高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板12 椭圆与方程专项练习 （解析版）

这是一份高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板12 椭圆与方程专项练习 （解析版），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
模板12椭圆与方程
专项练习
一、单选题
1.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的左、右焦点分别是 F1,F2 ，焦距 |F1F2|=25 ，过点 T(35,0) 的直线与椭圆交于P、Q两点，若 TP=2TQ ，且 PF1⊥PF2 ，则椭圆C的方程为(   )
A.x29+y24=1 B.x28+y23=1
C.x27+y22=1 D.x26+y2=1
【答案】 A
【解析】如图， |TP|=2|TQ|,|TF1|=2|F1F2|=2|TF2| ，则 PF1=2QF2 ，

延长 QF2 交椭圆C于点M，得 Rt△F1MQ,Rt△F1MF2 ，
设 |QF2|=m ，则 |PF1|=|MF2|=2m ，据椭圆的定义有 |QF1|=2a- m,|MF1|=2a-2m ，在 Rt△F1MQ 中， (2a-2m)2+(3m)2=(2a-m)2 得 m=a3 ，
又在 Rt△F1MF2 中， (2a-2m)2+(2m)2=4c2 得 5a2=9c2=45.
故 a=3,b=2 ，则椭圆C的方程为 x29+y24=1 .
故答案为：A
2.已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，过 F1 且与 x 轴垂直的直线交椭圆于 A ， B 两点，直线 AF2 与椭圆的另一个交点为 C ，若 S△ABC=3S△BCF2 ，则椭圆的离心率为（    ）
A. 55                                     B. 105                                     C. 33                                     D. 3310
【答案】 A
【考点】椭圆的简单性质
【解析】设椭圆的左、右焦点分别为 F1(-c,0) ， F2(c,0) ，
由 x=-c ，代入椭圆方程得 y=±b2a ，
设 A(-c,b2a) ， C(x,y) ，由 S△ABC=3S△BCF2 ，
可得 AF2=2F2C ，即 (2c,-b2a)=2(x-c,y) ，即 2c=2x-2c ， -b2a=2y ,
所以 x=2c ， y=-b22a ，代入椭圆得， 4c2a2+b24a2=1 ，
由 b2=a2-c2 得： 15e2=3 ，解得 e=±55 ，
由 00) 的右焦点F，点P在椭圆C上，点Q在圆E：(x＋3)2＋(y－4)2＝4上，且圆E上的所有点均在椭圆C外，若|PQ|－|PF|的最小值为2 5 －6，且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，则椭圆C的标准方程为（    ）
A. x22+y2=1                      B. x24+y2=1                      C. x24+y23=1                      D. x24+y22=1
【答案】 C
【考点】椭圆的定义，椭圆的标准方程
【解析】因为圆E：(x＋3)2＋(y－4)2＝4的半径为2，所以 a=2 ，
设椭圆的左焦点为 F1 (-c,0) ，由椭圆的定义可得 |PF1|+|PF|=2a=4 ，

所以 |PF|=4-|PF1| ，
所以 |PQ|-|PF|=|PQ|+|PF1|-4 ≥|QF1|-4 =|QF1|+|EQ|-6 ≥|EF1|-6 ，当且仅当 E,Q,P,F1 四点共线时，等号成立，
又|PQ|－|PF|的最小值为2 5 －6，所以 |EF1|-6=25-6 ，即 |EF1|=25 ，
所以 (-3+c)2+(4-0)2=25 ，解得 c=1 或 c=5>a=2 （舍）.
所以 b2=a2-c2=4-1=3 ，
所以椭圆C的标准方程为 x24+y23=1 .
故答案为：C.
4.已知椭圆C过点 A(-5,0),B(0,b) ，左､右焦点分别为 F1 ､ F2 ，中心在原点，点 M 的坐标为 (1,2) ， P 为椭圆上一动点，若 |PF1|+|PM| 的最大值为 22+10 ，则椭圆C的离心率为（    ）
A. 15                                         B. 25                                         C. 35                                         D. 45
【答案】 C
【考点】椭圆的定义，椭圆的简单性质
【解析】由椭圆过点 A(-5,0) ， B(0,b) ，所以 a=5 ，设 F2(c,0) (c>0)

