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浙江省杭州市上城区英特外国语学校普通班2021-2022学年九年级上学期期中数学【试卷+答案】
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这是一份浙江省杭州市上城区英特外国语学校普通班2021-2022学年九年级上学期期中数学【试卷+答案】，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年浙江省杭州市上城区英特外国语学校普通班九年级第一学期期中数学试卷
一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列计算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12 B．（2a）2＝2a2
C．（a3）2＝a5 D．（﹣2×102）3＝﹣8×106
2．下列命题中不正确的是（ ）
A．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴
B．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心
C．图形经过旋转所得的对应点到旋转中心的距离相等
D．平分弦的直径一定垂直于这条弦
3．比赛中给一名选手打分时，经常会去掉一个最高分，去掉一个最低分，这样的评分方式一定不会改变选手成绩数据的（ ）
A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差
4．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简代数式，结果为（ ）
A．2a B．2b C．﹣2a D．2
5．小强和爷爷去爬山，爷爷先出发一段时间后小强再出发，途中小强追上了爷爷并最终先爬到山顶，两人所爬的高度h（米）与小强出发后的时间t（分钟）的函数关系如图所示，给出结论①山的高度是720米，②l1表示的是爷爷爬山的情况，l2表示的是小强爬山的情况；③小强爬山的速度是爷爷的2倍，④爷爷比小强先出发20分钟．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．一次函数y＝kx+5（k为常数，且k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣的图象交于A（﹣2，b）、B两点．若将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，则m的值为（ ）
A．1 B．1或8 C．2或8 D．1或9
7．如图，在平面直角坐标系中，AB∥DC，AC⊥BC，CD＝AD＝5，AC＝6，将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合，则m的值是（ ）
A．11.4 B．11.6 C．12.4 D．12.6
8．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+1，0）（点A在点B的左侧），对称轴为l：x＝1，直线y＝kx+2（k≠0）与抛物线相交于两点M（x1，y1），N（x2，y2）（x1＜x2），则|x1﹣x2|最小值为（ ）
A．4 B．4 C．2 D．2
9．如图，已知AB＝8，P为线段AB上一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点，当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为（ ）
A． B． C．4 D．3
10．如图，已知E为正方形ABCD中CD边上一点，连接BE，过点C作CF⊥BE交AD于F，垂足为G．连接AG、BF，交于点H，AG＝AB＝11．①CE＝DF；②∠ABF＝∠AGF；③GH＝6；④＝，正确的是（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
11．的立方根是 ．
12．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点．若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为 ．
13．点P是第一象限内的点，若点P（2+a，3a+4）到x轴和y轴的距离相等，则点P的坐标为 ．
14．如图，在平行四边形ABCD中，点E是DC中点，BE与AC相交于点O，如果△EOC的面积是2cm2，那么△ABC的面积是 cm2．
15．二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于两点（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1，下列四个结论①abc＜0；②2a﹣c＜0；③a+2b+4c＞0；④，正确的序号是 ．
16．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝60°，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为 ．
三、解答题（7道大题，共66分）
17．先化简，再求值：（﹣）•，其中x＝，y＝．
18．高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野，…为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（24天）的阅读总时间作了随机抽样分析．设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t（小时），阅读总时间分为四个类别：A（0≤t＜12），B（12≤t＜24），C（24≤t＜36），D（t≥36），将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样的样本容量为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中a的值为 ，圆心角β的度数为 ；
（4）若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？对这些学生用一句话提一条阅读方面的建议．
19．阅读下面的材料：
如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x取值范围内的任意x1，x2，
（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；
（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．
例题：证明函数f（x）＝x2（x＞0）是增函数．
证明：任取x1＜x2，且x1＞0，x2＞0．
则f（x1）﹣f（x2）＝x12﹣x22＝（x1+x2）（x1﹣x2）．
∵x1＜x2且x1＞0，x2＞0，
∴x1+x2＞0，x1﹣x2＜0．
∴（x1+x2）（x1﹣x2）＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）＝x2（x＞0）是增函数．
根据以上材料解答下列问题：
（1）函数f（x）＝（x＞0），f（1）＝＝1，f（2）＝，f（3）＝ ，f（4）＝ ；
（2）猜想f（x）＝（x＞0）是 函数（填“增”或“减”），并证明你的猜想．
20．某公司计划生产甲、乙两种产品，公司市场部根据调查后得出：甲种产品所获年利润y1（万元）与投入资金n（万元的平方成正比例；乙种产品所获得年利润y2（万元）与投入资金n（万元）成正比例，并得到表格中的数据．设公司计划共投入资金m（万元）（m为常数且m＞0）生产甲乙两种产品，其中投入甲种产品资金为x（万元）（其中0≤x≤m），所获全年总利润W（万元）为y1与y2之和．
n（万元）
y1（万元）
y2（万元）
2
0.1
1
（1）求y1与y2的表达式；
（2）求W关于x的函数关系式（用含m的式子表示）；
