还剩17页未读，
继续阅读
浙江省杭州市拱墅区2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷 (word版含答案)
展开
这是一份浙江省杭州市拱墅区2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷 (word版含答案)，共20页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年浙江省杭州市拱墅区九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．已知圆的半径为2cm，一点到圆心的距离是3cm，则这点在（ ）
A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定
2．如图，已知A，B均为⊙O上一点，若∠AOB＝80°，则∠ACB＝（ ）
A．80° B．70° C．60° D．40°
3．不透明的袋子里装有7个只有颜色不同的球，其中3个黑球，4个白球，搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．如果2a＝5b，那么下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是（ ）
A．y＝（x﹣3）2﹣2 B．y＝（x﹣3）2+2 C．y＝（x+3）2﹣2 D．y＝（x+3）2+2
6．如图，已知△ADE∽△ACB，若AB＝10，AC＝8，AD＝4，则AE的长是（ ）
A．3.2 B．4 C．5 D．20
7．已知点A（3，y1），B（4，y2），C（﹣3，y3）均在抛物线y＝﹣2x+m上，下列说法中正确的是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y1＜y3
8．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．（4﹣）米 C．2米 D．（4+）米
9．二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t＝a+b+1，则t值的变化范围是（ ）
A．0＜t＜1 B．0＜t＜2 C．1＜t＜2 D．﹣1＜t＜1
10．如图，H是△ABC的重心，延长AH交BC于D，延长BH交AC于M，E是DC上一点，且DE：EC＝5：2，连结AE交BM于G，则BH：HG：GM等于（ ）
A．7：5：2 B．13：5：2 C．5：3：1 D．26：10：3
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是 ．
12．已知圆的半径为2，则60°圆心角所对的弧长为 ．
13．已知S＝t2﹣2t﹣15，则S的最小值为 ．
14．已知一个正多边形内角的度数为108°，则它的边数为 ．
15．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝36°，连结BO并延长，交⊙O于D，则∠ACD＝ 度．
16．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10m/s，经过t（s）时球的高度为h（m）．已知物体竖直运动中，h＝v0t﹣（v0表示物体运动上弹开始时的速度，g表示重力系数，取g＝10m/s2）．则球从弹起至回到地面的过程中，前后两次高度达到3.75m的时间间隔为 s．
三、解答题本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．全面两孩政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划，假定生男生女的概率相同，回答下列问题：
（1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是 ；
（2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率．
18．（1）已知＝，求的值；
（2）已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB＝2，求PA、PB 的长．
19．如图，半圆O的直径AB＝20，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P．
（1）求AP的长；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
20．某单位为了创建城市文明单位，准备在单位的墙（线段MN所示）外开辟一处长方形的土地进行绿化美化，除墙体外三面要用栅栏围起来，计划用栅栏40米．
（1）不考虑墙体长度，问长方形的各边的长为多少米时，长方形的面积最大？
（2）若11≤AB≤12，试求长方形面积S的取值范围．
21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CB的延长线上，BA平分∠EBD，AE＝AB．
（1）求证：AC＝AD；
（2）求证：△AEB∽△ACD；
（3）当，AD＝6时，求CD的长．
22．在平面直角坐标系xOy中，A（1，m）和B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．
（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的解析式；
（2）若A、B两点关于对称轴对称，点（﹣1，y1），（1，y2），（4，y3）在该抛物线上，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
（3）若该抛物线的对称轴为x＝﹣1，求m，n满足的等量关系．
23．如图，已知⊙O的半径长为1，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC．
（1）求证：△OAD∽△ABD；
（2）当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；
