江西省吉安市2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（word版 含答案）

这是一份江西省吉安市2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（word版 含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．下列方程是一元二次方程（ ）
A．x+2y＝1B．2x（x﹣1）＝2x2+3
C．3x+＝4D．x2﹣2＝0
2．如图，下列四个条件中，能判定平行四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．∠ADB＝90°B．OA＝OBC．OA＝OCD．AB＝BC
3．如图，随机闭合开关K1，K2，K3中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．已知线段AB的长度为2，点C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为（ ）
A．B．C．﹣1或3D．或﹣2
5．关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤﹣B．k≥﹣且k≠0
C．k≥﹣D．k＞﹣ 且k≠0
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，将矩形OABC沿OB对折．使点A落在点A1处，若点B的坐标为（2，2），则点A1的坐标为（ ）
A．（）B．（，）C．（2，3）D．（2）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．若＝，则＝ ．
8．已知x1、x2是一元二次方程x2+x+m＝0的两个根，且x1+x2＝2+x1x2，则m＝ ．
9．如图，已知D为△ABC边AB上一点，AD＝2BD，DE∥BC交AC于E，AE＝6，则EC＝ ．
10．从﹣1，0，1这三个数中任取两个不同的数作为a，b，则点（a，b）在坐标轴上的概率是 ．
11．如图，在正方形ABCD中，点P在AC上，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，EF＝3，则DP的长为 ．
12．在菱形ABCD中，∠B＝45°，AB＝4，点P是射线BC上一动点，（不与B，C重合），连接PA，PD，当△PAD是等腰三角形时，BP的长为 ．
三.（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）解方程（3x﹣1）2﹣25＝0；
（2）如图，△ABC中，DG∥EC，EG∥BC，求证：＝．
14．已知a、b、c是△ABC的三边长，且＝＝≠0，求：
（1）的值．
（2）若△ABC的周长为90，求各边的长．
15．如图，四边形ABCD是正方形，△EDC是等边三角形，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作CD的中点M．
（2）在图2中，在CD边上作一点N，使CN＝CD．
16．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）有两个相等的实数根，求的值．
17．已知，如图，点D是△ABC的边AB的中点，四边形BCED是平行四边形，
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，平行四边形ADCE是矩形？
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．有两部不同型号的手机（分别记为A，B）和与之匹配的2个保护盖（分别记为a，b）（如图所示）散乱地放在桌子上．
（1）若从手机中随机取一部，再从保护盖中随机取一个，求恰好匹配的概率．
（2）若从手机和保护盖中随机取两个，用树形图法或列表法，求恰好匹配的概率．
19．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．
20．因魔幻等与众不同的城市特质，以及抖音等新媒体的传播，重庆已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一．著名“网红打卡地”磁器口在2018年五一长假期间，接待游客达20万人次，预计在2020年五一长假期间，接待游客将达28.8万人次．在磁器口老街，美食无数，一家特色小面店希望在五一长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗．
（1）求出2018至2020年五一长假期间游客人次的年平均增长率；
（2）为了更好地维护重庆城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元？
五、（本大题共2题，每小题9分，共18分）
21．如图1，在正方形ABCD中，P是BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于F．
（1）求证：PC＝PE；
（2）求∠CPE＝ ；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
22．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE＝c，这时我们把关于x的形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根．
（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，且△ABC的面积是25，求四边形ACDE的周长．