由椭圆的定义可得 |PF1|+|PM|=2a-|PF2|+|PM|
=2a+|PM|-|PF2|≤2a+|MF2|=10+|MF2|=10+22 ，
当且仅当点 P 是 MF2 的延长线与椭圆交点时等号成立，
所以 |MF2|=22 ，即 (c-1)2+(0-2)2=22 ，解得： c=3 ，
所以离心率 e=ca=35 ，
故答案为：C
5.己知椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 直线 l 过左焦点且倾斜角为 π3 ，以椭圆的长轴为直径的圆截 l 所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为（  ）
A. 77                                   B. 255                                   C. 55                                   D. 277
【答案】 D
【考点】椭圆的简单性质
【解析】由题意知，椭圆左焦点为 (-c,0) ，长轴长为 2a ，焦距为 2c
设直线 l 方程为： y=3(x+c) ，即 3x-y+3c=0
则以椭圆长轴为直径的圆的圆心为 (0,0) ，半径为 a
∴ 圆心到直线 l 的距离 d=|3c|2=32c
∴2c=2a2-d2=2a2-34c2 ，整理得： c2=47a2
∴ 椭圆的离心率为 ca=47=277
故答案为： D
6.已知点 F1 、 F2 是椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的左、右焦点，点 P 是椭圆上位于第一象限内的一点，经过点 P 与 △PF1F2 的内切圆圆心 I 的直线交 x 轴于点 Q ，且 PI=2IQ ，则该椭圆的离心率为（    ）
A. 12                                          B. 13                                          C. 14                                          D. 23
【答案】 A
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】如图，连接 IF1 、 IF2 ， I 是 △PF1F2 的内心，可得 IF1 、 IF2 分别是 ∠PF1F2 和 ∠PF2F1 的角平分线，

由于经过点 P 与 △PF1F2 的内切圆圆心 I 的直线交 x 轴于点 Q ，
则 PQ 为 ∠F1PF2 的角平分线，则 Q 到直线 PF1 、 PF2 的距离相等，
所以， S△PF1QS△PF2Q=|PF1||PF2|=|QF1||QF2| ，同理可得 |PI||IQ|=|PF1||F1Q| ， |PI||IQ|=|PF2||F2Q| ，
由比例关系性质可知 |PI||IQ|=|PF1|+|PF2||F1Q|+|F2Q|=|PF1|+|PF2||F1F2|=2a2c=ac ．
又因为 PI=2IQ ，所以椭圆的离心率 e=ca=|IQ||PI|=12 。
故答案为：A．
7.过椭圆 x225+y216=1 的中心任作一直线交椭圆于P,Q两点,F是椭圆的一个焦点,则 △PFQ 的周长的最小值为（    ）
A. 12                                         B. 14                                         C. 16                                         D. 18
【答案】 D
【考点】椭圆的简单性质
【解析】如图所示,记椭圆的另一个焦点为 F1 ,

则根据椭圆的对称性知道: |QF|=|PF1| , |PQ|=2|PO| ,
设 P(acosθ,bsinθ) ,则 |PO|2=a2cos2θ+b2sin2θ=(a2-b2)cos2θ+b2 ,
又因为 a2-b2>0 , cos2θ≥0 ,
所以 |PO|2≥b2 ,即 |PO|≥b , |PQ|=2|PO|≥2b ．
所以 ΔPQF 的周长为 |QF|+|PF|+|PQ|=|PF1|+|PF|+|PQ|=2a+|PQ|≥2a+2b=10+8=18
故答案为：D
8.如图，半椭圆 x2a2+y2b2=1(x≥0) 与半椭圆 y2b2+x2c2=1(x≤0) 组成的曲线称为“果圆”，其中 a2=b2+c2,a>0,b>c>0 . A1,A2 和 B1,B2 分别是“果圆”与x轴，y轴的交点.给出下列三个结论：

① 2c2c ； a2=b2+c20) ，过右焦点 F 且斜率为 3 的直线与椭圆 C 相交于 A , B 两点，若 AF=12FB ，则椭圆 C 的离心率为   1   .
【答案】 23
【考点】椭圆的定义，椭圆的简单性质
【解析】如图，

