2021-2022学年辽宁省沈阳市区域业务联合体八年级（上）期中数学试卷 解析版

这是一份2021-2022学年辽宁省沈阳市区域业务联合体八年级（上）期中数学试卷 解析版，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年辽宁省沈阳市区域业务联合体八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共计20分）
1．（2分）下列四组数中，是勾股数的是（　　）
A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52
C．，， D．30，40，50
2．（2分）在实数，，，，0.1010010001，，中，无理数有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2分）在平面直角坐标系中，点（1，5）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2分）估算的值（　　）
A．在8和9之间 B．在7和8之间
C．在6和7之间 D．在5间和6之间
5．（2分）如图，在△ABC中，有一点P在BC边上移动，若AB＝AC＝5，BC＝6，则AP的最小值为（　　）

A．4.8 B．5 C．4 D．3
6．（2分）有一个数值转换器，原理如下，当输入的x为81时，输出的y是（　　）

A． B．9 C．3 D．2
7．（2分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，3），AB∥y轴，AB＝5，则点B的坐标为（　　）
A．（1，3） B．（﹣4，8）
C．（1，3）或（﹣9，3） D．（﹣4，8）或（﹣4，﹣2）
8．（2分）如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，则大正方形的面积是（　　）

A．121 B．144 C．169 D．196
9．（2分）如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（　　）

A． B． C． D．2.5
10．（2分）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2021次后形成的图形中所有正方形的面积和是（　　）

A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分。）
11．（3分）的算术平方根为　 　．
12．（3分）已知一个直角三角形的两条直角边长分别是2和4，则斜边的长是　 　．
13．（3分）已知点P（3，a）关于y轴的对称点为Q（b，2），则ab＝　 　．
14．（3分）如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝18，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，折痕和AC交于点E，EC＝5，则BC的长为　 　．

15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（3，1），AB＝OB，∠ABO＝90°，则点A的坐标是 　 　．

16．（3分）如图，在直角坐标系上有两点A（﹣3，0）、B（0，4），M是y轴上一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上，则点M的坐标为 　 　．

三、解答题（第17小题6分，第18小题8分，第19小题10分，共24分）
17．（6分）计算：．
18．（8分）计算：（+1）（﹣1）﹣（）﹣2++．
19．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°．
（1）求∠DAB的度数；
（2）四边形ABCD的面积为 　 　．

四、解答题：（第20题10分，第21题12分，共22分）
20．（10分）已知x＝1﹣2a，y＝3a﹣4．
（1）已知x的算术平方根为3，求a的值；
（2）如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数．
21．（12分）如图所示，在平面直角坐标系中△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，2），C（﹣3，1）．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）△ABC的面积为 　 　，AC边上的高为 　 　；
（3）在y轴找一点P，使得△ABP的周长最小，请画出点P，并直接写出△ABP的周长最小值为 　 　；
（4）在x轴上找一点P，使得△ABP为等腰三角形，则点P的坐标为 　 　．

五、解答题：（本题12分）
22．（12分）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
化简：﹣1，
则，，…．
问题：
（1）请直接写出下列式子的值：＝　 　；＝　 　．
（2）请利用材料给出的结论，计算：的值；
（3）利用材料提供的方法，计算＝　 　．（直接写出）
六、解答题：（本题12分）
23．（12分）在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．

（1）如图1，D，E是等腰Rt△ABC斜边BC上两动点，且∠DAE＝45°，在等腰Rt△ABC外侧作△CAF≌△BAE，连接DF．
问：①∠DCF＝　 　°．
②△AED与△AFD是否全等？请说明理由；
③当BE＝3，CE＝7时，求DE的长；
（2）如图2，点D是等腰Rt△ABC斜边BC所在射线CB上的一动点，连接AD，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE（点E在点D的顺时针方向上），当BD＝4，BC＝12时，直接写出DE的长．


2021-2022学年辽宁省沈阳市区域业务联合体八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共计20分）
1．（2分）下列四组数中，是勾股数的是（　　）
A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52
C．，， D．30，40，50
【分析】根据勾股数的定义：有a、b、c三个正整数，满足a2+b2＝c2，称为勾股数．由此判定即可．
【解答】解：A、0.32+0.42＝0.52，但0.3，0.4，0.5不是整数，不是勾股数，不符合题意；
B、（32）2+（42）2≠（52）2，不是勾股数，不符合题意；
C、（）2+（）2≠（）2，不是勾股数，不符合题意；
D、302+402＝502，是勾股数，符合题意．
故选：D．
2．（2分）在实数，，，，0.1010010001，，中，无理数有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：是分数，属于有理数；
0.1010010001是有限小数，属于有理数；
，是整数，属于有理数；
无理数有，，，共3个．
故选：C．
3．（2分）在平面直角坐标系中，点（1，5）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【解答】解：点（1，5）所在的象限是第一象限．
故选：A．
4．（2分）估算的值（　　）
A．在8和9之间 B．在7和8之间
C．在6和7之间 D．在5间和6之间
【分析】先估算出的取值范围，再得出+3的取值范围即可．
【解答】解：∵16＜24＜25，
∴4＜＜5，
∴7＜+3＜8．
故选：B．
5．（2分）如图，在△ABC中，有一点P在BC边上移动，若AB＝AC＝5，BC＝6，则AP的最小值为（　　）

