江西省吉安市泰和县2022年九年级上学期期末数学试卷（附答案）

 九年级上学期期末数学试卷

一、单选题

1．二次函数的顶点坐标是（　　）

A．（﹣2，7） B．（2，7）

C．（﹣2，﹣7） D．（2，﹣7）

2．从甲、乙、丙三名男生和A、B两名女生中随机选出一名学生参加问卷调查，则选出女生的可能性是（　　）

A． B． C． D．

3．某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）

A．80（1+x）2=100 B．100（1﹣x）2=80

C．80（1+2x）=100 D．80（1+x2）=100

4．关于反比例函数y＝，下列说法中错误的是（　　）

A．它的图象分布在一、三象限

B．当x＞﹣1时，y＜﹣3

C．当x＞0时，y的值随x的增大而减小

D．若点（a，b）在它的图象上，则（b，a）也在图象上

5．如图，△ABC中，BD、CE是两条中线，则S△ADE：S△DEF＝（　　）

A．2：1 B．4：1 C．3：1 D．5：2

6．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（　　） 

A． B． C． D．

二、填空题

7．若，则的值是　     　．

8．在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.5m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，它的影子QN＝1.8m，MN＝0.8m，木竿PQ的长度为 　     　．

9．如图，在菱形ABCD中，点E是CD上一点，连接AE交对角线BD于点F，连接CF，若∠AED＝50°，则∠BCF＝　     　度．

10．一元二次方程x2﹣4x+2=0的两根为x1，x2，则x12﹣4x1+2x1x2的值为　     　．

11．如图，A、B两点分别在反比例函数（x＞0）和（x＞0）的图象上，且ABx轴，C为x轴上任意一点，则△ABC的面积为 　     　．

12．如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是　              　．

三、解答题

13．             

（1）解方程：2（x﹣1）＝x（x﹣1）；

（2）计算：|﹣3|+4sin45°﹣tan60°．

14．如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2MO．

求证：四边形AMCN是矩形．

15．已知关于x的一元二次方程x2-(m-3)x-m=0

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）如果方程的两实根为x1、x2，且x12+x22-x1x2=7，求m的值。

16．如图，在所给的8×8方格纸中，每个小正方形的边长均相等，小正方形的顶点叫格点，点A，B均在格点上．请画出符合要求的格点四边形（格点四边形是指四边形的各顶点均在小正形的顶点上）．

（1）在图1中画出一个以AB为边的矩形．

（2）在图2中画出一个以AB为对角线的正方形．

17．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，求AB的长.
 

18．由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图，航母由西向东航行，到达 处时，测得小岛 位于它的北偏东 方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛 位于它的北偏东 方向.如果航母继续航行至小岛 的正南方向的 处，求还需航行的距离 的长. 

（参考数据： ， ， ， ， ， ）

19．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为点O．

（1）求证：△AOM≌△CON；

（2）若AB＝4，AD＝8，求AE的长．

20．为助力泰和县“四城同创”（全国文明城市、全国卫生县城、国家森林城市、省级生态园林城市）工作深入开展，某校组织志愿者进行宣传活动．班主任陈老师决定从4名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签的方式确定2名女生去参加．

抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，陈老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名．

（1）该班男生“小刚被抽中”是 　   　事件，“小悦被抽中”是 　   　事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为 　   　；

（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠和小艳被同时抽中”的概率．

21．某商场经营某种品牌的玩具，购进的单价是30元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600元，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．

（1）设该种品牌玩具的销售单价为x元，请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获利利润W元；  

（2）在（1）的条件下，若商场获利了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元？  

（3）在（1）的条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于45元，且商场要完成不少于480件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获利的最大利润是多少元？  

22．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F．

（1）求证：△PFA∽△ABE；

（2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．

23．如图，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C，OA＝OC，点A的坐标为（﹣3，0）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；

（3）设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．

答案解析部分

1．【答案】B

2．【答案】B

3．【答案】A

4．【答案】B

5．【答案】C

6．【答案】A

7．【答案】

8．【答案】3.2m

9．【答案】50

10．【答案】2

11．【答案】1

12．【答案】5 或4 或5

13．【答案】（1）解：2（x﹣1）﹣x（x﹣1）＝0，

（x﹣1）（2﹣x）＝0，

x﹣1＝0或2﹣x＝0，

所以；

（2）解：原式＝

＝

＝0．

14．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD，

∵BM＝DN，

∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，

∴四边形AMCN是平行四边形，

∵MO＝NO，

∴MN＝2MO，

∵AC＝2MO，

∴MN＝AC，

∴四边形AMCN是矩形．

15．【答案】（1）解：A=[-(m-1)]2-4×1×(-m)

