2021-2022学年广西梧州市岑溪市高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年广西梧州市岑溪市高二下学期期中考试数学（文）试题

一、单选题

1．若集合M＝{－1，0，1}，集合N＝{0，1，2}，则M∪N＝(       )

A．{0，1} B．{－1，0，1} C．{0，1，2} D．{－1，0，1，2}

【答案】D

【分析】根据集合的并集运算方法计算即可.

【详解】∵M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，

∴M∪N＝{－1，0，1，2}.

故选：D.

2．（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由复数运算法则直接求解即可.

【详解】.

故选：A.

3．已知向量，，“”是“或”的（       ）条件.

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充分必要 D．既不充分也不必要

【答案】B

【分析】分别判断充分性和必要性即可.

【详解】由题意，由或可得，

由还可得到非零向量，满足．

故向量是或的必要不充分条件．

故选：B.

4．要得到函数的图象，只要将函数的图象（     ）

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

【答案】B

【分析】根据图象平移的规律“左加右减”即可判断

【详解】对于A

将的图象向左平移个单位即可得到函数的图象，

所以A错误

对于B

所以将的图象向右平移个单位即可得到函数的图象

所以B正确

对于C

将的图象向左平移个单位即可得到函数的图象

所以C错误

对于D将的图象向右平移个单位即可得到函数的图象

所以D错误

故选：B

5．已知等差数列满足，，则（       ）

A．0 B．1 C．2 D．2023

【答案】B

【分析】先求得公差，由此求得.

【详解】设等差数列的公差为，

则，

所以.

故选：B

6．双曲线的一条渐近线的倾斜角为60°，则C的离心率为（       ）

A．2 B． C．3 D．

【答案】D

【分析】由题可得，即可求出离心率.

【详解】由已知一条渐近线的倾斜角为60°，可得渐近线斜率，

∴，故.

故选：D.

7．已知函数为R上的奇函数，当时，，则等于（       ）

A． B． C．1 D．3

【答案】C

【分析】根据以及可求出结果.

【详解】因为函数为R上的奇函数，当时，，

所以．

而，∴．

故选：C．

8．如图，在正方体中，为的中点，则过点，，的平面截正方体所得的截面的侧视图（阴影部分）为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】作出截面，然后可得答案.

【详解】如图，过点，，的平面截正方体所得的截面为，所以侧视图为C.

故选：C

9．2022年第24届冬季奥林匹克运动会（即2022年北京冬季奥运会）的成功举办，展现了中国作为一个大国的实力和担当，“一起向未来”更体现了中国推动构建人类命运共同体的价值追求.在北京冬季奥运会的某个比赛日，某人欲在冰壶（●）、冰球（●）、花样滑冰（）、跳台滑雪（）、自由式滑雪（）这5个项目随机选择2个比赛项目现场观赛（注：比赛项目后括号内为“●”表示当天不决出奖牌的比赛，“”表示当天会决出奖牌的比赛），则所选择的2个观赛项目中最多只有1项当天会决出奖牌的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用列举法求解，先列出这5个项目随机选择2个比赛项目的所有情况，再找出所选择的2个观赛项目中最多只有1项当天会决出奖牌的情况，然后根据古典型的概率公式求解即可

【详解】分别为表示冰壶（●）、冰球（●）、花样滑冰（）、跳台滑雪（）、自由式滑雪（）这5个项目，则这5个项目随机选择2个比赛项目的所有情况有：

，共10种，

其中所选择的2个观赛项目中最多只有1项当天会决出奖牌的有：，共7种，

所以所选择的2个观赛项目中最多只有1项当天会决出奖牌的概率为，

故选：D

10．设实数x，y满足，则的最小值为（       ）

A． B． C．4 D．2

【答案】C

【分析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解.

【详解】画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，

目标函数可化为直线，

当直线过点时，直线在轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值，

又由，解得，

所以目标函数的最小值为.

故选：C.

11．已知半径为2的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（       ）

A． B． C． D．3

【答案】B

【分析】先得到圆心的轨迹为圆，然后利用该圆的圆心到原点的距离减去该圆的半径可得解.