作 AD 垂直右准线交右准线于点 D ，作 BC 垂直右准线交右准线于点 C
作 AE 垂直 BC 于点 E
由 AF=12FB ，设 |AF|=m,|FB|=2m ，则 |AB|=3m
由 |AD|=|AF|e=me,|AD|=|FB|e=2me
所以 |BE|=|BC|-|AD|=me ，
又直线 AB 的斜率为 3 ，所以 ∠ABE=∠AFx=60∘
所以 cos∠ABE=|BE||AB|=13e=12⇒e=23
故答案为： 23
15.设椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的左焦点为 F ，上顶点为 B .已知椭圆的短轴长为 4 ，离心率为 55 ，则椭圆的方程为________.
【答案】 x25+y24=1
【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质
【解析】由题意可得 {2b=4ca=55b=a2-c2 ，解得 {a=5b=2c=1 ，因此，该椭圆的方程为 x25+y24=1 .
故答案为： x25+y24=1 .
16.设 F1 、 F2 分别是椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的左、右焦点，点P在椭圆上，且 PF1⊥PF2 ， |PF1|⋅|PF2|=2 ，若 a=2b ，则椭圆的标准方程为________.
【答案】 x24+y2=1
【考点】椭圆的定义，椭圆的标准方程
【解析】 ∵a=2b ， a2=b2+c2 ， ∴c2=3b2 ，
又 PF1⊥PF2 ， ∴|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=12b2 .
由椭圆定义可知 |PF1|+|PF2|=2a=4b ，
(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|⋅|PF2|=12b2+4=16b2 ， ∴b=1 ， a=2 ，
因此，所求椭圆的标准方程为 x24+y2=1 .
故答案为： x24+y2=1 .
四、解答题
17.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的左，右焦点分别为 F1 ， F2 ，点 P 在椭圆 C 上， |PF1|=2 ， ∠F1PF2=π3 ，且椭圆 C 的离心率为 12 .
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设直线 l:y=kx+m(m≠0) 与椭圆 C 相交于 A ， B 两点， O 为坐标原点.求 ΔOAB 面积的最大值.
【答案】 （1）由题意，点 P 在椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 上，且 |PF1|=2 ，
由椭圆的定义，可得 |PF2|=2a-|PF1|=2a-2 ，
在 △PF1F2 中，由余弦定理得 4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2 ，
即 4c2=4+(2a-2)2-4(2a-2)cosπ3 ，化简得 c2=a2-3a+3 ，
又由椭圆 C 的离心率 e=ca=12 ，可得 a=2c ，
联立方程组，解得 c=1 ， a=2 ，所以 b2=a2-c2=3 ，
所以椭圆 C 的方程为 x24+y23=1 .
（2）设 A(x1,y1) ， B(x2,y2)
由 {y=kx+mx24+y23=1 消去 y ，得 (4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0 .
由 Δ=16(12k2-3m2+9)>0 ，可得 4k2+3>m2 ，
则 x1+x2=-8km4k2+3 ， x1x2=4m2-124k2+3
所以 |AB|=1+k2⋅|x1-x2|=1+k2⋅412k2-3m2+94k2+3 ，
因为坐标原点 O 到直线 l 的距离 d=|m|1+k2
所以 SΔOAB=12⋅|m|1+k2⋅1+k2⋅412k2-3m2+94k2+3 =23⋅|m|4k2+3-m24k2+3
=23⋅(4k2+3-m2)⋅m24k2+3 ≤23⋅(4k2+3-m2)+m224k2+3=3 .
当且仅当 4k2+3-m2=m2 ，即 4k2+3=2m2 时，等号成立，
满足 4k2+3=2m2>m2 ，所以 △OAB 面积的最大值为 3 .
【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】 (1)由椭圆的定义，可得 |PF2|=2a-|PF1|=2a-2 ， 在 △PF1F2 中，由余弦定理得 c2=a2-3a+3 ， 由椭圆 C 的离心率 e=ca=12 ， 可得 a=2c ，联立方程组，解得c, a, b,即可得出答案；
(2) 设 A(x1,y1)  ，  B(x2,y2) 联立直线l与椭圆的方程，由△> 0, 可得 4k2+3>m2 ，结合韦达定理可得
x1+x2=-8km4k2+3  ，  x1x2=4m2-124k2+3 ， 由弦长公式可得|AB|,坐标原点O到直线l的距离 d=|m|1+k2 ， 再利用基本不等式，可得ΔOAB 面积的最大值.
18.已知椭圆 M 与椭圆 N:x216+y212=1 有相同的焦点，且椭圆 M 过点 (-1,255) .
（1）求椭圆 M 的标准方程；
（2）设椭圆 M 的焦点为 F1,F2 ，点 P 在椭圆 M 上，且 △PF1F2 的面积为1，求点 P 的坐标.
