初中数学人教版七年级下册8.3 实际问题与二元一次方程组同步训练题

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\l "_Tc30665" 【题型1 三元一次方程（组）的解】 PAGEREF _Tc30665 \h 1
\l "_Tc8071" 【题型2 用消元法解三元一次方程组】 PAGEREF _Tc8071 \h 2
\l "_Tc21210" 【题型3 用换元法解三元一次方程组】 PAGEREF _Tc21210 \h 2
\l "_Tc18225" 【题型4 构建三元一次方程组解题】 PAGEREF _Tc18225 \h 3
\l "_Tc21868" 【题型5 运用整体思想求值】 PAGEREF _Tc21868 \h 3
\l "_Tc26217" 【题型6 三元一次方程组中的数字问题】 PAGEREF _Tc26217 \h 4
\l "_Tc18454" 【题型7 三元一次方程组的应用】 PAGEREF _Tc18454 \h 5
【知识点1 三元一次方程组及解法】
1．三元一次方程组中的方程不一定都是三元一次方程组，并且有时需对方程化简后再根据三元一次方程组的的定义进行判断．
2．解三元一次方程组的基本思想是消元，通过代入或加减消，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题．
3．当三元一次方程组中出现比例式时，可采用换元法解方程组．
【题型1 三元一次方程（组）的解】
【例1】（2022·河南南阳·七年级期中）我们探究得方程x+y=2的正整数解只有1组，方程x+y=3的正整数解只有2组，方程x+y=4的正整数解只有3组，……，那么方程x+y+z=9的正整数解的组数是（ ）
A．27B．28C．29D．30
【变式1-1】（2022·浙江·杭州市实验外国语学校七年级期中）已知x=1y=2z=3是方程组ax+by=2by+cz=3cx+az=7的解，则a+b+c的值为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【变式1-2】（2022·全国·八年级专题练习）方程x+2y+3z=14x【变式1-3】（2022·全国·九年级专题练习）三元一次方程x＋y＋z＝1999的非负整数解的个数有（ ）
A．20001999个B．19992000个C．2001000个D．2001999个
【题型2 用消元法解三元一次方程组】
【例2】（2022·贵州·铜仁市第十一中学七年级阶段练习）方程组2x+3y-z=183x-2y+z=8x+2y+z=24的解________．
【变式2-1】（2022·全国·八年级单元测试）已知2x+3y=z3x+4y=2z+6且x＋y＝3，则z的值为( )
A．9B．－3C．12D．不确定
【变式2-2】（2022·江苏·七年级专题练习）解下列三元一次方程组：
（1）y=2x-75x+3y+2z=23x-4z=4；（2）4x+9y=123y-2z=17x+5z=194．
【变式2-3】（2022·湖北武汉·七年级期中）《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如对于方程组3x+2y+z=392x+3y+z=34x+2y+3z=26，将其中数字排成长方形形式，然后执行如下步骤（如图）；第一步，将第二行的数乘以3，然后不断地减第一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似．其本质就是在消元．那么其中的a，b的值分别是（ ）
A．24，4B．17，4C．24，0D．17，0
【题型3 用换元法解三元一次方程组】
【例3】（2022·全国·七年级课时练习）方程组x:y:z=1:2:3x+y+z=36的解是x=y=z=.
【变式3-1】（2022·全国·七年级单元测试）已知方程组x2=y3=z45x-2y+z=16若设x2=y3=z4=k ，则k= ______．
【变式3-2】（2022·内蒙古·乌海市第二中学七年级期中）探索创新完成下面的探索过程：
给定方程组1x+1y=11y+1z=21z+1x=5，如果令1x=A，1y=B，1z=C，则方程组变成______；
解出这个新方程组（要求写出解新方程组的过程），得出A，B，C的值，从而得到：x= ______；y=______；z= ______．
【变式3-3】（2022·全国·八年级课时练习）若x＋y＋z≠0且2y+zx=2x+yz=2z+xy=k，则k＝_________．
【题型4 构建三元一次方程组解题】
【例4】（2022·四川省荣县中学校七年级期中）对于实数x，y定义新运算：x⊗y=ax+by+c，其中a，b，c均为常数，且已知3⊗5=15，4⊗7=28，则2⊗3的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【变式4-1】（2022·全国·单元测试）已知（x+y-3)2+|y+z-5|+（z+x-4)4=0，则x+y+z的值是______．
【变式4-2】（2022·全国·七年级专题练习）在式子y=ax2+bx+c中，当x=0时，y=1；当x=1时，y=0；当x=-1时，y=4，则a，b，c的值分别为__________．
【变式4-3】（2022·浙江·七年级期末）对于实数x，y定义新运算x⋅y=ax+by+cxy其中a，b，c为常数，若1⋅2=3,2⋅3=4，且有一个非零常数d，使得对于任意的x，恒有x⋅d=x，则d的值是____．
【题型5 运用整体思想求值】
【例5】（2022·湖北·十堰市北京路中学七年级期中）已知实数x，y满足3x-y=5①，2x+3y=7②，求x-4y和7x+5y的值．
本题常规思路是先将①，②两式联立组成方程组，解得x，y的值，再代入欲求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得x-4y=-2，由①+②×2可得7x+5y=19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组2x+y=7x+2y=8，则x-y=__________，x+y=_________．
