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广东省广州市天河区2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（word版 含答案）
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这是一份广东省广州市天河区2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（word版 含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）观察下列图案，能通过例图顺时针旋转90°得到的（ ）（例图）
A． B． C． D．
2．（3分）点（0，﹣2）关于原点的对称点的坐标为（ ）
A．（0，2） B．（2，0） C．（﹣2，0） D．（﹣2，2）
3．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2＝6 B．（x﹣1）2＝6 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝9
4．（3分）不解方程，判断方程x2+2x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
5．（3分）把抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣3 B．y＝﹣（x+1）2﹣3
C．y＝﹣（x﹣1）2+3 D．y＝﹣（x+1）2+3
6．（3分）二次函数y＝﹣2x2+4x+5的对称轴为（ ）
A．x＝2 B．直线x＝2 C．x＝1 D．直线x＝1
7．（3分）已知x＝2是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，则m的值是（ ）
A．﹣3 B．3 C．0 D．0或3
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，4），把线段AB绕点A旋转后得到线段AB′，使点B的对应点B′落在x轴的正半轴上，则点B′的坐标是（ ）
A．（5，0） B．（8，0） C．（0，5） D．（0，8）
9．（3分）已知等腰三角形底边长和腰长是方程x2﹣9x+18＝0的两根，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．15 B．12 C．15或12 D．18
10．（3分）二次函数y＝x2+mx﹣n的对称轴为x＝2．若关于x的一元二次方程x2+mx﹣n＝0在﹣1＜x＜6的范围内有实数解，则n的取值范围是（ ）
A．﹣4≤n＜5 B．n≥﹣4 C．﹣4≤n＜12 D．5＜n＜12
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）一元二次方程x2＝2x的根是 ．
12．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝40°，把△ABC绕点A逆时针旋转60°，得△ADE，则∠EAC的度数为 ．
13．（3分）已知关于x的方程x2﹣3x+k＝0有一个根为1，则它的另一个根为 ．
14．（3分）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线是抛物线y＝﹣x2+4x（单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是 米．
15．（3分）设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2022＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝ ．
16．（3分）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1、0＜x2＜1下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③abc＞0；④b2+8a＞4ac．正确的结论是 ．
三、解答题（共72分）
17．（4分）解方程：x2+4x﹣12＝0．
18．（4分）在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC＝60°，求∠EFD的度数．
19．（6分）汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设，某汽车销售公司2012年盈利1500万元，到2014年盈利2160万元，且从2012年到2014年，每年盈利的年增长率相同．
（1）求该公司盈利的年增长率；
（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2016年盈利多少万元？
20．（6分）如图，在方格纸中，已知格点△ABC和格点O．
（1）画出△ABC关于点O对称的△A′B′C′；
（2）若以点A、O、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 ．（写出所有可能的结果）
21．（8分）抛物线y＝﹣x2+2x+3．
（1）画出它的图象
x
…
…
y
…
…
（2）根据图象回答下列问题：
①x满足 时，y随x的增大而减小？
②x满足 时，y＝0；
③当0≤x≤3时，y的取值范围是 ．
22．（10分）商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件．
（1）若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？
（2）若该商场要每天盈利最大，每件衬衫应降价多少元？盈利最大是多少元？
23．（10分）如图，已知直线AB过x轴上一点A（2，0）且与抛物线y＝ax2相交于B（1，一1），C两点．
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）问抛物线上是否存在一点D，使S△OAD＝S△OBC？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
24．（12分）已知关于x一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3＝0有两个不相等的实数根
（1）求k取值范围；
（2）当k最小的整数时，求抛物线y＝x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；
（3）将（2）中求得的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线y＝x+m有三个不同公共点时m值．
25．（12分）已知线段AB，如果将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，则称点C为线段AB关于点A的逆转点．点C为线段AB关于点A的逆转点的示意图如图1：
（1）如图2，在正方形ABCD中，点 为线段BC关于点B的逆转点；
（2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，0），且x＞0，点E是y轴上一点，点F是线段EO关于点E的逆转点，点G是线段EP关于点E的逆转点，过逆转点G，F的直线与x轴交于点H．
①补全图；
②判断过逆转点G，F的直线与x轴的位置关系并证明；
③若点E的坐标为（0，5），连接PF、PG，设△PFG的面积为y，直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
2021-2022学年九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）观察下列图案，能通过例图顺时针旋转90°得到的（ ）（例图）
A． B． C． D．
【分析】根据旋转的意义，找出图中大拇指及其余4个手指2个关键处按顺时针方向旋转90°后的形状即可选择答案．
【解答】解：根据旋转的意义，图片按顺时针方向旋转90度，大拇指指向右边，其余4个手指指向下边，从而可确定为A图．
故选：A．
【点评】本题考查了图形的旋转变化，学生主要要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大，但易错．
2．（3分）点（0，﹣2）关于原点的对称点的坐标为（ ）
A．（0，2） B．（2，0） C．（﹣2，0） D．（﹣2，2）
【分析】根据两点关于原点对称的特点解答即可．