（3）记△AOB、△AOD、△COD 的面积分别为S1、S2、S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OD的长．
参考答案
一、选择题本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．已知圆的半径为2cm，一点到圆心的距离是3cm，则这点在（ ）
A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定
【分析】根据点和圆的位置关系得出即可．
解：∵2＜3，
∴点在圆外，
故选：A．
2．如图，已知A，B均为⊙O上一点，若∠AOB＝80°，则∠ACB＝（ ）
A．80° B．70° C．60° D．40°
【分析】由同弧所对的圆心角和圆周角的关系可得，∠AOB＝2∠ACB，则结果即可得出．
解：由题意得，∠ACB＝∠AOB＝×80°＝40°．
故选：D．
3．不透明的袋子里装有7个只有颜色不同的球，其中3个黑球，4个白球，搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接根据概率公式求解即可．
解：∵装有7个只有颜色不同的球，其中4个白球，
∴从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率＝．
故选：C．
4．如果2a＝5b，那么下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用比例的性质对各选项进行判断．
解：∵2a＝5b，
∴＝，＝．
故选：A．
5．抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是（ ）
A．y＝（x﹣3）2﹣2 B．y＝（x﹣3）2+2 C．y＝（x+3）2﹣2 D．y＝（x+3）2+2
【分析】根据函数图象的平移规律：左加右减，上加下减，可得答案．
解：y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是y＝（x+3）2﹣2．
故选：C．
6．如图，已知△ADE∽△ACB，若AB＝10，AC＝8，AD＝4，则AE的长是（ ）
A．3.2 B．4 C．5 D．20
【分析】直接利用相似三角形的性质得出＝，进而求出答案．
解：∵△ADE∽△ACB，
∴＝，
∵AB＝10，AC＝8，AD＝4，
∴＝，
解得：AE＝5，
故选：C．
7．已知点A（3，y1），B（4，y2），C（﹣3，y3）均在抛物线y＝﹣2x+m上，下列说法中正确的是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y1＜y3
【分析】求得抛物线对称轴为直线x＝2，根据抛物线的性质，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，即可得到答案．
解：∵抛物线y＝﹣2x+m，
∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝﹣＝2，
∴抛物线上的点离对称轴最远，对应的函数值就越大，
∵点C（﹣3，y3）离对称轴最远，点A（3，y1）离对称轴最近，
∴y1＜y2＜y3．
故选：C．
8．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．（4﹣）米 C．2米 D．（4+）米
【分析】连接OC交AB于D，连接OA，根据垂径定理得到AD＝AB，根据勾股定理求出OD，结合图形计算，得到答案．
解：连接OC交AB于D，连接OA，
∵点C为运行轨道的最低点，
∴OC⊥AB，
∴AD＝AB＝3（米），
在Rt△OAD中，OD＝＝＝（米），
∴点C到弦AB所在直线的距离CD＝OC﹣OD＝（4﹣）米，
故选：B．
9．二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t＝a+b+1，则t值的变化范围是（ ）
A．0＜t＜1 B．0＜t＜2 C．1＜t＜2 D．﹣1＜t＜1
【分析】由二次函数的解析式可知，当x＝1时，所对应的函数值y＝t＝a+b+1．把点（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+1，a﹣b+1＝0，然后根据顶点在第一象限，可以画出草图并判断出a与b的符号，进而求出t＝a+b+1的变化范围．
解：∵二次函数y＝ax2+bx+1的顶点在第一象限，
且经过点（﹣1，0），
∴易得：a﹣b+1＝0，a＜0，b＞0，
由a＝b﹣1＜0得到b＜1，结合上面b＞0，所以0＜b＜1①，
由b＝a+1＞0得到a＞﹣1，结合上面a＜0，所以﹣1＜a＜0②，
∴由①+②得：﹣1＜a+b＜1，
在不等式两边同时加1得0＜a+b+1＜2，
∵a+b+1＝t代入得0＜t＜2，
∴0＜t＜2．
故选：B．
10．如图，H是△ABC的重心，延长AH交BC于D，延长BH交AC于M，E是DC上一点，且DE：EC＝5：2，连结AE交BM于G，则BH：HG：GM等于（ ）
A．7：5：2 B．13：5：2 C．5：3：1 D．26：10：3
【分析】过C作CF∥BM，交AE的延长线于F，设CF＝a，则GM＝a，依据CF∥BG，DE：EC＝5：3，D是BC的中点，可得BG＝6CF＝6a，再根据H是△ABC的重心，即可得到BH＝BM＝a，HG＝BG﹣BH＝a，进而得到BH：HG：GM＝a：a：a＝26：10：3．
解：如图，过C作CF∥BM，交AE的延长线于F，
∵H是△ABC的重心，
∴M是AC的中点，D是BC的中点，
∴G是AF的中点，
∴GM＝CF，
设CF＝a，则GM＝a，
∵CF∥BG，DE：EC＝5：2，D是BC的中点，
∴＝，
∴BG＝6CF＝6a，
∴BM＝a，
∵H是△ABC的重心，
∴BH＝BM＝a，
∴HG＝BG﹣BH＝6a﹣a＝a，
∴BH：HG：GM＝a：a：a＝26：10：3．
故选：D．
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是 （1，3） ．
【分析】根据题目中的函数解析式，可以直接写出该函数图象的顶点坐标．
解：∵二次函数y＝（x﹣1）2+3，
∴该函数图象的顶点坐标为（1，3），
故答案为：（1，3）．
12．已知圆的半径为2，则60°圆心角所对的弧长为 ．
