高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板17 统计与概率（解析版）

这是一份高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板17 统计与概率（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

模板17统计与概率
专项练习
一、单选题
1.如图，在圆心角为直角的扇形 OAH 中，分别以 OA ， OH 为直径作两个半圆，在扇形 OAH 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（    ）

A. 1π                                       B. 12                                       C. π-42π                                       D. π-2π
【答案】 D
【考点】几何概型
【解析】如图，题中阴影部分的面积可转化为下面右图的阴影部分的面积，
设扇形 OAH 的半径为 r ，
 
则此点取自阴影部分的概率 P=14πr2-12r214πr2=π-2π .
故答案为：D.
2.某中学为了调查该校学生对于新冠肺炎防控的了解情况，组织了一次新冠肺炎防控知识竞赛，并从该学校1500名参赛学生中随机抽取了100名学生，并统计了这100名学生成绩情况（满分100分，其中80分及以上为优秀），得到了样本频率分布直方图（如图），根据频率分布直方图推测，这1500名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约为（    ）

A. 360                                      B. 420                                      C. 480                                      D. 540
【答案】 B
【考点】频率分布直方图
【解析】由频率分布直方图可得样本中优秀的频率为 (0.02+0.008)×10=0.28 ，
则这1500名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约为 1500×0.28=420 .
故答案为：B.
3.北京冬奥会将于2022年2月4日到20日在北京和张家口举行．为纪念申奥成功，中国邮政发行《北京申办2022年冬奥会成功纪念》邮票，图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”．现从一套5枚邮票中任取3枚，则恰有1枚吉祥物邮票的概率为（    ）
A. 310                                       B. 12                                       C. 35                                       D. 710
【答案】 C
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】解：从一套5枚邮票中任取3枚的不同取法有 C53=10 种，
恰有1枚吉祥物邮票的情况有 C31⋅C21=6 种，
则恰有1枚吉祥物邮票的概率 610=35 ，
故答案为：C
4.设一组样本数据x1 ， x2 ， …，xn的方差为0.01，则数据10x1 ， 10x2 ， …，10xn的方差为（    ）
A. 0.01                                        B. 0.1                                        C. 1                                        D. 10
【答案】 C
【考点】极差、方差与标准差
【解析】因为数据 axi+b，(i=1,2,⋯,n) 的方差是数据 xi，(i=1,2,⋯,n) 的方差的 a2 倍，
所以所求数据方差为 102×0.01=1
故答案为：C
5.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（    ）
A. 10名                                    B. 18名                                    C. 24名                                    D. 32名
【答案】 B
【考点】概率的应用
【解析】由题意，第二天新增订单数为 500+1600-1200=900 ，
故需要志愿者 90050=18 名.
故答案为：B
6.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位： mm ），将所得数据分为9组： [5.31,5.33),[5.33,5.35),⋯,[5.45,5.47],[5.47,5.49] ，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间 [5.43,5.47) 内的个数为（    ）

A. 10                                         B. 18                                         C. 20                                         D. 36
【答案】 B
【考点】频率分布直方图，用样本的频率分布估计总体分布
【解析】根据直方图，直径落在区间 [5.43,5.47) 之间的零件频率为： (6.25+5.00)×0.02=0.225 ，
则区间 [5.43,5.47) 内零件的个数为： 80×0.225=18 .
故答案为：B.
7.2010-2018年之间，受益于基础设施建设对光纤产品的需求，以及个人计算机及智能手机的下一代规格升级，电动汽车及物联网等新机遇，连接器行业增长呈现加速状态．根据该折线图，下列结论正确的个数为（    ）

