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河南省平顶山市新城区2021-2022学年上学期九年级期中数学试卷（word版 含答案）
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这是一份河南省平顶山市新城区2021-2022学年上学期九年级期中数学试卷（word版 含答案），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
河南省平顶山市新城区2021-2022学年九年级（上）期中数学试卷(解析版)
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．若3x＝2y（y≠0），则下列比例式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．x+﹣1＝0
C．3（x+2）2＝3x2﹣4x+1 D．ax2+2x＝1
3．下列选项中，矩形具有的性质是（ ）
A．四边相等
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．每条对角线平分一组对角
4．一个不透明的袋中装有黄、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外都相同，小亮通过多次摸球试验后，发现摸到黄球的频率稳定在0.35左右，则袋中黄球可能有（ ）
A．14个 B．16个 C．18个 D．20个
5．用配方法解方程x2+6x+2＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x+3）2＝7 B．（x+3）2＝11 C．（x﹣3）2＝7 D．（x﹣3）2＝11
6．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC．若AD＝20cm，BD＝12cm，CE＝9cm，那么AE的长是（ ）
A．13cm B．15cm C．16cm D．18cm
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若S菱形ABCD＝24，BD＝6，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．5 B．10 C．20 D．40
8．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．2
10．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C的对角线A1C和OB1交于点M1；以M1A1为对角线作第二个正方形A2A1B2M1，对角线A1M1和A2B2交于点M2；以M2A1为对角线作第三个正方形A3A1B3M2，对角线A1M2和A3B3交于点M3；…，依此类推，这样作第n个正方形的面积为 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠CDA＝80°，则∠A＝ ．
12．若关于x的方程kx2+x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
13．三张完全相同的卡片上分别印有平行四边形、菱形、矩形的图案，现将印有图案的一面朝下，洗匀后从中随机抽取一张，记下图案后放回，再从中随机抽取一张，则两次抽到的卡片印有的图案都是轴对称图形的概率为 ．
14．若线段AB＝cm，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝ cm．
15．已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB上靠近点B的四等分点，连接EC，将线段EC绕点E旋转，交∠BAD外角的平分线于点F，若AF＝，则FG的长为 ．
三、解答题（共8题，共75分）
16．（10分）解方程：
（1）2x2﹣3x+1＝0（配方法）
（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0（因式分解法）
17．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣1，1），B（﹣2，0），C（0，﹣2）．
（1）以原点O为位似中心，在点O另一侧画△A'B'C'，使它与△ABC位似，且相似比为2：1，并写出点A'，B'，C'的坐标；
（2）若四边形AA'B'P是矩形，请直接写出点P的坐标．
18．（11分）已知：如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、AC、BC分别交于点E、O、F．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB＝5，BC＝12，求菱形AFCE的面积．
19．（11分）小刚所在的社区为了做好应对新冠疫情的防控工作，特招募社区抗疫志愿工作者．小刚的爸爸决定报名参加，根据规定，志愿者会被随机分到A（体温检测），B（便民代购），C（环境消杀）其中一组．
（1）求小刚的爸爸被分到C组的概率；
（2）小明的爸爸也加入了该社区的志愿者队伍，请利用画树状图或列表的方法求小明的爸爸和小刚的爸爸被分到同一组的概率．
20．（11分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在AC上，且∠EAD＝∠ADE．
（1）求证：△DCE∽△BCA；
（2）若AB＝3，AC＝4．求DE的长．
21．（11分）某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件．假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变．
（1）求四、五两个月销售量的月平均增长率；
（2）从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？
22．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一动点（点D不与点A、B重合），过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为点F，连接CD，BE．
观察猜想：
（1）在点D的运动过程中，CE与AD是否相等？请说明你的理由．
探究说理：
（2）如图2，当D运动到AB中点时，请探究下列问题：
①四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
②当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
2021-2022学年河南省平顶山市新城区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．若3x＝2y（y≠0），则下列比例式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、由＝得，2x＝3y，故本选项比例式不成立；
B、由＝得，2x＝3y，故本选项比例式不成立；