【分析】利用弧长公式直接计算即可．
解：圆的半径为2，则60°圆心角所对的弧长＝＝．
故答案为：．
13．已知S＝t2﹣2t﹣15，则S的最小值为 ﹣16 ．
【分析】先根据完全平方公式配方，再根据偶次方的非负性即可求解．
解：∵S＝t2﹣2t﹣15＝（t﹣1）2﹣16，
∴当t＝1时，S取得最小值为﹣16．
故答案为：﹣16．
14．已知一个正多边形内角的度数为108°，则它的边数为 5 ．
【分析】根据相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数为72°，再用外角和360°除以72°，计算即可得解．
解：∵正多边形的每个内角等于108°，
∴每一个外角的度数为180°﹣108°＝72°，
∴边数＝360°÷72°＝5，
∴这个正多边形是正五边形．
故答案为：5．
15．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝36°，连结BO并延长，交⊙O于D，则∠ACD＝ 18 度．
【分析】连接AD，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求∠ABC＝∠ACB＝72°；利用直径所对的圆周角为直角，可得∠BAD＝90°，则∠ABD＝18°，利用同弧所对的圆周角相等即可求得结论．
解：连接AD，如图，
∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝72°．
∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠ADB＝72°．
∵BD是圆的直径，
∴∠BAD＝90°．
∴∠ABD＝90°﹣∠ADB＝18°．
∴∠ACD＝∠ABD＝18°．
故答案为：18．
16．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10m/s，经过t（s）时球的高度为h（m）．已知物体竖直运动中，h＝v0t﹣（v0表示物体运动上弹开始时的速度，g表示重力系数，取g＝10m/s2）．则球从弹起至回到地面的过程中，前后两次高度达到3.75m的时间间隔为 1 s．
【分析】将v0＝10，g＝10，h＝3.75代入h＝v0t﹣求解．
解：∵v0＝10，g＝10，
∴h＝10t﹣5t2，
将h＝3.75代入h＝10t﹣5t2得3.75＝10t﹣5t2，
解得t1＝0.5，t2＝1.5，
∴后两次高度达到3.75m的时间间隔为1.5﹣0.5＝1（s）．
故答案为：1．
三、解答题本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．全面两孩政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划，假定生男生女的概率相同，回答下列问题：
（1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是 ；
（2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出至少有一个孩子是女孩的结果数，然后根据概率公式求解．
解：（1）第二个孩子是女孩的概率＝；
故答案为；
（2）画树状图为：
共有4种等可能的结果数，其中至少有一个孩子是女孩的结果数为3，
所以至少有一个孩子是女孩的概率＝．
18．（1）已知＝，求的值；
（2）已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB＝2，求PA、PB 的长．
【分析】（1）设a＝3k，则b＝5k，代入，计算即可求解；
（2）根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则PA＝AB，PB＝AB，代入数据即可得出PA、PB的长．
解：（1）∵＝，
∴可设a＝3k，则b＝5k，
∴＝＝；
（2）∵点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB＝2，
∴PA＝AB＝﹣1，PB＝AB＝3﹣．
19．如图，半圆O的直径AB＝20，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P．
（1）求AP的长；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【分析】（1）先根据题意判断出△O′PB是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义求出PB的长，进而可得出AP的长；
（2）根据S阴影＝S扇形O′A′P+S△O′PB直接进行计算即可．
解：（1）∵∠OBA′＝45°，O′P＝O′B，
∴△O′PB是等腰直角三角形，
∴PB＝BO，
∴AP＝AB﹣BP＝20﹣10；
（2）阴影部分面积为：
S阴影＝S扇形O′A′P+S△O′PB＝×π×100+10×10×＝25π+50．
20．某单位为了创建城市文明单位，准备在单位的墙（线段MN所示）外开辟一处长方形的土地进行绿化美化，除墙体外三面要用栅栏围起来，计划用栅栏40米．
（1）不考虑墙体长度，问长方形的各边的长为多少米时，长方形的面积最大？
（2）若11≤AB≤12，试求长方形面积S的取值范围．
【分析】（1）设AB，CD长为x，则BC＝40﹣2x，通过矩形面积公式列出S与x的关系，通过配方求解．
（2）由S与x的关系式可得x大于10时，S随x增大而减小，进而求解．
解：（1）设AB，CD长为x，则BC＝40﹣2x，
∵0＜40﹣2x＜40，
∴0＜x＜20．
由题意得S＝AB•BC＝（40﹣2x）x＝﹣2（x﹣10）2+200（0＜x＜20），
∴x＝10时，40﹣2x＝20，S有最大值为200，
即BC长20米，AB＝CD＝10米时，长方形面积最大值为200平方米．
（2）∵11≤AB≤12，
∴11≤x≤12，
∵S＝﹣2（x﹣10）2+200，
∴x＞10时，S随x增大而减小，
当x＝11时，S＝﹣2×（11﹣10）2+200＝198，
当x＝12时，S＝﹣2×（12﹣10）2+200＝196，
∴196平方米≤S≤198平方米．
