初中数学人教版七年级下册第八章 二元一次方程组8.3 实际问题与二元一次方程组练习

这是一份初中数学人教版七年级下册第八章 二元一次方程组8.3 实际问题与二元一次方程组练习，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，羊二，直金十九两；牛二等内容，欢迎下载使用。

专题8.3 实际问题与二元一次方程组
一、选择题(本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的)
1．(2021·渝中区·重庆巴蜀中学七年级月考)《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：根据题意，得：，
故选：A．
2．(2020·义乌市稠州中学教育集团七年级月考)踩高跷又称为“扎高脚”“缚柴脚”，如图是一位演员踩着长度为身高一半的高跷，脚踏处距高跷顶端，演员踩在高跷上时，“身高”为．设演员的身高为，高跷的长度为，则下列方程组正确的是( )

A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
解：由题意得：
，
故选：．
3．(2021·沙坪坝区·重庆八中八年级期末)随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐步成为人们喜爱的交通工具．某汽车公司计划正好用190万元购买，两种型号的新能源汽车(两种型号的汽车均购买)，其中型汽车进价为20万元/辆，型汽车进价为30万元/辆，则，型号两种汽车一共最多购买( )
A．9辆 B．8辆 C．7辆 D．6辆
【答案】A
【详解】
设购买A，B型号汽车分别购买m，n辆，
∵两种型号的汽车均购买，
∴m≥1，n≥1，且m，n均为整数，
由题意得：20m+30n=190，即2m+3n=19，
∴1≤n≤5，
又∵2m为偶数，则3n为奇数，
∴n为奇数，即：n=1，3，5，
当n=1时，m=8，
当n=3时，m=5，
当n=5时，m=2，
∴，型号两种汽车一共最多购买9辆．
故选Ａ．
4．(2020·云南昆明市·九年级其他模拟)10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
解：设小明和他妈妈现在分别是x岁和y岁．
由题意得， ，
故选：B．
5．(2020·浙江省义乌市稠江中学七年级月考)如图，我们可以按竖放、平放两种方式在同一个书架上摆放一定数量的同一本书，并且要求书脊朝外，方便我们査阅．根据图中的数据，可计算：若只按某一种方式摆放，该书架上最多可摆放这本书的数量为( )

A．36本 B．38本 C．40本 D．42本
【答案】C
【详解】
解：设每本书的厚度为xcm，宽度为ycm，
由题意可得：
，
解得：，
∴每本书的厚度为1.5cm，宽度为22cm，
若按竖放：34+9÷1.5=40本，
若按平放：2×(16+6÷1.5)=40本，
∴最多能摆40本，
故选C．
6．(2020·黑龙江齐齐哈尔市·九年级一模)甲乙丙三人做一项工作，三人每天的工作效率分别为a、b、c，若甲乙一天工作量和是丙2天的工作量，乙丙一天的工作量和是甲5天的工作量，下列结论正确的是(　　　)
A．甲的工作效率最高 B．丙的工作效率最高 C．c=3a D．b：c=3：2
【答案】D
【详解】解：由题意可得：
①－②，得
解得：，故C错误；
将代入①，得

解得：
∴b＞c＞a
∴乙的工作效率最高，故A、B错误；
b：c=3a：2a=3：2，故D正确．
故选D．
7．(2020·陕西西安市·八年级期末)某商场新购进一种服装，每套售价1000元，若将裤子降价10%，上衣涨价5%，调价后这套服装的单价比原来提高了2%，则调价前上衣的单价是( )
A．200元 B．480元 C．600元 D．800元
【答案】D
【详解】
解：设调价前上衣的单价是x元，裤子的单价是y元，
依题意，得：
，
解得：．
故选：D．
8．(2019·山东临沂市·九年级零模)小明打算购买气球装扮“毕业典礼”活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同．由于会场布置需要，购买时以一束(4个气球)为单位，已知第一、二束气球的价格如图，则第三束气球的价格为(　　)