【答案】 （1）解： N 的焦点为 (-2,0),(2,0) ，设 M 方程为 x2a2+y2b2=1(a>b>0) ，焦距为 2 ，则 {a2-b2=41a2+45b2=1 ，把 a2=b2+4 代入 1a2+45b2=1 ，则有 1b2+4+45b2=1 ，整理得 5b4-11b2+16=0 ，故 b2=1 或 b2=165 （舎）， a2=5 ，故椭圆方程为 x25+y2=1
（2）解： F1(-2,0),F2(2,0) ，设 P(x0,y0) ，则 △PF1F2 面积为 12×4×|y0|=1 ，则 y0=±12 ，而 x025+y02=1 ，所以 x02=154 ， x0=±152 ，所以 P 点有4个，它们的坐标分别为 (152,12),(-152,12),(152,-12),(-152,-12)
【考点】椭圆的应用
【解析】 （1）求出焦点坐标，利用椭圆经过的点，列出方程组，然后求解M的方程；
（2）设出P的坐标，利用三角形的面积，求解即可。
19.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 过点 A(-2,-1) ，且 a=2b ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）过点 B(-4,0) 的直线l交椭圆C于点 M,N ,直线 MA,NA 分别交直线 x=-4 于点 P,Q ．求 |PB||BQ| 的值．
【答案】 解：(Ⅰ)设椭圆方程为： x2a2+y2b2=1(a>b>0) ，由题意可得：
{4a2+1b2=1a=2b ，解得： {a2=8b2=2 ，
故椭圆方程为： x28+y22=1 .
（Ⅱ）设 M(x1,y1) ， N(x2,y2) ，直线 MN 的方程为： y=k(x+4) ，
与椭圆方程 x28+y22=1 联立可得： x2+4k2(x+4)2=8 ，
即： (4k2+1)x2+32k2x+(64k2-8)=0 ，
则： x1+x2=-32k24k2+1,x1x2=64k2-84k2+1 .
直线MA的方程为： y+1=y1+1x1+2(x+2) ，
令 x=-4 可得： yP=-2×y1+1x1+2-1=-2×k(x1+4)+1x1+2-x1+2x1+2=-(2k+1)(x1+4)x1+2 ，
同理可得： yQ=-(2k+1)(x2+4)x2+2 .
很明显 yPyQb>0) 的左焦点为 F ，上顶点为 B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为 55 .
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点 P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 M 为直线 PB 与 x 轴的交点，点 N 在 y 轴的负半轴上.若 |ON|=|OF| （ O 为原点），且 OP⊥MN ，求直线 PB 的斜率.
【答案】 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为 c ，依题意， 2b=4,ca=55 ，又 a2=b2+c2 ，可得 a=5 ， b=2, c=1 .
所以，椭圆的方程为 x25+y24=1 .
（Ⅱ）由题意，设 P(xP ， yP)(xp≠0),M(xM,0) .设直线 PB 的斜率为 k(k≠0) ，又 B(0,2) ，则直线 PB 的方程为 y=kx+2 ，与椭圆方程联立 {y=kx+2,x25+y24=1, 整理得 (4+5k2)x2+20kx=0 ，可得 xP=-20k4+5k2 ，代入 y=kx+2 得 yP=8-10k24+5k2 ，进而直线 OP 的斜率 yPxp=4-5k2-10k .在 y=kx+2 中，令 y=0 ，得 xM=-2k .由题意得 N(0,-1) ，所以直线 MN 的斜率为 -k2 .由 OP⊥MN ，得 4-5k2-10k⋅(-k2)=-1 ，化简得 k2=245 ，从而 k=±2305 .
所以，直线 PB 的斜率为 2305 或 -2305
【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】本题主要考查直线与圆锥曲线方程和圆锥曲线的性质。
（Ⅰ）由椭圆的短轴长，离心率，即可求 a,b,c ，进而求得椭圆的方程；
（Ⅱ）由已知条件写出直线 PB 的点斜式，把直线 PB 的方程跟椭圆的方程联立，用 k 表示出P点的坐标，进而求出 kOP ,在通过已知条件求出 kMN ，由 OP⊥MN ，得出 kOP⋅ kMN=-1 求出 k 的值，进而得出直线 PB 的斜率。
21.已知椭圆C： x2a2+y2b2=1(a>b>0) 过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 12 ，
（1）求C的方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
【答案】 （1）解：由题意可知直线AM的方程为： y-3=12(x-2) ，即 x-2y=-4 .
当y=0时，解得 x=-4 ，所以a=4，
椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 过点M(2，3)，可得 416+9b2=1 ，
解得b2=12.
所以C的方程： x216+y212=1 .
（2）解：设与直线AM平行的直线方程为： x-2y=m ，
如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.