（3）当m＝50时，公司从全年总利润W中扣除投入甲种产品资金的k倍（0＜k≤3）用于其它产品的生产后，得到剩余利润W剩余（万元），若W剩余随x增大而减小，直接写出k的取值范围．
21．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．
（1）若AP＝1，则AE＝ ；
（2）求证：点O一定在△APE的外接圆上；
（3）当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；
（4）在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值．
参考答案
一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列计算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12 B．（2a）2＝2a2
C．（a3）2＝a5 D．（﹣2×102）3＝﹣8×106
【分析】根据同底数的幂的乘法法则可判定A，根据积的乘方法则可判定B，根据幂的乘方法则可判定C，根据积的乘方和幂的乘方法则可判断D．
解：a3•a4＝a7，故A不正确，不符合题意；
（2a）2＝4a2，故B不正确，不符合题意；
（a3）2＝a6，故C不正确，不符合题意；
（﹣2×102）3＝﹣8×106，故D正确，符合题意；
故选：D．
2．下列命题中不正确的是（ ）
A．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴
B．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心
C．图形经过旋转所得的对应点到旋转中心的距离相等
D．平分弦的直径一定垂直于这条弦
【分析】根据轴对称图形，中心对称图形，旋转变换的性质以及垂径定理一一判断即可．
解：A、圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴，正确，本选项不符合题意．
B、圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，正确，本选项不符合题意．
C、图形经过旋转所得的对应点到旋转中心的距离相等，正确，本选项不符合题意．
D、平分弦的直径一定垂直于这条弦，错误，这条弦不能是直径，本选项符合题意．
故选：D．
3．比赛中给一名选手打分时，经常会去掉一个最高分，去掉一个最低分，这样的评分方式一定不会改变选手成绩数据的（ ）
A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差
【分析】去掉一个最高分和最低分后不会对数据的中间的数产生影响，即中位数．
解：统计每位选手得分时，去掉一个最高分和一个最低分，这样做不会对数据的中间的数产生影响，即中位数．
故选：C．
4．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简代数式，结果为（ ）
A．2a B．2b C．﹣2a D．2
【分析】先把二次根式的化简写成绝对值的形式，再根据绝对值的性质进行化简，去括号计算．
解：∵
＝|a﹣b|+|b﹣|﹣a﹣
＝b﹣a+﹣b﹣a﹣
＝﹣2a；
故选：C．
5．小强和爷爷去爬山，爷爷先出发一段时间后小强再出发，途中小强追上了爷爷并最终先爬到山顶，两人所爬的高度h（米）与小强出发后的时间t（分钟）的函数关系如图所示，给出结论①山的高度是720米，②l1表示的是爷爷爬山的情况，l2表示的是小强爬山的情况；③小强爬山的速度是爷爷的2倍，④爷爷比小强先出发20分钟．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①根据函数图象中的数据，可以得山的高度是720米；
②根据题意可知，l1表示的是小强爬山的情况，l2表示的是爷爷爬山的情况；
③根据题意和函数图象中的数据，可以求出小强爬山的速度为12米/分，爷爷爬山的速度为6米/分；
④根据爷爷爬山的速度，结合图象可知爷爷比小强先出发：240÷6＝40（分钟）．
解：由题意得：
山的高度是720米，故①正确；
l1表示的是小强爬山的情况，l2表示的是爷爷爬山的情况，故②错误；
小强爬山的速度为：720÷60＝12（米/分），爷爷爬山的速度为：（720﹣240）÷80＝6（米/分），故③正确；
爷爷比小强先出发：240÷6＝40（分钟），故④错误．
故正确的有2个．
故选：B．
6．一次函数y＝kx+5（k为常数，且k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣的图象交于A（﹣2，b）、B两点．若将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，则m的值为（ ）
A．1 B．1或8 C．2或8 D．1或9
【分析】先利用反比例函数解析式求出b，得到A点坐标为（﹣2，4），然后把A点坐标代入y＝kx+5中求出k，从而得到一次函数解析式；由于将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得直线解析式为y＝kx+5﹣m，则直线y＝kx+5﹣m与反比例函数有且只有一个公共点，即方程组，只有一组解，然后消去y得到关于x的二次函数，再根据判别式的意义得到关于m的方程，最后解方程求出m的值．
解：把A（﹣2，b）代入y＝﹣得b＝﹣＝4，
所以A点坐标为（﹣2，4），
把A（﹣2，4）代入y＝kx+5得﹣2k+5＝4，解得k＝，
所以一次函数解析式为y＝x+5；
将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得直线解析式为y＝x+5﹣m，
根据题意方程组只有一组解，
消去y得﹣＝x+5﹣m，
整理得x2﹣（m﹣5）x+8＝0，
△＝（m﹣5）2﹣4××8＝0，解得m＝9或m＝1，
故选：D．
7．如图，在平面直角坐标系中，AB∥DC，AC⊥BC，CD＝AD＝5，AC＝6，将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合，则m的值是（ ）
A．11.4 B．11.6 C．12.4 D．12.6
【分析】如图，过点D作DT⊥AC交AC于J，交AB于T，连接CT．想办法求出OB的长即可．
解：如图，过点D作DT⊥AC交AC于J，交AB于T，连接CT．
∵AD＝DC＝5，DJ⊥AC，
∴AJ＝JC＝3，
∴DJ＝＝＝4，
∵CD∥AT．
∴∠DCJ＝∠TAJ，
∵∠DJC＝∠TJA，
∴△DCJ≌△TAJ（ASA），
∴CD＝AT＝5，DJ＝JT＝4，
∵∠AJT＝∠ACB＝90°，
∴JT∥BC，
∵AJ＝JC，
∴AT＝TB＝5，
设OA＝x，∵OD2＝AD2﹣OA2＝DT2﹣OT2，
∴52﹣x2＝82﹣（x+5）2，
解得x＝1.4，
∴OB＝OA+AB＝1.4+10＝11.4，
∵将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合，
∴m＝OB＝11.4，
故选：A．
8．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+1，0）（点A在点B的左侧），对称轴为l：x＝1，直线y＝kx+2（k≠0）与抛物线相交于两点M（x1，y1），N（x2，y2）（x1＜x2），则|x1﹣x2|最小值为（ ）
A．4 B．4 C．2 D．2
【分析】先求得抛物线解析式，然后联立抛物线和直线MN，建立方程组，转化为关于x的一元二次方程，进而根据根与系数的关系得出x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣3，再求|x1﹣x2|最小值．
解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+1，0），
∴＝1．
∴m＝1．
∴点A（﹣1，0），B（3，0），
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．
则，
∴x2+（k﹣2）x﹣1＝0①，
∴x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣1，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（2﹣k）2+4，