A．4.8 B．5 C．4 D．3
【分析】根据等腰三角形的性质和垂线段最短解答即可．
【解答】解：如图，P在BC上运动时，由垂线段最短知，

当AP⊥BC时，AP最短，
作AM⊥BC，
∵AB＝BC，
∴BM＝MC＝BC＝3，
在Rt△ABM中，BM2+AM2＝AB2，
即32+AM2＝52，
∴AM＝4，
即AP最最小值为4．
故选：C．
6．（2分）有一个数值转换器，原理如下，当输入的x为81时，输出的y是（　　）

A． B．9 C．3 D．2
【分析】直接利用算术平方根的定义分析得出答案．
【解答】解：由题意可得：81的算术平方根是9，9的算术平方根是3，
则3的算术平方根是，故输出的y是．
故选：A．
7．（2分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，3），AB∥y轴，AB＝5，则点B的坐标为（　　）
A．（1，3） B．（﹣4，8）
C．（1，3）或（﹣9，3） D．（﹣4，8）或（﹣4，﹣2）
【分析】线段AB∥y轴，A、B两点横坐标相等，又AB＝5，B点在A点上边或者下边，根据距离确定B点坐标．
【解答】解：∵AB∥y轴，
∴A、B两点的横坐标相同，
又AB＝5，
∴B点纵坐标为：3+5＝8或3﹣5＝﹣2，
∴B点的坐标为：（﹣4，﹣2）或（﹣4，8）．
故选：D．
8．（2分）如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，则大正方形的面积是（　　）

A．121 B．144 C．169 D．196
【分析】观察图形可得直角三角形的较短的直角边加上小正方形的边长刚好等于直角三角形的较长直角边的长，根据勾股定理即可求得直角三角形斜边的长，从而得到了大正方形的边长，从而求得大正方形的面积．
【解答】解：∵直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，
∴直角三角形的较长直角边＝5+7＝12，
∴直角三角形斜边长＝13，
∴大正方形的边长是13，
∴大正方形的面积是13×13＝169．
故选：C．
9．（2分）如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（　　）

A． B． C． D．2.5
【分析】利用勾股定理列式求出OB，然后根据数轴写出点所表示的数即可．
【解答】解：∵矩形OABC的长OA为2，宽AB为1，
∴由勾股定理得，OB＝＝＝，
∴这个点表示的示数是．
故选：C．
10．（2分）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2021次后形成的图形中所有正方形的面积和是（　　）

A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形面积，即所有正方形的面积和是2×1＝2；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是3×1＝3；推而广之，即可求出“生长”2021次后形成的图形中所有正方形的面积和是2022×1＝2022．
【解答】解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．
根据勾股定理，得a2+b2＝c2，
即正方形A的面积+正方形B的面积＝正方形C的面积＝1．
推而广之，“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022×1＝2022．
故选：D．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分。）
11．（3分）的算术平方根为　　．
【分析】由算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，即可求出结果．
【解答】解：∵（）2＝，
∴的算术平方根为：．
故答案为：．
12．（3分）已知一个直角三角形的两条直角边长分别是2和4，则斜边的长是　2　．
【分析】根据勾股定理求斜边即可．
【解答】解：由勾股定理得，斜边＝，
故答案为：2．
13．（3分）已知点P（3，a）关于y轴的对称点为Q（b，2），则ab＝　﹣6　．
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得a＝2，b＝﹣3，进而可得答案．
【解答】解：∵点P（3，a）关于y轴的对称点为Q（b，2），
∴a＝2，b＝﹣3，
∴ab＝﹣6，
故答案为：﹣6．
14．（3分）如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝18，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，折痕和AC交于点E，EC＝5，则BC的长为　12　．

【分析】先求得AE＝13，然后由翻折的性质可知BE＝13，最后在Rt△BCE中由勾股定理求得BC的长即可．
【解答】解：∵AC＝18，EC＝5，
∴AE＝13．
由翻折的性质可知：BE＝AE＝13．
在Rt△EBC中，由勾股定理得：BE2＝EC2+BC2．
∴BC＝＝12．
故答案为：12．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（3，1），AB＝OB，∠ABO＝90°，则点A的坐标是 　（2，4）　．