六、（本大题共1小题，共12分）
23．如图所示，点B坐标为（6，0），点A坐标为（6，12），动点P从点O开始沿OB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，动点Q从点B开始沿BA以每秒2个单位长度的速度向点A移动，如果P，Q分别从O，B同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0＜t≤6）．
（1）用含t的式子来表示BP＝ ，AQ＝ ．
（2）当t为何值时，以点P、B、Q为顶点的三角形与△AOB相似？
（3）若四边形OPQA的面积为y，试写出y与t的函数关系式，并求出t取何值时，四边形OPQA的面积最小？
（4）在y轴上是否存在点E，使点P、Q在移动过程中，以B、E、P、Q为顶点的四边形的面积是一个常数？若存在请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）。
1．下列方程是一元二次方程（ ）
A．x+2y＝1B．2x（x﹣1）＝2x2+3
C．3x+＝4D．x2﹣2＝0
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
一元二次方程有三个特点：
（1）只含有一个未知数；
（2）未知数的最高次数是2；
（3）是整式方程．
解：A、x+2y＝1是二元一次方程，故错误；
B、方程去括号得：2x2﹣2x＝2x2+3，
整理得：﹣2x＝3，为一元一次方程，故错误；
C、3x+＝4是分式方程，故错误；
D、x2﹣2＝0，符合一元二次方程的形式，正确．
故选：D．
2．如图，下列四个条件中，能判定平行四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．∠ADB＝90°B．OA＝OBC．OA＝OCD．AB＝BC
【分析】根据菱形的判定定理和矩形的判定定理分别对各个选项进行推理判断即可．
解：A、平行四边形ABCD中，∠ADB＝90°，
不能判定四边形ABCD为菱形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，不能判定四边形ABCD为菱形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，不能判定四边形ABCD为菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形；故选项D符合题意；
故选：D．
3．如图，随机闭合开关K1，K2，K3中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让两盏灯泡同时发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发光的是闭合开关K1、K3与K3、K1，
∴能让两盏灯泡同时发光的概率为：＝．
故选：B．
4．已知线段AB的长度为2，点C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为（ ）
A．B．C．﹣1或3D．或﹣2
【分析】分两种情况讨论：当AC＞BC和AC＜BC两种情况．
解：∵线段AB＝2，点C是线段AB的黄金分割点，
∴当AC＞BC时，AC＝AB＝＝﹣1，
当AC＜BC时，BC＝AB＝＝﹣1，
∴AC＝AB﹣BC＝2﹣（﹣1）＝3﹣．
故答案为：﹣1或3﹣．
故选：C．
5．关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤﹣B．k≥﹣且k≠0
C．k≥﹣D．k＞﹣ 且k≠0
【分析】由二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
解：∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，
∴，
解得：k≥﹣且k≠0．
故选：B．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，将矩形OABC沿OB对折．使点A落在点A1处，若点B的坐标为（2，2），则点A1的坐标为（ ）
A．（）B．（，）C．（2，3）D．（2）
【分析】先根据题意得出∠A1OB和∠AOB的角度．再根据三角形全等得出∠A1OD的度数，即可得出A1点的坐标．
解：过A1作A1D⊥y轴于D，如右图：
∵点B的坐标为（2，2），
∴OA＝2，AB＝2，
∴tan∠AOB＝＝，
∴∠AOB＝30°，
∵将矩形OABC沿OB对折．使点A落在点A1处，
∴∠A1OB＝∠AOB＝30°，OA1＝OA＝2，
∴∠A1OD＝30°，
∴A1D＝OA1＝，DO＝A1D＝3，
∴A1的坐标为：（，3），
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．若＝，则＝ ．
【分析】用b表示出a，然后代入比例式进行计算即可得解．
解：∵＝，
∴a＝b，
∴＝＝．
故答案为：．
8．已知x1、x2是一元二次方程x2+x+m＝0的两个根，且x1+x2＝2+x1x2，则m＝ ﹣3 ．
【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣1、x1x2＝m，结合x1+x2＝2+x1x2即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：∵x1、x2是一元二次方程x2+x+m＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝m．
∵x1+x2＝2+x1x2，即﹣1＝2+m，
