﹣2＝﹣（a+5），
∴2a﹣2+a+5＝0，
∴a＝﹣1，
∴a2020+＝（﹣1）2020﹣1＝1﹣1＝0．
18．（6分）一个数的算术平方根为2m﹣6，它的平方根为±（m﹣1），求m的值．
【分析】由算术平方根、平方根的性质，2m﹣6＝m﹣1或2m﹣6＝﹣（m﹣1），进而进行分类讨论解决此问题．
【解答】解：当m﹣1≥0，即m≥1，则2m﹣6＝m﹣1．
∴m＝5（5＞1，符合题意）．
当﹣（m﹣1）≥0，即m≤1，则2m﹣6＝﹣（m﹣1）．
∴m＝（不合题意，故舍去）．
综上：m＝5．
19．（8分）如图，在下面的直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，4）三点，其中a，b满足关系式．
（1）求a，b的值；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据二次根式的性质得出b2﹣9＝0，再利用b+3≠0，求出b的值，进而得出a的值；
（2）因为P在第二象限，将四边形ABOP的面积表示成三角形APO和三角形AOB的面积和，即可求解，
（3）将A，B，C坐标在直角坐标系中表示出来，求出三角形ABC的面积，当四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等时，即3﹣m＝6，得m＝﹣3，即可进行求解．
【解答】解：（1）∵a，b满足关系式，
∴b2﹣9＝0，b+3≠0，
∴b＝3，a＝2；
（2）四边形ABOP的面积可以看作是△APO和△AOB的面积和，
∵P在第二象限，∴m＜0，SAPOB＝S△AOB+SAPO＝×2×3+×（﹣m）×2＝3﹣m．
故四边形ABOP的面积为3﹣m；
（3）由题意可得出：点A（0，2），B（3，0），C（3，4），
过A点作BC边上的高，交BC于点H，
则三角形ABC的面积为：S＝BC•AH＝×4×3＝6；
当四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等时，
即3﹣m＝6，得m＝﹣3，
此时P点坐标为：（﹣3，），
存在P点，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等．
20．（10分）如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在的直线上．连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（点C、E、F、G按顺时针排列），连接BF．
（1）如图1，当点E与点D重合时，BF的长为 4 ；
（2）如图2，当点E在线段AD上时，若AE＝1，求BF的长；
（提示：过点F作BC的垂线，交BC的延长线于点M．交AD的延长线于点N．）
（3）当点E在直线AD上时，若AE＝6，请直接写出BF的长 2或10 ．
【分析】（1）根据勾股定理即可求解；
（2）根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质即可求解；
（3）分两种情况画图形，证明方法与（2）相同．
【解答】解：（1）∵AB＝4，AF＝8，根据勾股定理，得，BF＝＝＝4，
故答案为：4．
（2）过点F作BC的垂线，交BC的延长线于点M，交AD的延长线于点N，
∵四边形CEFG是正方形，
∴EC＝EF，∠FEC＝90°，
∴∠DEC+∠FEN＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DEC+∠ECD＝90°，
∴∠ECD＝∠FEN，
∵EF＝EC，∠EDC＝∠FNE＝90°，
∴△EDC≌△FNE（AAS），
∴FN＝ED，EN＝CD＝4，
∵AD＝4，AE＝1，ED＝AD﹣AE＝4﹣1＝3，
∴FN＝ED＝3，
∵∠DNM＝∠NDC＝∠DCM＝90°，
∴四边形CDNM为矩形，
∴MN＝CD＝4，CM＝DN＝EN﹣ED＝4﹣3＝1，
∴FM＝FN+MN＝3+4＝7，BM＝BC+CM＝4+1＝5，
在Rt△BFN中，BF＝；
（3）如图：证明方法同（2），
∴BF＝2．
如下图所示，
过点F作FM⊥BC于M，交AD于P，
同（2）的方法得，△EFP≌△CED，
∴FP＝DE＝AD+AE＝10，EP＝CD＝4，
∴FM＝FP+PM＝FP+AB＝14，BM＝AP＝AE﹣PE＝2，
在Rt△BMF中，BF＝＝＝10．
∴BF的长为2或10．
故答案是：2或10．
一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（4分）比较大小： ＞ ；化简：＝ 2﹣ ．
【分析】比较大小：通过估算的大小进行分析判断；
化简：利用平方差公式进行分母有理化计算．
【解答】解：，
∵17＞16，
∴＞4，
∴2+2＞10，即2+2＞9，
∴＞，
即＞，
，
故答案为：＞；2﹣．
22．（4分）若m＝2+，则代数式m2﹣4m﹣7的值为 0 ．
【分析】利用配方法将已知代数式进行变形，然后代入求值．
【解答】解：m2﹣4m﹣7＝m2﹣4m+4﹣4﹣7＝（m﹣2）2﹣11，
当m＝2+时，
原式＝（2+﹣2）2﹣11
＝（）2﹣11
＝11﹣11