要使|x1﹣x2|最小，则（x1﹣x2）2最小，
∴（k﹣2）2+4最小，
即k＝2时，|x1﹣x2|最小值为2．
故选：C．
9．如图，已知AB＝8，P为线段AB上一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点，当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为（ ）
A． B． C．4 D．3
【分析】连接PM、PN．首先证明∠MPN＝90°，设PA＝2a，则PB＝8﹣2a，PM＝a，PN＝（4﹣a），构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
解：连接PM、PN．
∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP＝60°，
∴∠APC＝120°，∠EPB＝60°，
∵M，N分别是对角线AC，BE的中点，
∴∠CPM＝∠APC＝60°，∠EPN＝∠EPB＝30°，
∴∠MPN＝60°+30°＝90°，
设PA＝2a，则PB＝8﹣2a，PM＝a，PN＝（4﹣a），
∴MN＝＝＝，
∴a＝3时，MN有最小值，最小值为2，
故选：A．
10．如图，已知E为正方形ABCD中CD边上一点，连接BE，过点C作CF⊥BE交AD于F，垂足为G．连接AG、BF，交于点H，AG＝AB＝11．①CE＝DF；②∠ABF＝∠AGF；③GH＝6；④＝，正确的是（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
【分析】由“ASA”可证△BCE≌△CDF，可得CE＝DF，故①正确；延长CF，BA交于点N，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可证∠N＝∠AGN，可得AN＝AG＝AB＝CD，由“AAS”可证△DFC≌△AFN，可得NF＝CF，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可得∠N＝∠ABF，可证∠ABF＝∠AGF，故②正确；过点F作FM∥AB，交AG于M，设AB＝CD＝AD＝BC＝AN＝4a，由全等三角形的性质可得CE＝AF＝DF＝2a，可判断④错误，由相似三角形的性质分别求出FM＝a＝MG，MH＝a，即可求MH＝6，故③正确；即可求解．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵CF⊥BE，
∴∠BGC＝90°，
∴∠BCG+∠EBC＝90°＝∠BCG+∠DCF，
∴∠EBC＝∠DCF，
又∵BC＝CD，∠D＝∠BCE＝90°，
∴△BCE≌△CDF（ASA），
∴CE＝DF，故①正确；
如图1，延长CF，BA交于点N，
∵AB＝AG，
∴∠ABG＝∠AGB，
∵∠BGN＝90°，
∴∠N＝∠AGN，
∴AG＝AN，
∴AN＝AG＝AB＝CD，
又∵∠NAF＝∠D＝90°，∠AFN＝∠DFC，
∴△DFC≌△AFN（AAS），
∴NF＝CF，
∵∠NBC＝90°，
∴BF＝NF＝CF，
∴∠N＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠AGF，故②正确；
如图2，过点F作FM∥AB，交AG于M，
设AB＝CD＝AD＝BC＝AN＝4a，
∵△DFC≌△AFN，
∴AF＝FD＝2a，
∴CE＝DF＝2a，
∴，故④错误；
∵AB∥CD，
∴△EGC∽△BGN，
∴＝＝，
∴NG＝4CG，
∴NC＝5CG，
∴NF＝CF＝CG，
∴FG＝CG，
∵FM∥AN，
∴△FMG∽△NAG，
∴＝，
∴＝，
∴FM＝a＝MG，
∴AM＝a，
∵AB∥FM，
∴△ABH∽△MFH，
∴＝＝，
∴MH＝AH，
∴MH＝a，
∴MH＝MH+MG＝a，
∵AB＝AG＝11＝4a，
∴MH＝6，故③正确；
故选：C．
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
11．的立方根是 2 ．
【分析】根据算术平方根的定义先求出，再根据立方根的定义即可得出答案．
解：∵＝8，
∴的立方根是2；
故答案为：2．
12．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点．若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为 25° ．
【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB＝90°，然后根据∠CAB＝65°求得∠ABC的度数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可．
解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝65°，
∴∠ABC＝90°−∠CAB＝25°，
∴∠ADC＝∠ABC＝25°，
故答案为25°．
13．点P是第一象限内的点，若点P（2+a，3a+4）到x轴和y轴的距离相等，则点P的坐标为 （1，1） ．
【分析】让点P的横纵坐标相等得到a的值，可得到点P的坐标．
解：∵点P是第一象限内的点，点P（2+a，3a+4）到x轴和y轴的距离相等，
∴2+a＝3a+4，
解得a＝﹣1，
∴点P的坐标为（1，1），
故答案为（1，1）．
14．如图，在平行四边形ABCD中，点E是DC中点，BE与AC相交于点O，如果△EOC的面积是2cm2，那么△ABC的面积是 12 cm2．
【分析】首先证明OB＝2OE，OA＝2OC，利用等高模型解决问题即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴△EOC∽△BOA，
∴，
∵DE＝EC，
∴，＝，
∴OB＝2OE，OA＝2OC，
∵△EOC的面积是2cm2，
∴△BOC的面积为4cm2，△AOB的面积为8cm2，
∴△ABC的面积为8+4＝12cm2．
故答案为：12．
15．二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于两点（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1，下列四个结论①abc＜0；②2a﹣c＜0；③a+2b+4c＞0；④，正确的序号是 ①②④ ．
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴的位置求出a与b的关系．
解：①∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴的右侧，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
②∵图象与x轴交于两点（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1，
∴＜﹣＜，
∴1＜﹣＜，
当﹣＜时，b＞﹣3a，
∵当x＝2时，y＝4a+2b+c＝0，
∴b＝﹣2a﹣c，
∴﹣2a﹣c＞﹣3a，
∴2a﹣c＞0，故②正确；
③当x＝时，y的值为a+b+c，
给a+b+c乘以4，即可化为a+2b+4c，
∵抛物线的对称轴在1＜﹣＜，
∴x＝关于对称轴对称点的横坐标在和之间，
由图象可知在和2之间y为负值，2和之间y为正值，
∴a+2b+4c与0的关系不能确定，
故③错误；
④∵﹣＞1，
∴2a+b＜0，
∴（2a+b）2＞0，
4a2+b2+4ab＞0，
4a2+b2＞﹣4ab，
∵a＞0，b＜0，
∴ab＜0，
∴＜﹣4，
即，
故④正确．
故答案为：①②④．
16．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝60°，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为 1 ．
【分析】如图，连接CE．首先证明∠BEC＝120°，由此推出点E在以O'为圆心，O'B为半径的上运动，连接O'A交于E′，此时AE′的值最小．
解：如图，连接CE．
∵AP∥BC，
∴∠PAC＝∠ACB＝60°，
∴∠CEP＝∠CAP＝60°，