C、由＝得，xy＝6，故本选项比例式不成立；
D、由＝得，3x＝2y，故本选项比例式成立．
故选：D．
【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，熟记性质是解题的关键．
2．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．x+﹣1＝0
C．3（x+2）2＝3x2﹣4x+1 D．ax2+2x＝1
【分析】依据一元二次方程的定义进行判断即可．
【解答】解：A、是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意；
B、是关于x的分式方程，故本选项不符合题意；
C、方程整理为16x＝﹣11，是关于x的一元一次方程，故本选项不符合题意；
D、当a＝0时是关于x的一元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查的是一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
3．下列选项中，矩形具有的性质是（ ）
A．四边相等
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．每条对角线平分一组对角
【分析】根据矩形的性质可判断．
【解答】解：∵矩形的对边平行且相等，对角线互相平分且相等，
∴选项C正确
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是本题的关键．
4．一个不透明的袋中装有黄、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外都相同，小亮通过多次摸球试验后，发现摸到黄球的频率稳定在0.35左右，则袋中黄球可能有（ ）
A．14个 B．16个 C．18个 D．20个
【分析】利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为0.35，然后根据概率公式计算即可．
【解答】解：设袋子中黄球有x个，
根据题意，得：＝0.35，
解得：x＝14，
即布袋中黄球可能有14个，
故选：A．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
5．用配方法解方程x2+6x+2＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x+3）2＝7 B．（x+3）2＝11 C．（x﹣3）2＝7 D．（x﹣3）2＝11
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤计算即可．
【解答】解：∵x2+6x+2＝0，
∴x2+6x＝﹣2，
∴x2+6x+9＝﹣2+9，即（x+3）2＝7，
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC．若AD＝20cm，BD＝12cm，CE＝9cm，那么AE的长是（ ）
A．13cm B．15cm C．16cm D．18cm
【分析】根据平行线分线段成比例，可以求得AE的长．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
∵AD＝20cm，BD＝12cm，CE＝9cm，
∴，
∴AE＝15cm，
故选：B．
【点评】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若S菱形ABCD＝24，BD＝6，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．5 B．10 C．20 D．40
【分析】根据菱形的面积得出AC，进而利用勾股定理得出AB即可．
【解答】解：∵S菱形ABCD＝24，BD＝6，
∴，
∴OB＝＝＝3，OA＝＝4，
∴AB＝，
∴菱形ABCD的周长＝20，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键．
8．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【分析】对于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，设t＝x﹣1得到at2+bt+2＝0，利用at2+bt+2＝0有一个根为t＝2021得到x﹣1＝2021，从而可判断一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2必有一根为x＝2022．
【解答】解：对于一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2即a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，
设t＝x﹣1，
所以at2+bt+2＝0，
而关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，
所以at2+bt+2＝0有一个根为t＝2021，
则x﹣1＝2021，
解得x＝2022，
所以一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为x＝2022．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．2
【分析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．
【解答】解：如图：
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2＝CE．
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF．
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．
∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝1．
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．
∴∠DP2P1＝90°．
∴∠DP1P2＝45°．
∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值为BP1的长．
在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝1．
∴BP1＝．
∴PB的最小值是．
故选：C．
【点评】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．
10．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C的对角线A1C和OB1交于点M1；以M1A1为对角线作第二个正方形A2A1B2M1，对角线A1M1和A2B2交于点M2；以M2A1为对角线作第三个正方形A3A1B3M2，对角线A1M2和A3B3交于点M3；…，依此类推，这样作第n个正方形的面积为 （ ）