21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CB的延长线上，BA平分∠EBD，AE＝AB．
（1）求证：AC＝AD；
（2）求证：△AEB∽△ACD；
（3）当，AD＝6时，求CD的长．
【分析】（1）由BA平分∠EBD，得∠ABE＝∠ABD，再根据圆内接四边形的性质和圆周角定理可证∠ACD＝∠ADC，即可证明；
（2）由（1）知∠E＝∠ABE＝∠ACD＝∠ADC，从而证明结论；
（3）由△AEB∽△ACD，得，代入即可．
【解答】（1）证明：∵BA平分∠EBD，
∴∠ABE＝∠ABD，
∵∠ABE＝∠ADC，∠ABD＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴AC＝AD；
（2）证明：∵AE＝AB，
∴∠E＝∠ABE，
∴∠E＝∠ABE＝∠ACD＝∠ADC，
∴△AEB∽△ACD；
（3）解：由（2）知，△AEB∽△ACD，
∴，
∴CD＝＝4．
22．在平面直角坐标系xOy中，A（1，m）和B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．
（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的解析式；
（2）若A、B两点关于对称轴对称，点（﹣1，y1），（1，y2），（4，y3）在该抛物线上，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
（3）若该抛物线的对称轴为x＝﹣1，求m，n满足的等量关系．
【分析】（1）将点（1，3），（3，15）代入解析式求解．
（2）先求得抛物线的开口方向和对称轴，再根据各点到对称轴的距离判断y值大小；
（3）根据题意二次函数经过点（﹣2，0），代入解析式即可求得b＝2a，则抛物线为y＝ax2+2ax，把A、B坐标代入即可求得m＝a+2a＝3a，n＝9a+6a＝15a，从而得出n＝5m．
解：（1）∵m＝3，n＝15，
∴点（1，3），（3，15）在抛物线上，
将（1，3），（3，15）代入y＝ax2+bx得：，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x；
（2）∵A、B两点关于对称轴对称，
∴对称轴为直线x＝＝2，
∴点（﹣1，y1）到对称轴的距离最大，点（1，y2）到对称轴的距离最小，
∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∴y1＞y3＞y2；
（3）∵该抛物线的对称轴为x＝﹣1，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）经过点（0，0），
∴抛物线y＝ax2+bx（a＞0）经过点（﹣2，0），
∴4a﹣2b＝0，
∴b＝2a，
∴y＝ax2+2ax（a＞0），
∵A（1，m）和B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上，
∴m＝a+2a＝3a，n＝9a+6a＝15a，
∴＝＝，
∴n＝5m．
23．如图，已知⊙O的半径长为1，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC．
（1）求证：△OAD∽△ABD；
（2）当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；
（3）记△AOB、△AOD、△COD 的面积分别为S1、S2、S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OD的长．
【分析】（1）由△AOB≌△AOC，推出∠C＝∠B，由OA＝OC，推出∠OAC＝∠C＝∠B，由∠ADO＝∠ADB，即可证明△OAD∽△ABD；
（2）如图2中，当△OCD是直角三角形时，需要分类讨论解决问题；
（3）如图3中，作OH⊥AC于H，设OD＝x．想办法用x表示AD、AB、CD，再证明AD2＝AC•CD，列出方程即可解决问题；
【解答】（1）证明：如图1中，
在△AOB和△AOC中，
，
∴△AOB≌△AOC，
∴∠C＝∠B，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠C＝∠B，
∵∠ADO＝∠ADB，
∴△OAD∽△ABD．
（2）如图2中，①当∠ODC＝90°时，
∵BD⊥AC，OA＝OC，
∴AD＝DC，
∴BA＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
在Rt△OAD中，∵OA＝1，∠OAD＝30°，
∴OD＝OA＝，
∴AD＝＝，
∴BC＝AC＝2AD＝．
②∠COD＝90°，∠BOC＝90°，BC＝＝，
③∠OCD显然≠90°，不需要讨论．
综上所述，BC＝或．
（3）如图3中，作OH⊥AC于H，设OD＝x．
∵△DAO∽△DBA，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴AD＝，AB＝，
∵S2是S1和S3的比例中项，
∴S22＝S1•S3，
∵S2＝AD•OH，S1＝S△OAC＝•AC•OH，S3＝•CD•OH，
∴（AD•OH）2＝•AC•OH••CD•OH，
∴AD2＝AC•CD，
∵AC＝AB．CD＝AC﹣AD＝﹣，
∴（）2＝•（﹣），
整理得x2+x﹣1＝0，
解得x＝或，
经检验：x＝是分式方程的根，且符合题意，
∴OD＝．
（也可以利用角平分线的性质定理：＝＝，黄金分割点的性质解决这个问题）
方法2、设OD＝x，设△AOB的边上的高为h，则△AOD的边OD边上的高也为h，
∴＝＝，
设S△AOB＝a，
∴S△AOD＝ax，
∵△AOB≌△AOC，
∴S△AOC＝S△AOB＝a
∴S△AOC＝S△AOD+S△COD，
∴S△COD＝a﹣ax＝a（1﹣x），
∵S2是S1和S3的比例中项，
∴S22＝S1•S3，
∴（ax）2＝a×a（1﹣x），
∴x＝，
∵OD＞0，
∴OD＝．
2021-2022学年浙江省杭州市拱墅区九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．已知圆的半径为2cm，一点到圆心的距离是3cm，则这点在（ ）
