2022-2023学年辽宁省锦州市高一上学期期末考试数学试题含解析

这是一份2022-2023学年辽宁省锦州市高一上学期期末考试数学试题含解析，共26页。试卷主要包含了 已知向量，，且，则为， 若，则， 已知，则下列不等式中成立的是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据韦恩图确定集合的运算关系为，在根据补集与交集的运算即可得答案.
【详解】集合，，韦恩图中表示的集合为，
则或，所以.
故选：B.
2. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数函数与指数函数的性质，并借助中间值即可比较大小.
【详解】由题可知，，，故，，的大小关系为.
故选：D
3. 甲、乙、丙3位同学每位同学都要从即将开设的3门校本课程中任选一门学习，则他们选择的校本课程各不相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用古典概型的概率公式即可求解.
【详解】甲，乙，丙3位同学从开设的3门校本课程中任选一门参加的事件数为，
甲，乙，丙3位同学参加的校本课程各不相同的事件数为，
故所求概率为
故选：A
4. 降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度随开窗通风换气时间的关系如图所示，则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接图上的点，利用直线的斜率与平均变化率的定义判断即可；
【详解】如图分别令、、、、、、所对应的点为,
所以内空气中微生物密度变化的平均速度最快；
故选：B
5. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足关系式，其中星等为的星的亮度为．已知牛郎星的星等是0.75，织女星的星等是0，则牛郎星与织女星的亮度的比值为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题目中所给公式直接计算可得.
【详解】因为，所以．
故选：B
6. 已知向量，，且，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出、的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，求出参数的值，最后根据向量模的坐标表示计算可得.
【详解】因为，，所以，
，
又，所以，解得，
所以，则.
故选：A
7. 分别抛掷3枚质地均匀的硬币，设事件“至少有2枚正面朝上”，则与事件M相互独立的是（ ）
A. 3枚硬币都正面朝上B. 有正面朝上的，也有反面朝上的
C. 恰好有1枚反面朝上D. 至多有2枚正面朝上
【答案】B
【解析】
【分析】由已知运用列举法列出样本空间，事件M、选项A、B、C、D的事件，再利用古典概率公式和检验事件独立性的概率公式逐一检验可得选项.
【详解】解：样本空间为{（正，正，正），（正，正，反）．（正，反，正）．（正，反，反），（反，正，正）（反，正，反）（反，反，正）．（反，反，反）}，
而事件{（正，正，正），（正，正，反）．（正，反，正），（反，正，正）}，设“有正面朝上的，也有反面朝上的”，
对于A选项：设事件{（正，正，正）}．
∴，，，
∴，事件A与M不相互独立，故A不正确；
对于B选项：设事件{（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正）}．
∴，，，
∴，事件B与M相互独立，故B正确；
对于C选项：设事件{（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）}．
∴，，，
∴，事件C与M不相互独立，故C不正确；
对于D选项：设事件{（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}．
∴，，，
∴，事件D与M不相互独立，故D不正确；
故选：B.
8. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造函数，由其单调性可得，结合选项可得答案.
【详解】令，因为为增函数，为减函数，所以为减函数；
因为，所以，所以.
由于与1无法确定大小，所以A,B均不正确；
因为，所以，所以，C正确，D不正确；
故选：C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知，则下列不等式中成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用不等式的性质可得A,B正误，利用特值可得C的正误，利用作差比较法可得D的正误.
【详解】对于A，因为，所以，所以，A正确；
对于B，因为，所以，B错误；
对于C，当，，C错误；
对于D，，
因为，所以，，所以，即，D正确.
故选：AD.
10. 为了解某地区经济情况，对该地区家庭年收入进行抽样调查，将该地区家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
则下列结论正确的是（ ）
A. 图中的值是0.16
B. 估计该地区家庭年收入的中位数为7.5万元
C. 估计该地区家庭年收入的平均值不超过7万元
D. 估计该地区家庭年收入不低于9.5万元的农户比例为20%
【答案】BD
【解析】
【分析】根据频率分布直方图频率和为1即可求,可结合选项逐一计算中位数,平均值以及所占的比重判断得解.