∴∠BEC＝120°，
∴点E在以O'为圆心，O'B为半径的上运动，
连接O'A交于E′，此时AE′的值最小．此时⊙O与⊙O'交点为E'．
∵∠BE'C＝120°
∴所对圆周角为60°，
∴∠BOC＝2×60°＝120°，
∵△BO′C是等腰三角形，BC＝4，
∴O′B＝O′C＝4，
∵∠ACB＝60°，∠BCO'＝30°，
∴∠ACO'＝90°
∴O'A＝＝＝5，
∴AE′＝O'A﹣O'E′＝5﹣4＝1．
故答案为：1．
三、解答题（7道大题，共66分）
17．先化简，再求值：（﹣）•，其中x＝，y＝．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x、y的值代入进行计算即可．
解：原式＝（﹣）•
＝（﹣）•
＝•
＝，
∵x＝，y＝，
∴原式＝
＝
＝﹣．
18．高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野，…为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（24天）的阅读总时间作了随机抽样分析．设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t（小时），阅读总时间分为四个类别：A（0≤t＜12），B（12≤t＜24），C（24≤t＜36），D（t≥36），将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样的样本容量为 60 ；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中a的值为 20 ，圆心角β的度数为 144° ；
（4）若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？对这些学生用一句话提一条阅读方面的建议．
【分析】（1）根据D组的人数和百分比即可求出样本容量；
（2）根据C组所占的百分比即可求出C组的人数；
（3）根据A组的人数即可求出A组所占的百分比，根据C组所占的百分比即可求出对应的圆心角；
（4）先算出低于24小时的学生的百分比，再估算出全校低于24小时的学生的人数．
解：（1）本次抽样的人数为（人），
∴样本容量为60，
故答案为60；
（2）C组的人数为40%×60＝24（人），
统计图如下：
（3）A组所占的百分比为，
∴a的值为20，
β＝40%×360°＝144°，
故答案为20，144°；
（4）总时间少于24小时的学生的百分比为，
∴全校寒假阅读的总时间少于24小时的学生估计有2000×50%＝1000（名），
建议：读书是人类文明进步的阶梯，建议每天读书至少1小时．
19．阅读下面的材料：
如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x取值范围内的任意x1，x2，
（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；
（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．
例题：证明函数f（x）＝x2（x＞0）是增函数．
证明：任取x1＜x2，且x1＞0，x2＞0．
则f（x1）﹣f（x2）＝x12﹣x22＝（x1+x2）（x1﹣x2）．
∵x1＜x2且x1＞0，x2＞0，
∴x1+x2＞0，x1﹣x2＜0．
∴（x1+x2）（x1﹣x2）＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）＝x2（x＞0）是增函数．
根据以上材料解答下列问题：
（1）函数f（x）＝（x＞0），f（1）＝＝1，f（2）＝，f（3）＝ ，f（4）＝ ；
（2）猜想f（x）＝（x＞0）是 减 函数（填“增”或“减”），并证明你的猜想．
【分析】（1）根据题目中函数解析式可以解答本题；
（2）根据题目中例子的证明方法可以证明猜想成立．
解：（1），，
故答案为，；
（2）猜想：是减函数，
证明：任取x1＜x2，x1＞0，x2＞0，则＝，
∵x1＜x2且x1＞0，x2＞0，
∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，
∴＞0，即f（x1）﹣f（x2）＞0，
∴函数是减函数，
故答案为减．
20．某公司计划生产甲、乙两种产品，公司市场部根据调查后得出：甲种产品所获年利润y1（万元）与投入资金n（万元的平方成正比例；乙种产品所获得年利润y2（万元）与投入资金n（万元）成正比例，并得到表格中的数据．设公司计划共投入资金m（万元）（m为常数且m＞0）生产甲乙两种产品，其中投入甲种产品资金为x（万元）（其中0≤x≤m），所获全年总利润W（万元）为y1与y2之和．
n（万元）
y1（万元）
y2（万元）
2
0.1
1
（1）求y1与y2的表达式；
（2）求W关于x的函数关系式（用含m的式子表示）；
（3）当m＝50时，公司从全年总利润W中扣除投入甲种产品资金的k倍（0＜k≤3）用于其它产品的生产后，得到剩余利润W剩余（万元），若W剩余随x增大而减小，直接写出k的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由题意得：W＝（m﹣x）+x2＝x2﹣x+m；
（3）由题意得：W剩余＝W＝x2﹣x+25﹣kx＝x2﹣（+k）x+25，根据函数的增减性即可求解．
解：（1）设y1＝k1n2，y2＝k2n，
将（2，0.1）、（2，1）分别代入上述两式得，
解得：，
故y1和y2关于n的函数关系式分别为y1＝n2，y2＝n；
（2）设投入甲种产品资金为x万元，则投入乙产品的资金为（m﹣x）万元，
由题意得：W＝x2+（m﹣x）＝x2﹣x+m，
∴W关于x的函数关系式为W＝x2﹣x+m；
（3）当m＝50时，W＝x2﹣x+25（0≤x≤50）；
由题意得：W剩余＝W﹣kx＝x2﹣x+25﹣kx＝x2﹣（+k）x+25，
函数的对称轴为x＝﹣＝10+20k，
∵＞0，故当x＜10+20k时，W剩余随x的增大而减小，
则50≤10+20k，解得k≥2，
故k的取值范围为2≤k≤3．
21．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．
（1）若AP＝1，则AE＝ ；
（2）求证：点O一定在△APE的外接圆上；
（3）当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；
（4）在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值．
【分析】（1）证明△AEP∽△BPC，根据对应边成比例即可得出AE的长；
（2）取PE的中点Q，连接AQ，OQ，利用直角三角形的性质可知OQ＝AQ，则点O一定在△APE的外接圆上；
（3）由A，P，O，E四点共圆，得∠OAP＝∠OEP＝45°，则点O在AC上，即可解决问题；
（4）设△APE的外接圆的圆心为M，作MN⊥AB于N，设AP＝x，则BP＝4﹣x，由（1）得，△APE∽△BCP，得AE＝x﹣，从而解决问题．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD与四边形PEFG是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠EPG＝90°，PF⊥EG，AB＝BC＝4，∠OEP＝45°，
∴∠AEP+∠APE＝90°，∠BPC+∠APE＝90°，
∴∠AEP＝∠BPC，
∴△AEP∽△BPC，
∴，
即，
解得：AE＝，
故答案为：；
（2）证明：如图，取PE的中点Q，连接AQ，OQ，
∵∠POE＝90°，
∴OQ＝，
∵△APE是直角三角形，
∴点Q是Rt△APE的外接圆的圆心，
∴AQ＝PE，
∴OQ＝AQ，
∴点O一定在△APE的外接圆上；
（3）解：如图，连接OA，AC，
∵四边形ABCD是正方形联立，
∴∠B＝90°，∠BAC＝45°，
∴AC＝＝4，
∵A，P，O，E四点共圆，
∴∠OAP＝∠OEP＝45°，
∴点O在AC上，
当点P运动到点B时，O为AC的中点，OA＝，
即点O经过的路径长为2；
（4）解：如图，设△APE的外接圆的圆心为M，作MN⊥AB于N，
则MN∥AE，
∵ME＝MP，
∴AN＝PN，