＝0，
故答案为：0．
23．（4分）如果关于x的不等式组的整数解只有1，2，3，那么a的取值范围是 0＜a≤3 ，b的取值范围是 6≤b＜8 ．
【分析】先求出不等式组的解集，再由整数解，可得a、b的取值范围．
【解答】解：由3x﹣a≥0，得：x≥，
由2x﹣b≤0，得：x≤，
∵不等式组的整数解为1、2、3，
∴∴0＜≤1，3≤＜4，
∴0＜a≤3，6≤b＜8，
故答案为：0＜a≤3，6≤b＜8．
24．（4分）如图，在长方形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，EF交BC于点H，延长BF、DC相交于点G，若DG＝4，BC＝6，则DC＝ ．
【分析】连结EG，由E是AD的中点，可证明Rt△EFG≌Rt△EDG（HL），即知FG＝DG＝4，设DC＝x，在Rt△BCG中，可得（x+4）2＝（4﹣x）2+62，即可解得答案．
【解答】解：连结EG，如图：
∵E是AD的中点，
∴DE＝AE＝EF，
在矩形ABCD中，∠D＝∠A＝∠BFE＝90°＝∠GFE，
∵EG＝EG，
∴Rt△EFG≌Rt△EDG（HL），
∴FG＝DG＝4，
设DC＝x，则CG＝DG﹣DC＝4﹣x，BG＝BF+FG＝AB+FG＝DC+FG＝x+4，
在Rt△BCG中，BG2＝CG2+BC2，
∴（x+4）2＝（4﹣x）2+62，
解得：x＝，
故答案为：．
25．（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则AP+PC的最小值是 ．
【分析】作∠BCO外角的角平分线CE，过A作AG⊥CE于G，交BC于P，交y轴于F，当A、P、G共线时，AG＝AP+PC，此时AG的值最小，再根据含30°角的直角三角形的性质可得答案．
【解答】解：作∠BCO外角的角平分线CE，过A作AG⊥CE于G，交BC于P，交y轴于F，
∵∠OCB＝60°，OE平分∠BCF，
∴∠FCG＝∠PCG＝60°，
∴PG＝PC，
∴当A、P、G共线时，AG＝AP+PC，此时AG的值最小，
∵∠FCG＝∠PCG＝60°，AG⊥CE，
∴∠CPG＝∠CFG＝30°，
∵OA＝3，
∴AF＝2OA＝6，OF＝OA＝3．
∴CF＝3﹣3，FG＝CF＝﹣，
∴AG＝AF﹣FG＝＝．
即AP+PC＝．
故答案为：．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
26．（8分）已知x＝，y＝．
（1）求x2+y2+xy的值；
（2）若x的小数部分是m，y的小数部分是n，求（m+n）2021﹣的值．
【分析】（1）先分母有理化求出x、y的值，求出x+y和xy的值，变形后代入求出即可；
（2）求出m、n的值，代入求值即可．
【解答】解：（1）∵x＝＝3﹣2，y＝＝3+2，
∴x+y＝6，xy＝1，
∴x2+y2+xy
＝（x+y）2﹣xy
＝62﹣1
＝35；
（2）∵2＜2＜3，
∴5＜3+2＜6，0＜3﹣2＜1，
∵x的小数部分为m，y的小数部分为n，
∴m＝3﹣2，n＝3+2﹣5＝2﹣2，
∴（m+n）2021﹣
＝（3﹣2+2﹣2）2021﹣（m﹣n）
＝1﹣（3﹣2﹣2+2）
＝1+4﹣5
＝﹣4+4．
27．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为BC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交AE于点D且∠BCF＝∠CAE，CG平分∠ACB交AD于点G．
（1）如图1，求证：CF＝AG；
（2）如图2，延长CG交AB于H，连接BG，过点C作CP∥BG交AE的延长线于点P，求证：PA＝CP+CF；
（3）如图3，在（2）问的条件下，当∠GBC＝2∠FCH时，若AG＝8，求BC的长．
【分析】（1）根据ASA证明△ACG≌△CBF，则CF＝AG；
（2）先证明△BCG≌△ACG，得∠CBG＝∠CAE，再证明∠PCG＝∠PGC，即可得出结论；
（3）过点G作GM⊥BC，垂足为M，求出∠FCH＝15°，得出∠BCF＝∠GBC＝30°，根据直角三角形的性质可得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠B＝∠CAB＝45°，
∵CG平分∠ACB，
∴∠ACG＝∠BCG＝45°，
∴∠B＝∠ACG，
在△ACG和△CBF中，
，
∴△ACG≌△CBF（ASA），
∴CF＝AG；
（2）证明：∵PC∥BG，
∴∠PCB＝∠CBG，
∵AC＝BC，∠BCG＝∠ACG，CG＝CG，
∴△BCG≌△ACG（SAS），
∴∠CBG＝∠CAE，
∵∠PCG＝∠PCB+∠BCG＝∠CBG+45°＝∠CAE+45°，∠PGC＝∠GCA+∠CAE＝∠CAE+45°，
∴∠PCG＝∠PGC，
∴PC＝PG，
∵PA＝AG+PG，AG＝CF，
∴PA＝CF+CP；
（3）解：过点G作GM⊥BC，垂足为M，
设∠FCH＝x°，则∠GBC＝2x°，
∴∠BCF＝∠EAC＝∠GBC＝2x°，
∵∠BCH＝45°，
∴2x+x＝45，
解得x＝15，
∴∠FCH＝15°，
∴∠BCF＝∠GBC＝30°，
由（2）得：△BCG≌△ACG，