A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定
2．如图，已知A，B均为⊙O上一点，若∠AOB＝80°，则∠ACB＝（ ）
A．80° B．70° C．60° D．40°
3．不透明的袋子里装有7个只有颜色不同的球，其中3个黑球，4个白球，搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．如果2a＝5b，那么下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是（ ）
A．y＝（x﹣3）2﹣2 B．y＝（x﹣3）2+2 C．y＝（x+3）2﹣2 D．y＝（x+3）2+2
6．如图，已知△ADE∽△ACB，若AB＝10，AC＝8，AD＝4，则AE的长是（ ）
A．3.2 B．4 C．5 D．20
7．已知点A（3，y1），B（4，y2），C（﹣3，y3）均在抛物线y＝﹣2x+m上，下列说法中正确的是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y1＜y3
8．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．（4﹣）米 C．2米 D．（4+）米
9．二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t＝a+b+1，则t值的变化范围是（ ）
A．0＜t＜1 B．0＜t＜2 C．1＜t＜2 D．﹣1＜t＜1
10．如图，H是△ABC的重心，延长AH交BC于D，延长BH交AC于M，E是DC上一点，且DE：EC＝5：2，连结AE交BM于G，则BH：HG：GM等于（ ）
A．7：5：2 B．13：5：2 C．5：3：1 D．26：10：3
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是 ．
12．已知圆的半径为2，则60°圆心角所对的弧长为 ．
13．已知S＝t2﹣2t﹣15，则S的最小值为 ．
14．已知一个正多边形内角的度数为108°，则它的边数为 ．
15．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝36°，连结BO并延长，交⊙O于D，则∠ACD＝ 度．
16．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10m/s，经过t（s）时球的高度为h（m）．已知物体竖直运动中，h＝v0t﹣（v0表示物体运动上弹开始时的速度，g表示重力系数，取g＝10m/s2）．则球从弹起至回到地面的过程中，前后两次高度达到3.75m的时间间隔为 s．
三、解答题本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．全面两孩政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划，假定生男生女的概率相同，回答下列问题：
（1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是 ；
（2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率．
18．（1）已知＝，求的值；
（2）已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB＝2，求PA、PB 的长．
19．如图，半圆O的直径AB＝20，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P．
（1）求AP的长；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
20．某单位为了创建城市文明单位，准备在单位的墙（线段MN所示）外开辟一处长方形的土地进行绿化美化，除墙体外三面要用栅栏围起来，计划用栅栏40米．
（1）不考虑墙体长度，问长方形的各边的长为多少米时，长方形的面积最大？
（2）若11≤AB≤12，试求长方形面积S的取值范围．
21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CB的延长线上，BA平分∠EBD，AE＝AB．
（1）求证：AC＝AD；
（2）求证：△AEB∽△ACD；
（3）当，AD＝6时，求CD的长．
22．在平面直角坐标系xOy中，A（1，m）和B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．
（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的解析式；
（2）若A、B两点关于对称轴对称，点（﹣1，y1），（1，y2），（4，y3）在该抛物线上，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
（3）若该抛物线的对称轴为x＝﹣1，求m，n满足的等量关系．
23．如图，已知⊙O的半径长为1，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC．
（1）求证：△OAD∽△ABD；
（2）当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；
（3）记△AOB、△AOD、△COD 的面积分别为S1、S2、S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OD的长．
参考答案
一、选择题本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．已知圆的半径为2cm，一点到圆心的距离是3cm，则这点在（ ）
A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定
【分析】根据点和圆的位置关系得出即可．
解：∵2＜3，
∴点在圆外，
故选：A．
2．如图，已知A，B均为⊙O上一点，若∠AOB＝80°，则∠ACB＝（ ）
A．80° B．70° C．60° D．40°
【分析】由同弧所对的圆心角和圆周角的关系可得，∠AOB＝2∠ACB，则结果即可得出．