∴MN＝，
设AP＝x，则BP＝4﹣x，
由（1）得，△APE∽△BCP，
∴，
即，
解得：AE＝x﹣，
∴x＝2时，AE的值最大为1，此时MN的值最大为，
即该圆心到AB边的距离的最大值为．
2021-2022学年浙江省杭州市上城区英特外国语学校普通班九年级第一学期期中数学试卷
一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列计算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12 B．（2a）2＝2a2
C．（a3）2＝a5 D．（﹣2×102）3＝﹣8×106
2．下列命题中不正确的是（ ）
A．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴
B．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心
C．图形经过旋转所得的对应点到旋转中心的距离相等
D．平分弦的直径一定垂直于这条弦
3．比赛中给一名选手打分时，经常会去掉一个最高分，去掉一个最低分，这样的评分方式一定不会改变选手成绩数据的（ ）
A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差
4．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简代数式，结果为（ ）
A．2a B．2b C．﹣2a D．2
5．小强和爷爷去爬山，爷爷先出发一段时间后小强再出发，途中小强追上了爷爷并最终先爬到山顶，两人所爬的高度h（米）与小强出发后的时间t（分钟）的函数关系如图所示，给出结论①山的高度是720米，②l1表示的是爷爷爬山的情况，l2表示的是小强爬山的情况；③小强爬山的速度是爷爷的2倍，④爷爷比小强先出发20分钟．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．一次函数y＝kx+5（k为常数，且k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣的图象交于A（﹣2，b）、B两点．若将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，则m的值为（ ）
A．1 B．1或8 C．2或8 D．1或9
7．如图，在平面直角坐标系中，AB∥DC，AC⊥BC，CD＝AD＝5，AC＝6，将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合，则m的值是（ ）
A．11.4 B．11.6 C．12.4 D．12.6
8．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+1，0）（点A在点B的左侧），对称轴为l：x＝1，直线y＝kx+2（k≠0）与抛物线相交于两点M（x1，y1），N（x2，y2）（x1＜x2），则|x1﹣x2|最小值为（ ）
A．4 B．4 C．2 D．2
9．如图，已知AB＝8，P为线段AB上一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点，当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为（ ）
A． B． C．4 D．3
10．如图，已知E为正方形ABCD中CD边上一点，连接BE，过点C作CF⊥BE交AD于F，垂足为G．连接AG、BF，交于点H，AG＝AB＝11．①CE＝DF；②∠ABF＝∠AGF；③GH＝6；④＝，正确的是（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
11．的立方根是 ．
12．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点．若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为 ．
13．点P是第一象限内的点，若点P（2+a，3a+4）到x轴和y轴的距离相等，则点P的坐标为 ．
14．如图，在平行四边形ABCD中，点E是DC中点，BE与AC相交于点O，如果△EOC的面积是2cm2，那么△ABC的面积是 cm2．
15．二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于两点（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1，下列四个结论①abc＜0；②2a﹣c＜0；③a+2b+4c＞0；④，正确的序号是 ．
16．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝60°，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为 ．
三、解答题（7道大题，共66分）
17．先化简，再求值：（﹣）•，其中x＝，y＝．
18．高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野，…为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（24天）的阅读总时间作了随机抽样分析．设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t（小时），阅读总时间分为四个类别：A（0≤t＜12），B（12≤t＜24），C（24≤t＜36），D（t≥36），将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样的样本容量为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中a的值为 ，圆心角β的度数为 ；
（4）若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？对这些学生用一句话提一条阅读方面的建议．
19．阅读下面的材料：
如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x取值范围内的任意x1，x2，
（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；
（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．
例题：证明函数f（x）＝x2（x＞0）是增函数．
证明：任取x1＜x2，且x1＞0，x2＞0．
则f（x1）﹣f（x2）＝x12﹣x22＝（x1+x2）（x1﹣x2）．
∵x1＜x2且x1＞0，x2＞0，
∴x1+x2＞0，x1﹣x2＜0．
∴（x1+x2）（x1﹣x2）＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）＝x2（x＞0）是增函数．
根据以上材料解答下列问题：
（1）函数f（x）＝（x＞0），f（1）＝＝1，f（2）＝，f（3）＝ ，f（4）＝ ；
（2）猜想f（x）＝（x＞0）是 函数（填“增”或“减”），并证明你的猜想．
20．某公司计划生产甲、乙两种产品，公司市场部根据调查后得出：甲种产品所获年利润y1（万元）与投入资金n（万元的平方成正比例；乙种产品所获得年利润y2（万元）与投入资金n（万元）成正比例，并得到表格中的数据．设公司计划共投入资金m（万元）（m为常数且m＞0）生产甲乙两种产品，其中投入甲种产品资金为x（万元）（其中0≤x≤m），所获全年总利润W（万元）为y1与y2之和．
n（万元）
y1（万元）
y2（万元）
2
0.1
1
（1）求y1与y2的表达式；
（2）求W关于x的函数关系式（用含m的式子表示）；
（3）当m＝50时，公司从全年总利润W中扣除投入甲种产品资金的k倍（0＜k≤3）用于其它产品的生产后，得到剩余利润W剩余（万元），若W剩余随x增大而减小，直接写出k的取值范围．
21．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．
（1）若AP＝1，则AE＝ ；
（2）求证：点O一定在△APE的外接圆上；