∴BG＝AG＝8，
在Rt△BGM中，GM＝BG＝4，BM＝4，
在Rt△CGM中，CM＝GM＝4，
∴BC＝4+4．
28．（12分）已知点A（t，2）是平面直角坐标系中第一象限的点，点B，C分别是y轴负半轴和x轴正半轴上的点，连接AB，AC，BC．
（1）如图1，若OB＝2，OC＝3，且A，B，C在同一条直线上，求t的值；
（2）在（1）的条件下，如图2，在x轴上是否存在一点P，使得△ABP是等腰三角形．如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）如图3，当t＝2，∠ACO+∠ACB＝180°时，求BC+OC﹣OB的值．
【分析】（1）证明△BOC≌△AFC（AAS），由全等三角形的性质得出OC＝CF＝3，则可得出答案；
（2）过点A作AD⊥y轴于点D，AF⊥x轴于点F，设P（x，0），由勾股定理列出方程可得出答案；
（3）作AD⊥y轴于D，AM⊥x轴于M，AN⊥BC于N，证出AD＝AN，证明Rt△ABD≌Rt△ABN（HL），得出BN＝BD＝OB+2，同理Rt△ACM≌Rt△ACN（HL），得出CM＝CN，由BC＝BN﹣CN，OC＝OM+CM＝2+CM，即可得出答案．
【解答】解：（1）过点A作AF⊥x轴于点F，
∵A（t，2），OB＝2，
∴AF＝OB＝2，
∵∠BOC＝∠AFC＝90°，∠BCO＝∠ACF，
∴△BOC≌△AFC（AAS），
∴OC＝CF＝3，
∴OF＝6，
∴t＝6；
（2）过点A作AD⊥y轴于点D，AF⊥x轴于点F，
设P（x，0），
∴AB2＝42+62，AP2＝（x﹣6）2+22，
∵△ABP是等腰三角形，
∴42+62＝（x﹣6）2+22，
∴x＝6+4或x＝6﹣4，
∴P（6+4，0）或（6﹣4，0）；
（3）作AD⊥y轴于D，AM⊥x轴于M，AN⊥BC于N，如图3所示：则∠ADB＝∠ANB＝90°，
∵t＝2，
∴点A（2，2），
∴AD＝AM＝OM＝2，
∵∠ACO+∠ACB＝180°，∠ACN+∠ACB＝180°，
∴∠ACO＝∠ACN，
∵AM⊥x轴于M，AN⊥BC于N，
∴AN＝AM＝AD＝2，
在Rt△ABD和Rt△ABN中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ABN（HL），
∴BN＝BD＝OB+2，
同理：Rt△ACM≌Rt△ACN（HL），
∴CM＝CN，
∵BC＝BN﹣CN，OC＝OM+CM＝2+CM，
∴BC+OC﹣OB＝BN﹣CN+2+CM﹣OB＝OB+2﹣CN+2+CM﹣OB＝4．
2021-2022学年四川省成都育才学校八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分，请将正确的答案涂在答题卡上）
1．（3分）边长为1的正方形的对角线的长是（ ）
A．整数 B．分数 C．有理数 D．无理数
2．（3分）下列几组数不能构成直角三角形的是（ ）
A．，， B．2，3，4 C．3，4，5 D．6，8，10
3．（3分）点A（﹣2，1）到y轴的距离为（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．
4．（3分）在实数，0，，，0.1010010001…，，中无理数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．（3分）估计的值在（ ）之间．
A．2到3 B．3到4 C．4到5 D．5到6
6．（3分）在平面直角坐标系中，点P（a，a﹣4）在第四象限，则a的取值范围是（ ）
A．a＞4 B．a＜0 C．0＜a＜4 D．﹣4＜a＜0
7．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2 B．x≥2且x≠﹣1 C．x＞2且x≠﹣1 D．x≠﹣1
8．（3分）已知是二元一次方程组的解，则m+n的值为（ ）
A． B．5 C． D．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AB的中点，点D是AC边上一点，且DE⊥AB，连接DB．若AC＝6，BC＝3，则CD的长（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）下列说法中正确的有（ ）个．
①和是同类二次根式；②的平方根是3；③（﹣1，﹣x2）位于第三象限；④（π﹣3）2的算术平方根是π﹣3；⑤若x+y＝0，则点P（x，y）在第二、四象限角平分线上．
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11．（4分）在平面内，已知M（3，0），N（﹣2，0），则线段MN的中点坐标P（ ， ），MN长度为 ．
12．（4分）的算术平方根是 ．
13．（4分）在如图所示的数轴上，以单位长度为边长画一个正方形，以实数1对应的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，则点A所表示的实数是 ．
