2020-2021学年湖北省“荆、荆、襄、宜“四地七校联盟高二上学期期中考试数学试题 word版

湖北省“荆、荆、襄、宜“四地七校联盟2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题

考试时间：11月24日下午15:00—17：00  试卷页数：共6页  全卷满分：150分  考试用时：120分钟

★祝考试顺利★

注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合，则集合的真子集个数为

A．16 B．15 C．8 D．7

2．从装有除颜色外完全相同的2个黑球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是                               

A．至少有1个白球，都是黑球         B．至少有1个白球，至少有1个黑球     

C．恰有1个白球，恰有2个白球       D．至少有1个白球，都是白球

3．对于常数，是方程的曲线是椭圆的

A．充分必要条件       B．必要不充分条件

C．充分不必要条件       D．既不充分也不必要条件

4．掷一枚均匀的硬币4次，出现正面与反面次数相等的概率为 

A．           B．          C．           D．

5．珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的.这种挤压一直

在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化.由于地势险峻，气候恶劣，

通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”.攀登者们肩负高精度测量

仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶，再把所有

的高度差累加，就会得到珠峰的高度.2020年5月，中国珠峰高程测量

登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作.如图，在测量过程中，已知竖立在B点处的测量觇标高12米，攀登者们在A处测得到觇标底点B和顶点C的仰角分别为60°，75°，则A、B的高度差为

A．米          B．6米         C．米.          D．12米

6．已知直线过点且与点、等距离，则直线的方程为

A．或        B．或

C．或        D．或

7．已知函数，若函数的图象与轴恰好有3个交点，则实数的取值范围为     

A．           B．        C．          D．

8．已知球与棱长为的正方体的各个面都相切，则平面截此球所得的截面面积为

A．                 B．            C．              D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9.若函数对，同时满足：（1）当时有；（2）当时有，则称为函数．下列函数中是函数的为

A．           B．       C．    D．

10.如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，截面与直线平行，与交于点E，则下列判断正确的是

A．E为的中点                  

B．与所成的角为

C．平面       

D．三棱锥与四棱锥的体积之比等于

11．已知函数，下列关于该函数结论正确的是

A．的图象关于直线x＝对称        B．的一个周期是2

C．的最大值为2                    D．是区间(0，)上的增函数

12．已知正数满足，下列结论正确的有

   A．      B．    C．      D．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．某电子商务公司对200名网络购物者2020年上半年的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示．在这些购物者中，消费金额在区间内的购物者的人数为_______人．

14.函数,若命题是假命题,则实数的取值范围是_______．

15.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆,在平面直角坐标系中,,点满足.则的面积最大值为_______．

16.已知圆,过点作直线交圆于两点．若,则的最小值为_______．

四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．(本小题满分10分) 在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．

已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_________，，．

（1）求角B；

（2）求的面积．

注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．

18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥中，底面的边长是的正方形，，，为上的点，且平面.

（1）证明：平面；

（2）证明：平面平面；

（3）求直线与平面所成角的正弦值．

19．(本小题满分12分) 已知向量，，函数．                                         

（1）求函数的定义域及其单调递增区间；

（2）当时，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

20．(本小题满分12分)“菊开江南秀，新韵生态城”宜昌市第35届菊花展10月23日至11月16日在点军江南URD展出。重点展现我市花园城市建设成就，让市民有获得感、幸福感、成就感．在菊花造景、园艺科技、品种展示上更具匠心、引人注目，并融入健康、生态、节能等理念，通过景意相融激发游客共鸣．期间也吸引了不少优秀企业来宜投资宣传，从而促进宜昌经济快速发展．在此菊花展期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放宜昌市场．

已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入100元，设该公司一年内生产该设备万台，且全部售完，且每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）的函数关系式近似满足：

（1）写出年利润(万元)关于年产量（万台）的函数解析式．（年利润年销售收入总成本）；

（2）当年产量为多少万台时？该公司获得的利润最大．

21.(本小题满分12分)某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．据统计该基地的西红柿增加量（百斤）与使用某种液体肥料（千克）之间对应数据为如图所示的折线图．

(1)依据数据的折线图，请计算相关系数（精确到0．01），并以此判定是否可用线性回归模型拟合与的关系？若是请求出回归直线方程，若不是请说明理由；

(2)过去50周的资料显示，该地周光照量（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量限制，并有如下关系：

