2021学年第二章基本初等函数（Ⅰ）2.3 幂函数课时作业

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这是一份2021学年第二章基本初等函数（Ⅰ）2.3 幂函数课时作业，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a、b、c的大小关系是 ( )
A．aC．b[答案] C
[解析] ∵0.6∈(0,1)，∴y＝0.6x是减函数，∴0.60.6>0.61.5，又y＝x0.6在(0，＋∞)是增函数，∴1.50.6>0.60.6，∴c>a>b，故选C.
2．下列幂函数在(－∞，0)上为减函数的是 ( )
A．y＝x eq \s\up4(\f(1,3)) B．y＝x2
C．y＝x3D．y＝x eq \s\up4(\f(1,2))
[答案] B
[解析] 函数y＝x eq \s\up4(\f(1,3)) ，y＝x3，y＝x eq \s\up4(\f(1,2)) 在各自定义域上均是增函数，y＝x2在(－∞，0)上是减函数．
3．使(3－2x－x2)－ eq \s\up4(\f(3,4)) 有意义，x的取值范围是 ( )
A．RB．x≠1且x≠3
C．－31
[答案] C
[解析] (3－2x－x2)－ eq \s\up4(\f(3,4)) ＝eq \f(1,\r(4,3－2x－x23)).
∴要使上式有意义，需3－2x－x2>0.
解之得－34．(2016·广东实验高一模考)下列函数中是偶函数且在(0,1)上单调递减的是 ( )
A．y＝x3B．y＝x2
C．y＝x eq \s\up4(\f(1,2)) D．y＝x－2
[答案] D
[解析] y＝x3为R上的奇函数，排除A.
y＝x2在(0,1)上单调递增，排除B.
y＝x eq \s\up4(\f(1,2)) 在(0,1)上单调递增，排除C，故选D.
5．函数y＝xα与y＝αx(α∈{－1，eq \f(1,2)，2,3})的图象只可能是下面中的哪一个 ( )
[答案] C
[解析] 直线对应函数y＝x，曲线对应函数为y＝x－1,1≠－1.故A错；直线对应函数为y＝2x，曲线对应函数为y＝x eq \s\up4(\f(1,2)) ，2≠eq \f(1,2).故B错；直线对应函数为y＝2x，曲线对应函数为y＝x2,2＝2.故C对；直线对应函数为y＝－x，曲线对应函数为y＝x3，－1≠3.故D错．
6．(2016·全国卷Ⅲ文，7)已知a＝2 eq \s\up4(\f(4,3)) ，b＝3 eq \s\up4(\f(2,3)) ，c＝25 eq \s\up4(\f(1,3)) 则 ( )
A．bC．b[答案] A
[解析] a＝2 eq \s\up4(\f(4,3)) ＝4 eq \s\up4(\f(2,3)) ，c＝25 eq \s\up4(\f(1,3)) ＝5 eq \s\up4(\f(2,3)) ，又函数y＝x eq \s\up4(\f(2,3)) 在[0，＋∞)上是增函数，所以b二、填空题
7．已知幂函数f(x)＝xm2－1(m∈Z)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是________.
[答案] f(x)＝x－1
[解析] ∵函数的图象与x轴，y轴都无交点，
∴m2－1≤0，解得－1≤m≤1；
∵图象关于原点对称，且m∈Z，
∴m＝0，∴f(x)＝x－1.
8．下列函数中，在(0,1)上单调递减，且为偶函数的是________.
①y＝x eq \s\up4(\f(1,2)) ；②y＝x4；③y＝x－ eq \s\up4(\f(2,3)) ；④y＝－x eq \s\up4(\f(1,3)) .
[答案] ③
[解析] ①中函数y＝x eq \s\up4(\f(1,2)) 不具有奇偶性；②中函数y＝x4是偶函数，但在[0，＋∞)上为增函数；③中函数y＝x－ eq \s\up4(\f(2,3)) 是偶函数，且在(0，＋∞)上为减函数；④中函数y＝－x eq \s\up4(\f(1,3)) 是奇函数．故填③.
三、解答题
9．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)：
(1)是幂函数；
(2)是正比例函数；
(3)是反比例函数；
(4)是二次函数．
[解析] (1)∵f(x)是幂函数，
故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，
解得m＝2或m＝－1.
(2)若f(x)是正比例函数，
则－5m－3＝1，解得m＝－eq \f(4,5).
此时m2－m－1≠0，故m＝－eq \f(4,5).
(3)若f(x)是反比例函数，
则－5m－3＝－1，
则m＝－eq \f(2,5)，此时m2－m－1≠0，
故m＝－eq \f(2,5).
(4)若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，
即m＝－1，此时m2－m－1≠0，故m＝－1.
10．已知函数f(x)＝xm－eq \f(2,x)且f(4)＝eq \f(7,2).
