初中数学1.2.1 有理数课时作业

第01章 重点突破训练：有理数及其相关概念应用

考点体系

考点1：绝对值、相反数概念的应用

典例：a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为6，求 的值．

方法或规律点拨

解这道题时，需注意“m的绝对值为6”表示m可能是6，也可能是-6，不要漏掉某种情况.

巩固练习

1．(2019·江苏省泰州中学附属初中初一期中)如图，数轴上的两点A，B分别表示有理数a，b，

(1)(用“>”或“=”或“<”填空)： a+b     0， b-a    0

(2)分别求出|a+b|与| b-a |.

2．(2019·江西省初一期末)计算：有理数a、b，c在数轴上的对应点如图，且a、b，c满足条件．

(1)求a、b，c的值；(2)求的值．

3．(2019·江西省初一期中)在下列各数中，负数的个数为m个，正数的个数为n个，绝对值最大的数为k.

(1)m= __________．n=__________．K=__________．

(2)求的值

4．(2019·浙江省初一月考)若|x－2|+|y+3|+|z－5|=0计算：(1)x，y，z的值.(2)求|x|+|y|+|z|的值.

5．(2019·江西省初一期中)有理数x，y在数轴上对应点如图所示：

(1)在数轴上表示﹣x，|y|；

(2)试把x，y，0，﹣x，|y|这五个数从小到大用“＜”号连接，

(3)化简：|x+y|﹣|y﹣x|+|y|．

6．(2018·河南省初一期中)若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m到原点的距离为2，求2(a+b)+3cd-|-m|的值．

7．(2019·浙江省初一月考)计算：已知|x|=，|y|=，且x＜y＜0，求6÷(x﹣y)的值．

考点2：有理数的混合计算

典例：(2019·句容市第二中学初一月考)计算

(1) ；           (2)；

(3) ；                 (4)；

(5) ；   (6)．

方法或规律点拨

有理数的四则运算中，利用分配律往往给计算带来简便。

巩固练习

1．(2019·全国初一课时练习)找到规律是解题最重要的步骤！先观察下面的式子： ，，，…，

你发现规律了吗？下一个式子应该是：                             ．

利用你发现的规律，计算：

.

2．(2019·福建省厦门外国语学校初一月考)在一个3×3的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．

(1)在图1中空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方；

(2)如图2的方格中填写了一些数和字母，当x+y的值为多少时，它能构成一个三阶幻方．

3．(2020·浠水县兰溪镇兰溪中学初一期中)王红有5张写着以下数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列各题：

(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最小，最小值是　   　．

(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片数字相除商最大，最大值是　   　．

(3)从中取出除0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为24，(注：每个数字只能用一次，如：23×[1﹣(﹣2)])，请另写出一种符合要求的运算式子　   　．

4．(2019·安陆市陈店乡初级中学初一月考)下面是按一定规律排列的一列数：

第1个数：1－(1+)；

第2个数：2－(1+)[1+][1+]；

第3个数：3－(1+)[1+][1+][1+][1+].

…

(1)分别计算这三个数的结果(直接写答案)；

(2)写出第2 017个数的形式(中间部分用省略号，两端部分必须写详细)，然后推测出结果．

5．(2019·山东省招远市金岭镇邵家初级中学初一期中)请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：

(1)999×(-15)；

(2)999×+999×()-999×.

6．(2019·云南省鹿阜中学初二期中)观察下列各式：

，=﹣，=﹣

(1)填空：=___________.

(2)计算：+++…+．

7．(2019·安徽省涡阳县丹城中心校初一月考)计算：；

8．(2019·河南省初一期中)计算：

(1)5×(－2)＋(－8)÷(－2)；        (2)；

(3)；              (4)－14－(1－0×4)÷×[(－2)2－6].

考点3：定义新运算

典例：(2020·湖北省初一月考)现定义运算：对于任意有理数a、b，都有ab＝ab－b，如：23＝2×3－3，请根据以上定义解答下列各题：

(1) 2(－3)＝___________，x(－2)＝___________；

(2) 化简：[(－x)3] (－2)；

(3) 若x＝3(－x)，求x的值．

方法或规律点拨

本题考查了求代数式的值和有理数的混合运算，能读懂题意是解此题的关键．

巩固练习

1．(2019·云南省鹿阜中学初一月考)若定义，其中符号“”是我们规定的一种运算符号．例如：．求：的值．

2．(2019·连云港外国语学校初一期中)(概念学习)

规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作， 读作“2 的圈3次方”，记作，读作“-3的圈4次方”，一般地，把记作©，读作“的圈c次方”．

(1)(初步探究)

