2020-2021学年广西岑溪市高二上学期期中考试 数学 （解析版）练习题

广西岑溪市2020-2021学年高二上学期期中考试 数学

(全卷满分150分，考试时间120分钟)

注意事项：

1.答题前，考生务必将姓名、座位号、考籍号填写在答题卡上。

2.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。选择题答案用2B铅笔填涂在告題卷选择题方框内；非选择题用0.5mm黑色签字笔写在答题卷上各题的答题区域内。

3.考生作答时，请在答题卡上作答(答题注意项见答题卡)，在本试题上作答无效。

第I卷

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x－1<0}，则A∪B＝

A.{x|x<1}     B.{x|－1≤x<1}     C.{x|x≤2}     D.{x|－2≤x<1}

2.在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝

A.5     B.8     C.10     D.14

3.已知角θ的终边过点(4，－3)，则cosθ＝

A.     B.－     C.     D.－

4.已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是

A.x＋y－2＝0     B.x－y＋2＝0     C.x＋y－3＝0     D.x－y＋3＝0

5.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是

A.y＝cosx     B.y＝sinx     C.y＝lnx     D.y＝x2＋1

6.一个四棱锥的三视图如下图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的体积为

A.     B.     C.2     D.

7.函数＝Asin(ωx＋φ)，(|φ|<)的部分图象如上图所示，则

A.f(x)＝2sin(2x－)     B.f(x)＝2sin(2x－)

C.f(x)＝2sin(2x＋)     D.f(x)＝2sin(2x＋)

8.已知{an}为等比数列。下面结论中正确的是

A.a1＋a3≥2a2     B.若a1＝a3，则a1＝a2     C.a12＋a32≥2a22     D.若a3>a1，则a4>a2

9.给出下列结论：

(1)某学校从编号依次为001，002，…，900的900个学生中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中有两个相邻的编号分别为053，098，则样本中最大的编号为862。

(2)甲组数据的方差为5，乙组数据为5、6、9、10、5，那么这两组数据中较稳定的是甲。

(3)若两个变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1。

(4)对A、B、C三种个体按3：1：2的比例进行分层抽样调查，若抽取的A种个体有15个，则样本容量为30。则正确的个数是

A.3     B.2     C.1     D.0

10.阅读下面的算法框图，输出结果S的值为

A.1     B.     C.     D.

11.已知两定点4(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，点Q是圆(x－2)2＋(y－3)2＝3上的动点，则|PQ|的最大值为

A.5－     B.5＋     C.3＋2     D.3－2

12.如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD为

A.100m     B.100m     C.120m     D.200m

第II卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若，则目标函数z＝x＋2y的最小值为          。

14.已知2x＋y＝1，且x，y∈R＋，则的最小值为          。

15.已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量＝(－1)，＝(cosA，sinA)。若⊥，且acosB＋bcosA＝csinC，则B＝          。

16.在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，a＝2，＝1，则△ABC面积的最大值为          。

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)已知数列{an}和{bn}满足，a1＝2，an＋1＝2an (n∈N*)，bn＝n。

(1)求an；

(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn。

18.(12分)已知点M(3，1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4。

(1)求过M点的圆的切线方程；

(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值。

19.在△ABC中，∠A＝60°，c＝。

(1)求sinC的值；

(2)若a＝7，求△ABC的面积。

20.(12分)全国大学生机器人大赛是由共青团中央，全国学联，深圳市人民政府联合主办的赛事，是中国最具影响力的机器人项目，是全球独创的机器人竞技平台。全国大学生机器人大赛比拼的是参赛选手们的能力，坚持和态度，展现的是个人实力以及整个团队的力量。某赛季共吸引全国240余支机器人战队踊跃报名，这些参赛战队来自全国六大赛区，150余所高等院校，其中不乏北京大学，清华大学，上海交大，中国科大，西安交大等众多国内顶尖高校，经过严格筛选，最终由111支机器人战队参与到该赛季的全国大学生机器人大赛的激烈角逐之中，某大学共有"机器人”兴趣团队1000个，大一、大二、大三、大四分别有100，200，300，400个，为挑选优秀团队，现用分层抽样的方法，从以上团队中抽取20个团队。

(1)应从大三抽取多少个团队?