∴m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
9．如图，已知D为△ABC边AB上一点，AD＝2BD，DE∥BC交AC于E，AE＝6，则EC＝ 3 ．
【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．
解：∵DE∥BC，AD＝2BD，
∴＝2，
∴CE＝AE＝3，
故答案为：3．
10．从﹣1，0，1这三个数中任取两个不同的数作为a，b，则点（a，b）在坐标轴上的概率是 ．
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中该点在坐标轴上的结果有4种，再由概率公式求解即可．
解：画树状图如图：
共有6种等可能的结果，其中该点在坐标轴上的结果有4种，
∴该点在坐标轴上的概率为：＝，
故答案为：．
11．如图，在正方形ABCD中，点P在AC上，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，EF＝3，则DP的长为 3 ．
【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB＝AD，正方形的对角线平分一组对角可得∠BAC＝∠DAC＝45°，然后利用“边角边”证明△ABP和△ADP全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；求出四边形BFPE是矩形，根据矩形的对角线相等可EF＝PB．即可求解．
解：如图，连接PB，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°，
∵AP＝AP，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°，
在△ABP和△ADP中，
，
∴△ABP≌△ADP（SAS），
∴BP＝DP；
∵PE⊥AB，PF⊥BC，∠ABC＝90°，
∴四边形BFPE是矩形，
∴EF＝PB，
∴EF＝DP＝3，
故答案为：3．
12．在菱形ABCD中，∠B＝45°，AB＝4，点P是射线BC上一动点，（不与B，C重合），连接PA，PD，当△PAD是等腰三角形时，BP的长为 2+2或4或4+4 ．
【分析】分三种情况：①当PA＝PD时，②当AP＝AD时，③当DP＝DA时，分别由菱形的性质和等腰直角三角形的判定与性质求解即可．
解：∵四边形ABD是菱形，AB＝4，
∴AB∥CD，BC＝CD＝AD＝AB＝4，
当△PAD是等腰三角形时，分三种情况：
①当PA＝PD时，如图1，过A作AM⊥BP于M，过P作PN⊥AD于N，
则AN＝DN＝AD＝2，四边形AMPN是矩形，
∴MP＝AN＝1，
在Rt△ABM中，∠B＝45°，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴AM＝BM＝AB＝2，
∴BP＝BM+MP＝2+2；
②当AP＝AD时，如图2，过A作AM⊥BP于M，
∵AP＝AD＝AB，
∴MP＝BM＝2，
∴BP＝BM+MP＝4；
③当DP＝DA时，如图3，
则DP＝DA＝CD，
∵AB∥CD，
∴∠DCP＝∠B＝45°，
∴∠DPC＝∠DCP＝45°，
∴△CDP是等腰直角三角形，
∴CP＝CD＝4，
∴BP＝BC+CP＝4+4；
综上所述，当△PAD是等腰三角形时，BP的长为2+2或4或4+4，
故答案为：2+2或4或4+4．
三.（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）解方程（3x﹣1）2﹣25＝0；
（2）如图，△ABC中，DG∥EC，EG∥BC，求证：＝．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）根据平行线分线段成比例的性质，由DG∥EC，可推出AD：AE＝AG：AC，再由EG∥BC，推出AG：AC＝AE：AB，通过等量代换即可推出结果．．
【解答】（1）解：移项得，（3x﹣1）2＝25，
因此，3x﹣1＝5或3x﹣1＝﹣5，
解得x＝2或x＝﹣；
（2）证明：∵DG∥EC，
∴，
∵EG∥BC，
∴，
∴．
14．已知a、b、c是△ABC的三边长，且＝＝≠0，求：
（1）的值．
（2）若△ABC的周长为90，求各边的长．
【分析】（1）设＝＝＝k，易得a＝5k，b＝4k，c＝6k，然后把它们分别代入中，再进行分式的运算即可；
（2）根据三角形周长定义得到5k+4k+6k＝90，解关于k的方程求出k，然后计算5k、4k和6k即可．
解：（1）设＝＝＝k，则a＝5k，b＝4k，c＝6k，
所以＝＝；
（2）5k+4k+6k＝90，解得k＝6，
所以a＝30，b＝24，c＝36．
15．如图，四边形ABCD是正方形，△EDC是等边三角形，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作CD的中点M．
（2）在图2中，在CD边上作一点N，使CN＝CD．
【分析】（1）连接AC和BD，它们相交于点O，然后延长EO交CD于M；
（2）直线EO交AB于F，BM和CF相交于点P，OP的延长线交BC于Q，连接MQ交OC于K，然后延长PK交CM于N．
解：（1）如图1，点M为所作；
（2）如图2，点N为所作．
16．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）有两个相等的实数根，求的值．
【分析】由于这个方程有两个相等的实数根，因此Δ＝b2﹣4ac＝0，可得出a、b之间的关系，然后将化简后，用含a的代数式表示b，即可求出这个分式的值．
解：∵ax2+bx+1＝0（a≠0）有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝0，