（3）当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；
（4）在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值．
参考答案
一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列计算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12 B．（2a）2＝2a2
C．（a3）2＝a5 D．（﹣2×102）3＝﹣8×106
【分析】根据同底数的幂的乘法法则可判定A，根据积的乘方法则可判定B，根据幂的乘方法则可判定C，根据积的乘方和幂的乘方法则可判断D．
解：a3•a4＝a7，故A不正确，不符合题意；
（2a）2＝4a2，故B不正确，不符合题意；
（a3）2＝a6，故C不正确，不符合题意；
（﹣2×102）3＝﹣8×106，故D正确，符合题意；
故选：D．
2．下列命题中不正确的是（ ）
A．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴
B．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心
C．图形经过旋转所得的对应点到旋转中心的距离相等
D．平分弦的直径一定垂直于这条弦
【分析】根据轴对称图形，中心对称图形，旋转变换的性质以及垂径定理一一判断即可．
解：A、圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴，正确，本选项不符合题意．
B、圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，正确，本选项不符合题意．
C、图形经过旋转所得的对应点到旋转中心的距离相等，正确，本选项不符合题意．
D、平分弦的直径一定垂直于这条弦，错误，这条弦不能是直径，本选项符合题意．
故选：D．
3．比赛中给一名选手打分时，经常会去掉一个最高分，去掉一个最低分，这样的评分方式一定不会改变选手成绩数据的（ ）
A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差
【分析】去掉一个最高分和最低分后不会对数据的中间的数产生影响，即中位数．
解：统计每位选手得分时，去掉一个最高分和一个最低分，这样做不会对数据的中间的数产生影响，即中位数．
故选：C．
4．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简代数式，结果为（ ）
A．2a B．2b C．﹣2a D．2
【分析】先把二次根式的化简写成绝对值的形式，再根据绝对值的性质进行化简，去括号计算．
解：∵
＝|a﹣b|+|b﹣|﹣a﹣
＝b﹣a+﹣b﹣a﹣
＝﹣2a；
故选：C．
5．小强和爷爷去爬山，爷爷先出发一段时间后小强再出发，途中小强追上了爷爷并最终先爬到山顶，两人所爬的高度h（米）与小强出发后的时间t（分钟）的函数关系如图所示，给出结论①山的高度是720米，②l1表示的是爷爷爬山的情况，l2表示的是小强爬山的情况；③小强爬山的速度是爷爷的2倍，④爷爷比小强先出发20分钟．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①根据函数图象中的数据，可以得山的高度是720米；
②根据题意可知，l1表示的是小强爬山的情况，l2表示的是爷爷爬山的情况；
③根据题意和函数图象中的数据，可以求出小强爬山的速度为12米/分，爷爷爬山的速度为6米/分；
④根据爷爷爬山的速度，结合图象可知爷爷比小强先出发：240÷6＝40（分钟）．
解：由题意得：
山的高度是720米，故①正确；
l1表示的是小强爬山的情况，l2表示的是爷爷爬山的情况，故②错误；
小强爬山的速度为：720÷60＝12（米/分），爷爷爬山的速度为：（720﹣240）÷80＝6（米/分），故③正确；
爷爷比小强先出发：240÷6＝40（分钟），故④错误．
故正确的有2个．
故选：B．
6．一次函数y＝kx+5（k为常数，且k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣的图象交于A（﹣2，b）、B两点．若将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，则m的值为（ ）
A．1 B．1或8 C．2或8 D．1或9
【分析】先利用反比例函数解析式求出b，得到A点坐标为（﹣2，4），然后把A点坐标代入y＝kx+5中求出k，从而得到一次函数解析式；由于将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得直线解析式为y＝kx+5﹣m，则直线y＝kx+5﹣m与反比例函数有且只有一个公共点，即方程组，只有一组解，然后消去y得到关于x的二次函数，再根据判别式的意义得到关于m的方程，最后解方程求出m的值．
解：把A（﹣2，b）代入y＝﹣得b＝﹣＝4，
所以A点坐标为（﹣2，4），
把A（﹣2，4）代入y＝kx+5得﹣2k+5＝4，解得k＝，
所以一次函数解析式为y＝x+5；
将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得直线解析式为y＝x+5﹣m，
根据题意方程组只有一组解，
消去y得﹣＝x+5﹣m，
整理得x2﹣（m﹣5）x+8＝0，
△＝（m﹣5）2﹣4××8＝0，解得m＝9或m＝1，
故选：D．
7．如图，在平面直角坐标系中，AB∥DC，AC⊥BC，CD＝AD＝5，AC＝6，将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合，则m的值是（ ）
A．11.4 B．11.6 C．12.4 D．12.6
【分析】如图，过点D作DT⊥AC交AC于J，交AB于T，连接CT．想办法求出OB的长即可．
解：如图，过点D作DT⊥AC交AC于J，交AB于T，连接CT．
∵AD＝DC＝5，DJ⊥AC，
∴AJ＝JC＝3，
∴DJ＝＝＝4，
∵CD∥AT．
∴∠DCJ＝∠TAJ，
∵∠DJC＝∠TJA，
∴△DCJ≌△TAJ（ASA），
∴CD＝AT＝5，DJ＝JT＝4，
∵∠AJT＝∠ACB＝90°，
∴JT∥BC，
∵AJ＝JC，
∴AT＝TB＝5，
设OA＝x，∵OD2＝AD2﹣OA2＝DT2﹣OT2，
∴52﹣x2＝82﹣（x+5）2，
解得x＝1.4，
∴OB＝OA+AB＝1.4+10＝11.4，
∵将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合，
∴m＝OB＝11.4，
故选：A．
8．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+1，0）（点A在点B的左侧），对称轴为l：x＝1，直线y＝kx+2（k≠0）与抛物线相交于两点M（x1，y1），N（x2，y2）（x1＜x2），则|x1﹣x2|最小值为（ ）
A．4 B．4 C．2 D．2
【分析】先求得抛物线解析式，然后联立抛物线和直线MN，建立方程组，转化为关于x的一元二次方程，进而根据根与系数的关系得出x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣3，再求|x1﹣x2|最小值．
解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+1，0），
∴＝1．
∴m＝1．
∴点A（﹣1，0），B（3，0），
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．
则，
∴x2+（k﹣2）x﹣1＝0①，
∴x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣1，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（2﹣k）2+4，
要使|x1﹣x2|最小，则（x1﹣x2）2最小，
∴（k﹣2）2+4最小，
即k＝2时，|x1﹣x2|最小值为2．
故选：C．