A． B． C． D．
【分析】根据正方形的性质找出M1、M2、M3的坐标，据此求得前四个正方形的面积，从而得到面积的变化规律，从而得解．
【解答】解：∵正方形OA1B1C的边长为1，对角线A1C和OB1交于点M1，
∴第一个正方形的面积为1，点M1（，），
则第二个正方形的面积为；
∵以A1M1为对角线作第二个正方形A2A1B2M1，对角线A1M1和A2B2交于点M2，
∴点M2（，），
则第三个正方形的面积为（1﹣）2＝＝；
∵以A1M2为对角线作第三个正方形A3A1B3M2，对角线A1M2和A3B3交于点M3，
∴M3（，），
则第四个正方形的面积为（1﹣）2＝＝，
……
所以第n个正方形的面积为，
故选：C．
【点评】本题考查了规律型中点的坐标以及正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的性质．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠CDA＝80°，则∠A＝ 50° ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质可以求得∠A的度数，本题得以解决．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝＝AD＝BD，
∴∠A＝∠ACD，
∵∠CDA＝80°，
∴∠A＝∠ACD＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
12．若关于x的方程kx2+x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是 k≥﹣ ．
【分析】由于k的取值范围不能确定，故应分k＝0和k≠0两种情况进行解答．
【解答】解：①当k＝0时，x﹣2＝0，解得x＝2；
②当k≠0时，此方程是一元二次方程，
∵关于x的方程kx2+x﹣2＝0有实数根，
∴Δ＝12﹣4k×（﹣2）≥0，解得k≥﹣，
由①②得，k的取值范围是k≥﹣．
故答案为k≥﹣．
【点评】本题考查了根的判别式，解答此题时要注意分k＝0和k≠0两种情况进行讨论．
13．三张完全相同的卡片上分别印有平行四边形、菱形、矩形的图案，现将印有图案的一面朝下，洗匀后从中随机抽取一张，记下图案后放回，再从中随机抽取一张，则两次抽到的卡片印有的图案都是轴对称图形的概率为 ．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：分别用A、B、C表示平行四边形、菱形、矩形，
画树状图得：
共有9种等可能的结果，抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的有4种情况，
∴两次抽到的卡片印有的图案都是轴对称图形的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．若线段AB＝cm，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝ cm．
【分析】根据黄金分割点的定义，知AC是较长线段，则AC＝AB，代入数据即可得出AC的长度．
【解答】解：∵线段AB＝cm，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴AC＝AB＝×＝（cm）．
故答案为：．
【点评】此题考查了黄金分割的定义，熟记黄金分割比的值是解题的关键．
15．已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB上靠近点B的四等分点，连接EC，将线段EC绕点E旋转，交∠BAD外角的平分线于点F，若AF＝，则FG的长为 ．
【分析】过点F作FH⊥AD于H，FN⊥AM于N，由“HL”可证Rt△NFE≌Rt△BEC，可得∠BCE＝∠NEF，可证∠FEC＝90°，由勾股定理可求FC的长，通过证明△FHG∽△CDG，可得＝，即可求解．
【解答】解：过点F作FH⊥AD于H，FN⊥AM于N，设∠BAD的外角为∠MAD，
∵AF平分∠MAG，FH⊥AD，FN⊥AM，
∴∠FAH＝45°，FN＝FH，
∵FH⊥AD，
∴∠FAH＝∠AFH＝45°，
∴AH＝FH，
∴AF＝FH＝，
∴FH＝AH＝1，
∴FN＝FH＝1，
∵点E是边AB上靠近点B的四等分点，
∴BE＝1，
∴EC＝＝＝，
∵将线段EC绕点E旋转，
∴EC＝EF，
在Rt△NFE和Rt△BEC中，
，
∴Rt△NFE≌Rt△BEC（HL），
∴∠BCE＝∠NEF，
∵∠BCE+∠BEC＝90°，
∴∠BEC+∠NEF＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴CF＝EC＝，
∵∠FHG＝∠D＝90°，∠FGH＝∠CGD，
∴△FHG∽△CDG，
∴＝，
∴FG＝FC＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
三、解答题（共8题，共75分）
16．（10分）解方程：
（1）2x2﹣3x+1＝0（配方法）
（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0（因式分解法）
【分析】（1）利用配方法得到（x﹣）2＝，然后利用直接开平方法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）x2﹣x＝﹣，
x2﹣x+＝﹣+，
（x﹣）2＝，
x﹣＝±，
所以x1＝1，x2＝；
（2）（x﹣2）（x+1）＝0，
x﹣2＝0或x+1＝0，
所以x1＝2，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．
17．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣1，1），B（﹣2，0），C（0，﹣2）．
（1）以原点O为位似中心，在点O另一侧画△A'B'C'，使它与△ABC位似，且相似比为2：1，并写出点A'，B'，C'的坐标；
（2）若四边形AA'B'P是矩形，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）画出一个以点O为位似中心的△A'B'C'，使得△A'B'C'与△ABC的相似比为2：1即可．
（2）根据矩形的性质，即可直接写出．
【解答】解：（1）如图所示：点A'（2，﹣2），B'（4，0），C'（0，4）；
（2）四边形AA'B'P是矩形，点P的坐标（1，3）．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．
18．（11分）已知：如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、AC、BC分别交于点E、O、F．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB＝5，BC＝12，求菱形AFCE的面积．
【分析】（1）根据矩形性质可得AD∥BC，可得＝，根据EF是AC的垂直平分线，即可证明结论；