【详解】对于A， 根据频率分布直方图频率和为1,得，故A错误；
对于B，设该地农户家庭年收入的中位数为万元，
则，即，则中位数是，故B正确;
对于C，该地农户家庭年收入的平均值为
，故C错误；
对于D，设该地家庭年收入不低于9.5万元的农户比例为
，故D正确；
故选：BD.
11. 关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（ ）
A. B. 0C. 1D. 5
【答案】ABD
【解析】
【分析】由方程有意义可得且，并将方程化为；根据方程解集中仅含有一个元素可分成三种情况，由此可解得所有可能的值.
【详解】由已知方程得：，解得：且；
由得：；
若的解集中只有一个元素，则有以下三种情况：
①方程有且仅有一个不为和的解，，解得：，
此时的解为，满足题意；
②方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；
由得：，，此时方程另一根为，满足题意；
③方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；
由得：，，此时方程另一根为，满足题意；
综上所述：或或.
故选：ABD
12. 已知是函数的零点（其中为自然对数的底数），下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据给定条件确定所在区间，再逐一分析各个选项即可判断作答.
【详解】函数在上单调递增，而，，
而是方程的零点，则，即，A正确；
由得：，整理得：，B正确；
因，且在上单调递增,则有，C正确;
当，，则， D不正确.
故选：ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知命题：，为假命题，则实数的取值范围是______.
【答案】或
【解析】
【分析】利用给定条件为假命题，说明有解，结合二次函数图象可得答案.
【详解】因为，为假命题，所以有解，
所以，解得或.
故答案为：或
14. 某厂生产A，B两种充电电池.现采用分层随机抽样从某天生产的产品中抽取样本，并分别计算所抽取的A，B两种产品的样本可充电次数的均值及方差，结果如下：
则由20个产品组成的总样本的平均数为______；方差为______.
【答案】 ①. 204 ②. 28
【解析】
【分析】结合平均数与方差的概念推导即可求解.
【详解】设A产品可充电次数分别为：，A产品可充电次数平均数为，方差为，B产品可充电次数分别为，B产品可充电次数平均数为，方差为，则，，
即，，，
同理，，
即，
，
则20个产品组成的总样本的平均数：
，
方差为：
故答案为：204；28
15. 实数，满足，则的最小值是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据条件可得，代入，结合基本不等式求解.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当时，等号成立；
故答案为：.
16. 函数是定义在上的偶函数，且，若对任意两个不相等的正数，，都有，则不等式的解集为______.
【答案】
【解析】
【分析】设，则由可得，即在上单调递增，然后得出的奇偶性和取值情况，然后分、、三种情况解出不等式即可.
【详解】设，则由可得
所以，所以
所以可得在上单调递增
因为函数是定义在上的偶函数，
所以函数是定义在上的奇函数
因为，所以，
所以当或时，当或时，
所以
由可得当时，，，此时无解
当时，，，此时.
当时，，，所以
综上：不等式的解集为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数的定义域为集合，集合.
（1）若，求；
（2）“”是“”的充分不必要条件.求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先化简集合然后用并集的定义即可求解；
（2）利用题意可得到，然后列出对应不等式即可
【小问1详解】
由题意集合，
当时，，
所以
【小问2详解】
因为“”是“”的充分不必要条件，所以，
因为，，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
18. 为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.
（1）甲在比赛中恰好赢一轮的概率；
（2）从甲、乙两人中选1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
（3）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
【答案】（1）
（2）派甲参赛获胜的概率更大
（3）
【解析】
【分析】（1）根据独立事件的乘法公式计算即可；
（2）利用独立事件的乘法公式分别求出甲乙赢的概率，据此即可得出结论；
（3）先求出两人都没有赢得比赛，再根据对立事件的概率公式即可得解.
【小问1详解】
设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”，
“乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”，
则，，，相互独立，且，，，，
设“甲在比赛中恰好赢一轮”
则；
【小问2详解】
因为在两轮比赛中均胜出赢得比赛，则“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”，
所以，
，
因为，所以派甲参赛获胜的概率更大；
【小问3详解】
设“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”，
于“两人中至少有一人赢得比赛”，
由（2）知，，
所以，
，
所以.