9．如图，已知AB＝8，P为线段AB上一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点，当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为（ ）
A． B． C．4 D．3
【分析】连接PM、PN．首先证明∠MPN＝90°，设PA＝2a，则PB＝8﹣2a，PM＝a，PN＝（4﹣a），构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
解：连接PM、PN．
∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP＝60°，
∴∠APC＝120°，∠EPB＝60°，
∵M，N分别是对角线AC，BE的中点，
∴∠CPM＝∠APC＝60°，∠EPN＝∠EPB＝30°，
∴∠MPN＝60°+30°＝90°，
设PA＝2a，则PB＝8﹣2a，PM＝a，PN＝（4﹣a），
∴MN＝＝＝，
∴a＝3时，MN有最小值，最小值为2，
故选：A．
10．如图，已知E为正方形ABCD中CD边上一点，连接BE，过点C作CF⊥BE交AD于F，垂足为G．连接AG、BF，交于点H，AG＝AB＝11．①CE＝DF；②∠ABF＝∠AGF；③GH＝6；④＝，正确的是（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
【分析】由“ASA”可证△BCE≌△CDF，可得CE＝DF，故①正确；延长CF，BA交于点N，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可证∠N＝∠AGN，可得AN＝AG＝AB＝CD，由“AAS”可证△DFC≌△AFN，可得NF＝CF，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可得∠N＝∠ABF，可证∠ABF＝∠AGF，故②正确；过点F作FM∥AB，交AG于M，设AB＝CD＝AD＝BC＝AN＝4a，由全等三角形的性质可得CE＝AF＝DF＝2a，可判断④错误，由相似三角形的性质分别求出FM＝a＝MG，MH＝a，即可求MH＝6，故③正确；即可求解．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵CF⊥BE，
∴∠BGC＝90°，
∴∠BCG+∠EBC＝90°＝∠BCG+∠DCF，
∴∠EBC＝∠DCF，
又∵BC＝CD，∠D＝∠BCE＝90°，
∴△BCE≌△CDF（ASA），
∴CE＝DF，故①正确；
如图1，延长CF，BA交于点N，
∵AB＝AG，
∴∠ABG＝∠AGB，
∵∠BGN＝90°，
∴∠N＝∠AGN，
∴AG＝AN，
∴AN＝AG＝AB＝CD，
又∵∠NAF＝∠D＝90°，∠AFN＝∠DFC，
∴△DFC≌△AFN（AAS），
∴NF＝CF，
∵∠NBC＝90°，
∴BF＝NF＝CF，
∴∠N＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠AGF，故②正确；
如图2，过点F作FM∥AB，交AG于M，
设AB＝CD＝AD＝BC＝AN＝4a，
∵△DFC≌△AFN，
∴AF＝FD＝2a，
∴CE＝DF＝2a，
∴，故④错误；
∵AB∥CD，
∴△EGC∽△BGN，
∴＝＝，
∴NG＝4CG，
∴NC＝5CG，
∴NF＝CF＝CG，
∴FG＝CG，
∵FM∥AN，
∴△FMG∽△NAG，
∴＝，
∴＝，
∴FM＝a＝MG，
∴AM＝a，
∵AB∥FM，
∴△ABH∽△MFH，
∴＝＝，
∴MH＝AH，
∴MH＝a，
∴MH＝MH+MG＝a，
∵AB＝AG＝11＝4a，
∴MH＝6，故③正确；
故选：C．
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
11．的立方根是 2 ．
【分析】根据算术平方根的定义先求出，再根据立方根的定义即可得出答案．
解：∵＝8，
∴的立方根是2；
故答案为：2．
12．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点．若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为 25° ．
【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB＝90°，然后根据∠CAB＝65°求得∠ABC的度数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可．
解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝65°，
∴∠ABC＝90°−∠CAB＝25°，
∴∠ADC＝∠ABC＝25°，
故答案为25°．
13．点P是第一象限内的点，若点P（2+a，3a+4）到x轴和y轴的距离相等，则点P的坐标为 （1，1） ．
【分析】让点P的横纵坐标相等得到a的值，可得到点P的坐标．
解：∵点P是第一象限内的点，点P（2+a，3a+4）到x轴和y轴的距离相等，
∴2+a＝3a+4，
解得a＝﹣1，
∴点P的坐标为（1，1），
故答案为（1，1）．
14．如图，在平行四边形ABCD中，点E是DC中点，BE与AC相交于点O，如果△EOC的面积是2cm2，那么△ABC的面积是 12 cm2．
【分析】首先证明OB＝2OE，OA＝2OC，利用等高模型解决问题即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴△EOC∽△BOA，
∴，
∵DE＝EC，
∴，＝，
∴OB＝2OE，OA＝2OC，
∵△EOC的面积是2cm2，
∴△BOC的面积为4cm2，△AOB的面积为8cm2，
∴△ABC的面积为8+4＝12cm2．
故答案为：12．
15．二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于两点（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1，下列四个结论①abc＜0；②2a﹣c＜0；③a+2b+4c＞0；④，正确的序号是 ①②④ ．
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴的位置求出a与b的关系．
解：①∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴的右侧，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
②∵图象与x轴交于两点（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1，
∴＜﹣＜，
∴1＜﹣＜，
当﹣＜时，b＞﹣3a，
∵当x＝2时，y＝4a+2b+c＝0，
∴b＝﹣2a﹣c，
∴﹣2a﹣c＞﹣3a，
∴2a﹣c＞0，故②正确；
③当x＝时，y的值为a+b+c，
给a+b+c乘以4，即可化为a+2b+4c，
∵抛物线的对称轴在1＜﹣＜，
∴x＝关于对称轴对称点的横坐标在和之间，
由图象可知在和2之间y为负值，2和之间y为正值，
∴a+2b+4c与0的关系不能确定，
故③错误；
④∵﹣＞1，
∴2a+b＜0，
∴（2a+b）2＞0，
4a2+b2+4ab＞0，
4a2+b2＞﹣4ab，
∵a＞0，b＜0，
∴ab＜0，
∴＜﹣4，
即，
故④正确．
故答案为：①②④．
16．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝60°，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为 1 ．
【分析】如图，连接CE．首先证明∠BEC＝120°，由此推出点E在以O'为圆心，O'B为半径的上运动，连接O'A交于E′，此时AE′的值最小．
解：如图，连接CE．
∵AP∥BC，
∴∠PAC＝∠ACB＝60°，
∴∠CEP＝∠CAP＝60°，
∴∠BEC＝120°，
∴点E在以O'为圆心，O'B为半径的上运动，
连接O'A交于E′，此时AE′的值最小．此时⊙O与⊙O'交点为E'．
∵∠BE'C＝120°
∴所对圆周角为60°，
∴∠BOC＝2×60°＝120°，
∵△BO′C是等腰三角形，BC＝4，
∴O′B＝O′C＝4，