=m2-2m+9

=(m-1)2+8

∵(m-1)2≥0

∴Δ=(m-1)2+8>0

∴此方程必有两个不等的数根

（2）解：x12+x22-x1x2=7

(x1+x2)2-3x1x2=7

即(m-3)2+3m=7

解得：m1=1，m2=2

∴m的值为1或2

16．【答案】（1）解：如图1中，矩形ABCD即为所求；

连接AC，

根据勾股定理可得：，，

∴AD=BC，AB=CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵，

∴，

∠B=90°，

∴四边形ABCD是矩形．

（2）解：如图2中，正方形AEBF即为所求．

根据勾股定理可得：，

∴四边形AEBF是菱形，

∵，

∴∠E=90°，

∴四边形AEBF是正方形．

17．【答案】过点C作CD⊥AB于D.

在Rt△ACD中，∵∠A=30°，AC=
∴CD=，
∴AD=AC×cosA=×=3
在Rt△BCD中，∠B=45°，则BD=CD=，
∴AB=AD+BD=3+

18．【答案】解：由题知： ， ， . 

在 中， ， ， （海里）.

在 中， ， ， （海里）.

答：还需要航行的距离 的长为20.4海里.

19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴ABCD，

∴∠M＝∠N，

∵AC的垂直平分线是MN，

∴AO＝CO，

在△AOM和△CON中，

，

∴△AOM≌△CON（AAS）；

（2）解：连接CE，设AE＝x，则DE＝8﹣x，

∵AC的垂直平分线是MN，

∴AE＝CE＝x，

∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，

∴DC＝AB＝4，∠ADC＝90°，

由勾股定理得：，

∴，

解得：x＝5，

即AE＝5．

20．【答案】（1）不可能|随机|

（2）解：记小悦、小惠、小艳和小倩这四位女同学分别为A、B、C、D，列表如下：

由表可知，共有12种等可能结果，其中“小惠和小艳被同时抽中“的有2种结果，

所以“小惠和小艳被同时抽中“的概率为．

21．【答案】（1）解：依等量关系式“销量=原销量-因涨价而减少销量，总利润=单个利润×销量”可列式为： 

 y=600-10（x-40）=-10x+1000；

W=（x-30）（-10x+1000）=-10 +1300x-30000

（2）解：由题意可得： 10 +1300x 30000=10000，  

解得：x=50或x=80，

∴该玩具销售单价x应定为50元或80元

（3）解：由题意可得： ，  

解得：45≤x≤52，

W= 10 +1300x 30000= 10（ +12250，

∵ 10<0，W随x的增大而减小，

又∵45≤x≤52，

∴当x=52时，W有最大值，最大值为10560元，

∴商场销售该品牌玩具获利的最大利润是10560元．

22．【答案】（1）证明：∵AD∥BC，

∴∠PAF=∠AEB．

∵∠PFA=∠ABE=90°，

∴△PFA∽△ABE．

（2）解：若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB．

∴PE∥AB．

∴四边形ABEP为矩形．

∴PA=EB=2，即x=2．

若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB．

∵∠PAF=∠AEB，

∴∠PEF=∠PAF．

∴PE=PA．

∵PF⊥AE，

∴点F为AE的中点．

∵AE= ，

∴EF= AE= ．

∵ ，即 ，

∴PE=5，即x=5．

∴满足条件的x的值为2或5．

23．【答案】（1）解：令x＝0，则y＝c，

∴OC＝﹣c，

∵OA＝OC，

∴3＝﹣c，即c＝﹣3．

∵对称轴是直线x＝﹣1，点A的坐标为（﹣3，0），

根据题意得：，

解之：．

∴抛物线解析式．

（2）解：当x＝0时，y＝﹣3，

∴点C（0，﹣3），即OC＝3，

∵A，B关于对称轴对称，

∴B（1，0），即OB＝1，

∴，

设，

∴＝×3×|x|，

∵＝，

∴，

∴x＝±4，

∴P（4，21），（﹣4，5）．

（3）解：∵点A（﹣3，0），点C（0，﹣3），

∴直线AC解析式y＝﹣x﹣3，

∴设点Q（m，﹣m﹣3）（﹣3≤m≤0），

则点，

∴，

∴当m＝﹣时，QD的最大值为 ．