解：由题意得，∠ACB＝∠AOB＝×80°＝40°．
故选：D．
3．不透明的袋子里装有7个只有颜色不同的球，其中3个黑球，4个白球，搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接根据概率公式求解即可．
解：∵装有7个只有颜色不同的球，其中4个白球，
∴从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率＝．
故选：C．
4．如果2a＝5b，那么下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用比例的性质对各选项进行判断．
解：∵2a＝5b，
∴＝，＝．
故选：A．
5．抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是（ ）
A．y＝（x﹣3）2﹣2 B．y＝（x﹣3）2+2 C．y＝（x+3）2﹣2 D．y＝（x+3）2+2
【分析】根据函数图象的平移规律：左加右减，上加下减，可得答案．
解：y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是y＝（x+3）2﹣2．
故选：C．
6．如图，已知△ADE∽△ACB，若AB＝10，AC＝8，AD＝4，则AE的长是（ ）
A．3.2 B．4 C．5 D．20
【分析】直接利用相似三角形的性质得出＝，进而求出答案．
解：∵△ADE∽△ACB，
∴＝，
∵AB＝10，AC＝8，AD＝4，
∴＝，
解得：AE＝5，
故选：C．
7．已知点A（3，y1），B（4，y2），C（﹣3，y3）均在抛物线y＝﹣2x+m上，下列说法中正确的是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y1＜y3
【分析】求得抛物线对称轴为直线x＝2，根据抛物线的性质，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，即可得到答案．
解：∵抛物线y＝﹣2x+m，
∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝﹣＝2，
∴抛物线上的点离对称轴最远，对应的函数值就越大，
∵点C（﹣3，y3）离对称轴最远，点A（3，y1）离对称轴最近，
∴y1＜y2＜y3．
故选：C．
8．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．（4﹣）米 C．2米 D．（4+）米
【分析】连接OC交AB于D，连接OA，根据垂径定理得到AD＝AB，根据勾股定理求出OD，结合图形计算，得到答案．
解：连接OC交AB于D，连接OA，
∵点C为运行轨道的最低点，
∴OC⊥AB，
∴AD＝AB＝3（米），
在Rt△OAD中，OD＝＝＝（米），
∴点C到弦AB所在直线的距离CD＝OC﹣OD＝（4﹣）米，
故选：B．
9．二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t＝a+b+1，则t值的变化范围是（ ）
A．0＜t＜1 B．0＜t＜2 C．1＜t＜2 D．﹣1＜t＜1
【分析】由二次函数的解析式可知，当x＝1时，所对应的函数值y＝t＝a+b+1．把点（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+1，a﹣b+1＝0，然后根据顶点在第一象限，可以画出草图并判断出a与b的符号，进而求出t＝a+b+1的变化范围．
解：∵二次函数y＝ax2+bx+1的顶点在第一象限，
且经过点（﹣1，0），
∴易得：a﹣b+1＝0，a＜0，b＞0，
由a＝b﹣1＜0得到b＜1，结合上面b＞0，所以0＜b＜1①，
由b＝a+1＞0得到a＞﹣1，结合上面a＜0，所以﹣1＜a＜0②，
∴由①+②得：﹣1＜a+b＜1，
在不等式两边同时加1得0＜a+b+1＜2，
∵a+b+1＝t代入得0＜t＜2，
∴0＜t＜2．
故选：B．
10．如图，H是△ABC的重心，延长AH交BC于D，延长BH交AC于M，E是DC上一点，且DE：EC＝5：2，连结AE交BM于G，则BH：HG：GM等于（ ）
A．7：5：2 B．13：5：2 C．5：3：1 D．26：10：3
【分析】过C作CF∥BM，交AE的延长线于F，设CF＝a，则GM＝a，依据CF∥BG，DE：EC＝5：3，D是BC的中点，可得BG＝6CF＝6a，再根据H是△ABC的重心，即可得到BH＝BM＝a，HG＝BG﹣BH＝a，进而得到BH：HG：GM＝a：a：a＝26：10：3．
解：如图，过C作CF∥BM，交AE的延长线于F，
∵H是△ABC的重心，
∴M是AC的中点，D是BC的中点，
∴G是AF的中点，
∴GM＝CF，
设CF＝a，则GM＝a，
∵CF∥BG，DE：EC＝5：2，D是BC的中点，
∴＝，
∴BG＝6CF＝6a，
∴BM＝a，
∵H是△ABC的重心，
∴BH＝BM＝a，
∴HG＝BG﹣BH＝6a﹣a＝a，
∴BH：HG：GM＝a：a：a＝26：10：3．
故选：D．
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是 （1，3） ．
【分析】根据题目中的函数解析式，可以直接写出该函数图象的顶点坐标．
解：∵二次函数y＝（x﹣1）2+3，
∴该函数图象的顶点坐标为（1，3），
故答案为：（1，3）．
12．已知圆的半径为2，则60°圆心角所对的弧长为 ．
【分析】利用弧长公式直接计算即可．
解：圆的半径为2，则60°圆心角所对的弧长＝＝．
故答案为：．
13．已知S＝t2﹣2t﹣15，则S的最小值为 ﹣16 ．
【分析】先根据完全平方公式配方，再根据偶次方的非负性即可求解．
解：∵S＝t2﹣2t﹣15＝（t﹣1）2﹣16，
∴当t＝1时，S取得最小值为﹣16．
故答案为：﹣16．
14．已知一个正多边形内角的度数为108°，则它的边数为 5 ．
【分析】根据相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数为72°，再用外角和360°除以72°，计算即可得解．
解：∵正多边形的每个内角等于108°，
∴每一个外角的度数为180°﹣108°＝72°，
∴边数＝360°÷72°＝5，