14．（4分）如图，一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它需要爬行的最短路线的长是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共54分）
15．（16分）计算：
（1）2；
（2）；
（3）﹣|﹣2|；
（4）．
16．（8分）（1）解方程组；
（2）解不等式（组）．
17．（6分）已知点P（2a﹣2，a+5），解答下列各题：
（1）若点P在x轴上，求点P的坐标；
（2）若点Q的坐标为（4，5），直线PQ∥y轴，求点P的坐标；
（3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a2020+的值．
18．（6分）一个数的算术平方根为2m﹣6，它的平方根为±（m﹣1），求m的值．
19．（8分）如图，在下面的直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，4）三点，其中a，b满足关系式．
（1）求a，b的值；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（10分）如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在的直线上．连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（点C、E、F、G按顺时针排列），连接BF．
（1）如图1，当点E与点D重合时，BF的长为 ；
（2）如图2，当点E在线段AD上时，若AE＝1，求BF的长；
（提示：过点F作BC的垂线，交BC的延长线于点M．交AD的延长线于点N．）
（3）当点E在直线AD上时，若AE＝6，请直接写出BF的长 ．
一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（4分）比较大小： ；化简：＝ ．
22．（4分）若m＝2+，则代数式m2﹣4m﹣7的值为 ．
23．（4分）如果关于x的不等式组的整数解只有1，2，3，那么a的取值范围是 ，b的取值范围是 ．
24．（4分）如图，在长方形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，EF交BC于点H，延长BF、DC相交于点G，若DG＝4，BC＝6，则DC＝ ．
25．（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则AP+PC的最小值是 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
26．（8分）已知x＝，y＝．
（1）求x2+y2+xy的值；
（2）若x的小数部分是m，y的小数部分是n，求（m+n）2021﹣的值．
27．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为BC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交AE于点D且∠BCF＝∠CAE，CG平分∠ACB交AD于点G．
（1）如图1，求证：CF＝AG；
（2）如图2，延长CG交AB于H，连接BG，过点C作CP∥BG交AE的延长线于点P，求证：PA＝CP+CF；
（3）如图3，在（2）问的条件下，当∠GBC＝2∠FCH时，若AG＝8，求BC的长．
28．（12分）已知点A（t，2）是平面直角坐标系中第一象限的点，点B，C分别是y轴负半轴和x轴正半轴上的点，连接AB，AC，BC．
（1）如图1，若OB＝2，OC＝3，且A，B，C在同一条直线上，求t的值；
（2）在（1）的条件下，如图2，在x轴上是否存在一点P，使得△ABP是等腰三角形．如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）如图3，当t＝2，∠ACO+∠ACB＝180°时，求BC+OC﹣OB的值．
2021-2022学年四川省成都育才学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分，请将正确的答案涂在答题卡上）
1．（3分）边长为1的正方形的对角线的长是（ ）
A．整数 B．分数 C．有理数 D．无理数
【分析】构造直角三角形，利用解直角三角形进行求解，熟悉数的分类也是解题的一个关键．
【解答】解：边长为1的正方形的对角线的长＝，
故选：D．
2．（3分）下列几组数不能构成直角三角形的是（ ）
A．，， B．2，3，4 C．3，4，5 D．6，8，10
【分析】先求出两小边的平方和，再求出长边的平方，看看是否相等即可．
【解答】解：A、，能构成直角三角形，故A不符合题意；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故B符合题意；
C、32+42＝52，能构成直角三角形，故C不符合题意；
D、62+82＝102，能构成直角三角形，故D不符合题意；
故选：B．
3．（3分）点A（﹣2，1）到y轴的距离为（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．