【解答】解：∵两点关于原点对称，
∴横坐标为﹣0＝0，纵坐标为﹣（﹣2）＝2，
∴点（0，﹣2）关于原点的对称点的坐标为（0，2）．
故选：A．
【点评】考查两点关于原点对称的特点；用到的知识点为：两点关于原点对称，横纵坐标均互为相反数．
3．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2＝6 B．（x﹣1）2＝6 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝9
【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形即可得到结果．
【解答】解：方程移项得：x2﹣2x＝5，
配方得：x2﹣2x+1＝6，
即（x﹣1）2＝6．
故选：B．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．（3分）不解方程，判断方程x2+2x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【分析】根据方程各项系数结合根的判别式即可得出Δ＝8＞0，由此即可得出结论．
【解答】解：∵在方程x2+2x﹣1＝0中，Δ＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴方程x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根．”是解题的关键．
5．（3分）把抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣3 B．y＝﹣（x+1）2﹣3
C．y＝﹣（x﹣1）2+3 D．y＝﹣（x+1）2+3
【分析】利用二次函数平移的性质．
【解答】解：当y＝﹣x2向左平移1个单位时，顶点由原来的（0，0）变为（﹣1，0），
当向上平移3个单位时，顶点变为（﹣1，3），
则平移后抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2+3．
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数y＝ax2、y＝a（x﹣h）2、y＝a（x﹣h）2+k的关系．
6．（3分）二次函数y＝﹣2x2+4x+5的对称轴为（ ）
A．x＝2 B．直线x＝2 C．x＝1 D．直线x＝1
【分析】利用对称轴公式可求得答案．
【解答】解：
∵y＝﹣2x2+4x+5，
∴对称轴为x＝﹣＝1，
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴公式x＝﹣是解题的关键．
7．（3分）已知x＝2是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，则m的值是（ ）
A．﹣3 B．3 C．0 D．0或3
【分析】直接把x＝2代入已知方程就得到关于m的方程，再解此方程即可．
【解答】解：∵x＝2是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，
∴4+2m+2＝0，
∴m＝﹣3．
故选：A．
【点评】此题比较简单，利用方程的解的定义即可确定待定系数．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，4），把线段AB绕点A旋转后得到线段AB′，使点B的对应点B′落在x轴的正半轴上，则点B′的坐标是（ ）
A．（5，0） B．（8，0） C．（0，5） D．（0，8）
【分析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用旋转的性质得出OB′的长，进而得出答案．
【解答】解：∵A（3，0），B（0，4），
∴AO＝3，BO＝4，
∴AB＝＝5，
∴AB＝AB′＝5，故OB′＝8，
∴点B′的坐标是（8，0）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及坐标与图形的性质，正确得出AB′的长是解题关键．
9．（3分）已知等腰三角形底边长和腰长是方程x2﹣9x+18＝0的两根，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．15 B．12 C．15或12 D．18
【分析】利用因式分解法解方程得到等腰三角形底边长和腰长为3和6，然后通过讨论确定三角形的底与腰，再计算三角形的周长．
【解答】解：（x﹣3）（x﹣6）＝0，
x﹣3＝0或x﹣6＝0，
所以x1＝3，x2＝6，
即等腰三角形底边长和腰长为3和6，
当底边长为3，腰为6时，这个等腰三角形的周长＝3+6+6＝15；
当底边长为6，腰为3，不满足三角形三边的关系，舍去，
所以这个等腰三角形的周长为15．
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系．
10．（3分）二次函数y＝x2+mx﹣n的对称轴为x＝2．若关于x的一元二次方程x2+mx﹣n＝0在﹣1＜x＜6的范围内有实数解，则n的取值范围是（ ）
A．﹣4≤n＜5 B．n≥﹣4 C．﹣4≤n＜12 D．5＜n＜12
【分析】根据对称轴求出m的值，从而得到x＝﹣1、6时的函数y＝x2﹣4x值，再根据一元二次方程x2+mx﹣n＝0在﹣1＜x＜6的范围内有解相当于y＝x2+mx与y＝n在x的范围内有交点解答．
【解答】解：∵抛物线的对称轴x＝﹣＝2，
∴m＝﹣4，
则方程x2+mx﹣n＝0，即x2﹣4x﹣n＝0的解相当于y＝x2﹣4x与直线y＝n的交点的横坐标，
∵方程x2+mx﹣n＝0在﹣1＜x＜6的范围内有实数解，
∴当x＝﹣1时，y＝1+4＝5，
当x＝6时，y＝36﹣24＝12，
又∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴当﹣4≤n＜12时，在﹣1＜x＜6的范围内有解．
∴n的取值范围是﹣4≤n＜12，
故选：C．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．难点是把一元二次方程x2+mx﹣n＝0在﹣1＜x＜6的范围内有实数解，转化为函数y＝x2+mx与直线y＝n在﹣1＜x＜6的范围内有交点的问题进行解答．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）一元二次方程x2＝2x的根是 x1＝0，x2＝2 ．
【分析】先移项，再提公因式，使每一个因式为0，从而得出答案．
【解答】解：移项，得x2﹣2x＝0，
提公因式得，x（x﹣2）＝0，
x＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝2．
故答案为：x1＝0，x2＝2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
12．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝40°，把△ABC绕点A逆时针旋转60°，得△ADE，则∠EAC的度数为 60° ．
【分析】直接利用旋转的性质求解．
【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转60°，得△ADE，
∴∠EAC＝60°．
故答案为60°．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
13．（3分）已知关于x的方程x2﹣3x+k＝0有一个根为1，则它的另一个根为 2 ．
【分析】首先根据根与系数的关系可以得到两根之和，然后利用两根之和，可以求出另一个根．
【解答】解：设x1，x2是方程的两根，
由题意知x1+x2＝1+x2＝3，
∴x2＝2．
故填空答案：2．
【点评】此题比较简单，主要利用了根与系数的关系：x1+x2＝，x1x2＝．
14．（3分）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线是抛物线y＝﹣x2+4x（单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是 4 米．
【分析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y＝﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案．
【解答】解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y＝﹣x2+4x，
∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y＝﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，
∴y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴顶点坐标为：（2，4），
∴喷水的最大高度为4米，
故答案为：4．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题．
15．（3分）设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2022＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝ 2020 ．
【分析】先由方程的解的概念和根与系数的关系得出m+n＝﹣2，m2+2m＝2022，将其代入原式＝m2+2m+m+n＝m2+2m+（m+n）计算可得．
【解答】解：∵m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2022＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣2，m2+2m＝2022，
则原式＝m2+2m+m+n
＝m2+2m+（m+n）
＝2022﹣2
＝2020．
故答案为：2020．
【点评】本题主要考查根与系数的关系和方程的解，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
16．（3分）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1、0＜x2＜1下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③abc＞0；④b2+8a＞4ac．正确的结论是 ①②③④ ．
【分析】利用x＝﹣2，y＜0可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x＝﹣＞﹣1，加上a＜0，则可对②进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由抛物线的对称轴在y轴左侧得到b＜0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，则可对③进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为，而＞2，则可对④进行判断．
【解答】解：∵x＝﹣2，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＞﹣1，
而a＜0，
∴b＞2a，即2a﹣b＜0，所以②正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴左侧，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，所以③正确；
∵抛物线的顶点的纵坐标为，
∴＞2，
∴4ac﹣b2＜8a，
∴b2+8a＞4ac，所以④正确．
故答案为①②③④．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
三、解答题（共72分）
17．（4分）解方程：x2+4x﹣12＝0．
【分析】方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：分解因式得：（x﹣2）（x+6）＝0，
可得x﹣2＝0或x+6＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣6．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程左边化为积的形式，右边化为0，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
18．（4分）在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC＝60°，求∠EFD的度数．
【分析】根据旋转的性质得出△BCE≌△DCF，推出CE＝CF，∠BEC＝∠DFC＝60°，根据∠BCD＝∠DCF＝90°，求出∠EFC＝∠CEF＝45°，即可求出答案．
【解答】解：∵将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，
∴△BCE≌△DCF，
∴CE＝CF，∠BEC＝∠DFC＝60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝∠DCF＝90°，
∴∠EFC＝∠CEF，
∵∠EFC+∠CEF+90°＝180°，
∴∠EFC＝∠CEF＝45°，
∴∠EFD＝60°﹣45°＝15°．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，正方形性质，等腰三角形性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，注意：根据旋转的性质可以得出△BCE≌△DCF，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
19．（6分）汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设，某汽车销售公司2012年盈利1500万元，到2014年盈利2160万元，且从2012年到2014年，每年盈利的年增长率相同．
（1）求该公司盈利的年增长率；
（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2016年盈利多少万元？
【分析】（1）设该公司每年盈利的年增长率是x，根据题意列出等量关系进行求解即可；
（2）相等关系是：2016年盈利＝2014年盈利×（1+盈利年增长率）2．
【解答】解：（1）设该公司每年盈利的年增长率是x．
根据题意得1500（1+x）2＝2160，
解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去），
答：每年盈利的年增长率是20%．
（2）2160（1+0.2）2＝3110.4（万元）
答：预计2016年盈利3110.4万元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是需求出从2012年到2014年每年盈利的年增长率．等量关系为：2012年盈利×（1+年增长率）2＝2160．
20．（6分）如图，在方格纸中，已知格点△ABC和格点O．
（1）画出△ABC关于点O对称的△A′B′C′；
（2）若以点A、O、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 （﹣2，2），（﹣2，﹣4），（2，﹣2） ．（写出所有可能的结果）
【分析】（1）将△ABC绕着点O旋转180°，即可作出其关于点O对称的△A′B′C′；
（2）根据平行四边形的不同位置，分三种情况进行讨论，得出点D的三种不同的坐标．
【解答】解：（1）如图：
△A′B′C′即为所求；
（2）如图，四边形ACOD1、四边形AD2CO、四边形ACD3O都是平行四边形，
由图可得，D1（﹣2，2），D2（﹣2，﹣4），D3（2，﹣2）
故点D的坐标为（﹣2，2），（﹣2，﹣4），（2，﹣2）．
【点评】本题主要考查了中心对称作图以及平行四边形，解决问题的关键是掌握中心对称的概念以及平行四边形的性质．作图时注意，中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
21．（8分）抛物线y＝﹣x2+2x+3．
（1）画出它的图象
x
…
…
y
…
…
（2）根据图象回答下列问题：
①x满足 x＞1 时，y随x的增大而减小？
②x满足 x＝﹣1或x＝3 时，y＝0；
③当0≤x≤3时，y的取值范围是 0≤y≤4 ．
【分析】（1）列表、描点即可得；
（2）结合函数图象求解可得．
【解答】解：（1）画出它的图象
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…
函数图象如下：
（2）根据图象回答下列问题：
①x满足x＞1时，y随x的增大而减小？
②x满足x＝﹣1或x＝3时，y＝0；
③当0≤x≤3时，y的取值范围是0≤y≤4；
故答案为：①x＞1；②x＝﹣1或x＝3；③0≤y≤4．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点问题，解题的关键是掌握描点法画二次函数的图象及二次函数的性质．
