江西省吉安市吉安县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷+

江西省吉安市吉安县2022-2023学年九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）

A．（x﹣3）x＝x2+2 B．ax2+bx+c＝0 

C．x2﹣+1＝0 D．2x2＝1

2．下列命题中，真命题是（　　）

A．对角线相等的四边形是矩形 

B．对角线互相垂直的四边形是菱形 

C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 

D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形

3．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数可能是（　　）

A．24 B．18 C．16 D．6

4．某纪念品原价为160元，连续两次降价a%后售价为128元，下列所列方程正确的是（　　）

A．160（1+a%）2＝128 B．160（1﹣a%）2＝128 

C．160（1﹣2a%）＝128 D．160（1﹣a%）＝128

5．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD＝4，BC＝8，BD：DC＝5：3，则DE的长等于（　　）

A． B． C． D．

6．如图，正方形ABCD边长为8，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且AM⊥MN，则AN的最小值是（　　）

A．8 B．4 C．10 D．8

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7．若x2﹣2x＝3，则代数式2x2﹣4x﹣3的值为　   　．

8．从﹣2，﹣1，1，2四个数中，随机抽取两个数相乘，积为大于﹣4小于2的概率是 　   　．

9．关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则实数a的取值范围是　   　．

10．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝12，那么CE的长是　   　．

11．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知∠DGH＝30°，连接BG，则∠AGB＝　   　．

12．如图，平面直角坐标系中，已知点A（8，0）和点B（0，6），点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是　   　．

三、解答题（木大题共5小题，每小题6分，共30分）

13．解下列方程：

（1）x2﹣8x+9＝0；

（2）3（x﹣5）2＝2（5﹣x）．

14．如图，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2．求证：△ABC∽△EAD．

15．如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上任意一点，请你仅用无刻度直尺，分别在图1、图2中按要求作图（保留作图痕迹，不这写作法）．

（1）在图1中，在AB边上求作一点N，连接CN，使得CN＝AM；

（2）在图2中，在AD边上求作一点Q，连接CQ，使得CQ＝AM．

16．甲、乙、丙、丁4位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选2名同学打第一场比赛．

（1）已确定甲同学打第一场比赛，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率是　   　；

（2）随机选取2名同学，求其中有乙同学的概率．

17．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．

（1）求证：△BDE∽△EFC；

（2）若BC＝12，＝，求线段BE的长．

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18．如图，在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE，

（1）求证：四边形BECF是菱形；

（2）若四边形BECF为正方形，求∠A的度数．

19．已知x2+（a+3）x+a+1＝0是关于x的一元二次方程．

（1）求证：不论a为何值方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程的两个实数根为x1、x2，且x12+x22＝10，求实数a的值．

20．如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．

（1）求证：BD2＝AD•CD；

（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分

21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN与E，垂足为F，连接CD，BE．

（1）求证：CE＝AD；

（2）当D在AB中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明理由；

（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？请说明你的理由．

22．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃ABCD的一边CD长为x米．

（1）BC长为 　   　米（包含门宽，用含x的代数式表示）；

（2）若苗圃ABCD的面积为96m2，求x的值；

（3）当x为何值时，苗圃ABCD的面积最大，最大面积为多少？

六、（本大题共12分）

23．如图1，菱形ABCD中，已知∠BAD＝120°，∠EGF＝60°，∠EGF的顶点G在菱形对角线AC上运动，角的两边分别交边BC、CD于E、F．

（1）如图甲，当顶点G运动到与点A重合时，求证：EC+CF＝BC；

（2）知识探究：

①如图乙，当顶点G运动到AC的中点时，请直接写出线段EC、CF与BC的数量关系（不需要写出证明过程）；

②如图丙，在顶点G运动的过程中，若＝t，探究线段EC、CF与BC的数量关系；

（3）问题解决：如图丙，已知菱形的边长为8，BG＝7，CF＝，当t＞2时，求EC的长度．

江西省吉安市吉安县2022-2023学年九年级（上）期中数学试卷

参考答案

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1．D    2．C   3．C   4．B   5．B   6．C