①每年市场规模量逐年增加；②增长最快的一年为2013～2014；③这8年的增长率约为40％；④2014年至2018年每年的市场规模相对于2010年至2014年每年的市场规模，数据方差更小，变化比较平稳
A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4
【答案】 C
【考点】极差、方差与标准差，随机抽样和样本估计总体的实际应用
【解析】考查所给的结论：
①2011-2012年的市场规模量有所下降，该说法错误；
②增长最快的一年为2013～2014，该说法正确；
③这8年的增长率约为 63.5-45.345.3≈ 40％，该说法正确；
④2014年至2018年每年的市场规模相对于2010年至2014年每年的市场规模，数据方差更小，变化比较平稳，该说法正确.
综上可得：正确的结论有3个.
故选：C.
8.一个单位有职工80人，其中业务人员56人，管理人员8人，服务人员16人，为了解职工的某种情况，决定采取分层抽样的方法。抽取一个容量为10的样本，每个管理人员被抽到的概率为（     ）
A. 180                                        B. 124                                        C. 18                                        D. 14
【答案】 C
【考点】分层抽样方法，等可能事件的概率
【解析】因为了解职工的某种情况，故采用分层抽样方法较宜，在各个部门算出需要抽取的人数，根据做出的人数，再分别做出每个部门的人，被抽到的概率，结果相等．
因为了解职工的某种情况，故采用分层抽样方法．
∵=， 即每个个体被抽到的概率都是 =， 因分层抽样方法每个个体被抽到的概率都相等，每个管理人员被抽到的概率为
故选C．
二、多选题
9.有一组样本数据x1 ， x2,…,xn,由这组数据得到新样本数据y1 ， y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c为非零常数，则（   ）
A. 两组样本数据的样本平均数相同                         B. 两组样本数据的样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差相同                         D. 两组样本数据的样本极差相同
【答案】 C,D
【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差
【解析】解：对于A，x=x1+x2+⋯+xnn，y=y1+y2+⋯+ynn=x1+x2+⋯+xnn+c=x+c ， 因为c≠0，所以x≠y ， 故A错误；
对于B，若x1,x2,……,xn的中位数为xk ， 因为yi=xi+c，因为c≠0，所以y1,y2,……,yn的中位数为yk=xk+c≠xk ， 故B错误；
对于C，y1,y2,……,yn的标准差为Sy=1ny1-y2+y2-y2+⋯yn-y2=1nx1+c-x+c2+x2+c-x+c2+⋯xn+c-x+c2
=1nx1-y2+x2-y2+⋯xn-y2=Sx ， 故C正确；
对于D，设样本数据x1,x2,……,xn中的最大为xn ， 最小为x1,因为yi=xi+c，所以y1,y2,……,yn中的最大为yn ， 最小为y1,
极差为yn-y1=(xn+c)-(x1+c)=xn-x1 ， 故D正确.故答案为：CD
10.某工厂组织员工进行专业技能比赛，下图是7位评委对甲、乙两位员工评分（满分10分）的雷达图．根据图中信息，下列说法正确的是（    ）

A. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数                  B. 甲得分的众数大于乙得分的众数
C. 甲得分的平均数与乙得分的平均数相等               D. 甲得分的极差小于乙得分的极差
【答案】 C,D
【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差
【解析】由雷达图可知，甲的得分从小到大排列依次是8.8，9.1，9.3，9.5，9.5，9.7，9.9；乙的得分从小到大排列依次是8.5，8.9，9.4，9.6，9.6，9.8，10.
甲得分的中位数为9.5，乙得分的中位数为9.6， 9.5<9.6 ，A不符合题意；
甲得分的众数为9.5，乙得分的众数9.6， 9.5<9.6 ，B不符合题意；
甲得分的平均数为 8.8+9.1+9.3+9.5+9.5+9.7+9.97=9.4 ，乙得分的平均数 8.5+8.9+9.4+9.6+9.6+9.8+107=9.4 ，平均数相等，C符合题意；
甲得分的极差为 9.9-8.8=1.1 ，乙得分的极差 10-8.5=1.5 ， 1.1<1.5 ，D符合题意.
故答案为：CD.
11.某鱼业养殖场新进1000尾鱼苗，测量其体长(单位：毫米)，将所得数据分成6组，其分组及频数情况如下表：
分组(单位：毫米)
[70,75)
[75,80)
[80,85)
[85,90)
[90,95)
[95,100)
频数
100
100
m
350
150
n
已知在按以上6个分组做出的频率分布直方图中， [95,100) 分组对应小矩形的高为 0.01 ，则下列说法正确的是（    ）
A. m=250
B. 鱼苗体长在 [90,100) 上的频率为 0.16
C. 鱼苗体长的中位数一定落在区间 [85,90) 内
D. 从这批鱼苗中有放回地连续抽取50次，每次一条，则所抽取鱼苗体长落在区间 [80,90) 上的次数的期望为30
【答案】 A,C,D
【考点】频率分布直方图，离散型随机变量的期望与方差
【解析】因为 [95,100) 分组对应小矩形的高为0.01，组距为5，
所以 [95,100) 分组对应的频率为 0.01×5=0.05 ， n=1000×0.05=50 ，
则 m=1000-100-100-350-150-50=250 ，A符合题意，
鱼苗体长在 [90,100) 上的频率为 150+501000=0.2 ，B不符合题意，
因为鱼的总数为 1000 ， 100+100+250=450 ， 100+100+250+350=800 ，
所以鱼苗体长的中位数一定落在区间 [85,90) 内，C符合题意，
由表中数据易知，鱼苗体长落在区间 [80,90) 上的概率 P=250+3501000=0.6 ，
设所抽取鱼苗体长落在区间 [80,90) 上的次数为X，
则X服从二项分布，即 X∼B(50,0.6) ，
则 E(X)=50×0.6=30 ，D符合题意，
故答案为：ACD.
12.下列说法中正确的是（   ）
A.将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变
B.回归直线 y=bx+a 恒过样本点的中心 (x,y) ，且至少过一个样本点      
C.用相关指数 R2 来刻画回归效果时， R2 越接近1，说明模型的拟合效果越好  
D.在 2×2 列联表中， |ad-bc| 的值越大，说明两个分类变量之间的关系越弱  
【答案】 A,C
【考点】极差、方差与标准差，线性回归方程，独立性检验的基本思想
【解析】解：根据方差公式，可知将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变．故A正确；回归直线 y=bx+a 恒过样本点的中心 (x,y) ，不一定过任一样本点， ∴B 错误；用相关指数 R2 来刻画回归效果， R2 越接近1，说明模型的拟合效果越好， ∴C 正确；在 2×2 列联表中， |ad-bc| 越大，说明两个分类变量之间的关系越强，故D错误；
故答案为：AC．
三、填空题
13.甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 56 和 15 ，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为________ ．
【答案】 23；2027
【考点】相互独立事件的概率乘法公式，n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】解：由题意知在一次活动中，甲获胜的概率为56×45=23 ，
则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为C32×232×13+233=2027
故答案为：23，2027
14.一个袋子中有形状和大小完全相同的3个白球与2个黑球，每次从中取出一个球，取到白球得2分，取到黑球得3分.甲从袋子中有放回地依次取出3个球，则甲三次都取到白球的概率为________，甲总得分是7的概率为________.
【答案】 27125；54125
【考点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】甲从袋中取出白球的概率为 35 ，取出黑球的概率为 25 ，所以甲从袋子中有放回地依次取出3个球，三次都取到白球的概率为 35×35×35=27125 ，
甲总得分是7的组合为取出2次白球1次黑球，概率为 C31×35×35×25=54125 ，
故答案为： 27125 ； 54125。
15.下图是国家统计局发布的2020年2月至2021年2月全国居民消费价格涨跌幅折线图；则给出下列三个结论：①2020年11月居民消费价格低于2019年同期；②2020年3月至7月居民的消费价格持续增长；③2020年7月的消费价格低于2020年3月的消费价格.其中所有正确结论的序号是________.

说明：⒈在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2021年2月与2020年2月相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2020年4月与2020年3月相比较.
⒉同比增长率= 本期数-同期数同期数 ×100% ，环比增长率= 本期数-上期数上期数 ×100% .
【答案】 ①③
【考点】频率分布折线图、密度曲线，随机抽样和样本估计总体的实际应用
【解析】对于①：由图可知2020年11月同比增长率为-0.5，由同比增长率的计算公式可得，2020年11月居民消费价格低于2019年同期，故①正确；
对于②：由图可知，2020年3月至6月的环比增长率为负，由环比增长率的计算公式可得消费价格下降，故②错误；
对于③：设2020年3月居民消费价格为 a3 ，4月消费价格为 a4 ，5月消费价格为 a5 ，6月消费价格为 a6 ，7月消费价格为 a7 ，
由题意得： a4-a3a3×100%=-0.9% ，解得 a4=0.991a3 ，
a5-a4a4×100%=a5-0.991a30.991a3×100%=-0.8% ，解得 a5≈0.983a3 ，
a6-a5a5×100%=a6-0.983a30.983a3×100%=-0.1% ，解得 a6≈0.982a3 ，
a7-a6a6×100%=a7-0.982a30.982a3×100%=0.6% ，解得 a7≈0.988a3 ，
所以 a7 所以2020年7月消费价格低于2020年3月消费价格，故③正确.
故答案为：①③
16.我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，科学决策，在全市随机抽取了100位居民某年的月均用水量(单位：t)得到如图所示的频率分布直方图，在统计中我们定义一个分布的 α 分位数为满足 P(X≥zα)=1-α 的 zα ，则估计本例中 z0.85= ________.