A．16 B．16 C．14 D．13
【答案】C
【详解】
设一个笑脸气球x元，一个爱心气球y元，则

解得

所以2x+2y=14
所以第三束气球是14元；
故选：C
9．(2021·陕西九年级专题练习)小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：
时刻
12：00
13：00
14：30
碑上的数
是一个两位数，数字之和为6
十位与个位数字与12：00时所看到的正好颠倒了
比12：00时看到的两位数中间多了个0
则12：00时看到的两位数是(　　)
A．24 B．42 C．51 D．15
【答案】D
【详解】解：设小明12时看到的两位数，十位数为x，个位数为y，由题意列方程组得：，
解得：，
∴12：00时看到的两位数是15．
故选：D
10．(2020·山东威海市·)小明、小颖、小亮玩飞镖游戏，他们每人投靶次，中靶情况如图所示．规定投中同一圆环得分相同，若小明得分分，小亮得分分，则小颖得分为( )

A．分 B．分 C．分 D．分
【答案】A
【详解】解：设投中外环得分，投中内环得分，根据题意得
，
解得：，
分
即小颖得分为19分，
故选A．
11．(2020·浙江绍兴市·七年级期中)自行车的轮胎安装在前轮上行驶3000千米后报废，安装在后轮上，只能行驶2000千米，为了行驶尽可能多的路程，采取在自行车行驶一定路程后，用前后轮调换使用的方法，那么安装在自行车上的这对轮胎最多可行驶多少千米？( )
A．2300千米 B．2400千米 C．2500千米 D．2600千米
【答案】B
【详解】
解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，则安装在前轮的轮胎每行驶1km磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为，
又设一对新轮胎交换位置前走了xkm，交换位置后走了ykm．分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，有
，
两式相加，得，
则x+y=2400，
∴安装在自行车上的这对轮胎最多可行驶2400千米．
故选：B．
12．(2019·台州市路桥区东方理想学校九年级月考)某单位采购小李去商店买笔记本和笔，他先选定了笔记本和笔的种类，若买25本笔记本和30支笔，则他身上的钱缺30元；若买15本笔记本和40支笔，则他身上的钱多出30元．( )
A．若他买55本笔记本，则会缺少120元 B．若他买55支笔，则会缺少120元
C．若他买55本笔记本，则会多出120元 D．若他买55支笔，则会多出120元
【答案】D
【详解】
设笔记本的单价为x元，笔的单价为y元，根据题意得：
25x+30y-30=15x+40y+30
整理得：10x-10y=60，即x-y=6
∴，即买55个笔记本缺少210元
，即买55支笔多出120元
故选D．
13．(2021·河北保定师范附属学校八年级期末)用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有张正方形纸板和 张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完， 则的值可能是( )

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：设做成竖式无盖纸盒x个，横式无盖纸盒y个，根据题意列方程组得：
，
则两式相加得，
∵x、y 都是正整数，
∴一定是5的倍数，
∵302、303、304、305四个数中，只有305是5的倍数，
∴的值可能是305，
故选：D．
14．(2020·浙江温州市·七年级期末)已知甲、乙两人分别从两地同时匀速出发，若相向而行，则经过分钟后两人相遇:若同向而行，则经过分钟后甲追上乙．若甲、乙的速度比为，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：设甲的速度为10x，则乙的速度为3x，设A，B两地相距s，依题意有
10xa+3xa=s ①，
10xb-3xb=s ②，
①-②得10xa+3xa-(10xb-3xb)=0，
13a-7b=0，
∴，
故选：B．
二、填空题(本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上)
15．(2021·古浪县第四中学七年级月考)根据下图提供的信息，可知一件上衣的价格是____元，一条短裤的价格是____元．