（2）根据勾股定理可得FC的长，进而可得菱形的面积．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴＝，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO＝OC，
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AFCE是菱形．
（2）在矩形ABCD中，∠B＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝12，
∵四边形AFCE是菱形，
∴AF＝FC，
∴BF＝BC﹣FC＝12﹣FC，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得：
AF2＝AB2+BF2，
∴FC2＝25+（12﹣FC）2，
解得FC＝，
故菱形AFCE的面积S＝FC•AB＝×5＝．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质，菱形的判定等知识点的运用，关键是根据题意推出OE＝OF，题目比较典型，难度适中．
19．（11分）小刚所在的社区为了做好应对新冠疫情的防控工作，特招募社区抗疫志愿工作者．小刚的爸爸决定报名参加，根据规定，志愿者会被随机分到A（体温检测），B（便民代购），C（环境消杀）其中一组．
（1）求小刚的爸爸被分到C组的概率；
（2）小明的爸爸也加入了该社区的志愿者队伍，请利用画树状图或列表的方法求小明的爸爸和小刚的爸爸被分到同一组的概率．
【分析】（1）根据概率公式直接得出答案；
（2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，小明的爸爸和小刚的爸爸被分到同一组的的结果数为3，再根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）P（小刚的爸爸被分到C组）＝；
（2）根据题意，画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小明的爸爸和小刚的爸爸被分到同一组的结果有3种，
∴P（小明的爸爸和小刚的爸爸被分到同一组）＝．
【点评】此题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（11分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在AC上，且∠EAD＝∠ADE．
（1）求证：△DCE∽△BCA；
（2）若AB＝3，AC＝4．求DE的长．
【分析】（1）利用已知条件易证AB∥DE，进而证明△DCE∽△BCA；
（2）首先证明AE＝DE，设DE＝x，所以CE＝AC﹣AE＝AC﹣DE＝4﹣x，利用（1）中相似三角形的对应边成比例即可求出x的值，即DE的长．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠EDA，
∵∠EAD＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴AB∥DE，
∴△DCE∽△BCA；
（2）解：∵∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
设DE＝x，
∴CE＝AC﹣AE＝AC﹣DE＝4﹣x，
∵△DCE∽△BCA，
∴DE：AB＝CE：AC，
即x：3＝（4﹣x）：4，
解得：x＝，
∴DE的长是．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度不大．
21．（11分）某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件．假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变．
（1）求四、五两个月销售量的月平均增长率；
（2）从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？
【分析】（1）由题意可得，3月份的销售量为：128件；设四、五月份销售量平均增长率为x，则4月份的销售量为：128（1+x）；5月份的销售量为：128（1+x）（1+x），又知5月份的销售量为：200件，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；
（2）利用销量×每件商品的利润＝2250求出即可．
【解答】解：（1）设四、五月份销售量平均增长率为x，则128（1+x）2＝200
解得x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（舍去）
所以四、五月份销售量平均增长率为25%；
（2）设商品降价m元，则（40﹣m﹣25）（200+5m）＝2250
解得m1＝5，m2＝﹣30（舍去）
所以商品降价5元时，商场获利2250元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
22．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一动点（点D不与点A、B重合），过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为点F，连接CD，BE．
观察猜想：
（1）在点D的运动过程中，CE与AD是否相等？请说明你的理由．
探究说理：
（2）如图2，当D运动到AB中点时，请探究下列问题：
①四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
②当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
【分析】（1）证出AC∥DE，得出四边形ADEC是平行四边形，即可得出结论；
（2）①先证出BD＝CE，得出四边形BECD是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD＝AB＝BD，即可得出四边形BECD是菱形；
②当∠A＝45°时，△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得出CD⊥AB，即可得出四边形BECD是正方形．
【解答】解：（1）CE＝AD，
∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形．
∴CE＝AD．
（2）①四边形BECD是菱形，
理由：∵D为AB中点，
∴AD＝BD＝CD．
∵CE＝AD，
∴BD＝CE．
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形．
∵BD＝CD
∴四边形BECD是菱形；
②当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．
理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
∴∠ABC＝∠A＝45°，
∴AC＝BC．