19. 已知函数奇函数.
（1）求的值；
（2）判断在上的单调性，并证明；
（3）求关于的不等式的解集.
【答案】（1）6 （2）单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的定义即可求的值；
（2）判断函数在上为递增函数，利用单调性定义取值、作差、变形、定号、下结论即可证明单调性；
（3）结合函数的奇偶性与单调性，可将不等式转化为一元二次不等式即可得解集.
【小问1详解】
由函数是奇函数
所以即，
化简可得，解得.
【小问2详解】
函数在上单调递增，理由如下：
在上任取两个实数，，设，
则
因为，所以，所以，，，
所以，即，
所以在上单调递增.
【小问3详解】
由得，
由得，所以
又在上单调递增，在恒成立，
即，解得，
所以原不等式解集为.
20. 在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，设，.
（1）若，试用，和实数表示；
（2）试用，表示；
（3）在边上有点，使得，求证：，，三点共线.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】(1)根据向量加减法运算即可;
(2)根据向量的数量关系及向量加减法表示;
(3)应用向量共线且有公共点证明即可.
【小问1详解】
由题意，所以，
①
【小问2详解】
设，由，，
②
由①、②得，，
所以，解得，所以；
【小问3详解】
由，得，所以，
所以，因为与有公共点，所以，，三点共线.
21. 某学习小组在社会实践活动中，通过对某种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足（为正常数），该商品的日销售量（单位：个）与时间部分数据如下表所示：
已知第10天该商品的日销售收入为72元.
（1）求的值；
（2）给出以下二种函数模型：①，②，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式；
（3）求该商品的日销售收入（，）（单位：元）的最小值.
【答案】（1）2 （2）(，)
（3）64元
【解析】
【分析】(1)利用日销售收入等于日销售价格乘以日销售量列式计算即得.
(2)由表中数据知，当时间变化时，日销售量有增有减不单调，选择模型②，再从表中任取两组值列式计算即可.
(3)利用(2)的信息求出函数的解析式，再分段求出最值即可作答.
【小问1详解】
依题意，该商品的日销售收入，因第10天该商品的日销售收入为72元，
则，即，解得，
所以的值是2.
【小问2详解】
由表中数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，则选择模型，
从表中任取两组值，不妨令，解得，即，显然表中其它各组值均满足这个函数，
所以该函数的解析式为(，).
【小问3详解】
由(1)知， ，由(2)知，，
于是得，
当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最小值(元)，
当时，在上单调递减，当时，取得最小值(元)，
显然，则当，时，(元)，
所以该商品的日销售收入的最小值为64元.
22. 函数且，函数 .
（1）求的解析式；
（2）若关于的方程在区间上有实数根，求实数的取值范围；
（3）设的反函数为，，若对任意的，均存在，满足 ，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）直接根据解得即可；
（2）含有参数的方程有实数根，分离参数然后求得在上的值域即可；
（3）将问题转化为恒成立，然后根据参数的取值范围进行分类讨论，先求得的最大值，然后转化为恒成立问题即可
【小问1详解】
由，可得：
解得：
则有：
故的解析式为：
【小问2详解】
由，可得：
不妨设
则有：
又
则有：
故当时，取得最小值为；当时，取得最大值为
故
故实数的取值范围为：
【小问3详解】
的反函数为：
若对任意的，均存在，满足
则只需：恒成立
不妨设，则设
，则
在上可分如下情况讨论：
当时，，此时，不满足恒成立
当时，，此时只需：在上恒成立
则只需：在上恒成立
则只需：时，不等式成立
解得：，与矛盾；
当时，，此时，只需保证：
则只需：在上恒成立
当时，只需保证：当时，成立
则有：
解得：
又，故有：
当时，只需保证：当时，成立
此时解得：
又故有：
故当时，
综上所述，解得：实数的取值范围为：
【点睛】结论：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数 ， ， ，，则有：
（1）若 ，， 恒成立， ；
（2）若 ，， 能成立，项目
抽取产品数
样本均值
样本方差
A产品
8
210
4
B产品
12
200
4
(天)
5
10
15
20
25
30
(个)
55
60
65
70
65
60