直接写出计算结果：________，________，

(2)关于除方，下列说法错误的是      ．

A．任何非零数的圈2次方都等于1；

B．对于任何正整数，；

C．；

D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．

(3)(深入思考) 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有 理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？

Ⅰ.试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．

 ________；________； ________．

Ⅱ.想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式等于________；

Ⅲ.算一算：________

3．(2019·四川省初一期中)我们定义一种新运算：a*b=a2﹣b+ab．例如：1*3=12﹣3+1×3=1．

(1)求2*(﹣3)的值．

(2)求(﹣2)*[2*(﹣3)]的值．

4．(2019·江苏省初一月考)定义☆运算

观察下列运算：

(+3)☆(+15)＝+18(﹣14)☆(﹣7)＝+21，

(﹣2)☆(+14)＝﹣16(+15)☆(﹣8)＝﹣23，

0☆(﹣15)＝+15(+13)☆0＝+13．

(1)请你认真思考上述运算，归纳☆运算的法则：

两数进行☆运算时，同号_____，异号______．

特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，______．

(2)计算：(+11)☆[0☆(﹣12)]＝_____．

(3)若2×(2☆a)﹣1＝3a，求a的值．

5．(2018·安徽省初一期末)请观察下列定义新运算的各式：

1⊙3=1×4+3=7；

3⊙(﹣1)=3×4﹣1=11；

5⊙4=5×4+4=24；

4⊙(﹣3)=4×4﹣3=13．

(1)请你归纳：a⊙b=　   　；

(2)若a≠b，那么a⊙b　   　b⊙a(填“=”或“≠”)；

(3)先化简，再求值：(a﹣b)⊙(2a+b)，其中a是最大的负整数，b是绝对值最小的整数．

6．(2019·四川省初一单元测试)我们规定“※”是一种数学运算符号，两数、通过“※”运算是,即※，

例如：※

(1)求：7※9的值；

(2)求：(7※9)※(-2)的值.

7．(2019·全国初一单元测试)规定一种新的运算：a★b=a×b﹣a﹣b2+1，例如3★(﹣4)=3×(﹣4)﹣3﹣(﹣4)2+1，请用上述规定计算下面各式：

(1)2★8；

(2)(﹣7)★[5★(﹣2)]

考点4：有理数计算的实际应用

典例：(2020·偃师市实验中学初一月考)某检修小组乘一辆汽车沿东西方向检修路，约定向东走为正，某天从A地出发到收工时行走记录(单位：km)：+15，﹣2，+5，﹣1，+10，﹣3，﹣2，+12，+4，﹣5，+6，求：

(1)收工时检修小组在A地的哪一边，距A地多远？

(2)若汽车耗油3升/每千米，开工时储存180升汽油，用到收工时中途是否需要加油，若加油最少加多少升？若不需要加油到收工时，还剩多少升汽油？

方法或规律点拨

此题考查正数和负数，有理数的加法，解题关键在于掌握其定义和运算法则.

巩固练习

1．(2018·偃师市实验中学初一月考)某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温大约降低6℃．若该地地面温度为21℃，高空某处温度为－39℃，求此处的高度是多少千米？

2．(2019·台州市书生中学初一月考)在湖北抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下(单位：千米)：

+14，﹣9，+8，﹣7，+13，﹣6，+12，﹣5．

(1)请你帮忙确定B地相对于A地的方位？

(2)救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？

(3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？

3．(2020·中卫市宣和中学初一期末)粮库3天内进出库的粮食记录日下(单位：吨．进库的吨数记为正数，出库的吨数记为负数)：

+26，﹣32，﹣25，+34，﹣38，+10．

(1)经过这3天，库里的粮食是增多了还是减少了？

(2)经过这3天，仓库管理员结算发现库存粮食480吨，那么3天前库存粮食是多少吨？

4．(2020·宁波市江北区新城外国语学校初一期中)某工艺厂计划一周生产工艺品2100个，平均每天生产300个，但实际每天生产量与计划相比有出入．下表是某周的生产情况(超产记为正、减产记为负)：

(1)写出该厂星期一生产工艺品的数量；

(2)本周产量最多的一天比最少的一天多生产多少个工艺品？

(3)请求出该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量；

(4)已知该厂实行每周计件工资制，每生产一个工艺品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖50元，少生产一个扣80元．试求该工艺厂在这一周应付出的工资总额．

5．(2020·湖南省初一期末)一名足球守门员练习折返跑，从球门的位置出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下(单位：米)：+6，﹣2，+10，﹣8，﹣7，+11，﹣10．

