2020-2021学年山东省德州市夏津第一中学高二上学期9月月考数学试题（解析版）

2020-2021学年山东省德州市夏津第一中学高二上学期9月月考数学试题

一、单选题

1．已知向量，则下列向量中与同向的单位向量的坐标是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】求得，进而可计算得出与同向的单位向量的坐标.

【详解】

，则，

所以，与同向的单位向量的坐标是.

故选：B.

【点睛】

本题考查与向量同向的单位向量的坐标，考查计算能力，属于基础题.

2．直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据直线倾斜角的正切值等于切线斜率求解即可.

【详解】

直线的斜率为,故倾斜角的正切值,

又,故.

故选：A

【点睛】

本题主要考查了直线倾斜角与斜率的关系,属于基础题型.

3．已知在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】以为原点，在平面内，过点作的垂线为轴，以为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值．

【详解】

以为原点，在平面内，过点作的垂线为轴，以为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

由题得，，0，，，,，2，，

，，

设异面直线与所成角为，

则．

异面直线与所成角的余弦值为．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查异面直线所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

4．已知直线，，若，则实数（    ）

A．或1 B．0或1 C．1 D．

【答案】D

【解析】讨论，根据两条直线平行的条件列式可解得结果.

【详解】

当时，的斜率不存在，的斜率为0，此时，不合题意；

当时，由可得，解得，

故选：D

【点睛】

本题查了由两条直线平行求参数，属于基础题.

5．如图，在正四棱柱中，，则点到平面的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】结合余弦定理、三角形面积公式、棱锥得体积公式，利用等体积法，即可求出答案．

【详解】

解：设点到平面的距离为，

∵，

由题意，的面积，

在中，易求得，，

∴由余弦定理得，

∴，

∴，

又，即，

∴，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查等体积法求点到平面的距离，考查转化与化归思想，属于中档题．

6．已知空间向量，，且，则与的夹角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】首先根据得到，从而得到，再计算即可.

【详解】

，

因为，解得，即.

所以.

故选：B

【点睛】

本题主要考查空间向量的夹角计算，属于简单题.

7．无论a取何实数，直线恒过（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】将直线化为点斜式，求出直线恒过定点即可得解；

【详解】

解：将直线方程化为点斜式为，可知直线恒过定点，因为点在第一象限，所以直线恒过第一象限．

故选：A

【点睛】

本题考查直线过定点问题，属于基础题.

8．已知直线与轴，轴分别交于，两点，直线过点的中点，若直线，及轴围成的三角形面积为6，则直线的方程为（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】D

【解析】求得的中点坐标为，设直线的方程为，且与轴交于点，结合三角形的面积公式，列出方程，求得或，进而求得直线的方程.

【详解】

由直线，可得与轴，轴分别交于，

则的中点为，即中点坐标为，

设直线的方程为，即，且与轴交于点，

因为直线，及轴围成的三角形面积为6，

可得，即，解得或，

当时，即点，此时直线的方程为，即；

当时，即点，此时，直线的方程为，

综上可得直线的方程为或.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了直线方程的求解，以及三角形面积公式的应用，其中解答中熟练直线的点斜式方程，以及结合三角形的面积公式列出方程求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

二、多选题

9．已知空间四边形，其对角线为、，、分别是对边、的中点，点在线段上，且，现用基组表示向量，有，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【解析】求出关于、、的表达式，可求得关于、、的表达式，可得出、、的值，进而可判断出各选项的正误.

【详解】

如下图所示，

为的中点，则，

为的中点，则，，

，则，

，

，，则.

故选：ABC.

【点睛】

本题考查利用空间基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.

10．下列关于直线的方程，叙述不正确的是（    ）

A．经过定点的直线都可以用方程表示

B．经过任意两个不同点，的直线都可以用方程表示

C．不经过原点的直线都可以用方程表示

D．经过定点的直线都可以用方程表示

【答案】ACD

【解析】根据各种直线方程的适用范围，逐个分析判断即可

【详解】

解：对于A，经过定点，且斜率存在的直线都可以用方程表示，所以A错误；

对于B，经过任意两个不同点，的直线都可以用方程表示，所以B正确；

对于C，不经过原点，且与坐标轴不垂直的直线都可以用方程表示，所以C错误；

对于D，经过定点，且斜率存在的直线都可以用方程表示，所以D错误，

故选：ACD

【点睛】

此题考查各个直线方程的适用范围，考查命题的真假判断，属于基础题

11．已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（    ）

A．的倾斜角等于 B．在轴上的截距等于

C．与直线垂直 D．上存在与原点距离等于1的点

【答案】CD

【解析】由直线的方向向量可求得直线的斜率，从而可求出直线的倾斜角和直线方程，进而可判断A，B，C，对于计算出原点到直的距离即可判断

【详解】

解：因为直线的一个方向向量为，

所以直线的斜率为，

设直线的倾斜角为（），则，所以，所以A错误；

因为经过点，所以直线的方程为，令，则，

所以在轴上的截距为，所以B错误；

因为直线的斜率为，直线的斜率为，

所以，所以与直线垂直，所以C正确；

因为原点到直线的距离为，

所以上存在与原点距离等于1的点，所以D正确，

故选：CD

【点睛】

此题考查直线方程的求法，考查两直线的位置关系，考查斜率与倾斜角的关系，考查点到直线的距离公式的应用，属于中档题

12．如图，在直三棱柱中，，，，，是的中点，点在棱上且靠近，当时，则（    ）

A． B．

C． D．二面角的余弦值为

【答案】BD

【解析】以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，设，，根据求出，可得，根据空间两点间的距离公式求出，，，利用法向量求出二面角的余弦值为.