【分析】根据点到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
【解答】解：∵点A（﹣2，1），
∴点A（﹣2，1）到y轴的距离＝|﹣2|＝2，
故选：C．
4．（3分）在实数，0，，，0.1010010001…，，中无理数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据无理数的定义即可判断选择项．
【解答】解：在实数，0，，，0.1010010001…，，中，
＝2是整数，0是整数，是分数，＝0.5是小数这4个数是有理数，
0.1010010001…，，这3个数是无理数．
故选：D．
5．（3分）估计的值在（ ）之间．
A．2到3 B．3到4 C．4到5 D．5到6
【分析】先估算出的范围，即可求出结果．
【解答】解：∵＜＜，
∴2＜＜3，
∴3＜+1＜4，
故选：B．
6．（3分）在平面直角坐标系中，点P（a，a﹣4）在第四象限，则a的取值范围是（ ）
A．a＞4 B．a＜0 C．0＜a＜4 D．﹣4＜a＜0
【分析】根据点P在第四象限得出不等式组，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：∵点P（a，a﹣4）在第四象限，
∴，
解得：0＜a＜4，
故选：C．
7．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2 B．x≥2且x≠﹣1 C．x＞2且x≠﹣1 D．x≠﹣1
【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，x+1≠0，
解得，x≥2，
故选：A．
8．（3分）已知是二元一次方程组的解，则m+n的值为（ ）
A． B．5 C． D．
【分析】根据方程组解的定义，方程组的解适合方程组中的每个方程，转化为关于m、n的方程组即可解决问题．
【解答】解：∵是二元一次方程组的解，
∴，
解得，
∴m+n＝5．
故选：B．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AB的中点，点D是AC边上一点，且DE⊥AB，连接DB．若AC＝6，BC＝3，则CD的长（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD＝BD，根据勾股定理列式计算即可．
【解答】解：∵点E是AB的中点，DE⊥AB，
∴DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
则CD＝AC﹣AD＝6﹣BD，
在Rt△BCD中，BD2＝CD2+BC2，即BD2＝（6﹣BD）2+32，
解得，BD＝，
∴AD＝，
∴CD＝AC﹣AD＝6﹣＝，
故选：A．
10．（3分）下列说法中正确的有（ ）个．
①和是同类二次根式；②的平方根是3；③（﹣1，﹣x2）位于第三象限；④（π﹣3）2的算术平方根是π﹣3；⑤若x+y＝0，则点P（x，y）在第二、四象限角平分线上．
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据同类二次根式，算术平方根，平方根，点的坐标逐个判断即可．
【解答】解：∵＝3，＝，
∴和是同类二次根式，故①正确；
∵＝9，
∴的平方根是±3，故②错误；
当x＝0时，点（﹣1，﹣x2）位于x轴的负半轴上，
当x≠0时，点（﹣1，﹣x2）位于第三象限，故③错误；
（π﹣3）2的算术平方根是π﹣3，故④正确；
若x+y＝0，则点P（x，y）在第二、四象限角平分线上，故⑤正确；
即正确的个数有3个，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11．（4分）在平面内，已知M（3，0），N（﹣2，0），则线段MN的中点坐标P（ ， 0 ），MN长度为 5 ．
【分析】观察M、N两点坐标可知纵坐标都是0，直线MN即x轴，线段MN的中点P的横坐标为两点横坐标的平均数，纵坐标是0；线段MN的长为两点横坐标的差．
【解答】解：∵M（3，0），N（﹣2，0），
∴线段MN的中点坐标P为（，0），即（，0）．
MN＝3﹣（﹣2）＝5，
故答案为：，0，5．
12．（4分）的算术平方根是 2 ．
【分析】首先根据算术平方根的定义求出的值，然后再利用算术平方根的定义即可求出结果．
【解答】解：∵＝4，
∴的算术平方根是＝2．
故答案为：2．
13．（4分）在如图所示的数轴上，以单位长度为边长画一个正方形，以实数1对应的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，则点A所表示的实数是 1+ ．
【分析】根据勾股定理计算出正方形得对角线的长度，以对角线为半径画弧，根据数轴上点的特征即可计算出结果．
【解答】解：如图：
根据勾股定理得CD＝＝，
∵半圆以CD为半径，
∴CD＝CA＝，
∴点A表示的实数是1+．
故答案为：1+．
14．（4分）如图，一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它需要爬行的最短路线的长是 10cm ．
【分析】将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案．