22．（10分）商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件．
（1）若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？
（2）若该商场要每天盈利最大，每件衬衫应降价多少元？盈利最大是多少元？
【分析】（1）先设未知数：设每件衬衫应降价x元，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，根据利润＝销售的数量×每件的盈利，列方程可求得；
（2）设利润为w元，w＝（40﹣x）（20+2x），化成一般式，配方成顶点式，求最值即可．
【解答】解：（1）设每件衬衫应降价x元，
根据题意得：（40﹣x）（40+4x）＝2400，
x2﹣30x+200＝0，
（x﹣10）（x﹣20）＝0，
x＝10或20，
∵扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，
∴x＝20，
答：每件衬衫应降价20元；
（2）设每件衬衫应降价x元时，利润为w元，
w＝（40﹣x）（40+4x）＝﹣4x2+120x+1600＝﹣4（x﹣15）2+1700，
∵﹣4＜0，
∴w有最大值，
即当x＝15时，w有最大值为1700元，
答：每件衬衫应降价15元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利1700元．
【点评】本题是二次函数的应用，属于销售利润问题，明确总利润＝销售的数量×每件的利润，将一元二次方程与二次函数结合，将最大利润问题转化为二次函数的最值问题来求．
23．（10分）如图，已知直线AB过x轴上一点A（2，0）且与抛物线y＝ax2相交于B（1，一1），C两点．
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）问抛物线上是否存在一点D，使S△OAD＝S△OBC？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将B（1，一1）代入y＝ax2，求得a的值，则可得抛物线对应的函数解析式；
（2）设直线AB解析式为：y＝kx+b，用待定系数法求得直线AB的解析式，再将其与抛物线的解析式联立，从而得出点C坐标，再求得S△OBC的值，然后设D（t，﹣t2）
，根据面积关系得到关于t的方程，解得t的值即可得出点啊D的坐标．
【解答】解：（1）将B（1，一1）代入y＝ax2相得：
﹣1＝a×1
∴a＝﹣1
∴抛物线对应的函数解析式为y＝﹣x2；
（2）设直线AB解析式为：y＝kx+b
∵过点A（2，0）、B（1，一1）
∴
解得
∴直线AB的解析式为：y＝x﹣2
∵直线AB与抛物线交于B、C两点
∴由得：B（1，﹣1），C（﹣2，﹣4）
由图形可知：
S△OBC＝S△OAC﹣S△OAB＝×|﹣4|×2﹣×|﹣1|×2＝3
假设抛物线上存在一点D，使S△OAD＝S△OBC？
可设D（t，﹣t2）
∴S△OAD＝×2×t2＝t2
∴t2＝3
∴t＝或t＝﹣
∴存在符合题意的点D，其坐标为（，﹣3）或（﹣，﹣3）．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式、几何图形的面积问题与函数问题的综合等知识点，明确相关函数的性质并数形结合是解题的关键．
24．（12分）已知关于x一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3＝0有两个不相等的实数根
（1）求k取值范围；
（2）当k最小的整数时，求抛物线y＝x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；
（3）将（2）中求得的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线y＝x+m有三个不同公共点时m值．
【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3＝0有两个不相等的实数根，可知根的判别式Δ＞0，即可求出k的取值范围；
（2）根据k的取值范围可得当k＝0时，为k最小的整数，进而可求出顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；
（3）（2）画出此函数图象后，可发现，若直线与新函数有3个交点，可以有两种情况：
①直线经过原二次函数与x轴的交点A（即左边的交点），可将A点坐标代入直线的解析式中，即可求出m的值；
②原二次函数图象x轴以下部分翻折后，所得部分图象仍是二次函数，该二次函数与原函数开口方向相反、对称轴相同、与x轴的交点坐标相同，可据此判断出该函数的解析式，若直线与新函数图象有三个交点，那么当直线与该二次函数只有一个交点时，恰好满足这一条件，那么联立直线与该二次函数的解析式，可化为一个关于x的一元二次方程，那么该方程的判别式Δ＝0，根据这一条件可确定m的取值．
【解答】解：（1）由题意，得△＝4（k+1）2﹣4（k2﹣2k﹣3）＝16k+16＞0，
∴k＞﹣1，
∴k的取值范围为k＞﹣1；
（2）∵k＞﹣1，且k取最小的整数，∴k＝0．
∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
∵y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴相交，
∴0＝x2﹣2x﹣3，
∴解得：x＝﹣1或3，
∴抛物线与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）；
（3）翻折后所得新图象如图所示．
平移直线y＝x+m知：直线位于l1和l2时，它与新图象有三个不同的公共点．
①当直线位于l1时，此时l1过点A（﹣1，0），
∴0＝﹣1+m，即m＝1．
②当直线位于l2时，此时l2与函数y＝﹣x2+2x+3的图象有一个公共点，
∴方程x+m＝﹣x2+2x+3，
即x2﹣x﹣3+m＝0有两个相等实根，
∴△＝1﹣4（m﹣3）＝0，
即m＝．
当m＝时，x1＝x2＝满足﹣1≤x≤3，
由①②知m＝1或m＝．
【点评】此题考查了二次函数图象与坐标轴交点及顶点坐标的求法、函数图象交点以及根据值域确定二次函数参数取值范围的问题，综合性强，难度较大．
25．（12分）已知线段AB，如果将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，则称点C为线段AB关于点A的逆转点．点C为线段AB关于点A的逆转点的示意图如图1：
（1）如图2，在正方形ABCD中，点 A 为线段BC关于点B的逆转点；
（2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，0），且x＞0，点E是y轴上一点，点F是线段EO关于点E的逆转点，点G是线段EP关于点E的逆转点，过逆转点G，F的直线与x轴交于点H．
①补全图；
②判断过逆转点G，F的直线与x轴的位置关系并证明；
③若点E的坐标为（0，5），连接PF、PG，设△PFG的面积为y，直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
【分析】（1）根据点C为线段AB关于点A的逆转点的定义判断即可．
（2）结论：GF⊥x轴．证明△GEF≌△PEO（SAS），推出∠GFE＝∠EOP＝90°可得结论．
（3）分两种情形：如图4﹣1中，当0＜x＜5时，如图4﹣2中，当x＞5时，分别利用三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：（1）由题意，点A是线段AB关于点B的逆转点，
故答案为A．
（2）①图形如图3所示．
②结论：GF⊥x轴．
理由：∵点F是线段EF关于点E的逆转点，点G是线段EP关于点E的逆转点，
∴∠OEF＝∠PEG＝90°，EG＝EP，EF＝EO，
∴∠GEF＝∠PEO，
∴△GEF≌△PEO（SAS），
∴∠GFE＝∠EOP，
∵OE⊥OP，
∴∠POE＝90°，
∴∠GFE＝90°，
∵∠OEF＝∠EFH＝∠EOH＝90°，
∴四边形EFHO是矩形，
∴∠FHO＝90°，
∴FG⊥x轴．
③如图4﹣1中，当0＜x＜5时，
∵E（0，5），
∴OE＝5，
∵四边形EFHO是矩形，EF＝EO，
∴四边形EFHO是正方形，
∴OH＝OE＝5，
∴y＝•FG•PH＝•x•（5﹣x）＝﹣x2+x．
如图4﹣2中，当x＞5时，
y＝•FG•PH＝•x•（x﹣5）＝x2﹣x．
综上所述，．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