【答案】 2.8
【考点】频率分布直方图
【解析】由题意可知： z0.85 就是满足 P(X≥z0.85)=0.15 的横坐标的值，
因为 [4,4.5] 对应的频率为 0.04×0.5=0.02 ，
[3.5,4) 对应的频率为 0.06×0.5=0.03 ，
[3,3.5) 对应的频率为 0.10×0.5=0.05 ，
[2.5,3) 对应的频率为 0.25×0.5=0.125 ，
所以 z0.85 落在 [2.5,3) 内，设 z0.85 距离 3 的距离为 x ，
所以 0.02+0.03+0.05+0.25x=0.15 ，所以 x=0.2 ，
所以 z0.85=3-0.2=2.8 ，
故答案为：2.8.
四、解答题
17.“2021年全国城市节约用水宣传周”已于5月9日至15日举行.成都市围绕“贯彻新发展理念，建设节水型城市”这一主题，开展了形式多样，内容丰富的活动，进一步增强全民保护水资源，防治水污染，节约用水的意识.为了解活动开展成效，某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了300名业主进行节约用水调查评分，将得到的分数分成6组： [70,75) ， [75,80) ， [80,85) ， [85,90) ， [90,95) ， [95,100] ，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求 a 的值，并估计这300名业主评分的中位数；
（2）若先用分层抽样的方法从评分在 [90,95) 和 [95,100] 的业主中抽取5人，然后再从抽出的这5位业主中任意选取2人作进一步访谈，求这2人中至少有1人的评分在 [95,100] 的概率.
【答案】 （1）∵ 第三组的频率为 1-(0.020+0.025+0.030+0.035+0.050)×5=0.200 ，
∴a=0.2005=0.040
又第一组的频率为 0.025×5=0.125 ，第二组的频率为 0.035×5=0.175 ，第三组的频率为 0.200 .
∴ 前三组的频率之和为 0.125+0.175+0.200=0.500 ，
∴ 这300名业主评分的中位数为85.
（2）由频率分布直方图，知评分在 [90,95) 的人数与评分在 [95,100] 的人数的比值为 3:2 .
∴ 采用分层抽样法抽取5人，评分在 [90,95) 的有3人，评分在 [95,100] 有2人.
不妨设评分在 [90,95) 的3人分别为 A1,A2,A3 ；评分在 [95,100] 的2人分别为 B1, B2 ，
则从5人中任选2人的所有可能情况有：
{A1,A2} ， {A1,A3} ， {A1,B1} ， {A1,B2} ， {A2,A3} ， {A2,B1} ， {A2,B2} ， {A3,B1} ， {A3,B2} ， {B1,B2} 共10种.
其中选取的2人中至少有1人的评分在 [95,100] 的情况有：
{A1,B1} ， {A1,B2} ， {A2,B1} ， {A2,B2} ， {A3,B1} ， {A3,B2} ， {B1,B2} 共 7 种.
故这2人中至少有1人的评分在 [95,100] 的概率为 P=710 .
【考点】频率分布直方图，列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】（1）所有小矩形的面积之和为1，求出a，再利用面积和为0.5对应的数为中位数即可得解；
（2）由频率分布直方图，知评分在 [90,95) 的有3人，评分在 [95,100] 有2人，利用列举法求出事件发生的概率。
18.  甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附： K2=n(ad-bc)2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）