【详解】依题意，半径为2的圆经过点，

所以圆心的轨迹是以为圆心，半径为2的圆，

所以圆心到原点的距离的最小值为.

故选：B.

12．已知为球的球面上两点，过弦的平面截球所得截面面积的最小值为，且为等边三角形，则球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意可得，再根据为等边三角形可以得到球的半径，即可得到答案.

【详解】过弦的平面截球所得截面面积的最小值为，

则以为直径的截面面积为最小值，则

为等边三角形

球的半径为

则球的表面积为.

故选：D.

二、填空题

13．曲线的一条切线的方程为，则实数______．

【答案】9

【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，再根据切点即在在曲线上也在切线上建立方程求解即可.

【详解】设切点为，

因为，所以，

又，

所以，即，解得，

所以.

故答案为：

14．已知等比数列的前项和，则实数___________.

【答案】

【分析】由等比数列前n项和公式及已知条件，可得且，即可求k值.

【详解】由题设，易知等比数列的公比为，

根据等比数列前n项和公式，

∴.

故答案为：

15．函数的最小正周期为________．

【答案】

【分析】化简得到，进而求出最小正周期.

【详解】，所以最小正周期为，

故答案为：

16．已知点，抛物线的焦点为，准线为，线段交抛物线于点，过点作准线的垂线，垂足为.若，则______.

【答案】

【分析】由抛物线的定义，结合，得到点为线段的中点，从而求得点B的坐标，然后由点B在抛物线上求解.

【详解】如图所示：

由抛物线的定义可得，.

又，

所以点为线段的中点，

又因为点，

所以，又点B在抛物线上，

所以，

解得.

故答案为：

三、解答题

17．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

(1)求A；

(2)若，的周长为6，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理边化角可求出；

（2）根据周长得到，再根据余弦定理可求出，然后由三角形的面积公式可得结果.

【详解】(1)∵，

∴由正弦定理得：，

∴，

∵，∴，

∵，∴.

(2)∵的周长为6，得，

由余弦定理得：.

可得，即.解得，

∴，

所以的面积为.

18．“冰雪为媒，共赴冬奥之约”！第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日于20日在北京举行，共有91个国家的代表团参加.各国运动员在赛场上全力以赴、奋勇争先，为我们带来了一场冰与雪的视觉盛宴.本届奥运会前，为了分析各参赛国实力与国家所在地区（欧洲/其它）之间的关系，某体育爱好者统计了近年相关冰雪运动赛事（奥运会、世锦寒等）中一些国家斩获金牌的次数，得到如下茎叶图.

(1)计算并比较茎叶图中“欧洲地区”国家和“其它地区”国家获金牌的平均次数（记为）和方差（记为，保留一位小数），判断是否能由此充分地得出结论“欧洲国家的冰雪运动实力强于其它国家”，说明你的理由.

(2)记图中斩获金牌次数大于70的国家为“冰雪运动强国”，请按照图中数据补全2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为一个国家是否为“冰雪运动强国”与该国家所在地区（欧洲/其它）有关（假设该样本可以反映总体情况）.

附：，其中.

【答案】(1)答案见解析

(2)列联表见解析，没有

【分析】（1）由茎叶图及平均值的定义计算，再由方差的定义计算，据此作出结论，说明理由即可；

（2）根据所给数据列出2×2列联表，计算，与所给参考数据比较得出结论.

【详解】(1)由茎叶图中数据，得

由此可见（开放式问题，能够做出判断并自圆其说即可）：

（例）.可以得出结论“欧洲国家的冰雪运动实力强于其他国家”，因为，这足以说明欧洲国家的实力更强劲、发挥更稳定；

.不可以得出结论“欧洲国家的冰雪运动实力强于其它国家”，因为条件不足，无法判定这个样本是否足以反映整体的情况，利用平均值和方差进行分析未必客观；

.不可以得出结论“欧洲国家的冰雪运动实力强于其它国家”，因为样本中欧洲国家的数量少于其他国家的数量，就可能存在图中的数据本就来自于实力较强的欧洲国家的情况.