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日期：2021/11/25 9:30:17；用户：吴耀翠；邮箱：15866404371；学号：40265676
2021-2022学年九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）观察下列图案，能通过例图顺时针旋转90°得到的（ ）（例图）
A． B． C． D．
2．（3分）点（0，﹣2）关于原点的对称点的坐标为（ ）
A．（0，2） B．（2，0） C．（﹣2，0） D．（﹣2，2）
3．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2＝6 B．（x﹣1）2＝6 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝9
4．（3分）不解方程，判断方程x2+2x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
5．（3分）把抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣3 B．y＝﹣（x+1）2﹣3
C．y＝﹣（x﹣1）2+3 D．y＝﹣（x+1）2+3
6．（3分）二次函数y＝﹣2x2+4x+5的对称轴为（ ）
A．x＝2 B．直线x＝2 C．x＝1 D．直线x＝1
7．（3分）已知x＝2是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，则m的值是（ ）
A．﹣3 B．3 C．0 D．0或3
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，4），把线段AB绕点A旋转后得到线段AB′，使点B的对应点B′落在x轴的正半轴上，则点B′的坐标是（ ）
A．（5，0） B．（8，0） C．（0，5） D．（0，8）
9．（3分）已知等腰三角形底边长和腰长是方程x2﹣9x+18＝0的两根，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．15 B．12 C．15或12 D．18
10．（3分）二次函数y＝x2+mx﹣n的对称轴为x＝2．若关于x的一元二次方程x2+mx﹣n＝0在﹣1＜x＜6的范围内有实数解，则n的取值范围是（ ）
A．﹣4≤n＜5 B．n≥﹣4 C．﹣4≤n＜12 D．5＜n＜12
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）一元二次方程x2＝2x的根是 ．
12．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝40°，把△ABC绕点A逆时针旋转60°，得△ADE，则∠EAC的度数为 ．
13．（3分）已知关于x的方程x2﹣3x+k＝0有一个根为1，则它的另一个根为 ．
14．（3分）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线是抛物线y＝﹣x2+4x（单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是 米．
15．（3分）设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2022＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝ ．
16．（3分）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1、0＜x2＜1下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③abc＞0；④b2+8a＞4ac．正确的结论是 ．
三、解答题（共72分）
17．（4分）解方程：x2+4x﹣12＝0．
18．（4分）在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC＝60°，求∠EFD的度数．
19．（6分）汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设，某汽车销售公司2012年盈利1500万元，到2014年盈利2160万元，且从2012年到2014年，每年盈利的年增长率相同．
（1）求该公司盈利的年增长率；
（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2016年盈利多少万元？
20．（6分）如图，在方格纸中，已知格点△ABC和格点O．
（1）画出△ABC关于点O对称的△A′B′C′；
（2）若以点A、O、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 ．（写出所有可能的结果）
21．（8分）抛物线y＝﹣x2+2x+3．
（1）画出它的图象
x
…
…
y
…
…
（2）根据图象回答下列问题：
①x满足 时，y随x的增大而减小？
②x满足 时，y＝0；
③当0≤x≤3时，y的取值范围是 ．
22．（10分）商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件．
（1）若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？
（2）若该商场要每天盈利最大，每件衬衫应降价多少元？盈利最大是多少元？
23．（10分）如图，已知直线AB过x轴上一点A（2，0）且与抛物线y＝ax2相交于B（1，一1），C两点．
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）问抛物线上是否存在一点D，使S△OAD＝S△OBC？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
24．（12分）已知关于x一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3＝0有两个不相等的实数根
（1）求k取值范围；
（2）当k最小的整数时，求抛物线y＝x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；
（3）将（2）中求得的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线y＝x+m有三个不同公共点时m值．
25．（12分）已知线段AB，如果将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，则称点C为线段AB关于点A的逆转点．点C为线段AB关于点A的逆转点的示意图如图1：
（1）如图2，在正方形ABCD中，点 为线段BC关于点B的逆转点；
（2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，0），且x＞0，点E是y轴上一点，点F是线段EO关于点E的逆转点，点G是线段EP关于点E的逆转点，过逆转点G，F的直线与x轴交于点H．
①补全图；
②判断过逆转点G，F的直线与x轴的位置关系并证明；
③若点E的坐标为（0，5），连接PF、PG，设△PFG的面积为y，直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
2021-2022学年九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）观察下列图案，能通过例图顺时针旋转90°得到的（ ）（例图）
A． B． C． D．
【分析】根据旋转的意义，找出图中大拇指及其余4个手指2个关键处按顺时针方向旋转90°后的形状即可选择答案．
【解答】解：根据旋转的意义，图片按顺时针方向旋转90度，大拇指指向右边，其余4个手指指向下边，从而可确定为A图．
故选：A．
【点评】本题考查了图形的旋转变化，学生主要要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大，但易错．
2．（3分）点（0，﹣2）关于原点的对称点的坐标为（ ）
A．（0，2） B．（2，0） C．（﹣2，0） D．（﹣2，2）
【分析】根据两点关于原点对称的特点解答即可．
【解答】解：∵两点关于原点对称，
∴横坐标为﹣0＝0，纵坐标为﹣（﹣2）＝2，
∴点（0，﹣2）关于原点的对称点的坐标为（0，2）．
故选：A．
【点评】考查两点关于原点对称的特点；用到的知识点为：两点关于原点对称，横纵坐标均互为相反数．
