高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板16 空间向量与立体几何专项练习 （解析版）

这是一份高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板16 空间向量与立体几何专项练习 （解析版），共28页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
模板16空间向量与立体几何
专项练习
一、单选题
1.如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1 中， AC⊥BC,BC=3,AC=4,CC1=3 ，点P在棱 AA1 上，且三棱锥A-PBC的体积为4，则直线 BC1 与平面PBC所成角的正弦值等于(   )

A.104 B.64 C.105 D.155
【答案】 C
【考点】用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】解法一  由已知可得 AA1⊥ 底面ABC，且 AC⊥BC ，所以 V三棱锥A-PBC=V三棱锥P-ABC=13×S△ABC×PA=13×12×3×4×PA=4 ，解得 PA=2 .在平面 ACC1A1 内，过点 C1 作 C1H⊥PC ，垂足为H，如图.由 CC1⊥ 底面ABC，可得 CC1⊥BC ，又 AC⊥BC,AC∩CC1=C ，所以 BC⊥ 平面 ACC1A1 ，所以 BC⊥C1H ，又 C1H⊥PC,PC∩BC=C ，所以 C1H⊥ 平面PBC，连接BH，

故 ∠C1BH 就是直线 BC1 与平面PBC所成的角.在矩形 ACC1A1 中， CP=CA2+AP2=42+22=25,sin∠C1CH=cos∠PCA= ACCP=425=25 ，故 C1H=CC1sin∠C1CH=3×25=65 .在 Rt△BC1H 中， sin∠C1BH=C1HBC1=6532=105 ，所以直线 BC1 与平面PBC所成角的正弦值等于 105 .故答案为：C.
解法二  由已知可得 AA1⊥ 底面ABC，且 AC⊥BC ，所以 V三棱锥A-PBC=V三棱锥P-ABC=13×S△ABC×PA=13×12×3×4×PA=4 ，解得 PA=2 .如图，以C为坐标原点，分别以 CB,CA,CC1 的方向为 x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则 C(0,0,0),P(0,4,2),B(3,0,0),C1(0,0,3) ，则 CB=(3,0,0),CP=(0,4,2),BC1=(-3,0,3) .设平面PBC的法向量为 n=(x,y,z) ，则 {n⊥CBn⊥CP ，可得 {n⋅CB=3x=0n⋅CP=4y+2z=0 ，即 {x=02y+z=0 ，令 y=1 ，得 z=-2 ，所以 n=(0,1,-2) 为平面PBC的一个法向量.设直线 BC1 与平面PBC所成的角为  θ  ，则 sinθ=|cos〈n,BC1〉|=|n⋅BC1||n|⋅|BC1|=|-6|(-3)2+32×12+(-2)2=105 .
故答案为：C.
2.如图，三棱锥 V-ABC 的底面ABC是正三角形，侧棱长均相等，P是棱 VA 上的点（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为 α ，二面角 P-AC-B 的平面角为 β ，则 α+β 不可能是(    )

A. 3π4                                        B. 2π3                                        C. π2                                        D. π3
【答案】 D
【考点】直线与平面所成的角，二面角的平面角及求法
【解析】如图，由题意，三棱锥 V-ABC 为正三棱锥，

过 P 作 PE//AC ，则 ∠BPE 为直线PB与直线AC所成角为 α ，
当P无限靠近A时， ∠PBE 无限接近 π3 ，但小于 π3 ，则 ∠BPE=∠BEP=α>π3 .
当棱锥的侧棱无限长，P无限靠近V时， α 无限趋于 π2 但小于 π2 ；
二面角 P-AC-B 的平面角为 β ，即 V-AC-B 的平面角为 β ，
由三棱锥存在，得 β>0 ，随着棱长无限增大， β 无限趋于 π2 .
∴α+β∈(π3,π) .
则 α+β 不可能是 π3 .
故答案为：D.
3.在三棱锥 P-ABC 中， PA=PB=3 ， BC=42 ， AC=8 ， AB⊥BC ，平面 PAB⊥ 平面 ABC ，若球 O 是三棱锥 P-ABC 的外接球，则球 O 的半径为（   ）．
A. 1132                                   B. 932                                   C. 652                                   D. 322
【答案】 A
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】解：取AB中点D，AC中点E，连PD，ED
因为 AB⊥BC ，所以E为△ ABC 外接圆的圆心
因为OE∥PD，OE不包含于平面 PAB ，所以OE∥平面 PAB
因为平面 PAB⊥ 平面 ABC ， PA=PB=3 ，得PD ⊥ AB，ED ⊥ AB
所以PD ⊥ 平面 ABC ，ED ⊥ 平面 PAB
且 AB=AC2-BC2=42 ， PD=1
所以球心 O 到平面 PAB 的距离等于 d=ED=22
在△ PAB 中， PA=PB=3 ， AB=42 ，所以 sin∠PAB=13 ，
所以△ PAB 得外接圆半径 2r=PBsin∠PAB=9 ，即 r=92
由勾股定理可得球 O 的半径 R=d2+r2=1132
故答案为：A.
4.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AM⊥平面A1BD，垂足为M，以下四个结论中正确的个数为（    ）