(1)守门员是否回到了原来的位置？

(2)守门员离开球门的位置最远是多少？

(3)守门员一共走了多少路程？

6．(2019·福建省初一期中)出租车司机李师傅一天下午的营运全是在东西走向的路上进行的，如果规定向东行驶为正，他这天下午行车的里程(单位：千米)如下：+8，+4，-10，-3，+6，-5，-2，-7，+4，+6

(1)李师傅将第几名乘客送到目的地时，刚好回到下午出发点？

(2)李师傅将最后一名乘客送抵目的地时，他距离出发点多少米？

(3)如果汽车耗油量为0.3升/千米，那么这天下午汽车共耗油多少升？

考点5：数轴上的动点问题

典例：(2020·山西省山西实验中学初一期中)(阅读理解)

点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C是{A，B}的奇点．

例如，如图1，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1．表示0的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是{A，B}的奇点；又如，表示﹣2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是{A，B}的奇点，但点D是{B，A}的奇点．

(知识运用)

如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣3，点N所表示的数为5．

(1)数　　　　  所表示的点是{M，N}的奇点；数　　　　  所表示的点是{N，M}的奇点；

(2)如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30．现有一动点P从点B出发向左运动，当P点运动到数轴上的什么位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点？

方法或规律点拨

本题考查数轴及数轴上两点的距离、动点问题，解题的关键是认真理解新定义：奇点表示的数是与前面的点A的距离是到后面的数B的距离的3倍，列式可得结果．

巩固练习

1．(2020·靖江外国语学校初一月考)如图，数轴的单位长度为1．

(1)如果点A，D表示的数互为相反数，那么点B表示的数是多少？
(2)如果点B，D表示的数互为相反数，那么图中表示的四个点中，哪一点表示的数的绝对值最大？为什么？
(3)当点B为原点时，若存在一点M到A的距离是点M到D的距离的2倍，则点M所表示的数是____.

2．(2018·广东省铁一中学初一期中)已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x.

(1)若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；

(2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；

(3)现在点A、点B分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度同时向右运动，点P以6个单位长度/秒的速度同时从O点向左运动.当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是多少？

3．(2020·山东省初一期末)“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则C点叫做A的“幸福点”，若C到A、B的距离之和为6，则C叫做A、B的“幸福中心”

(1)如图1，点A表示的数为﹣1，则A的幸福点C所表示的数应该是　   　；

(2)如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为﹣2，点C就是M、N的幸福中心，则C所表示的数可以是　   　(填一个即可)；

(3)如图3，A、B、P为数轴上三点，点A所表示的数为﹣1，点B所表示的数为4，点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，当经过多少秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心？

4．(2019·内蒙古自治区初一期中)在数轴上标出下列各数：－1.5，2，+(-1)，0，并用“＜”连接起来．

5．(2019·山东省初一期中)如图，在数轴上有三个点A，B，C，回答下列问题：

(1)若将点B向右移动6个单位后，三个点所表示的数中最小的数是多少？

(2)在数轴上找一点D，使点D到A，C两点的距离相等，写出点D表示的数；

(3)在点B左侧找一点E，使点E到点A的距离是到点B的距离的2倍，并写出点E表示的数．

6．(2020·河北省初一期末)已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在左侧的一点，且A，B两点间的距离为10。动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒。

(1)数轴上点B表示的数是______；当点P运动到AB的中点时，它所表示的数是_____。

(2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，求：

①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？

②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？

7．(2019·河南省实验学校英才中学初一开学考试)阅读下面的材料：

如图1，在数轴上A点衰示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB．线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB﹣b﹣a．

请用上面的知识解答下面的问题：

如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm到达A点，再向左移动2cm到达B点，然后向右移动7cm到达C点，用1个单位长度表示1cm．

(1)请你在数轴上表示出A．B．C三点的位置：

(2)点C到点人的距离CA=　　cm；若数轴上有一点D，且AD=4，则点D表示的数为　　；

(3)若将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为　　；(用代数式表示)

(4)若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动．设移动时间为t秒，

试探索：CA﹣AB的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由．

8．(2018·四川省初一单元测试)在下面给出的数轴中，点 A 表示 1，点 B 表示－2，回答下面的问题：

(1)A、B 之间的距离是     ；

(2)观察数轴，与点 A 的距离为 5 的点表示的数是：     ；

 (3)若将数轴折叠，使点 A 与－3 表示的点重合，则点 B 与数         表示的点重合； 

 (4)若数轴上 M、N 两点之间的距离为 2018(M 在 N 的左侧)，且 M、N 两点经过(3)中折 叠 后 互 相 重 合 ， 则 M 、 N  两 点 表 示 的 数 分 别 是 ： M ：      ；N：         ．