【分析】过点A作AC∥x轴，过点B作BD∥y轴，两条直线相交于点E，根据ASA定理得出△ABE≌△BOD，故可得出AC及DE的长，由此可得出结论．
【解答】解：如图，过点A作AC∥x轴，过点B作BD∥y轴，两条直线相交于点E，

∵B（3，1），
∴OD＝3，BD＝1．
∵∠DOB+∠OBD＝90°，∠OBD+∠ABE＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，
∴∠BOD＝∠ABE，∠OBD＝∠BAE．
在△ABE与△BOD中，
，
∴△ABE≌△BOD（ASA），
∴AE＝BD＝1，BE＝OD＝3，
∴AC＝OD﹣BD＝3﹣1＝2，DE＝BD+BE＝1+3＝4，
∴A（2，4）．
故答案为：（2，4）．
16．（3分）如图，在直角坐标系上有两点A（﹣3，0）、B（0，4），M是y轴上一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上，则点M的坐标为 　（0，）或（0，﹣6）　．

【分析】设沿直线AM将△ABM折叠，点B正好落在x轴上的C点，则有AB＝AC，而AB的长度根据已知可以求出，所以C点的坐标由此求出；又由于折叠得到CM＝BM，在直角△CMO中根据勾股定理可以求出OM，也就求出M的坐标．
【解答】解：设点B落在x轴的C点处，
如图所示，当点M在x轴上方，

∵A（﹣3，0），B（0，4），
∵将△ABM沿AM折叠，
∴AB＝AC，
又OA＝3，OB＝4，
∴AB＝5＝AC，
∴点C的坐标为：（2，0）．
设M点坐标为（0，b），
则CM＝BM＝4﹣b，
∵CM2＝CO2+OM2，
∴b＝，
∴M（0，），
如图所示，当点M在x轴下方，

设OM＝m
由折叠知，AC＝AB＝5，CM＝BM，BM＝OB+OM＝4+m，
∴OC＝8，CM＝4+m，
根据勾股定理得，64+m2＝（4+m）2，
∴m＝6，
∴M（0，﹣6）
故答案为：（0，）或（0，﹣6）．
三、解答题（第17小题6分，第18小题8分，第19小题10分，共24分）
17．（6分）计算：．
【分析】直接利用二次根式的性质化简，再结合平方差公式化简，最后利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝+2﹣1
＝1+2﹣1
＝2．
18．（8分）计算：（+1）（﹣1）﹣（）﹣2++．
【分析】化简负整数指数幂，二次根式，根据平方差公式计算乘法，根据二次根式除法运算法则计算除法，然后再算加减．
【解答】解：原式＝（）2﹣1﹣4++2
＝5﹣1﹣4+3+2
＝3+2．
19．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°．
（1）求∠DAB的度数；
（2）四边形ABCD的面积为 　2+　．

【分析】（1）连接AC，由于∠B＝90°，AB＝BC＝2，利用勾股定理可求AC，并可求∠BAC＝45°，而CD＝3，DA＝1，易得AC2+DA2＝CD2，可证△ACD是直角三角形，∠CAD＝90°，从而易求∠DAB的度数；
（2）首先把求四边形ABCD的面积分割为求△ABC和△ACD的面积，然后利用三角形的面积公式分别求出这两个三角形的面积，最后将两个三角形的面积相加就可以求出四边形ABCD的面积．
【解答】解：（1）如图，连接AC，

∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC＝＝2，∠BAC＝45°，
又∵CD＝3，DA＝1，
∴AC2+DA2＝8+1＝9，CD2＝9，
∴AC2+DA2＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠CAD＝90°，
∴∠DAB＝45°+90°＝135°；

（2）四边形ABCD的面积
＝△ABC的面积+△ACD的面积
＝×2×2+×1×2
＝2+．
故答案为：2+．
四、解答题：（第20题10分，第21题12分，共22分）
20．（10分）已知x＝1﹣2a，y＝3a﹣4．
（1）已知x的算术平方根为3，求a的值；
（2）如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数．
【分析】（1）根据平方运算，可得1﹣2a，根据解一元一次方程，可得答案；
（2）根据同一个数的平方根相等或互为相反数，可得a的值，根据平方运算，可得答案．
【解答】解：（1）∵x的算术平方根是3，
∴1﹣2a＝9，
解得a＝﹣4．
故a的值是﹣4；
（2）x，y都是同一个数的平方根，
∴1﹣2a＝3a﹣4，或1﹣2a+（3a﹣4）＝0
解得a＝1，或a＝3，
（1﹣2a）＝（1﹣2）2＝1，
（1﹣2a）＝（1﹣6）2＝25．
答：这个数是1或25．
21．（12分）如图所示，在平面直角坐标系中△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，2），C（﹣3，1）．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）△ABC的面积为 　2　，AC边上的高为 　　；
（3）在y轴找一点P，使得△ABP的周长最小，请画出点P，并直接写出△ABP的周长最小值为 　2+2　；
（4）在x轴上找一点P，使得△ABP为等腰三角形，则点P的坐标为 　（0，0）　．

