江苏省无锡市2023-2024学年高三上学期期中教学质量调研测试数学试卷

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注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．若全集U＝{1，2，3，4，5}，设集合A＝{1，3}，B＝{2，3，4}．则A∩(UB)＝( ▲ )
A．{1} B．{3} C．{1，3} D．{1，3，5}
2．已知复数z＝2－i，则z(eq \\ac(\S\UP7(―),z)＋i)的虚部为( ▲ )
A．－2 B．－1 C．6 D．2
3．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的是公式Pn＝P0(1＋k)n(k＞－1)，其中Pn为预测期人口数，P0为初期人口数，k为预测期内人口增长率，n为预测期间隔年数．如果在某一时期k∈(－1，0)，那么在这期间人口数( ▲ )
A．呈上升趋势 B．呈下降趋势 C．摆动变化 D．不变
4．已知sin(θ－eq \f(π,3))＝－eq \f(1,3)，则cs(θ＋eq \f(7π,6))＝( ▲ )
A．eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3) C．eq \f(2\r(,2),3) D．－eq \f(2\r(,2),3)
5．当x＝2时，函数f(x)＝x3＋bx2－12x取得极值，则f(x)在区间[－4，4]上的最大值为( ▲ )
A．8 B．12 C．16 D．32
6．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1°C，空气的温度是θ0°C，那么t min后物体的温度θ(单位：°C)，可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)eeq \s(－kt)求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有60°C的物体，放在15°C的空气中冷却，3分钟以后物体的温度是42°C．则k的值为(精确到0.01) ( ▲ )
(参考数据：ln3≈1.0986，ln5≈1.6094)
A．0.51 B．0.28 C．0.17 D．0.07
7．记函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，－eq \f(π,2)＜φ＜eq \f(π,2))的最小正周期为T，且f(T)＝eq \f(\r(,3),2)．将y＝f(x)的图象向右平移eq \f(π,6)个单位，所得图象关于y轴对称，则ω的最小值为( ▲ )
A．1 B．2 C．3 D．5
8．设函数f(x)＝x＋lnx，g(x)＝xlnx－1，h(x)＝1－eq \f(1,x)＋eq \f(x,2)＋eq \f(x\s(2),3)在(0，＋∞)上的零点分别为a，b，则a，b，c的大小顺序为( ▲ )
A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．b＞a＞c
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．平面向量a，b是夹角为60°的单位向量，向量c的模为eq 2\r(,3)，则|a＋b＋c|的值有可能为( ▲ )
A．3 B．4 C．5 D．6
10．已知a＞0，b＞0，eq \f(1,a)＋eq \f(3,b)＝1，则下列说法正确的是( ▲ )
A．ab的最小值为12 B．a＋b的最小值为4eq \r(,3)
C．a2＋b2的最小值为24 D．eq \f(1,a－1)＋eq \f(3,b－3)的最小值为2
11．已知函数f(x)＝sinx＋eq \f(1,|sinx|)，则( ▲ )
A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)的最小值为0
C．y＝f(x)的图象关于点(π，1)对称 D．y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,2)对称
12．已知函数f(x)定义域为R，满足f(x＋1)＝eq \f(1,2)f(x)，当x∈(0，1]时，f(x)＝－4x(x－1)．则下列结论正确的是( ▲ )
A．f(－eq \f(3,2))＝4 B．方程f(x)＝eq \f(1,3)x共有三个不同实根
C． eq \(∑,\s\up6(2n),\s\d6(i＝1))f(eq \f(i,2))＝2－eq \f(2,2\s(n)) D．使不等式f(x)≥eq \f(3,8)成立的x的最大值是eq \f(7,4)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．已知集合A＝{x|(x＋1)(x－1)＜0}，非空集合B＝{x|m＜x＜1}．若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ▲ ．
14．曲线y＝eq \f(sinx,x)在点(－π，0)处的切线方程为 ▲ ．
15．设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sk＝－2，Sk＋1＝0，Sk＋2＝3．则正整数k的值为 ▲ ．
16．圆O1与圆O2半径分别为1和2，两圆外切于点P，点A，B分别为圆O1，O2上的动点，∠APB＝120°，则eq \\ac(\S\UP7(→),PA)·eq \\ac(\S\UP7(→),PB)的最小值为 ▲ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acsB＋bcsA＝eq \f(c,2csC)．
(1)求C；
(2)若c＝6，AB边上的高等于2eq \r(,3)，求△ABC的周长．
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18．(本小题满分12分)
在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别为BC，CD的中点，点P在线段DE上运动．
(1)当P为DE中点时，设eq \\ac(\S\UP7(→),AP)＝λeq \\ac(\S\UP7(→),AB)＋μeq \\ac(\S\UP7(→),AD)(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值；
(2)若∠BAD＝60°，求eq \\ac(\S\UP7(→),AP)·eq \\ac(\S\UP7(→),AF)的取值范围．
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19．(本小题满分12分)
Sn是等差数列{an}的前n项和，数列{bn}满足bn＝n－(－1)nSn，a1＋b1＝3，a2－b2＝5．
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)设数列{an}的前n项和为Tn．
①求T10；
②若集合A＝{n|n≤100且Tn≤100，n∈N*}，求集合A中所有元素的和．
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20．(本小题满分12分)
设函数f(x)＝lg2(eq \f(1,x)＋a)(a∈R)，
(1)当a＝2时，求不等式f(x)＜2的解集：
(2)当a＞0时，若对任意t∈[eq \f(1,2)，1]，函数f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．
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21．(本小题满分12分)
各项均为正数的数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，且(Sn＋1＋1)an＝(Sn＋1)an＋1对一切n∈N*都成立．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)在ak和ak＋1之间插入k个数，使这k＋2个数组成等差数列，将插入的k个数之和记为ck，其中k＝1，2，…，n．求数列{cn}的前n项和．
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22．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝xlnx－eq \f(1,2)ax2－x(a∈R)
(1)当a＝1时，求证：函数f(x)为减函数：
(2)若f(x)有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，且lnx1＋λlnx2＞1＋λ恒成立，求正实数λ的取值范围．
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