①AM垂直于平面CB1D1；②直线AM与BB1所成的角为45°；③AM的延长线过点C1；④直线AM与平面A1B1C1D1所成的角为60°
A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4
【答案】 B
【考点】向量语言表述线面的垂直、平行关系，用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】对于①，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AM⊥平面A1BD，
且平面A1BD∥CB1D1 ， ∴AM⊥平面CB1D1 ， ①正确；
对于②，建立空间直角坐标系，如图所示，

则A（0，0，1），B（1，0，1），C（1，1，1），D（0，1，1），
A1（0，0，0），∴ BD =（﹣1，1，0）， A1B =（1，0，1），
设平面BDA1的法向量为 n =（x，y，z），
则 {n⋅BD=0n⋅A1B=0 ，即 {-x+y=0x+z=0 ，令x=1，则y=1，z=﹣1，∴ n =（1，1，﹣1），
BB1 =（0，0，1），
∴cos＜ n ， BB1 ＞= -13×1 =﹣ 33 ，
∴ n 与 BB1 的夹角不是45°且不是135°，
又 n 与 AM 共线，∴直线AM与BB1所成的角不是45°，②错误；
对于③， AC1 =（1，1，﹣1），与平面CB1D1的法向量 n 共线，
∴ AC1 与 AM 共线，即AM的延长线过点C1 ， ③正确；
④ AM 与 AC1 共线，且tan∠AC1A1= A1C1AA1 = 2 ，
∴AC1与平面A1B1C1D1所成的角是arctan 2 ，
即直线AM与平面A1B1C1D1所成的角不是60°，④错误；
综上，正确的命题序号是①③，共2个．
故答案为：B．
5.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为2，点 P 在棱 AD 上，过点 P 作该正方体的截面，当截面平行于平面 B1D1C 且面积为 3 时，线段 AP 的长为（    ）
A. 2                                        B. 1                                        C. 3                                        D. 32
【答案】 A
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】解：如图，过点 P 作 DB ， A1D 的平行线，分别交棱 AB ， AA1 于点 Q ， R ，连接 QR ， BD ，

因为 BD//B1D1 ，所以 PQ//B1D1 ， B1D1⊂ 面 B1D1C ， PQ⊄ 面 B1D1C ，所以 PQ// 面 B1D1C
因为 A1D//B1C ，所以 PR//B1C ， B1C⊂ 面 B1D1C ， PR⊄ 面 B1D1C ，所以 PR// 面 B1D1C
又 PQ∩PR=P ， PQ,PR⊂ 面 PQR ，所以面 PQR// 面 B1D1C ，则 PQR 为截面，
易知 △PQR 是等边三角形，则 12PQ2⋅32=3 ，解得 PQ=2 ，∴ AP=22PQ=2 .
故答案为：A.
6.已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列命题中错误的是（    ）
A. AE⊥平面PAB B. 直线PD与平面ABC所成角为45°
C. 平面PBC与平面PEF的交线与直线AD不平行 D. 直线CD与PB所成的角的余弦值为 510
【答案】 C
【考点】异面直线及其所成的角，直线与平面平行的性质，直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角
【解析】对于A：∵PA⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，∴AE⊥PA，
∵六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，∴AE⊥AB，
∵PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB，∴PE⊥平面PAB.A符合题意；
对于B：∵六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，
∴ PA⊥AD，PA=AD，∴∠PDA=45°是直线PD与平面ABC所成角.B符合题意；
对于C：∵BC // EF， EF⊂ 平面 PEF ， BC⊄ 平面 PEF ，所以 BC// 平面 PEF .
设平面PBC与平面PEF的交线为 l ，则 BC//l ，又 BC//AD ，所以 AD//l ，C不符合题意；
对于D：设AB=1，则PA=2， AE=12+12-2×1×1×cos120∘=3 ，PE=4+3=7, BE=2, PB=4+1=5,
∵CD // BE，∴∠PBE是是直线CD与PB所成的角(或所成角的补角)，
∴直线CD与PB所成的角的余弦值为 cos∠PBE=4+5-72×2×5=510 .D符合题意.