3．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2＝6 B．（x﹣1）2＝6 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝9
【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形即可得到结果．
【解答】解：方程移项得：x2﹣2x＝5，
配方得：x2﹣2x+1＝6，
即（x﹣1）2＝6．
故选：B．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．（3分）不解方程，判断方程x2+2x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【分析】根据方程各项系数结合根的判别式即可得出Δ＝8＞0，由此即可得出结论．
【解答】解：∵在方程x2+2x﹣1＝0中，Δ＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴方程x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根．”是解题的关键．
5．（3分）把抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣3 B．y＝﹣（x+1）2﹣3
C．y＝﹣（x﹣1）2+3 D．y＝﹣（x+1）2+3
【分析】利用二次函数平移的性质．
【解答】解：当y＝﹣x2向左平移1个单位时，顶点由原来的（0，0）变为（﹣1，0），
当向上平移3个单位时，顶点变为（﹣1，3），
则平移后抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2+3．
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数y＝ax2、y＝a（x﹣h）2、y＝a（x﹣h）2+k的关系．
6．（3分）二次函数y＝﹣2x2+4x+5的对称轴为（ ）
A．x＝2 B．直线x＝2 C．x＝1 D．直线x＝1
【分析】利用对称轴公式可求得答案．
【解答】解：
∵y＝﹣2x2+4x+5，
∴对称轴为x＝﹣＝1，
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴公式x＝﹣是解题的关键．
7．（3分）已知x＝2是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，则m的值是（ ）
A．﹣3 B．3 C．0 D．0或3
【分析】直接把x＝2代入已知方程就得到关于m的方程，再解此方程即可．
【解答】解：∵x＝2是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，
∴4+2m+2＝0，
∴m＝﹣3．
故选：A．
【点评】此题比较简单，利用方程的解的定义即可确定待定系数．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，4），把线段AB绕点A旋转后得到线段AB′，使点B的对应点B′落在x轴的正半轴上，则点B′的坐标是（ ）
A．（5，0） B．（8，0） C．（0，5） D．（0，8）
【分析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用旋转的性质得出OB′的长，进而得出答案．
【解答】解：∵A（3，0），B（0，4），
∴AO＝3，BO＝4，
∴AB＝＝5，
∴AB＝AB′＝5，故OB′＝8，
∴点B′的坐标是（8，0）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及坐标与图形的性质，正确得出AB′的长是解题关键．
9．（3分）已知等腰三角形底边长和腰长是方程x2﹣9x+18＝0的两根，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．15 B．12 C．15或12 D．18
【分析】利用因式分解法解方程得到等腰三角形底边长和腰长为3和6，然后通过讨论确定三角形的底与腰，再计算三角形的周长．
【解答】解：（x﹣3）（x﹣6）＝0，
x﹣3＝0或x﹣6＝0，
所以x1＝3，x2＝6，
即等腰三角形底边长和腰长为3和6，
当底边长为3，腰为6时，这个等腰三角形的周长＝3+6+6＝15；
当底边长为6，腰为3，不满足三角形三边的关系，舍去，
所以这个等腰三角形的周长为15．
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系．
10．（3分）二次函数y＝x2+mx﹣n的对称轴为x＝2．若关于x的一元二次方程x2+mx﹣n＝0在﹣1＜x＜6的范围内有实数解，则n的取值范围是（ ）
A．﹣4≤n＜5 B．n≥﹣4 C．﹣4≤n＜12 D．5＜n＜12
【分析】根据对称轴求出m的值，从而得到x＝﹣1、6时的函数y＝x2﹣4x值，再根据一元二次方程x2+mx﹣n＝0在﹣1＜x＜6的范围内有解相当于y＝x2+mx与y＝n在x的范围内有交点解答．
【解答】解：∵抛物线的对称轴x＝﹣＝2，
∴m＝﹣4，
则方程x2+mx﹣n＝0，即x2﹣4x﹣n＝0的解相当于y＝x2﹣4x与直线y＝n的交点的横坐标，
∵方程x2+mx﹣n＝0在﹣1＜x＜6的范围内有实数解，
∴当x＝﹣1时，y＝1+4＝5，
当x＝6时，y＝36﹣24＝12，
又∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴当﹣4≤n＜12时，在﹣1＜x＜6的范围内有解．
∴n的取值范围是﹣4≤n＜12，
故选：C．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．难点是把一元二次方程x2+mx﹣n＝0在﹣1＜x＜6的范围内有实数解，转化为函数y＝x2+mx与直线y＝n在﹣1＜x＜6的范围内有交点的问题进行解答．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）一元二次方程x2＝2x的根是 x1＝0，x2＝2 ．
【分析】先移项，再提公因式，使每一个因式为0，从而得出答案．
【解答】解：移项，得x2﹣2x＝0，
提公因式得，x（x﹣2）＝0，
x＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝2．
故答案为：x1＝0，x2＝2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
12．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝40°，把△ABC绕点A逆时针旋转60°，得△ADE，则∠EAC的度数为 60° ．
【分析】直接利用旋转的性质求解．
【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转60°，得△ADE，
∴∠EAC＝60°．
故答案为60°．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
13．（3分）已知关于x的方程x2﹣3x+k＝0有一个根为1，则它的另一个根为 2 ．
【分析】首先根据根与系数的关系可以得到两根之和，然后利用两根之和，可以求出另一个根．
【解答】解：设x1，x2是方程的两根，
由题意知x1+x2＝1+x2＝3，
∴x2＝2．
故填空答案：2．
【点评】此题比较简单，主要利用了根与系数的关系：x1+x2＝，x1x2＝．
14．（3分）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线是抛物线y＝﹣x2+4x（单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是 4 米．
【分析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y＝﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案．
【解答】解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y＝﹣x2+4x，
∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y＝﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，
∴y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴顶点坐标为：（2，4），