【答案】40 20
【详解】
解：设一件上衣x元，一条短裤y元，
由题意可得：
，
解得：，
∴一件上衣的价格是40元，一条短裤的价格是20元，
故答案为：40，20．
16．(2020·哈尔滨市第六十九中学校七年级月考)一条船顺流航行，每小时行20km，逆流航行，每小时行16km，则船在静水的速度_____km/h．
【答案】18
【详解】解：设船在静水的速度为xkm/h，水流的速度为ykm/h，
根据题意得：
解得： ．
轮船在静水中的速度为18千米．
故答案为：18．
17．(2021·全国九年级专题练习)鞋号是指鞋子的大小，中国于60年代后期，在全国测量脚长的基础上制定了“中国鞋号”，1998年政府发布了基于Mondopoint系统，用毫米做单位的中华人民共和国国家标准GB/T3294-1998，被称为“新鞋号”，之前以厘米为单位的鞋号从此被称为“旧鞋号”．新旧鞋号部分对应表如下：
新鞋号
220
225
230
235
……
265
旧鞋号
34
35
36
37
……
a
则a的值为____________．
【答案】43
【详解】解：设新鞋号m与旧鞋号n的关系是m=kn+b，由题意得：
，解得，．
故m=5n+50，代入m=265，可得，n=43，
所以a的值为43．
故答案为：43．
18．(2020·浙江七年级期末)已知关于，的方程组，当正整数_____时，方程组有整数解．
【答案】4
【详解】解：由方程组得t≠2，
解方程组得：
，，
∵方程组有整数解，
当t=4时，，，
故答案为：4．
三、解答题(本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分)
19．(2021·浙江九年级专题练习)《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人、羊价各是多少？
设合伙人为人，羊价为钱，根据题意甲、乙两位同学得到如下方程组：
甲同学：，
乙同学：，
请你判断哪位同学所列方程组正确，并帮助解答．
【答案】甲同学所列方程组正确；合伙人为21人，羊价为150钱．
【详解】解：设合伙人为人，羊价为钱，
依题意，得：，
∴甲同学列的方程组正确，
解该方程组，得：．
答：合伙人为21人，羊价为150钱．
20．(2021·广西贺州市·七年级期末)某化肥厂把化肥送到甲、乙两个村庄，先后送了两次．每次的运量和运费如下表：
次序
甲村运量/
乙村运量/
共计运费/元
第1次
6
5
270
第2次
8
11
490
(1)把化肥送到甲、乙两个村庄每吨化肥需要多少元？
(2)试问两个村庄各负担运费多少元？
【答案】(1)把化肥送到甲、乙两个村庄每吨化肥分别需要20元，30元；(2)甲、乙两个村庄各负担运费分别为280元，480元
【详解】
(1)解：设把化肥送到甲、乙两个村庄每吨化肥分别需要元，元．
依题意，得：，
解得．
答：把化肥送到甲、乙两个村庄每吨化肥分别需要20元，30元．
(2)甲村需负担运费：(元)
乙村需负担运费：(元)
答：甲、乙两个村庄各负担运费分别为280元，480元．
21．(2021·广东茂名市·八年级期末)为了应对新冠肺炎疫情，做好防控工作，我市某校开学前拟为教职工购买口罩，计划购买普通口罩和N95口罩共4200个，已知每个普通口罩的价格为0.5元，每个N95口罩的价格为5元．
(1)若购买这两类口罩的总金额为3000元，求两种口罩各购买了多少个？
(2)为弘扬“好心茂名”精神，某企业决定给采购口罩的学校实行以下优惠：普通口罩每购满100个减10元，每个N95口罩打7折．若按(1)中的购买数量，实行优惠后学校需要支付多少钱？
【答案】(1)普通口罩购买4000只，N95口罩购买200只；(2)2300元
【详解】(1)设购买普通口罩个，N95口罩个，依据题意可得

解得
答：普通口罩购买4000只，N95口罩购买200只．
(2)普通口罩：(元)
N95口罩：(元)
(元)
答：实行优惠后学校需要支付2300元．
22．(2020·浙江金华市·群星外国语学校七年级月考)有三把楼梯，分别是五步梯、七步梯、九步梯，每攀沿一步横档减少的长度是一致的．每把楼梯的扶杆长(即梯长)、顶档宽、底档宽如图所示，并把横档与扶杆榫合处称作联结点(如点)．

(1)通过计算，补充填写下表：
楼梯种类
两扶杆总长(米)
横档总长(米)
联结点数(个)
五步梯



七步梯



九步梯



(2)一把楼梯的成本由材料费和加工费组成，假定加工费以每个联结点1元计算，而材料费中扶杆的单价与横档的单价不相等(材料损耗及其它因素忽略不计)．现已知一把五步梯、七步梯的成本分别是26元、36元，试求出一把九步梯的成本．
【答案】(1)见解析；(2)46.8元
【详解】
解：(1)五步梯两扶杆总长为4米，横档总长为2米，连接点数为10个，
七步梯、九步梯的扶杆长分别是5米、6米；
横档总长分别是：×(0.4+0.6)×7=3.5米、×(0.5+0.7)×9=5.4米；
连接点个数分别是14个、18个；
填表如下：