【详解】

依题意可知，，，以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：

设，，则，，，

，，，，，

所以，，

因为，所以，即，

解得或（舍），

所以，，故选项正确，

，故选项不正确，

因为，

所以，故不正确，

取平面的一个法向量为，

设平面的法向量为，

，，

由，即，

取，则，，所以，

显然二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为，故选项正确.

故选：BD

【点睛】

本题考查了空间向量垂直的坐标表示，考查了空间两点间的距离公式，考查了二面角的向量求法，属于中档题.

三、填空题

13．已知直线与垂直，则____________．

【答案】

【解析】由题意得，解出即可．

【详解】

解：∵直线与垂直，

∴，即，

解得，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查根据两条直线垂直求参数值，属于基础题．

14．已知点到直线的距离为，则____________.

【答案】

【解析】根据点到直线的距离公式列式可解得结果.

【详解】

由点到直线的距离公式得，解得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题.

15．设动点P在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，记＝λ.当∠APC为钝角时，λ的取值范围是________．

【答案】(，1)

【解析】本题主要考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，意在考查考生的空间想象能力以及运算求解能力．

以、、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则有A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，则＝(1,1，－1)，得＝λ＝(λ，λ，－λ)，所以＝＋＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)，＝＋＝(－λ，－λ，λ)＋(0,1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)，显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于·<0，即－λ(1－λ)－λ(1－λ)＋(λ－1)2<0，即(λ－1)(3λ－1)<0，解得<λ<1，因此λ的取值范围是(，1)．

四、双空题

16．已知点，，，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是____________；若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是____________.

【答案】       

【解析】分别画出图象，数形结合可得答案.

【详解】

由，，直线过点与线段相交，如上图，,

，则直线的斜率的取值范围是；

由，，直线过点与线段相交，如上图，，

，则直线的斜率的取值范围，

故答案为：① ；②.

【点睛】

本题考查了直线的斜率，斜率的取值范围，属于基础题.

五、解答题

17．已知向量，.

（1）若，求实数；

（2）若向量与所成角为锐角，求实数的范围.

【答案】（1）；（2）且.

【解析】（1）求出，，根据可解得结果；

（2）根据可得，除去可得解.

【详解】

（1）由已知可得，，，

因为，所以，可得.

（2）由（1）知，，，

因为向量与所成角为锐角，

所以，解得，

又当时，，可得实数的范围为且.

【点睛】

本题考查了空间向量共线问题，考查了空间向量的夹角问题，属于中档题.

18．在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为，，，求：

（1）边所在直线的方程；

（2）边上的高所在直线的方程.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）求出直线的斜率，代入点斜式方程即可；

(2)求出直线BC的斜率，得到BC边上的高所在直线的斜率，代入点斜式方程即可.

【详解】

（1）设的直线方程为.

将，坐标代入可得，解方程组可得，

则直线方程为，化为一般式为.

（2）因为为直线的高，所以，故，

设的直线方程为，将代入，解得，

得的直线方程为，

代为一般式为.

【点睛】

本题主要考查了直线方程问题，考查求直线的斜率，两条垂直直线斜率间的关系，属于基础题．

19．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，点为的中点，，.

（1）求证：直线平面；

（2）求直线与平面夹角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）由平面可得出，由勾股定理可得出，进而利用线面垂直的判定定理可证得直线平面；

（2）以点为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面夹角的正弦值.

【详解】

（1）由题知，，，，那么，可得，

由平面，平面，可得，

，因此，直线平面；

（2）由（1）知，平面，，

以点为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，

如图，可得，，，，，

则，，.

设平面的一个法向量为，

那么，即得，令，得，

那么，

所以直线与平面夹角的正弦值为.

【点睛】

本题考查线面垂直的判定，同时也考查了利用空间向量法求解线面角的正弦值，考查计算能力与推理能力，属于中等题.

20．已知直线.

（1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值；

（2）若直线与轴所成的角为，求的值.

【答案】（1）或；（2）或.

【解析】（1）根据方程解出横纵截距，然后建立方程求解即可；

（2）由条件可得直线的倾斜角为或，然后可求出答案.

【详解】

（1）由题意

令，，

令，，

由，得或，

综上，的值为或；

（2）∵直线与轴所成的角为，∴直线与轴所成的角为或，即直线的倾斜角为或，

∴直线的斜率存在，∴，

又∵直线的斜率为，

∴或，

∴或

【点睛】

本题考查的是直线的一般式方程的应用，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.

21．已知在平行六面体中，，，，且.

（1）求的长；

（2）求与夹角的余弦值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由空间向量的加法法则可得，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值，由此可求得的长；

（2）计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值，即可得解.

【详解】

（1）由题可知，，

那么

，

因此，的长为；

（2）由题知，，

则，

，

所以，.

【点睛】

本题考查利用空间向量法计算线段长，同时也考查了利用空间向量法计算向量夹角的余弦值，解题的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.

22．如图在四面体中，平面，，分别为边的中点，为边上任意一点.

（1）证明：平面；

（2）当二面角的平面角为时，求的长度.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】(1)由已知证明面面,由面即可证得面;

(2)设,根据已知条件建系如图,求得两个平面的法向量，根据二面角的向量计算公式代入即可求得.

【详解】

解：（1）证明：因为分别为边的中点，所以.

又因为，所以面面.

又因为面，所以面

（2）设.

，.

在底面作直线垂直于，如图建立空间直角坐标系，

则，

.

设面的法向量

所以，令，.

又知面的法向量.

所以，.

综上可知.

【点睛】

本题主要考查面面平行的判定和性质定理,考查向量法在求解二面角中的应用,考查了转化化归的思想和运算求解的能力,-属于中档题.