∴这个正多边形是正五边形．
故答案为：5．
15．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝36°，连结BO并延长，交⊙O于D，则∠ACD＝ 18 度．
【分析】连接AD，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求∠ABC＝∠ACB＝72°；利用直径所对的圆周角为直角，可得∠BAD＝90°，则∠ABD＝18°，利用同弧所对的圆周角相等即可求得结论．
解：连接AD，如图，
∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝72°．
∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠ADB＝72°．
∵BD是圆的直径，
∴∠BAD＝90°．
∴∠ABD＝90°﹣∠ADB＝18°．
∴∠ACD＝∠ABD＝18°．
故答案为：18．
16．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10m/s，经过t（s）时球的高度为h（m）．已知物体竖直运动中，h＝v0t﹣（v0表示物体运动上弹开始时的速度，g表示重力系数，取g＝10m/s2）．则球从弹起至回到地面的过程中，前后两次高度达到3.75m的时间间隔为 1 s．
【分析】将v0＝10，g＝10，h＝3.75代入h＝v0t﹣求解．
解：∵v0＝10，g＝10，
∴h＝10t﹣5t2，
将h＝3.75代入h＝10t﹣5t2得3.75＝10t﹣5t2，
解得t1＝0.5，t2＝1.5，
∴后两次高度达到3.75m的时间间隔为1.5﹣0.5＝1（s）．
故答案为：1．
三、解答题本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．全面两孩政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划，假定生男生女的概率相同，回答下列问题：
（1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是 ；
（2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出至少有一个孩子是女孩的结果数，然后根据概率公式求解．
解：（1）第二个孩子是女孩的概率＝；
故答案为；
（2）画树状图为：
共有4种等可能的结果数，其中至少有一个孩子是女孩的结果数为3，
所以至少有一个孩子是女孩的概率＝．
18．（1）已知＝，求的值；
（2）已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB＝2，求PA、PB 的长．
【分析】（1）设a＝3k，则b＝5k，代入，计算即可求解；
（2）根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则PA＝AB，PB＝AB，代入数据即可得出PA、PB的长．
解：（1）∵＝，
∴可设a＝3k，则b＝5k，
∴＝＝；
（2）∵点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB＝2，
∴PA＝AB＝﹣1，PB＝AB＝3﹣．
19．如图，半圆O的直径AB＝20，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P．
（1）求AP的长；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【分析】（1）先根据题意判断出△O′PB是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义求出PB的长，进而可得出AP的长；
（2）根据S阴影＝S扇形O′A′P+S△O′PB直接进行计算即可．
解：（1）∵∠OBA′＝45°，O′P＝O′B，
∴△O′PB是等腰直角三角形，
∴PB＝BO，
∴AP＝AB﹣BP＝20﹣10；
（2）阴影部分面积为：
S阴影＝S扇形O′A′P+S△O′PB＝×π×100+10×10×＝25π+50．
20．某单位为了创建城市文明单位，准备在单位的墙（线段MN所示）外开辟一处长方形的土地进行绿化美化，除墙体外三面要用栅栏围起来，计划用栅栏40米．
（1）不考虑墙体长度，问长方形的各边的长为多少米时，长方形的面积最大？
（2）若11≤AB≤12，试求长方形面积S的取值范围．
【分析】（1）设AB，CD长为x，则BC＝40﹣2x，通过矩形面积公式列出S与x的关系，通过配方求解．
（2）由S与x的关系式可得x大于10时，S随x增大而减小，进而求解．
解：（1）设AB，CD长为x，则BC＝40﹣2x，
∵0＜40﹣2x＜40，
∴0＜x＜20．
由题意得S＝AB•BC＝（40﹣2x）x＝﹣2（x﹣10）2+200（0＜x＜20），
∴x＝10时，40﹣2x＝20，S有最大值为200，
即BC长20米，AB＝CD＝10米时，长方形面积最大值为200平方米．
（2）∵11≤AB≤12，
∴11≤x≤12，
∵S＝﹣2（x﹣10）2+200，
∴x＞10时，S随x增大而减小，
当x＝11时，S＝﹣2×（11﹣10）2+200＝198，
当x＝12时，S＝﹣2×（12﹣10）2+200＝196，
∴196平方米≤S≤198平方米．
21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CB的延长线上，BA平分∠EBD，AE＝AB．
（1）求证：AC＝AD；
（2）求证：△AEB∽△ACD；
（3）当，AD＝6时，求CD的长．
【分析】（1）由BA平分∠EBD，得∠ABE＝∠ABD，再根据圆内接四边形的性质和圆周角定理可证∠ACD＝∠ADC，即可证明；
（2）由（1）知∠E＝∠ABE＝∠ACD＝∠ADC，从而证明结论；
（3）由△AEB∽△ACD，得，代入即可．
【解答】（1）证明：∵BA平分∠EBD，
∴∠ABE＝∠ABD，
∵∠ABE＝∠ADC，∠ABD＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴AC＝AD；
（2）证明：∵AE＝AB，
∴∠E＝∠ABE，