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7．答案为：3

8．答案为：．

9．答案为a≥1且a≠5．

10．答案为：．

11．答案为：75°．

12．答案为：（0，3）、（4，0）、（，0）

三、解答题（木大题共5小题，每小题6分，共30分）

13．解：（1）x2﹣8x+9＝0，

移项，得x2﹣8x＝﹣9，

配方，得x2﹣8x+16＝﹣9+16，

∴（x﹣4）2＝7，

则x﹣4＝±，

x1＝4+，x2＝4﹣；

（2）3（x﹣5）2＝2（5﹣x），

移项，得3（x﹣5）2+2（x﹣5）＝0，

则（x﹣5）（3x﹣15+2）＝0，

∴x﹣5＝0，3x﹣13＝0，

x1＝5，x2＝．

14．证明：∵AD＝DB，

∴∠B＝∠BAD．

∵∠BDA＝∠1+∠C＝∠2+∠ADE，

又∵∠1＝∠2，

∴∠C＝∠ADE．

∴△ABC∽△EAD．

15．解：（1）如图1，CN即为所求．

（2）如图2，CQ即为所求．

16．解：（1）已确定甲同学打第一场比赛，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率＝；

故答案为；

（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中选取2名同学中有乙同学的结果数为6，

所以有乙同学的概率＝＝．

17．证明：（1）∵DE∥AC，

∴∠DEB＝∠FCE，

∵EF∥AB，

∴∠DBE＝∠FEC，

∴△BDE∽△EFC；

（2）∵EF∥AB，

∴，

∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE，

∴，

解得：BE＝4．

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18．（1）证明：∵EF垂直平分BC，

∴CF＝BF，BE＝CE，∠BDE＝90°，BD＝CD，

又∵∠ACB＝90°，

∴EF∥AC，

又∵D为BC中点，

∴E为AB中点，

即BE＝AE，

∵CF＝AE，

∴CF＝BE，

∴CF＝FB＝BE＝CE，

∴四边形BECF是菱形．

（2）解：∵四边形BECF是正方形，

∴∠CBA＝45°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠A＝45°．

19．解：（1）Δ＝（a+3）2﹣4（a+1）

＝a2+6a+9﹣4a﹣4

＝a2+2a+5

＝（a+1）2+4，

∵（a+1）2≥0，

∴（a+1）2+4＞0，即Δ＞0，

∴方程总有两个不相等的实数根；

（2）根据题意得x1+x2＝﹣（a+3），x1x2＝a+1，

∵x12+x22＝10，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝10，

∴（a+3）2﹣2（a+1）＝10，

整理得a2+4a﹣3＝0，

解得a1＝﹣2+，a2＝﹣2﹣．

20．证明：（1）∵DB平分∠ADC，

∴∠ADB＝∠CDB，且∠ABD＝∠BCD＝90°，

∴△ABD∽△BCD

∴

∴BD2＝AD•CD

（2）∵BM∥CD

∴∠MBD＝∠BDC

∴∠ADB＝∠MBD，且∠ABD＝90°

∴BM＝MD，∠MAB＝∠MBA

∴BM＝MD＝AM＝4

∵BD2＝AD•CD，且CD＝6，AD＝8，

∴BD2＝48，

∴BC2＝BD2﹣CD2＝12

∴MC2＝MB2+BC2＝28

∴MC＝2

∵BM∥CD

∴△MNB∽△CND

∴，且MC＝2

∴MN＝

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分

21．（1）证明：∵DE⊥BC，

∴∠DFB＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACB＝∠DFB，

∴AC∥DE，

∵MN∥AB，即CE∥AD，

∴四边形ADEC是平行四边形，

∴CE＝AD；

（2）四边形BECD是菱形，理由如下：

∵D为AB中点，

∴AD＝BD，

∵CE＝AD，

∴BD＝CE，

∵BD∥CE，

∴四边形BECD是平行四边形，

∵∠ACB＝90°，D为AB中点，

∴CD＝AB＝BD，

∴四边形BECD是菱形；

（3）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形BECD是正方形；理由如下：

∵∠ACB＝90°，

当△ABC是等腰直角三角形，

∵D为AB的中点，

∴CD⊥AB，

∴∠CDB＝90°，

∴四边形BECD是正方形；

22．解：（1）∵木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃ABCD的一边CD长为x米，

∴BC长为32﹣3x+4＝36﹣3x，

故答案为：（36﹣3x）；

（2）根据题意得：x•（36﹣3x）＝96，

解得x＝4或x＝8，

∵x＝4时，36﹣3x＝24＞14，

∴x＝4舍去，

∴x的值为8；

（3）设苗圃ABCD的面积为w，

则w＝x•（36﹣3x）＝﹣3x2+36x＝﹣3（x﹣6）2+108，

∵﹣3＜0，

∴当x＞6时，w随x的增大而减小，

∵36﹣3x≤14，得x≥，

∴x＝时，w最大为，

答：当x为米时，苗圃ABCD的最大面积为平方米．

六、（本大题共12分）

23．解：（1）如图甲，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，

∴∠BAC＝60°，∠B＝∠ACF＝60°，AB＝BC，AB＝AC，

∵∠BAE+∠EAC＝∠EAC+∠CAF＝60°，

∴∠BAE＝∠CAF，

在△BAE和△CAF中，

，

∴△BAE≌△CAF（ASA），

∴BE＝CF，

∴EC+CF＝EC+BE＝BC，

即EC+CF＝BC；

（2）①线段EC，CF与BC的数量关系为：CE+CF＝BC；

理由：如图乙，过点A作AE′∥EG，AF′∥GF，分别交BC、CD于E′、F′．

类比（1）可得：E′C+CF′＝BC，

∵AE′∥EG，

∴△CAE′∽△CAE，

∴＝＝，

∴CE＝CE′，

同理可得：CF＝CF′，

∴CE+CF＝CE′+CF′＝（CE′+CF′）＝BC，

即CE+CF＝BC；

②CE+CF＝BC．理由如下：

如图丙，过点A作AE′∥EG，AF′∥GF，分别交BC、CD于E′、F′．

类比（1）可得：E′C+CF′＝BC，

∵AE′∥EG，

∴△CAE′∽△CAE，

∴，

∴CE＝CE′，

同理可得：CF＝CF′，

∴CE+CF＝CE′+CF′＝（CE′+CF′）＝BC，

即CE+CF＝BC；

（3）连接BD与AC交于点H，如图所示：

在Rt△ABH中，∵AB＝8，∠BAC＝60°，

∴BH＝ABsin60°＝8×＝，AH＝CH＝ABcos60°＝8×＝4，

∴GH＝＝＝1，

∴CG＝4﹣1＝3，

∴，

∴t＝（t＞2），

由（2）②得：CE+CF＝BC，

∴CE＝BC﹣CF＝×8﹣＝．