联立直线方程 x-2y=m 与椭圆方程 x216+y212=1 ，
可得： 3(m+2y)2+4y2=48 ，
化简可得： 16y2+12my+3m2-48=0 ，
所以 Δ=144m2-4×16(3m2-48)=0 ，即m2=64，解得m=±8，
与AM距离比较远的直线方程： x-2y=8 ，
直线AM方程为： x-2y=-4 ，
点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，
利用平行线之间的距离公式可得： d=8+41+4=1255 ，
由两点之间距离公式可得 |AM|=(2+4)2+32=35 .
所以△AMN的面积的最大值： 12×35×1255=18 .
【考点】椭圆的定义，椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N到直线AM的距离即可求得三角形面积的最大值.
22.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C: x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l ， 在x轴的上方，l与圆F2: (x-1)2+y2=4a2 交于点A ， 与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B ， 连结BF2交椭圆C于点E ， 连结DF1 ． 已知DF1= 52 ．

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求点E的坐标．
【答案】 （1）解：设椭圆C的焦距为2c.
因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.
又因为DF1= 52 ，AF2⊥x轴，所以DF2= DF12-F1F22=(52)2-22=32 ，
因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.
由b2=a2-c2 ， 得b2=3.
因此，椭圆C的标准方程为 x24+y23=1
（2）解：解法一：由（1）知，椭圆C： x24+y23=1 ，a=2，因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.
将x=1代入圆F2的方程(x-1) 2+y2=16，解得y=±4.
因为点A在x轴上方，所以A(1，4).
又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.
由 {y=2x+2x2+y2=16 ，得 5x2+6x-11=0 ，解得 x=1 或 x=-115 .将 x=-115 代入 y=2x+2 ，得 y=-125 ，
因此 B(-115,-125) .又F2(1，0)，所以直线BF2： y=34(x-1) .
由 {y=34(x-1)x24+y23=1 ，得 7x2-6x-13=0 ，解得 x=-1 或 x=137 .
又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以 x=-1 .
将 x=-1 代入 y=34(x-1) ，得 y=-32 .因此 E(-1,-32) .解法二：
由（1）知，椭圆C： x24+y23=1 .如图，连结EF1.

因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，
从而∠BF1E=∠B.
因为F2A=F2B，所以∠A=∠B，
所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A.
因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.
因为F1(-1，0)，由 {x=-1x24+y23=1 ，得 y=±32 .
又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以 y=-32 .
因此 E(-1,-32) .
【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】 （1） 利用焦距求出c的值，再利用DF1= 52 ，AF2⊥x轴，结合勾股定理和椭圆的定义得出a的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式求出b的值，从而求出椭圆的标准方程。（2）利用两种方法求出点E的坐标，利用椭圆的标准方程求出 a 的值和焦点 F1,F2 坐标，再利用 a 的值求出圆F2: (x-1)2+y2=4a2 的标准方程，再利用过F2作x轴的垂线l ， 求出直线l的方程，再利用直线l与圆F2: (x-1)2+y2=4a2 交于点A ， 联立二者方程求出交点A的坐标，再利用直线l与椭圆C交于点D ， 联立二者方程求出交点D的坐标，连结AF1并延长交圆F2于点B ， 从而求出交点B的坐标，连结BF2交椭圆C于点E ， 再利用两点距离公式或角之间的关系式，从而求出交点E的坐标。