∴∠E＝∠ABE＝∠ACD＝∠ADC，
∴△AEB∽△ACD；
（3）解：由（2）知，△AEB∽△ACD，
∴，
∴CD＝＝4．
22．在平面直角坐标系xOy中，A（1，m）和B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．
（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的解析式；
（2）若A、B两点关于对称轴对称，点（﹣1，y1），（1，y2），（4，y3）在该抛物线上，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
（3）若该抛物线的对称轴为x＝﹣1，求m，n满足的等量关系．
【分析】（1）将点（1，3），（3，15）代入解析式求解．
（2）先求得抛物线的开口方向和对称轴，再根据各点到对称轴的距离判断y值大小；
（3）根据题意二次函数经过点（﹣2，0），代入解析式即可求得b＝2a，则抛物线为y＝ax2+2ax，把A、B坐标代入即可求得m＝a+2a＝3a，n＝9a+6a＝15a，从而得出n＝5m．
解：（1）∵m＝3，n＝15，
∴点（1，3），（3，15）在抛物线上，
将（1，3），（3，15）代入y＝ax2+bx得：，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x；
（2）∵A、B两点关于对称轴对称，
∴对称轴为直线x＝＝2，
∴点（﹣1，y1）到对称轴的距离最大，点（1，y2）到对称轴的距离最小，
∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∴y1＞y3＞y2；
（3）∵该抛物线的对称轴为x＝﹣1，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）经过点（0，0），
∴抛物线y＝ax2+bx（a＞0）经过点（﹣2，0），
∴4a﹣2b＝0，
∴b＝2a，
∴y＝ax2+2ax（a＞0），
∵A（1，m）和B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上，
∴m＝a+2a＝3a，n＝9a+6a＝15a，
∴＝＝，
∴n＝5m．
23．如图，已知⊙O的半径长为1，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC．
（1）求证：△OAD∽△ABD；
（2）当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；
（3）记△AOB、△AOD、△COD 的面积分别为S1、S2、S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OD的长．
【分析】（1）由△AOB≌△AOC，推出∠C＝∠B，由OA＝OC，推出∠OAC＝∠C＝∠B，由∠ADO＝∠ADB，即可证明△OAD∽△ABD；
（2）如图2中，当△OCD是直角三角形时，需要分类讨论解决问题；
（3）如图3中，作OH⊥AC于H，设OD＝x．想办法用x表示AD、AB、CD，再证明AD2＝AC•CD，列出方程即可解决问题；
【解答】（1）证明：如图1中，
在△AOB和△AOC中，
，
∴△AOB≌△AOC，
∴∠C＝∠B，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠C＝∠B，
∵∠ADO＝∠ADB，
∴△OAD∽△ABD．
（2）如图2中，①当∠ODC＝90°时，
∵BD⊥AC，OA＝OC，
∴AD＝DC，
∴BA＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
在Rt△OAD中，∵OA＝1，∠OAD＝30°，
∴OD＝OA＝，
∴AD＝＝，
∴BC＝AC＝2AD＝．
②∠COD＝90°，∠BOC＝90°，BC＝＝，
③∠OCD显然≠90°，不需要讨论．
综上所述，BC＝或．
（3）如图3中，作OH⊥AC于H，设OD＝x．
∵△DAO∽△DBA，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴AD＝，AB＝，
∵S2是S1和S3的比例中项，
∴S22＝S1•S3，
∵S2＝AD•OH，S1＝S△OAC＝•AC•OH，S3＝•CD•OH，
∴（AD•OH）2＝•AC•OH••CD•OH，
∴AD2＝AC•CD，
∵AC＝AB．CD＝AC﹣AD＝﹣，
∴（）2＝•（﹣），
整理得x2+x﹣1＝0，
解得x＝或，
经检验：x＝是分式方程的根，且符合题意，
∴OD＝．
（也可以利用角平分线的性质定理：＝＝，黄金分割点的性质解决这个问题）
方法2、设OD＝x，设△AOB的边上的高为h，则△AOD的边OD边上的高也为h，
∴＝＝，
设S△AOB＝a，
∴S△AOD＝ax，
∵△AOB≌△AOC，
∴S△AOC＝S△AOB＝a
∴S△AOC＝S△AOD+S△COD，
∴S△COD＝a﹣ax＝a（1﹣x），
∵S2是S1和S3的比例中项，
∴S22＝S1•S3，
∴（ax）2＝a×a（1﹣x），
∴x＝，
∵OD＞0，
∴OD＝．
相关试卷
2021-2022学年浙江省杭州市拱墅区七年级（下）期末数学试卷（Word解析版）： 这是一份2021-2022学年浙江省杭州市拱墅区七年级（下）期末数学试卷（Word解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年浙江省杭州市拱墅区九年级中考一模数学试卷(word版含答案)： 这是一份2022年浙江省杭州市拱墅区九年级中考一模数学试卷(word版含答案)，共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
浙江省杭州市拱墅区2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷（word版 含答案）： 这是一份浙江省杭州市拱墅区2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷（word版 含答案），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