(2)将20个团队分为甲、乙两组，每组10个团队，进行理论和实践操作考试，甲组的分数如下：

甲：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142

从甲组中不低于140分的团队中任取两个团队，求至少有一个团队为144分的概率。

21.(12分)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点。

(1)求证：PA⊥BD；

(2)当PA//平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积。

22.(12分)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且an2＋2an＝4Sn－1(n∈N*)。

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的取值范围。

岑溪市2020年秋季学期期中考试

高中二年级数学科参考答案

一、选择题：

1．【答案】C

【解析】集合，，．故选：．

2．【答案】B

【解析】由等差数列的性质得，因为，，所以，选B．

3．【答案】A

【解析】∵角θ的终边过点(4，－3)，∴cos θ＝. 故选A.

4．【答案】D

【解析】直线过点，斜率为，所以直线的方程为．

5．【答案】A

【解析】是偶函数且有无数多个零点，为奇函数，既不是奇函数又不是偶函数，是偶函数但没有零点．故选A．

6．【答案】D

7．【答案】B

【解析】根据图象可知，，

所以，

由图象可知，

由于，所以.

所以.故选：B

8．【答案】C

【解析】取特殊值可排除A、B、D，由均值不等式可得．

9．【答案】C

【解析】（1）中相邻的两个编号为053，098，则样本组距为样本容量为

则对应号码数为

当时，最大编号为，不是，故（1）错误

（2）甲组数据的方差为5，乙组数据为5、6、9、10、5，则

乙组数据的方差为

那么这两组数据中较稳定的是乙，故（2）错误

（3）若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，故错误

（4）按3:1:2的比例进行分层抽样调查，若抽取的A种个体有15个，

则样本容量为，故正确

综上，故正确的个数为1。故选

10．【答案】D

【解析】

11．【答案】B

【解析】设，因为，所以

因此最大值为两圆心距离加上两圆半径，即为  故选：B

12．【答案】B

【解析】中, ,又,由,得中, ,故选B.

二、填空题

13．【答案】2

【解析】作出可行域如图所示，

目标函数转化为直线，为直线的纵截距，

数形结合知当直线过点时纵截距取得最小值，此时z取得最小值2.

故答案为：2

14．【答案】

【解析】因为，则.

15．【答案】

【解析】根据题意,

由正弦定理可得

则,所以答案为。

16．【答案】

【解析】

，

 当且仅当时的面积取到最大值为. 

三、解答题

17．【解析】（1）由，，

可知是以2为首项，2为公比的等比数列，           ..  2分

所以．                                        ..  4分

（2）由（Ⅰ）知，，                           ..  5分

故                    ①

，     ② .. 7分

①—② 得.. ..  9分

所以．                             .. 10分

18．【解析】　(1)∵(3－1)2＋(1－2)2>4，∴M在圆外，             .. 1分

当过点M的直线斜率不存在时，易知直线x＝3与圆相切．           .. 2分

当直线的斜率存在时，设直线的方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y－3k＋1＝0，      3分

∵直线与圆相切，∴＝2，解之得k＝，           .. 5分

∴切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.                  .. 6分

∴所求的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.                      .. 7分

(2)圆心到直线的距离d＝，又l＝2，r＝2，                .. 9分

∴由r2＝d2＋()2，可得a＝－.                                .. 12分

19．【解析】

（1）因为，，由正弦定理可得  . 4分

（2）若，则，，                           .. 5分

，又由可得，             ..7分

， .. 9分

．               .. 11分

20．【解析】（1）由题知，大三团队个数占总团队数的，  .. 2分

则用分层抽样的方法，应从大三中抽取个团队.      .. 4分

（2）不低于140分的团队共5个，其中140分的团队有3个，分别为，，，144分的团队有2个，分别为，，                                         .. 6分

则任取两个的情况有，，，，，，，，，，共10个，                                           .. 8分

其中两个团队都是140分的情况有，，，共3个.  ..10分

故所求概率.                                    .. 12分

21．【解析】（1）因为，，所以平面， .. 2分

又因为平面，所以．                     ..4分

（2）因为平面，平面平面，所以． . 6分

因为，为的中点，

所以，，．         .. 8分

由（Ⅰ）知，平面，所以平面．       .. 10分

所以三棱锥的体积．  .. 12分

22．【解析】（1）当时，由，得，得， . 1分

由，得，              

两式相减，得，                    .. 2分

即，

即                                 ..3分

因为数列各项均为正数，所以，所以

所以数列是以为首项，为公差的等差数列                 4分

因此，，

即数列的通项公式为                            5分

（2）由（1）知，所以，          .. 6分

所以，.. 7分

所以，

，                                      .. 8分

令，则，

..10分

所以是单调递增数列，数列递增，所以，又，  11分

所以的取值范围为                                 12分