【解答】解：如图1所示：
AB＝＝10（cm），
如图2所示：
AB＝＝（cm）．
∵10＜，
∴蚂蚁爬行的最短路程是10cm．
故答案为：10cm．
三、解答题（本大题共6小题，共54分）
15．（16分）计算：
（1）2；
（2）；
（3）﹣|﹣2|；
（4）．
【分析】（1）根据二次根式的混合运算的法则计算即可；
（2）根据二次根式的混合运算的法则计算即可；
（3）根据零指数幂的性质，负整数指数幂的性质，二次根式的混合运算法则计算即可；
（4）根据二次根式的混合运算的法则计算即可．
【解答】解：（1）2
＝6﹣
＝；
（2）
＝2×2×
＝8；
（3）﹣|﹣2|
＝1+3﹣3﹣2+
＝2﹣2；
（4）
＝3﹣2﹣5+2﹣1
＝2﹣5．
16．（8分）（1）解方程组；
（2）解不等式（组）．
【分析】（1）整理为一般式，再利用加减消元法求解即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）方程组整理得：，
①﹣②，得：2x＝﹣10，
解得x＝﹣5，
将x＝﹣5代入②，得：﹣10﹣3y＝5，
解得y＝﹣5，
∴；
（2）解不等式3﹣2（x﹣1）＜6x，得：x＞，
解不等式1﹣≥0，得：x≤4，
则不等式组的解集为＜x≤4．
17．（6分）已知点P（2a﹣2，a+5），解答下列各题：
（1）若点P在x轴上，求点P的坐标；
（2）若点Q的坐标为（4，5），直线PQ∥y轴，求点P的坐标；
（3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a2020+的值．
【分析】（1）根据x轴上的点的纵坐标为0，可得关于a的方程，解得a的值，再求得点P的横坐标即可得出答案．
（2）根据平行于y轴的直线的横坐标相等，可得关于a的方程，解得a的值，再求得其纵坐标即可得出答案．
（3）根据第二象限的点的横纵坐标的符号特点及它到x轴、y轴的距离相等，可得关于a的方程，解得a的值，再代入要求的式子计算即可．
【解答】解：（1）∵点P在x轴上，
∴a+5＝0，
∴a＝﹣5，
∴2a﹣2＝2×（﹣5）﹣2＝﹣12，
∴点P的坐标为（﹣12，0）．
（2）点Q的坐标为（4，5），直线PQ∥y轴，
∴2a﹣2＝4，
∴a＝3，
∴a+5＝8，
∴点P的坐标为（4，8）．
（3）∵点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，
∴2a﹣2＝﹣（a+5），
∴2a﹣2+a+5＝0，
∴a＝﹣1，
∴a2020+＝（﹣1）2020﹣1＝1﹣1＝0．
18．（6分）一个数的算术平方根为2m﹣6，它的平方根为±（m﹣1），求m的值．
【分析】由算术平方根、平方根的性质，2m﹣6＝m﹣1或2m﹣6＝﹣（m﹣1），进而进行分类讨论解决此问题．
【解答】解：当m﹣1≥0，即m≥1，则2m﹣6＝m﹣1．
∴m＝5（5＞1，符合题意）．
当﹣（m﹣1）≥0，即m≤1，则2m﹣6＝﹣（m﹣1）．
∴m＝（不合题意，故舍去）．
综上：m＝5．
19．（8分）如图，在下面的直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，4）三点，其中a，b满足关系式．
（1）求a，b的值；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据二次根式的性质得出b2﹣9＝0，再利用b+3≠0，求出b的值，进而得出a的值；
（2）因为P在第二象限，将四边形ABOP的面积表示成三角形APO和三角形AOB的面积和，即可求解，
（3）将A，B，C坐标在直角坐标系中表示出来，求出三角形ABC的面积，当四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等时，即3﹣m＝6，得m＝﹣3，即可进行求解．
【解答】解：（1）∵a，b满足关系式，
∴b2﹣9＝0，b+3≠0，
∴b＝3，a＝2；
（2）四边形ABOP的面积可以看作是△APO和△AOB的面积和，
∵P在第二象限，∴m＜0，SAPOB＝S△AOB+SAPO＝×2×3+×（﹣m）×2＝3﹣m．
故四边形ABOP的面积为3﹣m；
（3）由题意可得出：点A（0，2），B（3，0），C（3，4），
过A点作BC边上的高，交BC于点H，
则三角形ABC的面积为：S＝BC•AH＝×4×3＝6；
当四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等时，
即3﹣m＝6，得m＝﹣3，
此时P点坐标为：（﹣3，），
存在P点，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等．
20．（10分）如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在的直线上．连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（点C、E、F、G按顺时针排列），连接BF．
（1）如图1，当点E与点D重合时，BF的长为 4 ；