(2)由题意得2×2列联表如下：

由独立性检验，的观测值，

所以没有97.5%的把握认为一个国家是否为“冰雪运动强国”与该国家所在地区（欧洲/其它）有关.

19．如图所示的四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面平面ABCD，点O，M，E分别是AD，PC，BC的中点，，．

(1)求证：平面；

(2)求三棱锥的体积．

【答案】(1)证明见详解

(2)

【分析】(1)根据给定条件证得及即可推理作答.

(2)由给定条件可得点到平面的距离是点到平面的距离的，再借助三棱锥等体积法转化求解即得.

【详解】(1)在中，，为的中点，则，又平面平面，

平面平面，平面，于是得平面，

而平面，则，又底面是正方形，，分别是，的中点，即，

因，平面，

所以平面.

(2)因为的中点，则点到平面的距离是点到平面的距离的，如图，

因此，，

所以三棱锥的体积为.

20．已知椭圆的离心率为，点为椭圆C上一点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过且斜率存在的直线AB交椭圆C于A、B两点，记，若t的最大值和最小值分别为、，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将点的坐标代入椭圆方程，结合离心率和可求出，即可得解；

（2）设直线AB的方程为，设点，，联立直线和椭圆方程，根据韦达定理得到，，利用，求出，再根据判别式法求出和，再相加即可得解.

【详解】(1)椭圆的离心率，又，∴.

∵椭圆经过点，所以，解得，

∴椭圆C的方程为.

(2)设直线AB的方程为，设点，，

由消去并整理得.

因为点在椭圆内部，则，

由韦达定理可得：，（），

，，

则

∴，

整理得：，

即，，

若，可得，此时；

若，即当时，则，

整理可得，解得，

所以，，

所以.

21．已知函数（为常数）的图象与y轴交于点，曲线在点处切线斜率为.

(1)求的值及函数的极值；

(2)当时，证明恒成立.

【答案】(1)，极小值为，无极大值

(2)证明见解析

【分析】（1）根据导数的几何意义求出的值，再利用导数可求出函数的极值；

（2）构造函数，，求导，再构造函数，利用导数得到的单调性，得到恒成立，从而可证不等式恒成立.

【详解】(1)因函数（为常数）的图象与轴交于点，则，

求导得，依题意，，则，

即，，

当时，，当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，取极小值，无极大值.

(2)设函数，，因此，

令，，则，

则当时，，当时，，

于是得在上单调递增，在上单调递减，

所以对，，

所以，当时，，所以，

函数在上单调递增，则有，

即当时，不等式恒成立．

22．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线M的极坐标方程为，直角坐标系中曲线N的参数方程为（为参数，）.

(1)求曲线M的直角坐标方程；

(2)设曲线M与直角坐标系xOy的x轴和y轴分别交于点A和点B（A、B都异于原点O），点C为曲线N上的动点.求面积的最大值.

【答案】(1)

(2)3

【分析】（1）利用公式代入可得结果；

（2）求出的坐标，，直线的方程，设，，利用点到直线距离公式求出点到直线的距离，并利用两角和的余弦公式求出最大值，可得面积的最大值.

【详解】(1)曲线M的极坐标方程，即，

把代入化简得，

所以曲线M的直角坐标方程是：.

(2)由（1）及已知，得，，，

直线AB方程为：，即，

依题意，设，，点C到直线AB的距离d，

，

而，

因此，当时，即时，，

所以面积的最大值是.

23．已知函数.

(1)求函数的最小值；

(2)若正数m，n，p满足，判断是否存，使得，若存在，请给出一组m，n的值，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)6

(2)不存在，理由见解析

【分析】（1）分类讨论取绝对值，利用单调性求出最小值，即可得解；

（2）由（1）问知，利用基本不等式并结合得到，从而可得，故不存在符合条件的.

【详解】(1)因为，

故在上为减函数，在为增函数，

故，故.

(2)由（1）问知，

则，故，

而，故.

当且仅当时等号成立，故不存在m，，使得.