∴喷水的最大高度为4米，
故答案为：4．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题．
15．（3分）设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2022＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝ 2020 ．
【分析】先由方程的解的概念和根与系数的关系得出m+n＝﹣2，m2+2m＝2022，将其代入原式＝m2+2m+m+n＝m2+2m+（m+n）计算可得．
【解答】解：∵m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2022＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣2，m2+2m＝2022，
则原式＝m2+2m+m+n
＝m2+2m+（m+n）
＝2022﹣2
＝2020．
故答案为：2020．
【点评】本题主要考查根与系数的关系和方程的解，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
16．（3分）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1、0＜x2＜1下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③abc＞0；④b2+8a＞4ac．正确的结论是 ①②③④ ．
【分析】利用x＝﹣2，y＜0可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x＝﹣＞﹣1，加上a＜0，则可对②进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由抛物线的对称轴在y轴左侧得到b＜0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，则可对③进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为，而＞2，则可对④进行判断．
【解答】解：∵x＝﹣2，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＞﹣1，
而a＜0，
∴b＞2a，即2a﹣b＜0，所以②正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴左侧，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，所以③正确；
∵抛物线的顶点的纵坐标为，
∴＞2，
∴4ac﹣b2＜8a，
∴b2+8a＞4ac，所以④正确．
故答案为①②③④．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
三、解答题（共72分）
17．（4分）解方程：x2+4x﹣12＝0．
【分析】方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：分解因式得：（x﹣2）（x+6）＝0，
可得x﹣2＝0或x+6＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣6．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程左边化为积的形式，右边化为0，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
18．（4分）在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC＝60°，求∠EFD的度数．
【分析】根据旋转的性质得出△BCE≌△DCF，推出CE＝CF，∠BEC＝∠DFC＝60°，根据∠BCD＝∠DCF＝90°，求出∠EFC＝∠CEF＝45°，即可求出答案．
【解答】解：∵将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，
∴△BCE≌△DCF，
∴CE＝CF，∠BEC＝∠DFC＝60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝∠DCF＝90°，
∴∠EFC＝∠CEF，
∵∠EFC+∠CEF+90°＝180°，
∴∠EFC＝∠CEF＝45°，
∴∠EFD＝60°﹣45°＝15°．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，正方形性质，等腰三角形性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，注意：根据旋转的性质可以得出△BCE≌△DCF，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
19．（6分）汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设，某汽车销售公司2012年盈利1500万元，到2014年盈利2160万元，且从2012年到2014年，每年盈利的年增长率相同．
（1）求该公司盈利的年增长率；
（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2016年盈利多少万元？
【分析】（1）设该公司每年盈利的年增长率是x，根据题意列出等量关系进行求解即可；
（2）相等关系是：2016年盈利＝2014年盈利×（1+盈利年增长率）2．
【解答】解：（1）设该公司每年盈利的年增长率是x．
根据题意得1500（1+x）2＝2160，
解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去），
答：每年盈利的年增长率是20%．
（2）2160（1+0.2）2＝3110.4（万元）
答：预计2016年盈利3110.4万元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是需求出从2012年到2014年每年盈利的年增长率．等量关系为：2012年盈利×（1+年增长率）2＝2160．
20．（6分）如图，在方格纸中，已知格点△ABC和格点O．
（1）画出△ABC关于点O对称的△A′B′C′；
（2）若以点A、O、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 （﹣2，2），（﹣2，﹣4），（2，﹣2） ．（写出所有可能的结果）
【分析】（1）将△ABC绕着点O旋转180°，即可作出其关于点O对称的△A′B′C′；
（2）根据平行四边形的不同位置，分三种情况进行讨论，得出点D的三种不同的坐标．
【解答】解：（1）如图：
△A′B′C′即为所求；
（2）如图，四边形ACOD1、四边形AD2CO、四边形ACD3O都是平行四边形，
由图可得，D1（﹣2，2），D2（﹣2，﹣4），D3（2，﹣2）
故点D的坐标为（﹣2，2），（﹣2，﹣4），（2，﹣2）．
【点评】本题主要考查了中心对称作图以及平行四边形，解决问题的关键是掌握中心对称的概念以及平行四边形的性质．作图时注意，中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
21．（8分）抛物线y＝﹣x2+2x+3．
（1）画出它的图象
x
…
…
y
…
…
（2）根据图象回答下列问题：
①x满足 x＞1 时，y随x的增大而减小？
②x满足 x＝﹣1或x＝3 时，y＝0；
③当0≤x≤3时，y的取值范围是 0≤y≤4 ．
【分析】（1）列表、描点即可得；
（2）结合函数图象求解可得．
【解答】解：（1）画出它的图象
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…
函数图象如下：
（2）根据图象回答下列问题：
①x满足x＞1时，y随x的增大而减小？
②x满足x＝﹣1或x＝3时，y＝0；
③当0≤x≤3时，y的取值范围是0≤y≤4；
故答案为：①x＞1；②x＝﹣1或x＝3；③0≤y≤4．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点问题，解题的关键是掌握描点法画二次函数的图象及二次函数的性质．
22．（10分）商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件．
（1）若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？