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴菱形BECD是正方形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、正方形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
河南省平顶山市新城区2021-2022学年九年级（上）期中数学试卷(解析版)
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．若3x＝2y（y≠0），则下列比例式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．x+﹣1＝0
C．3（x+2）2＝3x2﹣4x+1 D．ax2+2x＝1
3．下列选项中，矩形具有的性质是（ ）
A．四边相等
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．每条对角线平分一组对角
4．一个不透明的袋中装有黄、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外都相同，小亮通过多次摸球试验后，发现摸到黄球的频率稳定在0.35左右，则袋中黄球可能有（ ）
A．14个 B．16个 C．18个 D．20个
5．用配方法解方程x2+6x+2＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x+3）2＝7 B．（x+3）2＝11 C．（x﹣3）2＝7 D．（x﹣3）2＝11
6．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC．若AD＝20cm，BD＝12cm，CE＝9cm，那么AE的长是（ ）
A．13cm B．15cm C．16cm D．18cm
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若S菱形ABCD＝24，BD＝6，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．5 B．10 C．20 D．40
8．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．2
10．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C的对角线A1C和OB1交于点M1；以M1A1为对角线作第二个正方形A2A1B2M1，对角线A1M1和A2B2交于点M2；以M2A1为对角线作第三个正方形A3A1B3M2，对角线A1M2和A3B3交于点M3；…，依此类推，这样作第n个正方形的面积为 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠CDA＝80°，则∠A＝ ．
12．若关于x的方程kx2+x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
13．三张完全相同的卡片上分别印有平行四边形、菱形、矩形的图案，现将印有图案的一面朝下，洗匀后从中随机抽取一张，记下图案后放回，再从中随机抽取一张，则两次抽到的卡片印有的图案都是轴对称图形的概率为 ．
14．若线段AB＝cm，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝ cm．
15．已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB上靠近点B的四等分点，连接EC，将线段EC绕点E旋转，交∠BAD外角的平分线于点F，若AF＝，则FG的长为 ．
三、解答题（共8题，共75分）
16．（10分）解方程：
（1）2x2﹣3x+1＝0（配方法）
（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0（因式分解法）
17．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣1，1），B（﹣2，0），C（0，﹣2）．
（1）以原点O为位似中心，在点O另一侧画△A'B'C'，使它与△ABC位似，且相似比为2：1，并写出点A'，B'，C'的坐标；
（2）若四边形AA'B'P是矩形，请直接写出点P的坐标．
18．（11分）已知：如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、AC、BC分别交于点E、O、F．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB＝5，BC＝12，求菱形AFCE的面积．
19．（11分）小刚所在的社区为了做好应对新冠疫情的防控工作，特招募社区抗疫志愿工作者．小刚的爸爸决定报名参加，根据规定，志愿者会被随机分到A（体温检测），B（便民代购），C（环境消杀）其中一组．
（1）求小刚的爸爸被分到C组的概率；
（2）小明的爸爸也加入了该社区的志愿者队伍，请利用画树状图或列表的方法求小明的爸爸和小刚的爸爸被分到同一组的概率．
20．（11分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在AC上，且∠EAD＝∠ADE．
（1）求证：△DCE∽△BCA；
（2）若AB＝3，AC＝4．求DE的长．
21．（11分）某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件．假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变．
（1）求四、五两个月销售量的月平均增长率；
（2）从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？
22．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一动点（点D不与点A、B重合），过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为点F，连接CD，BE．
观察猜想：
（1）在点D的运动过程中，CE与AD是否相等？请说明你的理由．
探究说理：
（2）如图2，当D运动到AB中点时，请探究下列问题：
①四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
②当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
2021-2022学年河南省平顶山市新城区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．若3x＝2y（y≠0），则下列比例式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、由＝得，2x＝3y，故本选项比例式不成立；
B、由＝得，2x＝3y，故本选项比例式不成立；
C、由＝得，xy＝6，故本选项比例式不成立；
D、由＝得，3x＝2y，故本选项比例式成立．
故选：D．
【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，熟记性质是解题的关键．