∵∠ACB＝60°，∠BCO'＝30°，
∴∠ACO'＝90°
∴O'A＝＝＝5，
∴AE′＝O'A﹣O'E′＝5﹣4＝1．
故答案为：1．
三、解答题（7道大题，共66分）
17．先化简，再求值：（﹣）•，其中x＝，y＝．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x、y的值代入进行计算即可．
解：原式＝（﹣）•
＝（﹣）•
＝•
＝，
∵x＝，y＝，
∴原式＝
＝
＝﹣．
18．高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野，…为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（24天）的阅读总时间作了随机抽样分析．设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t（小时），阅读总时间分为四个类别：A（0≤t＜12），B（12≤t＜24），C（24≤t＜36），D（t≥36），将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样的样本容量为 60 ；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中a的值为 20 ，圆心角β的度数为 144° ；
（4）若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？对这些学生用一句话提一条阅读方面的建议．
【分析】（1）根据D组的人数和百分比即可求出样本容量；
（2）根据C组所占的百分比即可求出C组的人数；
（3）根据A组的人数即可求出A组所占的百分比，根据C组所占的百分比即可求出对应的圆心角；
（4）先算出低于24小时的学生的百分比，再估算出全校低于24小时的学生的人数．
解：（1）本次抽样的人数为（人），
∴样本容量为60，
故答案为60；
（2）C组的人数为40%×60＝24（人），
统计图如下：
（3）A组所占的百分比为，
∴a的值为20，
β＝40%×360°＝144°，
故答案为20，144°；
（4）总时间少于24小时的学生的百分比为，
∴全校寒假阅读的总时间少于24小时的学生估计有2000×50%＝1000（名），
建议：读书是人类文明进步的阶梯，建议每天读书至少1小时．
19．阅读下面的材料：
如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x取值范围内的任意x1，x2，
（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；
（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．
例题：证明函数f（x）＝x2（x＞0）是增函数．
证明：任取x1＜x2，且x1＞0，x2＞0．
则f（x1）﹣f（x2）＝x12﹣x22＝（x1+x2）（x1﹣x2）．
∵x1＜x2且x1＞0，x2＞0，
∴x1+x2＞0，x1﹣x2＜0．
∴（x1+x2）（x1﹣x2）＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）＝x2（x＞0）是增函数．
根据以上材料解答下列问题：
（1）函数f（x）＝（x＞0），f（1）＝＝1，f（2）＝，f（3）＝ ，f（4）＝ ；
（2）猜想f（x）＝（x＞0）是 减 函数（填“增”或“减”），并证明你的猜想．
【分析】（1）根据题目中函数解析式可以解答本题；
（2）根据题目中例子的证明方法可以证明猜想成立．
解：（1），，
故答案为，；
（2）猜想：是减函数，
证明：任取x1＜x2，x1＞0，x2＞0，则＝，
∵x1＜x2且x1＞0，x2＞0，
∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，
∴＞0，即f（x1）﹣f（x2）＞0，
∴函数是减函数，
故答案为减．
20．某公司计划生产甲、乙两种产品，公司市场部根据调查后得出：甲种产品所获年利润y1（万元）与投入资金n（万元的平方成正比例；乙种产品所获得年利润y2（万元）与投入资金n（万元）成正比例，并得到表格中的数据．设公司计划共投入资金m（万元）（m为常数且m＞0）生产甲乙两种产品，其中投入甲种产品资金为x（万元）（其中0≤x≤m），所获全年总利润W（万元）为y1与y2之和．
n（万元）
y1（万元）
y2（万元）
2
0.1
1
（1）求y1与y2的表达式；
（2）求W关于x的函数关系式（用含m的式子表示）；
（3）当m＝50时，公司从全年总利润W中扣除投入甲种产品资金的k倍（0＜k≤3）用于其它产品的生产后，得到剩余利润W剩余（万元），若W剩余随x增大而减小，直接写出k的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由题意得：W＝（m﹣x）+x2＝x2﹣x+m；
（3）由题意得：W剩余＝W＝x2﹣x+25﹣kx＝x2﹣（+k）x+25，根据函数的增减性即可求解．
解：（1）设y1＝k1n2，y2＝k2n，
将（2，0.1）、（2，1）分别代入上述两式得，
解得：，
故y1和y2关于n的函数关系式分别为y1＝n2，y2＝n；
（2）设投入甲种产品资金为x万元，则投入乙产品的资金为（m﹣x）万元，
由题意得：W＝x2+（m﹣x）＝x2﹣x+m，
∴W关于x的函数关系式为W＝x2﹣x+m；
（3）当m＝50时，W＝x2﹣x+25（0≤x≤50）；
由题意得：W剩余＝W﹣kx＝x2﹣x+25﹣kx＝x2﹣（+k）x+25，
函数的对称轴为x＝﹣＝10+20k，
∵＞0，故当x＜10+20k时，W剩余随x的增大而减小，
则50≤10+20k，解得k≥2，
故k的取值范围为2≤k≤3．
21．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．
（1）若AP＝1，则AE＝ ；
（2）求证：点O一定在△APE的外接圆上；
（3）当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；
（4）在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值．
【分析】（1）证明△AEP∽△BPC，根据对应边成比例即可得出AE的长；
（2）取PE的中点Q，连接AQ，OQ，利用直角三角形的性质可知OQ＝AQ，则点O一定在△APE的外接圆上；
（3）由A，P，O，E四点共圆，得∠OAP＝∠OEP＝45°，则点O在AC上，即可解决问题；
（4）设△APE的外接圆的圆心为M，作MN⊥AB于N，设AP＝x，则BP＝4﹣x，由（1）得，△APE∽△BCP，得AE＝x﹣，从而解决问题．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD与四边形PEFG是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠EPG＝90°，PF⊥EG，AB＝BC＝4，∠OEP＝45°，
∴∠AEP+∠APE＝90°，∠BPC+∠APE＝90°，
∴∠AEP＝∠BPC，
∴△AEP∽△BPC，
∴，
即，
解得：AE＝，
故答案为：；
（2）证明：如图，取PE的中点Q，连接AQ，OQ，
∵∠POE＝90°，
∴OQ＝，
∵△APE是直角三角形，
∴点Q是Rt△APE的外接圆的圆心，
∴AQ＝PE，
∴OQ＝AQ，
∴点O一定在△APE的外接圆上；
（3）解：如图，连接OA，AC，
∵四边形ABCD是正方形联立，
∴∠B＝90°，∠BAC＝45°，
∴AC＝＝4，
∵A，P，O，E四点共圆，
∴∠OAP＝∠OEP＝45°，
∴点O在AC上，
当点P运动到点B时，O为AC的中点，OA＝，
即点O经过的路径长为2；
（4）解：如图，设△APE的外接圆的圆心为M，作MN⊥AB于N，
则MN∥AE，
∵ME＝MP，
∴AN＝PN，
∴MN＝，
设AP＝x，则BP＝4﹣x，
由（1）得，△APE∽△BCP，
∴，
即，
解得：AE＝x﹣，
∴x＝2时，AE的值最大为1，此时MN的值最大为，
即该圆心到AB边的距离的最大值为．
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