(2)设扶杆单价为x元/米，横档单价为y元/米，
依题意得：，
解得：，
故九步梯的成本为6×3+5.4×2+1×18=46.8(元)，
答：一把九步梯的成本为46.8元．
23．(2020·广西南宁市·南宁二中七年级月考)某次篮球联赛部分积分如下：
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
A
14
10
4
24
B
14
7
7
21
C
14
4
10
18
根据表格提供的信息解答下列问题：
(1)列一元一次方程求出胜一场、负一场各积多少分？
(2)某队的胜场总积分能等于负场总积分吗？若能，试求出胜场数和负场数；若不能，请说明理由．
【答案】(1)胜一场积2分，负一场积1分；(2)不能，理由见解析
【详解】
解：(1)设胜一场积x分，负一场积y分，
依题意得：，
解得：，
∴胜一场积2分，负一场积1分．
(2)若胜场总积分等于负场总积分，
设胜场数是a，负场数是(14-a)，依题意得：
2a=14-a，
解得：a=，又a为整数，
∴胜场总积分不能等于负场总积分．
24．(2020·浙江杭州市·七年级期末)我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．”其译文是：“5头牛、2只羊，共值19两银子；2头牛、5只羊，共值16两银子．”
(1)求1头牛、1只羊共值多少两银子？
以下是小慧同学的解答(请你补充完整)：
解：设1头牛值x两银子，1只羊值y两银子，根据题意，可列出方程组：

①+②，得______________，
∴______________．
小慧仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数式的值，这种解题思想就是我们通常所说的“整体思想”．
(2)运用“整体思想”尝试解决以下问题；
对于实数x，y，定义新运算；，其中a，b是常数．
已知，求的值．
【答案】(1)见解析；(2)0
【详解】
解：(1)设1头牛值x两银子，1只羊值y两银子，根据题意，可列出方程组：
，
①+②，得，
∴5，
∴1头牛、1只羊共值5两银子；
(2)∵，
且，
∴，即，
②×2-①可得：，
∴==0．
25．(2021·广东深圳市·八年级期末)某景点的门票价格如下表：
购票人数
1～50
51～100
100以上
每人门票价
20
16
10
某校八年级(一)、(二)两班计划去游览该景点，其中(1)班人数少于50人，(2)班人数多于50人且少于100人，如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付1828元，如果两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费1020元．
(1)两个班各有多少名学生？
(2)团体购票与单独购票相比较，两个班各节约了多少元？
【答案】(1)53人；49人；(2)1班节约了490元，2班节约了318元
【详解】
解：(1)∵1020÷16=63，63不为整数，
∴(1)(2)两班的人数之和超过100人．
设(1)班有x名学生，(2)班有y名学生，
依题意得：，
解得：．
答：(1)班有49名学生，(2)班有53名学生．
(2)(1)班节约的钱数为(20-10)×49=490(元)，(2)班节约的钱数为(16-10)×53=318(元)．
答：团体购票与单独购票相比较，(1)班节约了490元，(2)班节约了318元．
26．(2020·浙江七年级期末)某公司决定从甲、乙、丙三个工厂共购买100件同种产品，计划从丙厂购买的产品数量是从甲厂购买的产品数量的2倍；从丙厂购买的产品数量的与从甲厂购买的产品数量之和，刚好等于从乙厂购买的产品数量．
(1)设从甲厂购买件产品，从乙厂购买件产品，请用列方程组的方法求出该公司从三个工厂各应购买多少件产品；
(2)已知这三个工厂生产的产品的优品率分别为甲：80%；乙：85%；丙：90%，求快乐公司所购买的100件产品的优品率；
(3)在第(2)题的基础上，你认为该公司在购买总数100件不变的情况下，能否通过改变计划，调整从三个工厂购买产品的数量，使购买产品的优品率上升2%？若能，请求出所有可能的购买方案；若不能，请说明理由(各厂购买的优品件数是整数)．
【答案】(1)从甲、乙、丙购买的数量分别为20、40、40；(2)86%；(3)能，方案见解析
【详解】
解：(1)由题意得：，
解得：，
所以从甲、乙、丙购买的数量分别为20、40、40；
(2)优品率为(80%×20+85%×40+90%×40)÷100=86%；
(3)设从甲厂购买x件，从乙厂购买y件，则从丙厂购买(100-x-y)件，
80%x+85%y+90%(100-x-y)=100(86%+2%)，
化简得：2x+y=40
因为各厂购买的优品件数是整数，所以，要是整数，
所以当y=0时，x=20符合；则从甲购20件，乙购0件，丙购80件；
当y=20时，x=10符合；则从甲购10件，乙购20件，丙购70件；
当y=40时，x=0符合；则从甲购0件，乙购40件，丙购60件．