江苏省无锡市2022届高三上学期期中教学质量调研测试数学试题含答案

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数 学 试 卷
2021.11.9
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．)
1．已知集合eq A＝{x|y＝\r(,2－x)}，集合B＝{x|y＝ln(x－1)}，则A∩B等于( )
A．{x|1＜x≤2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x≥2}
2．设复数z满足2z＋ eq \(z,\s\up6(-))＝3＋6i，则z等于( )
A．1＋2i B．1＋6i C．3＋2i D．3＋6i
3．“a∈[0，1]”是“∀x∈R，eq x\s\up6(2)－ax＋1＞0”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的eq \f(1,7)是较小的两份之和．则最小的一份为( )
A．eq \f(5,3) B．eq \f(10,3) C．eq \f(5,6) D．eq \f(11,6)
5．已知函数y＝f(x)的图象与函数eq y＝2\s\up6(x)的图象关于直线y＝x对称，函数g(x)是奇函数，且当x＞0时，g(x)＝f(x)＋x，则g(－4)＝( )
A．－18 B．－12 C．－8 D．－6
6．已知α∈(－π，0)，且3cs2α＋4csα＋1＝0，则tanα等于( )
A．eq \f(\r(,2),4) B．eq 2\r(,2) C．eq －2\r(,2) D．eq －\f(\r(,2),4)
7．已知向量EQ \\ac(\S\UP7(→),OA)＝(1，3)，向量EQ \\ac(\S\UP7(→),OB)＝(3，t)，eq |\\ac(\S\UP7(→),AB)|＝2，则cs等于( )
A．eq －\f(\r(,10),10) B．eq \f(\r(,10),10) C．eq \f(3\r(,10),10) D．eq －\f(3\r(,10),10)
8．已知函数eq f(x)＝e\s\up6(x－2)＋e\s\up6(－x＋2)＋asin(\f(πx,3)－\f(π,6))有且只有一个零点，则实数a的值为( )
A．4 B．2 C．－2 D．－4
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)
9．已知实数x，y满足ax＜ay(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的有( )
A．eq x\s\up6(3)＞y\s\up6(3) B．eq \f(1,x)＜\f(1,y) C．ln(x－y＋1)＞0 D．sinx＞siny
10．已知函数f(x)＝EQ \B\lc\{(\a\al(\l(x\S(2)＋2，x＜0),\l(e\S(x)，x≥0)))，满足对任意的x∈R，f(x)≥ax恒成立，则实数a的取值可以是( )
A．eq －2\r(,2) B．eq －\r(,2) C．eq \r(,2) D．eq 2\r(,2)
11．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述运算，经过有限次步骤，必进人循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”)．如果对于正整数m，经过n步变换，第一次到达1，就称为n步“雹程”．如取m＝3，由上述运算法则得出：3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过7个步骤变成1，得n＝7．则下列命题正确的有( )
A．若n＝2，则m只能是4
B．当m＝17时，n＝12
C．随着m的增大，n也增大
D．若n＝7，则m的取值集合为{3，20，21，128}．
12．已知函数f(x)＝sin|x|＋|csx|，下列叙述正确的有( )
A．函数y＝f(x)的周期为2π
B．函数y＝f(x)是偶函数
C．函数y＝f(x)在区间eq [\f(3π,4)，\f(5π,4)]上单调递减
D．eq ∀x\s\d(1)，x\s\d(2)∈R.|f(x\s\d(1))－f(x\s\d(2))|≤\r(,2)
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分．)
13．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且eq lna\s\d(n＋1)＝2S\s\d(n)＋2(n∈N*)，则eq a\s\d(1)＝ ．
14．已知函数y＝f(x)满足eq f(x)＝f′(\f(π,4))sinx－csx，则eq f′(\f(π,4))＝ ．
15．已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，角A为直角，点P为平面ABC上的一点，则eq \\ac(\S\UP7(→),PB)·\\ac(\S\UP7(→),PC)的最小值为 ．
16．函数eq f(x)＝x\s\up6(2)－ax－1的零点个数为 ；当x∈[0，3]时，|f(x)|≤5恒成立，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(10分)在①、②两个条件中任取一个填入下面的横线上，并完成解答．
①在(0，2π)上有且仅有4个零点；
②在(0，2π)上有且仅有2个极大值点和2个极小值点．
设函数eq f(x)＝sin(\f(ωx,2)＋\f(π,3))(ω∈N*)，且满足 ．
(1)求ω的值；
(2)将函数f(x)的图象向右平移eq \f(π,3)个单位得到函数g(x)的图像，求g(x)在(0，2π)上的单调递减区间．
18．(12分)我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．
(1)请写出一个图象关于点(－1，0)成中心对称的函数解析式；
(2)利用题目中的推广结论，求函数eq f(x)＝x\s\up6(3)－3x\s\up6(2)＋4图象的对称中心．
19．(12分)在锐角三角形ABC中，已知eq tan2A＝\f(sinA,csA－1)．
(1)求角A的值；
(2)若eq a＝2\r(,3)，求b＋c的取值范围．
20．(12分)在△ABC中，已知eq AB＝2，AC＝\r(,11)，cs∠BAC＝\f(5\r(,11),22)，D为BC的中点，E为AB边上的一个动点，AD与CE交于点O．设eq \\ac(\S\UP7(→),AE)＝x\\ac(\S\UP7(→),AB)．
(1)若eq x＝\f(1,4)，求eq \f(CO,OE)的值；
(2)求eq \\ac(\S\UP7(→),AO)·\\ac(\S\UP7(→),CE)的最小值．
21．(12分)已知正项数列{an}的前项积为Tn，且满足an＝eq \f(T\s\d(n),3T\s\d(n)－1)(n∈N*)．
(1)求证：数列eq {T\s\d(n)－\f(1,2)}为等比数列；
(2)若eq a\s\d(1)＋a\s\d(2)＋…＋a\s\d(n)＞10，求n的最小值．
22．(12分)已知函数eq f(x)＝e\s\up6(x－m)－lnx(m≥0)．
(1)当m＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若函数f(x)的最小值为eq \f(1,e)－1，求实数m的值．