2．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．x+﹣1＝0
C．3（x+2）2＝3x2﹣4x+1 D．ax2+2x＝1
【分析】依据一元二次方程的定义进行判断即可．
【解答】解：A、是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意；
B、是关于x的分式方程，故本选项不符合题意；
C、方程整理为16x＝﹣11，是关于x的一元一次方程，故本选项不符合题意；
D、当a＝0时是关于x的一元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查的是一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
3．下列选项中，矩形具有的性质是（ ）
A．四边相等
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．每条对角线平分一组对角
【分析】根据矩形的性质可判断．
【解答】解：∵矩形的对边平行且相等，对角线互相平分且相等，
∴选项C正确
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是本题的关键．
4．一个不透明的袋中装有黄、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外都相同，小亮通过多次摸球试验后，发现摸到黄球的频率稳定在0.35左右，则袋中黄球可能有（ ）
A．14个 B．16个 C．18个 D．20个
【分析】利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为0.35，然后根据概率公式计算即可．
【解答】解：设袋子中黄球有x个，
根据题意，得：＝0.35，
解得：x＝14，
即布袋中黄球可能有14个，
故选：A．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
5．用配方法解方程x2+6x+2＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x+3）2＝7 B．（x+3）2＝11 C．（x﹣3）2＝7 D．（x﹣3）2＝11
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤计算即可．
【解答】解：∵x2+6x+2＝0，
∴x2+6x＝﹣2，
∴x2+6x+9＝﹣2+9，即（x+3）2＝7，
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC．若AD＝20cm，BD＝12cm，CE＝9cm，那么AE的长是（ ）
A．13cm B．15cm C．16cm D．18cm
【分析】根据平行线分线段成比例，可以求得AE的长．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
∵AD＝20cm，BD＝12cm，CE＝9cm，
∴，
∴AE＝15cm，
故选：B．
【点评】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若S菱形ABCD＝24，BD＝6，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．5 B．10 C．20 D．40
【分析】根据菱形的面积得出AC，进而利用勾股定理得出AB即可．
【解答】解：∵S菱形ABCD＝24，BD＝6，
∴，
∴OB＝＝＝3，OA＝＝4，
∴AB＝，
∴菱形ABCD的周长＝20，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键．
8．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【分析】对于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，设t＝x﹣1得到at2+bt+2＝0，利用at2+bt+2＝0有一个根为t＝2021得到x﹣1＝2021，从而可判断一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2必有一根为x＝2022．
【解答】解：对于一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2即a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，
设t＝x﹣1，
所以at2+bt+2＝0，
而关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，
所以at2+bt+2＝0有一个根为t＝2021，
则x﹣1＝2021，
解得x＝2022，
所以一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为x＝2022．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．2
【分析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．
【解答】解：如图：
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2＝CE．
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF．
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．
∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝1．
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．
∴∠DP2P1＝90°．
∴∠DP1P2＝45°．
∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值为BP1的长．
在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝1．
∴BP1＝．
∴PB的最小值是．
故选：C．
【点评】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．
10．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C的对角线A1C和OB1交于点M1；以M1A1为对角线作第二个正方形A2A1B2M1，对角线A1M1和A2B2交于点M2；以M2A1为对角线作第三个正方形A3A1B3M2，对角线A1M2和A3B3交于点M3；…，依此类推，这样作第n个正方形的面积为 （ ）
A． B． C． D．
【分析】根据正方形的性质找出M1、M2、M3的坐标，据此求得前四个正方形的面积，从而得到面积的变化规律，从而得解．
【解答】解：∵正方形OA1B1C的边长为1，对角线A1C和OB1交于点M1，
∴第一个正方形的面积为1，点M1（，），
则第二个正方形的面积为；