【答案】 （1）（1）由题意可知：甲机床生产的产品中一级品的频率是： 150200=34
乙机床生产的产品中一级品的频率是： 120200=35

（2）由于 K2=400+(150×80-50×120)2270×130×200×200=40039≈10.256>6.635
所以，有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异。
【考点】频率分布表，独立性检验，独立性检验的应用
【解析】（1）根据频率=频数/总体直接求解即可；
（2）根据独立性检验的方法直接求解即可.
19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 12 ，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
【答案】 （1）解：记事件M:甲连胜四场，则 P(M)=(12)4=116 ；
（2）解：记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，
则四局内结束比赛的概率为
P'=P(ABAB)+P(ACAC)+P(BCBC)+P(BABA)=4×(12)4=14 ，
所以，需要进行第五场比赛的概率为 P=1-P'=34 ；
（3）解：记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，
记事件M:甲赢，记事件N:丙赢，
则甲赢的基本事件包括： BCBC 、 ABCBC 、 ACBCB 、
BABCC 、 BACBC 、 BCACB 、 BCABC 、 BCBAC ，
所以，甲赢的概率为 P(M)=(12)4+7×(12)5=932 .
由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，
所以丙赢的概率为 P(N)=1-2×932=716 .
【考点】相互独立事件的概率乘法公式，列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率；（2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率.
20.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn ， 恰有2个黑球的概率为pn ， 恰有1个黑球的概率为qn ．
（1）求p1·q1和p2·q2；
（2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示) ．
【答案】 （1）解： p1=1×33×3=13,q1=2×33×3=23 ，
p2=p1×1×33×3+q1×1×23×3=13×13+23×29=727 ，
q2=p1×2×33×3+q1×1×1+2×23×3+0=23×23+23×59=1627 .
（2）解： pn=pn-1×1×33×3+qn-1×1×23×3=13pn-1+29qn-1 ，
qn=pn-1×2×33×3+qn-1×1×1+2×23×3+(1-pn-1-qn-1)×3×23×3=-19qn-1+23 ，
因此 2pn+qn=23pn-1+13qn-1+23 ，
从而 2pn+qn=13(2pn-1+qn-1)+23,∴2pn+qn-1=13(2pn-1+qn-1-1) ，
即 2pn+qn-1=(2p1+q1-1)13n-1,∴2pn+qn=1+13n .
又 Xn 的分布列为
  Xn
0
1
2
P  
1-pn-qn  
qn  
pn  
故 E(Xn)=2pn+qn=1+13n .
【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量的期望与方差
【解析】（1）直接根据操作，根据古典概型概率公式可得结果；（2）根据操作，依次求 pn，qn ，即得递推关系，构造等比数列求得 2pn+qn ，最后根据数学期望公式求结果.
21.为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同。经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：

记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70.
（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；
（2）分别估计甲，乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
【答案】 （1）解：由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35．
b=1–0.05–0.15–0.70=0.10．
（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为
2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．
乙离子残留百分比的平均值的估计值为
3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．
【考点】频率分布直方图，众数、中位数、平均数
【解析】（1）由已知利用频率分布直方图，百分比不低于5.5的估计值为0.70列式，即可求出a，b的值；（2）由频率分布直方图平均数的计算公式，利用区间的中点值为代表列式，即可求出平均值.
22.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变。近年来，移动支付已成为主要支付方式之一。为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
支付金额（元）
支付方式
（0，1000]
（1000，2000]
大于2000
仅使用A
18人
9人
3人
仅使用B
10人
14人
1人
（I）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；
（II）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；
（III）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化。现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元，根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.
【答案】 解：（I）抽取的100人中，A，B两种支付方式都使用的人数为100-5-18-9-3-10-14-1=40，
设A，B两种支付方式都使用为事件A，则P（A）= 40100=25 ，
即A，B两种支付方式都使用的概率为 25 ；
（II）X的可能取值为0,1,2；
其中P（X=0）= 35×25=625 ，P（X=1）= 35×35+25×25=1325 ,
P（X=2）= 25×35=625 ，
所以分布列为
X
0
1
2
P
625
1325
625
（III）不能认为样本仅使用A支付的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，因为概率是在大量重复试验下得到的一个预测结合，不能确定是不是一定发生。
【考点】用样本的频率分布估计总体分布，古典概型及其概率计算公式
【解析】（I）求出相应的人数，结合古典概型求出相应的概率即可；
（II）求出离散型随机变量X的可能取值和相应的概率，即可得到相应的分布列；
（III）根据概率的含义，从统计的角度进行分析即可.