（2）如图2，当点E在线段AD上时，若AE＝1，求BF的长；
（提示：过点F作BC的垂线，交BC的延长线于点M．交AD的延长线于点N．）
（3）当点E在直线AD上时，若AE＝6，请直接写出BF的长 2或10 ．
【分析】（1）根据勾股定理即可求解；
（2）根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质即可求解；
（3）分两种情况画图形，证明方法与（2）相同．
【解答】解：（1）∵AB＝4，AF＝8，根据勾股定理，得，BF＝＝＝4，
故答案为：4．
（2）过点F作BC的垂线，交BC的延长线于点M，交AD的延长线于点N，
∵四边形CEFG是正方形，
∴EC＝EF，∠FEC＝90°，
∴∠DEC+∠FEN＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DEC+∠ECD＝90°，
∴∠ECD＝∠FEN，
∵EF＝EC，∠EDC＝∠FNE＝90°，
∴△EDC≌△FNE（AAS），
∴FN＝ED，EN＝CD＝4，
∵AD＝4，AE＝1，ED＝AD﹣AE＝4﹣1＝3，
∴FN＝ED＝3，
∵∠DNM＝∠NDC＝∠DCM＝90°，
∴四边形CDNM为矩形，
∴MN＝CD＝4，CM＝DN＝EN﹣ED＝4﹣3＝1，
∴FM＝FN+MN＝3+4＝7，BM＝BC+CM＝4+1＝5，
在Rt△BFN中，BF＝；
（3）如图：证明方法同（2），
∴BF＝2．
如下图所示，
过点F作FM⊥BC于M，交AD于P，
同（2）的方法得，△EFP≌△CED，
∴FP＝DE＝AD+AE＝10，EP＝CD＝4，
∴FM＝FP+PM＝FP+AB＝14，BM＝AP＝AE﹣PE＝2，
在Rt△BMF中，BF＝＝＝10．
∴BF的长为2或10．
故答案是：2或10．
一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（4分）比较大小： ＞ ；化简：＝ 2﹣ ．
【分析】比较大小：通过估算的大小进行分析判断；
化简：利用平方差公式进行分母有理化计算．
【解答】解：，
∵17＞16，
∴＞4，
∴2+2＞10，即2+2＞9，
∴＞，
即＞，
，
故答案为：＞；2﹣．
22．（4分）若m＝2+，则代数式m2﹣4m﹣7的值为 0 ．
【分析】利用配方法将已知代数式进行变形，然后代入求值．
【解答】解：m2﹣4m﹣7＝m2﹣4m+4﹣4﹣7＝（m﹣2）2﹣11，
当m＝2+时，
原式＝（2+﹣2）2﹣11
＝（）2﹣11
＝11﹣11
＝0，
故答案为：0．
23．（4分）如果关于x的不等式组的整数解只有1，2，3，那么a的取值范围是 0＜a≤3 ，b的取值范围是 6≤b＜8 ．
【分析】先求出不等式组的解集，再由整数解，可得a、b的取值范围．
【解答】解：由3x﹣a≥0，得：x≥，
由2x﹣b≤0，得：x≤，
∵不等式组的整数解为1、2、3，
∴∴0＜≤1，3≤＜4，
∴0＜a≤3，6≤b＜8，
故答案为：0＜a≤3，6≤b＜8．
24．（4分）如图，在长方形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，EF交BC于点H，延长BF、DC相交于点G，若DG＝4，BC＝6，则DC＝ ．
【分析】连结EG，由E是AD的中点，可证明Rt△EFG≌Rt△EDG（HL），即知FG＝DG＝4，设DC＝x，在Rt△BCG中，可得（x+4）2＝（4﹣x）2+62，即可解得答案．
【解答】解：连结EG，如图：
∵E是AD的中点，
∴DE＝AE＝EF，
在矩形ABCD中，∠D＝∠A＝∠BFE＝90°＝∠GFE，
∵EG＝EG，
∴Rt△EFG≌Rt△EDG（HL），
∴FG＝DG＝4，
设DC＝x，则CG＝DG﹣DC＝4﹣x，BG＝BF+FG＝AB+FG＝DC+FG＝x+4，
在Rt△BCG中，BG2＝CG2+BC2，
∴（x+4）2＝（4﹣x）2+62，
解得：x＝，
故答案为：．
25．（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则AP+PC的最小值是 ．
【分析】作∠BCO外角的角平分线CE，过A作AG⊥CE于G，交BC于P，交y轴于F，当A、P、G共线时，AG＝AP+PC，此时AG的值最小，再根据含30°角的直角三角形的性质可得答案．
【解答】解：作∠BCO外角的角平分线CE，过A作AG⊥CE于G，交BC于P，交y轴于F，
∵∠OCB＝60°，OE平分∠BCF，
∴∠FCG＝∠PCG＝60°，
∴PG＝PC，
∴当A、P、G共线时，AG＝AP+PC，此时AG的值最小，
∵∠FCG＝∠PCG＝60°，AG⊥CE，
∴∠CPG＝∠CFG＝30°，
∵OA＝3，
∴AF＝2OA＝6，OF＝OA＝3．
∴CF＝3﹣3，FG＝CF＝﹣，
∴AG＝AF﹣FG＝＝．
即AP+PC＝．
故答案为：．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
26．（8分）已知x＝，y＝．
（1）求x2+y2+xy的值；
（2）若x的小数部分是m，y的小数部分是n，求（m+n）2021﹣的值．
【分析】（1）先分母有理化求出x、y的值，求出x+y和xy的值，变形后代入求出即可；