故答案为：C.
7.已知 P ， Q 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BB1 ， CC1 上的动点（不与顶点重合），则下列结论正确的是（    ）
A. 平面 APQ 与平面 ABCD 所成的角的大小为定值 B. AQ⊥BD1
C. 四面体 ABPQ 的体积为定值 D. AP// 平面 DCC1D1
【答案】 D
【考点】直线与平面平行的判定，二面角的平面角及求法
【解析】对于A：假设 PQ//BC ，则可得 PD⊥AD ，又 AB⊥AD ，则此时二面角为 ∠PAB ，则 ∠PAB 为非定值，A不符合题意；
对于B：如图建立空间直角坐标系，取 AB=2 ，则 B(2,2,0) ， D1(0,0,2) ， A(2,0,0) ，
Q(0,2,z) ，则 BD1=(-2,-2,-2) ， AQ=(-2,2,z) ，所以 AQ⋅BD1=2z≠0 ，则 AQ⊥BD1 不成立，B不符合题意；

对于C： VQ-ABP=13S△PAB⋅BC=13⋅12⋅AB⋅PB⋅BC ，而PB为非定值，则 VQ-ABP 为非定值，C不符合题意；
对于D：因为平面 A1ABB1// 平面 DCC1D1 ，而 AP⊂ A1ABB1 ，根据面面平行的定义可知
AP// 平面 DCC1D1 ，D符合题意.
故答案为：D.
8.四棱锥 S-ABCD 中，侧面 SBC 为等边三角形，底面 ABCD 为矩形， BC=2 ， AB=a ，点 F 是棱 AD 的中点，顶点 S 在底面 ABCD 的射影为 H ，则下列结论正确的是（    ）
A. 棱 SC 上存在点 P 使得 PD// 面 BSF
B. 当 H 落在 AD 上时， a 的取值范围是 (0,3]
C. 当 H 落在 AD 上时，四棱锥 S-ABCD 的体积最大值是2
D. 存在 a 的值使得点 B 到面 SFC 的距离为 3
【答案】 A
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的判定，点、线、面间的距离计算
【解析】对于A：取BC的中点E，连结DE，取SC中点P，连结PE、PD，

∵PE为△BCS的中位线，∴ PE∥BS，
又 BS⊆ 面BFS， PE⊄ 面BFS，∴PE∥面BFS；
在矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，∴DE∥BF,
又 BF⊆ 面BFS， DE⊄ 面BFS，∴DE面BFS；
又 DE∩PE=E ,∴面PDE∥面BFS，∴ PD// 面 BSF ，
A符合题意；
对于B：∵ SBC 为等边三角形， BC=2 ，∴ SE=3 ，
当 a=3 时，S与H重合，图形不能构成四棱锥，与已知条件相悖，B不符合题意；
对于C：在Rt△SHE中， SH=3-a2 ，∴ VS-ABCD=13×2a×3-a2=23(3-a2)a2≤1 ，
当且仅当 a2=32 时， VS-ABCD 的最大值为1.C不符合题意；
对于D:由C的推导可知：当 VS-ABCD 的最大时，点B到面 SFC 的距离d最大，
VS-BFC=12VS-ABCD=12 ，
此时 SF=62,CF=CD2+DF2=102 ，
∴ S△SFC=12SF×CF=12×62×102=154 ，
∴ d=VS=12×1215=2155