(1)求m的值；
(2)判定f(x)的奇偶性；
(3)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．
[解析] (1)因为f(4)＝eq \f(7,2)，所以4m－eq \f(2,4)＝eq \f(7,2)，所以m＝1.
(2)由(1)知f(x)＝x－eq \f(2,x)，
因为f(x)的定义域为{x|x≠0}，
又f(－x)＝－x－eq \f(2,－x)＝－(x－eq \f(2,x))＝－f(x)．
所以f(x)是奇函数．
(3)f(x)在(0，＋∞)上单调递增，设x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝x1－eq \f(2,x1)－(x2－eq \f(2,x2))＝(x1－x2)(1＋eq \f(2,x1x2))，
因为x1＞x2＞0，
所以x1－x2＞0,1＋eq \f(2,x1x2)＞0，
所以f(x1)＞f(x2)，
所以f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数.
能力提升
一、选择题
1．函数f(x)＝(m2－m＋1)xm2＋2m－3是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝ ( )
A．0B．1
C．2D．0或1
[答案] A
[解析] 由m2－m＋1＝1，得m＝0或m＝1，再把m＝0和m＝1分别代入m2＋2m－3＜0检验，得m＝0，故选A.
2．a＝1.2 eq \s\up4(\f(1,2)) ，b＝0.9－ eq \s\up4(\f(1,2)) ，c＝1.1 eq \s\up4(\f(1,2)) 的大小关系是 ( )
A．cC．b[答案] D
[解析] ∵y＝x eq \s\up4(\f(1,2)) 是增函数，
∴1.2 eq \s\up4(\f(1,2)) >(eq \f(1,0.9)) eq \s\up4(\f(1,2)) >1.1 eq \s\up4(\f(1,2)) ，即a>b>c.
3.如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是 ( )
A．n＜m＜0B．m＜n＜0
C．n＞m＞0D．m＞n＞0
[答案] A
[解析] 由图象可知，两个函数在第一象限内单调递减，所以m＜0，n＜0.
4．当x∈(1，＋∞)时，幂函数y＝xα的图象在直线y＝x的下方，则α的取值范围是 ( )
A．(0,1)B．(－∞，0)
C．(－∞，0)∪(0,1)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
[答案] C
[解析] 幂函数y＝x eq \s\up4(\f(1,2)) ，y＝x－1在(1，＋∞)上时图象在直线y＝x的下面，即α＜0或0＜α＜1，故选C.
二、填空题
5．已知幂函数f(x)＝x－ eq \s\up4(\f(1,4)) ，若f(a＋1)＜f(10－2a)，则a的取值范围是________.
[答案] (3,5)
[解析] ∵f(x)＝x－ eq \s\up4(\f(1,4)) ＝eq \f(1,\r(4,x))(x＞0)，易知f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(a＋1)＜f(10－2a)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋1＞0，,10－2a＞0，,a＋1＞10－2a))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞－1，,a＜5，,a＞3.))∴3＜a＜5.
6．若a＝(eq \f(1,2)) eq \s\up4(\f(2,3)) ，b＝(eq \f(1,5)) eq \s\up4(\f(2,3)) ，c＝(eq \f(1,2)) eq \s\up4(\f(1,3)) ，则a、b、c的大小关系是________.
[答案] b＜a＜c
[解析] 设f1(x)＝x eq \s\up4(\f(2,3)) ，则f1(x)在(0，＋∞)上为增函数，∵eq \f(1,2)＞eq \f(1,5)，∴a＞b.又f2(x)＝(eq \f(1,2))x在(－∞，＋∞)上为减函数，∴a三、解答题
7．幂函数f(x)的图象经过点(eq \r(2)，2)，点(－2，eq \f(1,4))在幂函数g(x)的图象上.
(1)求f(x)，g(x)的解析式；
(2)x为何值时f(x)＞g(x)？x为何值时f(x)＜g(x)?
[解析] (1)设f(x)＝xα，则(eq \r(2))α＝2，
∴α＝2，∴f(x)＝x2，
设g(x)＝xβ，则(－2)β＝eq \f(1,4)，
∴β＝－2，∴g(x)＝x－2(x≠0)．
(2)从图象可知，当x＞1或x＜－1时，f(x)＞g(x)；
当－1＜x＜0或0＜x＜1时，
f(x)＜g(x)．
8．已知幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)＝eq \r(fx)＋2x＋c，若g(x)>2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．
[解析] (1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，
∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，解得－1∴f(x)＝x4.
(2)由(1)知f(x)＝x4，则g(x)＝x2＋2x＋c＝(x＋1)2＋(c－1)．
∵g(x)>2对任意的x∈R恒成立，
∴g(x)min>2，且x∈R，则c－1>2，解得c>3.
故实数c的取值范围是(3，＋∞)．

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