即b2﹣4a＝0，
b2＝4a，
∵＝＝＝
∵a≠0，
∴＝＝＝4．
17．已知，如图，点D是△ABC的边AB的中点，四边形BCED是平行四边形，
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，平行四边形ADCE是矩形？
【分析】证明是平行四边形的方法有很多，此题用一组对边平行且相等较为简单，在平行四边形的基础上只需一个角是直角即可．
【解答】证明：（1）因为四边形BCED是平行四边形，
所以BD＝CE且BD∥CE，
又因为D是△ABC的边AB的中点，
所以AD＝BD，即DA＝CE，
又因为CE∥BD，
所以四边形ADCE是平行四边形．
（2）当△ABC为等腰三角形且AC＝BC时，CD是等腰三角形底边AB上的中线，则CD⊥AD，平行四边形ADCE的角∠ADC＝90°，
因此四边形ADCE是矩形．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．有两部不同型号的手机（分别记为A，B）和与之匹配的2个保护盖（分别记为a，b）（如图所示）散乱地放在桌子上．
（1）若从手机中随机取一部，再从保护盖中随机取一个，求恰好匹配的概率．
（2）若从手机和保护盖中随机取两个，用树形图法或列表法，求恰好匹配的概率．
【分析】（1）由题意可得有Aa，Ab，Ba，Bb四种情况．恰好匹配的有Aa，Bb两种情况，然后直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及恰好匹配的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解：（1）∵从手机中随机抽取一个，再从保护盖中随机取一个，有Aa，Ab，Ba，Bb四种情况．恰好匹配的有Aa，Bb两种情况，
∴P（恰好匹配）＝＝；
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，恰好匹配的有4种情况，
∴P（恰好匹配）＝＝．
19．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．
【分析】（1）根据四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等，得到一对同旁内角互补，一对内错角相等，根据已知角相等，利用等角的补角相等得到两组对应角相等，从而推知：△ADF∽△DEC；
（2）由△ADF∽△DEC，得比例，求出DE的长．利用勾股定理求出AE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C．
∴△ADF∽△DEC．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝8．
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴＝，
∴DE＝＝＝12．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝＝6．
20．因魔幻等与众不同的城市特质，以及抖音等新媒体的传播，重庆已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一．著名“网红打卡地”磁器口在2018年五一长假期间，接待游客达20万人次，预计在2020年五一长假期间，接待游客将达28.8万人次．在磁器口老街，美食无数，一家特色小面店希望在五一长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗．
（1）求出2018至2020年五一长假期间游客人次的年平均增长率；
（2）为了更好地维护重庆城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元？
【分析】（1）可设年平均增长率为x，根据等量关系：2018年五一长假期间，接待游客达20万人次，在2020年五一长假期间，接待游客将达28.8万人次，列出方程求解即可；
（2）可设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润6300元，根据利润的等量关系列出方程求解即可．
解：（1）可设年平均增长率为x，依题意有
20（1+x）2＝28.8，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：年平均增长率为20%；
（2）设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润6300元，依题意有
（y﹣6）[300+30（25﹣y）]＝6300，
解得y1＝20，y2＝21，
∵每碗售价不得超过20元，
∴y＝20．
答：当每碗售价定为20元时，店家才能实现每天利润6300元．
五、（本大题共2题，每小题9分，共18分）
21．如图1，在正方形ABCD中，P是BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于F．
（1）求证：PC＝PE；
（2）求∠CPE＝ 90° ；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）欲证明PC＝PE，只要证明△ABP≌△CBP即可；
（2）利用“8字型”证明角相等即可解决问题；
（3）首先证明△ABP≌△CBP（SAS）推出PA＝PC，∠BAP＝∠BCP，再证明△EPC是等边三角形，可得PC＝CE，即可解决问题．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，
∠ABP＝∠CBP＝45°，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC，