∵以A1M1为对角线作第二个正方形A2A1B2M1，对角线A1M1和A2B2交于点M2，
∴点M2（，），
则第三个正方形的面积为（1﹣）2＝＝；
∵以A1M2为对角线作第三个正方形A3A1B3M2，对角线A1M2和A3B3交于点M3，
∴M3（，），
则第四个正方形的面积为（1﹣）2＝＝，
……
所以第n个正方形的面积为，
故选：C．
【点评】本题考查了规律型中点的坐标以及正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的性质．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠CDA＝80°，则∠A＝ 50° ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质可以求得∠A的度数，本题得以解决．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝＝AD＝BD，
∴∠A＝∠ACD，
∵∠CDA＝80°，
∴∠A＝∠ACD＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
12．若关于x的方程kx2+x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是 k≥﹣ ．
【分析】由于k的取值范围不能确定，故应分k＝0和k≠0两种情况进行解答．
【解答】解：①当k＝0时，x﹣2＝0，解得x＝2；
②当k≠0时，此方程是一元二次方程，
∵关于x的方程kx2+x﹣2＝0有实数根，
∴Δ＝12﹣4k×（﹣2）≥0，解得k≥﹣，
由①②得，k的取值范围是k≥﹣．
故答案为k≥﹣．
【点评】本题考查了根的判别式，解答此题时要注意分k＝0和k≠0两种情况进行讨论．
13．三张完全相同的卡片上分别印有平行四边形、菱形、矩形的图案，现将印有图案的一面朝下，洗匀后从中随机抽取一张，记下图案后放回，再从中随机抽取一张，则两次抽到的卡片印有的图案都是轴对称图形的概率为 ．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：分别用A、B、C表示平行四边形、菱形、矩形，
画树状图得：
共有9种等可能的结果，抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的有4种情况，
∴两次抽到的卡片印有的图案都是轴对称图形的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．若线段AB＝cm，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝ cm．
【分析】根据黄金分割点的定义，知AC是较长线段，则AC＝AB，代入数据即可得出AC的长度．
【解答】解：∵线段AB＝cm，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴AC＝AB＝×＝（cm）．
故答案为：．
【点评】此题考查了黄金分割的定义，熟记黄金分割比的值是解题的关键．
15．已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB上靠近点B的四等分点，连接EC，将线段EC绕点E旋转，交∠BAD外角的平分线于点F，若AF＝，则FG的长为 ．
【分析】过点F作FH⊥AD于H，FN⊥AM于N，由“HL”可证Rt△NFE≌Rt△BEC，可得∠BCE＝∠NEF，可证∠FEC＝90°，由勾股定理可求FC的长，通过证明△FHG∽△CDG，可得＝，即可求解．
【解答】解：过点F作FH⊥AD于H，FN⊥AM于N，设∠BAD的外角为∠MAD，
∵AF平分∠MAG，FH⊥AD，FN⊥AM，
∴∠FAH＝45°，FN＝FH，
∵FH⊥AD，
∴∠FAH＝∠AFH＝45°，
∴AH＝FH，
∴AF＝FH＝，
∴FH＝AH＝1，
∴FN＝FH＝1，
∵点E是边AB上靠近点B的四等分点，
∴BE＝1，
∴EC＝＝＝，
∵将线段EC绕点E旋转，
∴EC＝EF，
在Rt△NFE和Rt△BEC中，
，
∴Rt△NFE≌Rt△BEC（HL），
∴∠BCE＝∠NEF，
∵∠BCE+∠BEC＝90°，
∴∠BEC+∠NEF＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴CF＝EC＝，
∵∠FHG＝∠D＝90°，∠FGH＝∠CGD，
∴△FHG∽△CDG，
∴＝，
∴FG＝FC＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
三、解答题（共8题，共75分）
16．（10分）解方程：
（1）2x2﹣3x+1＝0（配方法）
（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0（因式分解法）
【分析】（1）利用配方法得到（x﹣）2＝，然后利用直接开平方法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）x2﹣x＝﹣，
x2﹣x+＝﹣+，
（x﹣）2＝，
x﹣＝±，
所以x1＝1，x2＝；
（2）（x﹣2）（x+1）＝0，
x﹣2＝0或x+1＝0，
所以x1＝2，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．
17．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣1，1），B（﹣2，0），C（0，﹣2）．
（1）以原点O为位似中心，在点O另一侧画△A'B'C'，使它与△ABC位似，且相似比为2：1，并写出点A'，B'，C'的坐标；
（2）若四边形AA'B'P是矩形，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）画出一个以点O为位似中心的△A'B'C'，使得△A'B'C'与△ABC的相似比为2：1即可．
（2）根据矩形的性质，即可直接写出．
【解答】解：（1）如图所示：点A'（2，﹣2），B'（4，0），C'（0，4）；
（2）四边形AA'B'P是矩形，点P的坐标（1，3）．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．
18．（11分）已知：如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、AC、BC分别交于点E、O、F．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB＝5，BC＝12，求菱形AFCE的面积．
【分析】（1）根据矩形性质可得AD∥BC，可得＝，根据EF是AC的垂直平分线，即可证明结论；
（2）根据勾股定理可得FC的长，进而可得菱形的面积．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴＝，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO＝OC，
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AFCE是菱形．