（2）求出m、n的值，代入求值即可．
【解答】解：（1）∵x＝＝3﹣2，y＝＝3+2，
∴x+y＝6，xy＝1，
∴x2+y2+xy
＝（x+y）2﹣xy
＝62﹣1
＝35；
（2）∵2＜2＜3，
∴5＜3+2＜6，0＜3﹣2＜1，
∵x的小数部分为m，y的小数部分为n，
∴m＝3﹣2，n＝3+2﹣5＝2﹣2，
∴（m+n）2021﹣
＝（3﹣2+2﹣2）2021﹣（m﹣n）
＝1﹣（3﹣2﹣2+2）
＝1+4﹣5
＝﹣4+4．
27．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为BC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交AE于点D且∠BCF＝∠CAE，CG平分∠ACB交AD于点G．
（1）如图1，求证：CF＝AG；
（2）如图2，延长CG交AB于H，连接BG，过点C作CP∥BG交AE的延长线于点P，求证：PA＝CP+CF；
（3）如图3，在（2）问的条件下，当∠GBC＝2∠FCH时，若AG＝8，求BC的长．
【分析】（1）根据ASA证明△ACG≌△CBF，则CF＝AG；
（2）先证明△BCG≌△ACG，得∠CBG＝∠CAE，再证明∠PCG＝∠PGC，即可得出结论；
（3）过点G作GM⊥BC，垂足为M，求出∠FCH＝15°，得出∠BCF＝∠GBC＝30°，根据直角三角形的性质可得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠B＝∠CAB＝45°，
∵CG平分∠ACB，
∴∠ACG＝∠BCG＝45°，
∴∠B＝∠ACG，
在△ACG和△CBF中，
，
∴△ACG≌△CBF（ASA），
∴CF＝AG；
（2）证明：∵PC∥BG，
∴∠PCB＝∠CBG，
∵AC＝BC，∠BCG＝∠ACG，CG＝CG，
∴△BCG≌△ACG（SAS），
∴∠CBG＝∠CAE，
∵∠PCG＝∠PCB+∠BCG＝∠CBG+45°＝∠CAE+45°，∠PGC＝∠GCA+∠CAE＝∠CAE+45°，
∴∠PCG＝∠PGC，
∴PC＝PG，
∵PA＝AG+PG，AG＝CF，
∴PA＝CF+CP；
（3）解：过点G作GM⊥BC，垂足为M，
设∠FCH＝x°，则∠GBC＝2x°，
∴∠BCF＝∠EAC＝∠GBC＝2x°，
∵∠BCH＝45°，
∴2x+x＝45，
解得x＝15，
∴∠FCH＝15°，
∴∠BCF＝∠GBC＝30°，
由（2）得：△BCG≌△ACG，
∴BG＝AG＝8，
在Rt△BGM中，GM＝BG＝4，BM＝4，
在Rt△CGM中，CM＝GM＝4，
∴BC＝4+4．
28．（12分）已知点A（t，2）是平面直角坐标系中第一象限的点，点B，C分别是y轴负半轴和x轴正半轴上的点，连接AB，AC，BC．
（1）如图1，若OB＝2，OC＝3，且A，B，C在同一条直线上，求t的值；
（2）在（1）的条件下，如图2，在x轴上是否存在一点P，使得△ABP是等腰三角形．如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）如图3，当t＝2，∠ACO+∠ACB＝180°时，求BC+OC﹣OB的值．
【分析】（1）证明△BOC≌△AFC（AAS），由全等三角形的性质得出OC＝CF＝3，则可得出答案；
（2）过点A作AD⊥y轴于点D，AF⊥x轴于点F，设P（x，0），由勾股定理列出方程可得出答案；
（3）作AD⊥y轴于D，AM⊥x轴于M，AN⊥BC于N，证出AD＝AN，证明Rt△ABD≌Rt△ABN（HL），得出BN＝BD＝OB+2，同理Rt△ACM≌Rt△ACN（HL），得出CM＝CN，由BC＝BN﹣CN，OC＝OM+CM＝2+CM，即可得出答案．
【解答】解：（1）过点A作AF⊥x轴于点F，
∵A（t，2），OB＝2，
∴AF＝OB＝2，
∵∠BOC＝∠AFC＝90°，∠BCO＝∠ACF，
∴△BOC≌△AFC（AAS），
∴OC＝CF＝3，
∴OF＝6，
∴t＝6；
（2）过点A作AD⊥y轴于点D，AF⊥x轴于点F，
设P（x，0），
∴AB2＝42+62，AP2＝（x﹣6）2+22，
∵△ABP是等腰三角形，
∴42+62＝（x﹣6）2+22，
∴x＝6+4或x＝6﹣4，
∴P（6+4，0）或（6﹣4，0）；
（3）作AD⊥y轴于D，AM⊥x轴于M，AN⊥BC于N，如图3所示：则∠ADB＝∠ANB＝90°，
∵t＝2，
∴点A（2，2），
∴AD＝AM＝OM＝2，
∵∠ACO+∠ACB＝180°，∠ACN+∠ACB＝180°，
∴∠ACO＝∠ACN，
∵AM⊥x轴于M，AN⊥BC于N，
∴AN＝AM＝AD＝2，
在Rt△ABD和Rt△ABN中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ABN（HL），
∴BN＝BD＝OB+2，
同理：Rt△ACM≌Rt△ACN（HL），
∴CM＝CN，
∵BC＝BN﹣CN，OC＝OM+CM＝2+CM，
∴BC+OC﹣OB＝BN﹣CN+2+CM﹣OB＝OB+2﹣CN+2+CM﹣OB＝4．
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