∵PA＝PE，
∴PC＝PE；
（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP＝∠BCP，
∴∠DAP＝∠DCP，
∵PA＝PE，
∴∠DAP＝∠E，
∴∠DCP＝∠E，
∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPF＝∠EDF＝90°；
故答案为：90°；
（3）解：AP＝CE，理由如下：
在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC，∠BAP＝∠BCP，
∴∠DAP＝∠DCP，
∵PA＝PE，
∴PC＝PE，
∵PA＝PE，
∴∠DAP＝∠DEP，
∴∠DCP＝∠DEP，
∵∠CFP＝∠EFD，
∴∠CPF＝∠EDF，
∵∠ABC＝∠ADC＝120°，
∴∠CPF＝∠EDF＝180°﹣∠ADC＝60°，
∴△EPC是等边三角形，
∴PC＝CE，
∴AP＝CE．
22．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE＝c，这时我们把关于x的形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根．
（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，且△ABC的面积是25，求四边形ACDE的周长．
【分析】（1）利用“勾系一元二次方程”的意义写出一个满足定义的方程即可，答案不唯一；
（2）计算此方程的Δ，说明Δ≥0即可；
（3）将x＝﹣1代入“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0得到a+b＝c；将此式两边平方，结合勾股定理和三角形的面积即可求得c值，利用图形即可求得四边形的周长．
解：（1）答案不唯一，例如：a＝3，b＝4，则c＝5，
∴“勾系一元二次方程”是：3x2+5x+4＝0；
（2）由题意得：
Δ＝﹣4ab＝2c2﹣4ab．
∵a2+b2＝c2，
∴Δ＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a2+b2﹣2ab）＝2（a﹣b）2．
∵（a﹣b）2≥0，
∴Δ≥0．
∴关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根．
（3）∵x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，
∴a﹣c+b＝0．
即a+b＝c．
∴a2+2ab+b2＝2c2．
∵△ABC的面积是25，
∴ab＝25．
∴ab＝50．
∵a2+b2＝c2，
∴c2+100＝2c2．
∵c＞0，
∴c＝10．
∴a+b＝c＝10．
∴四边形ACDE的周长为：2（a+b）+c＝30．
六、（本大题共1小题，共12分）
23．如图所示，点B坐标为（6，0），点A坐标为（6，12），动点P从点O开始沿OB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，动点Q从点B开始沿BA以每秒2个单位长度的速度向点A移动，如果P，Q分别从O，B同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0＜t≤6）．
（1）用含t的式子来表示BP＝ 6﹣t ，AQ＝ 12﹣2t ．
（2）当t为何值时，以点P、B、Q为顶点的三角形与△AOB相似？
（3）若四边形OPQA的面积为y，试写出y与t的函数关系式，并求出t取何值时，四边形OPQA的面积最小？
（4）在y轴上是否存在点E，使点P、Q在移动过程中，以B、E、P、Q为顶点的四边形的面积是一个常数？若存在请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据点B与点A的坐标，结合点P与点Q的运动时间即可得出结果；
（2）分两种情况讨论：①当∠BPQ＝∠BOA时，当∠BPQ＝∠A时，根据相似三角形的性质列出比例式即可求解；
（3）y＝S△OAB﹣S△BPQ列出关于t的解析式，然后配成顶点式即可求解；
（4）以B，Q，E，P为顶点的四边形的面积＝S梯形BQEO﹣S△OPE用t与m表示出来，当t的系数为0时可得m值，即可得出结果．
解：（1）∵点B坐标为（6，0），点A坐标为（6，12），
∴OB＝6，AB＝12，
∵动点P从点O开始沿OB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，动点Q从点B开始沿BA以每秒2个单位长度的速度向点A移动，
∴BP＝6﹣t，AQ＝12﹣2t，
故答案为：6﹣t；12﹣2t；
（2）当t＝秒或3秒时，以点P、B、Q为顶点的三角形与△AOB相似，
①当∠BPQ＝∠BOA时，
∵△QPB∽△AOB，
∴，
∴，
∴t＝3，
②当∠BPQ＝∠A时，
∵△PQB∽△AOB，
则，
∴，
∴t＝，
综上所述，当t＝秒或3秒时，以点P、B、Q为顶点的三角形与△AOB相似；
（3）y＝S△OAB﹣S△BPQ＝﹣
＝t2﹣6t+36
＝（t﹣3）2+27，
∴当t＝3时，y有最小值为27，
∴y与t的函数关系式为y＝t2﹣6t+36，当t＝3时，四边形OPQA的面积最小；
（4）存在，
当点E在y轴的负半轴上时，以B，Q，E，P为顶点不能成四边形，
当点E在y轴的正半轴上时，
设E（0，m），
∴以B，Q，E，P为顶点的四边形的面积＝S梯形BQEO﹣S△OPE
即S四边形BQEP＝
＝（6﹣）t+3m，
当以B，Q，E，P为顶点的四边形的面积是一个常数时，则6﹣，
解得：m＝12，
∴点E的坐标为（0，12）．