(2)对于实数x、y，定义新运算：x*y=ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5=15，4*7=28，求1*1的值．
【变式5-1】（2022·山东日照·七年级期末）已知方程组x+y=2y+z=-1z+x=3，则x+y+z的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式5-2】（2022·吉林长春·七年级期末）【数学问题】解方程组x+y=3，①5x-3（x+y）=1．②
【思路分析】榕观察后发现方程①的左边是x+y，而方程②的括号里也是x+y，她想到可以把x+y视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的．
（1）【完成解答】请你按照榕榕的思路，完成解方程组的过程．
解：把①代入②，得
（2）【迁移运用】请你按照上述方法，解方程组a+b=5，①2a+3c=16，②a+b-c=1．③
【变式5-3】（2022·江苏泰州·七年级阶段练习）阅读：善于思考的小明在解方程组4x+10y=6 ①8x+22y=10 ②时，采用了一种“整体代换”的思想，解法如下：
解：将方程②变形为8x+20y+2y=10，即24x+10y+2y=10③，把方程①代入③得，2×6+2y=10，则y=-1；把y=-1代入①得，x=4，所以方程组的解为：x=4y=-1
试用小明的“整体代换”的方法解决以下问题：
（1）试求方程组的解2x-3y=76x-5y=9
（2）已知x､y､z，满足3x-2z+12y=52x+z+8y=8，求z的值．
【题型6 三元一次方程组中的数字问题】
【例6】（2022·浙江·八年级开学考试）一个三位数，百位上的数与十位上的数之差是2，如果交换十位数字与个位数字的位置，那么所得的数就比原来小36，则百位上的数与个位上的数之差为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式6-1】（2022·江苏宿迁·七年级期末）在3×3正方形网格中有9个数，若各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则称此图为“九宫图”．
(1)图（甲）就是一个九宫图的一部分，请你求出x，y的值；
(2)已知图（乙）和图（丙）都是不完整的九宫图．
填空：a=______，b=______，c=______；
d=______，e=______，f=______．
【变式6-2】（2022·重庆巴南·七年级期末）对于个位数字和十位数字不相同的两位自然数m，把个位上的数字和十位上的数字交换后得到的新两位自然数记为m1，同时记F(m)=m-m19若F（m）能被4整除，则称这样的两位自然数m为“四季数”．例如：15是“四季数”，因为两位自然数15的个位上的数字和十位上的数字交换后得到的新两位自然数为51，同时F(15)=15-519=4，而4能被4整除，所以15是“四季数”；74不是“四季数”，因为两位自然数74的个位上的数字和十位上的数字交换后得到的新两位自然数为47，同时F(74)=74-479=3，而3不能被4整除，所以74不是“四季数”
（1）判断29、48是否是“四季数”？并说明理由；
（2）已知两位自然数m是“四季数”，m的十位上的数字为a，个位上的数字为c．在m的中间插入一个数b，得到一个三位数n．若n比m的9倍少8，求出所有符合题意的n值
【变式6-3】（2022·重庆綦江·八年级期末）对于一个三位数n,如果n满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于7,那么称这个数n为“幸福数”．例如：n1=935,∵9+3-5=7,∴935是“幸福数”；n2=701,∵7+0-1=6,∴701不是“幸福数”．
（1）判断845,734是否为“幸福数”？并说明理由；
（2）若将一个“幸福数”m的个位数的2倍放到十位,原来的百位数变成个位数,原来的十位数变成百位数,得到一个新的三位数t（例如：若m=654,则t=586）,若t也是一个“幸福数”,求满足条件的所有m的值．
【题型7 三元一次方程组的应用】
【例7】（2022·湖北黄冈·七年级阶段练习）购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需（ ）
A．4.5元B．5元C．6元D．6.5元
【变式7-1】（2022·山东·烟台市福山区教学研究中心八年级期中）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为（ ）元．
A．135B．155C．185D．225
【变式7-2】（2022·重庆八中八年级阶段练习）某工厂A，B，C型生产线进行产品加工，每条生产线每天的产量之比为1：2：3，现甲、乙两公司计划各自租用该工厂8条生产线同时进行产品加工，且每种类型的生产线均租用，甲公司用6天恰好能加工完所需产品，乙公司用3天恰好能加工完所需产品，乙公司租用的B型生产线数量与甲公司相同，甲公司租用的A型生产线条数与乙公司租用的C型生产线条数相同，乙公司需加工的产品总量比甲公司少16，则乙公司B型生产线有________条．
【变式7-3】（2022·全国·八年级课时练习）某茶庄为了吸引顾客，扩大销售量，准备将A、B、C三种茶具包装成甲、乙、丙、丁四种礼盒销售（包装成本忽略不计）．甲礼盒装有A茶具3个，B茶具2个，C茶具2个；乙礼盒装有A茶具2个，B茶具3个，C茶具4个；丙礼盒装有A茶具2个，B茶具2个，C茶具1个；丁礼盒装有A茶具3个，B茶具4个，C茶具4个．若一个甲礼盒售价360元，利润率为20%，一个乙礼盒和一个丙礼盒成本之和为610元，且一个A茶具的利润率为25%，则一个丁礼盒的利润率为_____．