【分析】（1）分别作出点A，B，C关于x轴的对称点A1，B1，C1；顺次连接即可；
（2）根据三角形的面积公式计算即可；
（3）作点A关于y轴的对称点D，连接BD交y轴于P，则△ABP的周长最小；
（4）作线段AB的垂直平分线与x轴交于一点P′，于是得到结论．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）∵AB＝＝2，BC＝＝，AC＝＝，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴△ABC的面积＝AB•BC＝×＝2；
设AC边上的高为h，
∴AC•h＝2，
∴h＝，
∴AC边上的高为；
故答案为：；
（3）如图所示，点P即为所求；
∵AP＝PD，
∴△ABP的周长＝AB+AP+BP＝AB+PD+BP＝AB+BD，
∵BD＝＝2，
∴△ABP的周长最小值为2+2；
故答案为：2+2；
（4）如图所示，点P′即为所求；P′（0，0）．
故答案为：（0，0）．

五、解答题：（本题12分）
22．（12分）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
化简：﹣1，
则，，…．
问题：
（1）请直接写出下列式子的值：＝　　；＝　10﹣3　．
（2）请利用材料给出的结论，计算：的值；
（3）利用材料提供的方法，计算＝　　．（直接写出）
【分析】（1）根据平方差公式进行二次根式分母有理化计算；
（2）利用材料中的结论，从而结合数字变化规律进行分析计算；
（3）利用平方差公式进行二次根式分母有理化计算，从而结合数字变化规律进行分析计算．
【解答】解：（1）＝＝，
＝＝＝10﹣3，
故答案为：，10﹣3；
（2）由材料可得：
原式＝﹣1+++...+
＝
＝10﹣1
＝9；
（3）原式＝+++...+
＝
＝，
故答案为：．
六、解答题：（本题12分）
23．（12分）在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．

（1）如图1，D，E是等腰Rt△ABC斜边BC上两动点，且∠DAE＝45°，在等腰Rt△ABC外侧作△CAF≌△BAE，连接DF．
问：①∠DCF＝　90　°．
②△AED与△AFD是否全等？请说明理由；
③当BE＝3，CE＝7时，求DE的长；
（2）如图2，点D是等腰Rt△ABC斜边BC所在射线CB上的一动点，连接AD，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE（点E在点D的顺时针方向上），当BD＝4，BC＝12时，直接写出DE的长．

【分析】（1）①先由等腰直角三角形的性质得∠B＝∠ACB＝45°，再由全等三角形的性质得∠ACF＝∠B＝45°，得到答案；
②根据全等三角形的性质得到AE＝AF，再证明∠EAD＝∠FAD，根据全等三角形的判定定理证明即可；
③证明DF＝DE，由勾股定理得DF2＝CD2+CF2，解方程即可；
（2）分点E在线段BC上、点D在CB的延长线上两种情况，连接BE，根据勾股定理计算即可得出答案．
【解答】解：（1）AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵△CAF≌△BAE，
∴∠ACF＝∠B＝45°，
∴∠DCF＝∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，
故答案为：90；
②△AED≌△AFD，
理由如下：∵△CAF≌△BAE，
∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF，
∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，
∴∠BAE+∠DAC＝45°，
∴∠CAF+∠DAC＝45°，即∠DAF＝45°，
∴∠EAD＝∠FAD，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（SAS），
③CE＝7，
∴ED+DC＝7，
∵△AED≌△AFD，
∴DF＝DE，
∴DF+DC＝7，
∵△CAF≌△BAE，
∴CF＝BE＝3，
∵∠DCF＝90°，
∴CD2+CF2＝DF2，即（7﹣DE）2+32＝DE2，
解得：DE＝；
（2）①当点D在线段BC上时，连接BE，如图2所示，
∵△ADE是等腰直角三角形，∠EAD＝90°，
∴AE＝AD，∠BAC＝∠EAD，
∴∠EAB＝∠DAC，
在△EAB和△DAC中，
，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴∠ABE＝∠C＝45°，BE＝CD＝BC﹣BD＝12﹣4＝8，
∴∠EBD＝90°，
∴DE＝＝＝4；
②当点D在CB的延长线上时，连接BE，如图3所示：

同①得：△EAB≌△DAC（SAS），∠EBD＝90°，
∴BE＝CD＝BC+BD＝12+4＝16，
∴DE＝＝＝4；
综上所述，DE的值为4或4．