（2）在矩形ABCD中，∠B＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝12，
∵四边形AFCE是菱形，
∴AF＝FC，
∴BF＝BC﹣FC＝12﹣FC，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得：
AF2＝AB2+BF2，
∴FC2＝25+（12﹣FC）2，
解得FC＝，
故菱形AFCE的面积S＝FC•AB＝×5＝．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质，菱形的判定等知识点的运用，关键是根据题意推出OE＝OF，题目比较典型，难度适中．
19．（11分）小刚所在的社区为了做好应对新冠疫情的防控工作，特招募社区抗疫志愿工作者．小刚的爸爸决定报名参加，根据规定，志愿者会被随机分到A（体温检测），B（便民代购），C（环境消杀）其中一组．
（1）求小刚的爸爸被分到C组的概率；
（2）小明的爸爸也加入了该社区的志愿者队伍，请利用画树状图或列表的方法求小明的爸爸和小刚的爸爸被分到同一组的概率．
【分析】（1）根据概率公式直接得出答案；
（2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，小明的爸爸和小刚的爸爸被分到同一组的的结果数为3，再根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）P（小刚的爸爸被分到C组）＝；
（2）根据题意，画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小明的爸爸和小刚的爸爸被分到同一组的结果有3种，
∴P（小明的爸爸和小刚的爸爸被分到同一组）＝．
【点评】此题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（11分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在AC上，且∠EAD＝∠ADE．
（1）求证：△DCE∽△BCA；
（2）若AB＝3，AC＝4．求DE的长．
【分析】（1）利用已知条件易证AB∥DE，进而证明△DCE∽△BCA；
（2）首先证明AE＝DE，设DE＝x，所以CE＝AC﹣AE＝AC﹣DE＝4﹣x，利用（1）中相似三角形的对应边成比例即可求出x的值，即DE的长．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠EDA，
∵∠EAD＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴AB∥DE，
∴△DCE∽△BCA；
（2）解：∵∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
设DE＝x，
∴CE＝AC﹣AE＝AC﹣DE＝4﹣x，
∵△DCE∽△BCA，
∴DE：AB＝CE：AC，
即x：3＝（4﹣x）：4，
解得：x＝，
∴DE的长是．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度不大．
21．（11分）某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件．假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变．
（1）求四、五两个月销售量的月平均增长率；
（2）从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？
【分析】（1）由题意可得，3月份的销售量为：128件；设四、五月份销售量平均增长率为x，则4月份的销售量为：128（1+x）；5月份的销售量为：128（1+x）（1+x），又知5月份的销售量为：200件，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；
（2）利用销量×每件商品的利润＝2250求出即可．
【解答】解：（1）设四、五月份销售量平均增长率为x，则128（1+x）2＝200
解得x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（舍去）
所以四、五月份销售量平均增长率为25%；
（2）设商品降价m元，则（40﹣m﹣25）（200+5m）＝2250
解得m1＝5，m2＝﹣30（舍去）
所以商品降价5元时，商场获利2250元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
22．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一动点（点D不与点A、B重合），过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为点F，连接CD，BE．
观察猜想：
（1）在点D的运动过程中，CE与AD是否相等？请说明你的理由．
探究说理：
（2）如图2，当D运动到AB中点时，请探究下列问题：
①四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
②当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
【分析】（1）证出AC∥DE，得出四边形ADEC是平行四边形，即可得出结论；
（2）①先证出BD＝CE，得出四边形BECD是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD＝AB＝BD，即可得出四边形BECD是菱形；
②当∠A＝45°时，△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得出CD⊥AB，即可得出四边形BECD是正方形．
【解答】解：（1）CE＝AD，
∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形．
∴CE＝AD．
（2）①四边形BECD是菱形，
理由：∵D为AB中点，
∴AD＝BD＝CD．
∵CE＝AD，
∴BD＝CE．
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形．
∵BD＝CD
∴四边形BECD是菱形；
②当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．
理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
∴∠ABC＝∠A＝45°，
∴AC＝BC．
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴菱形BECD是正方形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、正方形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
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