若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了5台光照控制仪，求商家在过去50周每周利润的平均值．

附：对于一组数据，，……，，其相关系数公式，回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

，参考数据，．

22.(本小题满分12分)已知圆和定点，其中点是该圆的圆心，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，设动点的轨迹为．
（1）求动点的轨迹方程；

（2）设曲线与轴交于两点，点是曲线上异于的任意一点，记直线的斜率分别为，．证明：是定值；

（3）设点是曲线上另一个异于的点，且直线与的斜率满足，试探究：直线是否经过定点？如果是，求出该定点，如果不是，请说明理由．

2020年秋“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”

高二期中联考

数学试题参考答案

一、单项选择题： 1—5：DCBBC          6—8： ACA

二、多项选择题： 9.AB   10. ACD   11.ABD    12 .ABC 

三、填空题: 13.120     14.   15.12    16.

四、解答题：

17.解：若选择①，

（1）由余弦定理，

因为，所以.                                           ………………4分

（2）由正弦定理得，          ………………6分

因为，所以，

所以，………………8分

所以.            ………………10分

若选择②.

（1）由正弦定理得，

因为，所以，

因为，所以.；

（2）（以下同①）

若选择③，

（1）由和角公式得，所以.

因为，所以，

所以，所以；

（2）（以下同①）

18.证明：（1）∵平面,平面,

∴,∵ ,∴平面，  ………………4分

（2）由（1）知平面

∵平面∴.                          

∵是正方形,∴，

∵,,∴平面，

∵平面,∴平面平面.             ………………8分

（3）取的中点,连接,,∵,∴,

∵平面平面,平面，

平面平面,∴平面，

∴是在平面内的射影.

∴就是与平面所成的角，                ………………10分

在等腰中,∵,是的中点,∴，

在中,∵,，

∴,∴，

∴.                      

∴直线与平面所成角的正弦值为………………12分

19．解：（1）                       …………………1分

由  得定义域．              …………………3分

因为

                                              …………………5分

由，,解得， …………6分

但，

所以函数的单调递增区间为和，．……7分

（此处没有考虑定义域扣1分）

（2）由（1）得，因为，所以，

所以，                                                   ………………8分

则题目等价于恒成立，即恒成立           ……………9分

当时，有恒成立                                            ……………10分

当时，有且，得到                 …………11分

综上，．                                                  ……………12分

20．解：（1）                               ………………2分

                ………………4分

（2）当时,,在上单调递增

时，取最大值            ………………6分

当时,,

(i) 时，在上单调递增，且

时，                ………………8分

(ii) 时，时，

取“＝”）                                ………………10分

综上所述 (i) 时，当年产量为万台时，该公司获得最大利润；

(ii) 时，当年产量为万台时，该公司获得最大利润. ………………12分

21. 解：（1）由已知数据可得，…………1分

因为           ………………2分

                                  ……………………3分

所以相关系数．

因为，所以可用线性回归模型拟合与的关系．        ……………………4分

因为，,所以回归直线方程.  ……6分

（2）记商家周总利润为元，由条件可得在过去50周里：时，共有10周，只有2台光照控制仪运行，周总利润元．                         ……………………8分

当时，共有35周，有4台光照控制仪运行，周总利润元．

……………………9分

当时，共有5周， 5台光照控制仪都运行，周总利润元． …………10分

所以过去50周每周利润的平均值元，………………11分

所以商家在过去50周每周利润的平均值为元．                          …………………12分

22.解：（1）依题意可知圆的标准方程为，因为线段的垂直平分线交于点，所以，动点始终满足，

故动点满足椭圆的定义,因此，解得，

∴椭圆的方程为，                                          ……………………4分

（2）），设，则…7分
（3），由（2）中的结论可知，

所以 ，即，

当直线的斜率存在时，可设的方程为，  

，可得，

则（*），                                    …………………8分                                    ，  将（*）式代入可得，                    

即，亦即          …………………9分

当时，，此时直线恒过定点（舍）；

当时，，此时直线恒过定点； ……10分

当直线的斜率不存在时，经检验，可知直线也恒过定点；  ………11分

综上所述，直线恒过定点.                        …………………12分