（2）若该商场要每天盈利最大，每件衬衫应降价多少元？盈利最大是多少元？
【分析】（1）先设未知数：设每件衬衫应降价x元，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，根据利润＝销售的数量×每件的盈利，列方程可求得；
（2）设利润为w元，w＝（40﹣x）（20+2x），化成一般式，配方成顶点式，求最值即可．
【解答】解：（1）设每件衬衫应降价x元，
根据题意得：（40﹣x）（40+4x）＝2400，
x2﹣30x+200＝0，
（x﹣10）（x﹣20）＝0，
x＝10或20，
∵扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，
∴x＝20，
答：每件衬衫应降价20元；
（2）设每件衬衫应降价x元时，利润为w元，
w＝（40﹣x）（40+4x）＝﹣4x2+120x+1600＝﹣4（x﹣15）2+1700，
∵﹣4＜0，
∴w有最大值，
即当x＝15时，w有最大值为1700元，
答：每件衬衫应降价15元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利1700元．
【点评】本题是二次函数的应用，属于销售利润问题，明确总利润＝销售的数量×每件的利润，将一元二次方程与二次函数结合，将最大利润问题转化为二次函数的最值问题来求．
23．（10分）如图，已知直线AB过x轴上一点A（2，0）且与抛物线y＝ax2相交于B（1，一1），C两点．
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）问抛物线上是否存在一点D，使S△OAD＝S△OBC？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将B（1，一1）代入y＝ax2，求得a的值，则可得抛物线对应的函数解析式；
（2）设直线AB解析式为：y＝kx+b，用待定系数法求得直线AB的解析式，再将其与抛物线的解析式联立，从而得出点C坐标，再求得S△OBC的值，然后设D（t，﹣t2）
，根据面积关系得到关于t的方程，解得t的值即可得出点啊D的坐标．
【解答】解：（1）将B（1，一1）代入y＝ax2相得：
﹣1＝a×1
∴a＝﹣1
∴抛物线对应的函数解析式为y＝﹣x2；
（2）设直线AB解析式为：y＝kx+b
∵过点A（2，0）、B（1，一1）
∴
解得
∴直线AB的解析式为：y＝x﹣2
∵直线AB与抛物线交于B、C两点
∴由得：B（1，﹣1），C（﹣2，﹣4）
由图形可知：
S△OBC＝S△OAC﹣S△OAB＝×|﹣4|×2﹣×|﹣1|×2＝3
假设抛物线上存在一点D，使S△OAD＝S△OBC？
可设D（t，﹣t2）
∴S△OAD＝×2×t2＝t2
∴t2＝3
∴t＝或t＝﹣
∴存在符合题意的点D，其坐标为（，﹣3）或（﹣，﹣3）．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式、几何图形的面积问题与函数问题的综合等知识点，明确相关函数的性质并数形结合是解题的关键．
24．（12分）已知关于x一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3＝0有两个不相等的实数根
（1）求k取值范围；
（2）当k最小的整数时，求抛物线y＝x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；
（3）将（2）中求得的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线y＝x+m有三个不同公共点时m值．
【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3＝0有两个不相等的实数根，可知根的判别式Δ＞0，即可求出k的取值范围；
（2）根据k的取值范围可得当k＝0时，为k最小的整数，进而可求出顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；
（3）（2）画出此函数图象后，可发现，若直线与新函数有3个交点，可以有两种情况：
①直线经过原二次函数与x轴的交点A（即左边的交点），可将A点坐标代入直线的解析式中，即可求出m的值；
②原二次函数图象x轴以下部分翻折后，所得部分图象仍是二次函数，该二次函数与原函数开口方向相反、对称轴相同、与x轴的交点坐标相同，可据此判断出该函数的解析式，若直线与新函数图象有三个交点，那么当直线与该二次函数只有一个交点时，恰好满足这一条件，那么联立直线与该二次函数的解析式，可化为一个关于x的一元二次方程，那么该方程的判别式Δ＝0，根据这一条件可确定m的取值．
【解答】解：（1）由题意，得△＝4（k+1）2﹣4（k2﹣2k﹣3）＝16k+16＞0，
∴k＞﹣1，
∴k的取值范围为k＞﹣1；
（2）∵k＞﹣1，且k取最小的整数，∴k＝0．
∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
∵y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴相交，
∴0＝x2﹣2x﹣3，
∴解得：x＝﹣1或3，
∴抛物线与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）；
（3）翻折后所得新图象如图所示．
平移直线y＝x+m知：直线位于l1和l2时，它与新图象有三个不同的公共点．
①当直线位于l1时，此时l1过点A（﹣1，0），
∴0＝﹣1+m，即m＝1．
②当直线位于l2时，此时l2与函数y＝﹣x2+2x+3的图象有一个公共点，
∴方程x+m＝﹣x2+2x+3，
即x2﹣x﹣3+m＝0有两个相等实根，
∴△＝1﹣4（m﹣3）＝0，
即m＝．
当m＝时，x1＝x2＝满足﹣1≤x≤3，
由①②知m＝1或m＝．
【点评】此题考查了二次函数图象与坐标轴交点及顶点坐标的求法、函数图象交点以及根据值域确定二次函数参数取值范围的问题，综合性强，难度较大．
25．（12分）已知线段AB，如果将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，则称点C为线段AB关于点A的逆转点．点C为线段AB关于点A的逆转点的示意图如图1：
（1）如图2，在正方形ABCD中，点 A 为线段BC关于点B的逆转点；
（2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，0），且x＞0，点E是y轴上一点，点F是线段EO关于点E的逆转点，点G是线段EP关于点E的逆转点，过逆转点G，F的直线与x轴交于点H．
①补全图；
②判断过逆转点G，F的直线与x轴的位置关系并证明；
③若点E的坐标为（0，5），连接PF、PG，设△PFG的面积为y，直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
【分析】（1）根据点C为线段AB关于点A的逆转点的定义判断即可．
（2）结论：GF⊥x轴．证明△GEF≌△PEO（SAS），推出∠GFE＝∠EOP＝90°可得结论．
（3）分两种情形：如图4﹣1中，当0＜x＜5时，如图4﹣2中，当x＞5时，分别利用三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：（1）由题意，点A是线段AB关于点B的逆转点，
故答案为A．
（2）①图形如图3所示．
②结论：GF⊥x轴．
理由：∵点F是线段EF关于点E的逆转点，点G是线段EP关于点E的逆转点，
∴∠OEF＝∠PEG＝90°，EG＝EP，EF＝EO，
∴∠GEF＝∠PEO，
∴△GEF≌△PEO（SAS），
∴∠GFE＝∠EOP，
∵OE⊥OP，
∴∠POE＝90°，
∴∠GFE＝90°，
∵∠OEF＝∠EFH＝∠EOH＝90°，
∴四边形EFHO是矩形，
∴∠FHO＝90°，
∴FG⊥x轴．
③如图4﹣1中，当0＜x＜5时，
∵E（0，5），
∴OE＝5，
∵四边形EFHO是矩形，EF＝EO，
∴四边形EFHO是正方形，
∴OH＝OE＝5，
∴y＝•FG•PH＝•x•（5﹣x）＝﹣x2+x．
如图4﹣2中，当x＞5时，
y＝•FG•PH＝•x•（x﹣5）＝x2﹣x．
综上所述，．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
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日期：2021/11/25 9:30:17；用户：吴耀翠；邮箱：15866404371；学号：40265676
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