05-专项综合全练(五)线段与角的有关计算-数学七年级上册人教版

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初中数学·人教版·七年级上册——专项综合全练(五)
专项综合全练（五） 线段与角的有关计算　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型一　与线段有关的计算
(一)利用线段中点及线段和差求线段的长
1.如图4-6-1,AB=10 cm,BC=6 cm,AD=6.5 cm,求CD的长.

图4-6-1








2.如图4-6-2,C、D是线段上两点,若AB=10 cm,BC=4 cm,且D是线段AC的中点,求BD的长.

图4-6-2









3.(2021四川成都天府新区期末)如图4-6-3所示,线段AB=16 cm,E为线段AB的中点,点C为线段EB上一点,且EC=3 cm,点D为线段AC的中点,求线段DE的长度.

图4-6-3




(二)利用方程思想求线段的长
4.如图4-6-4,B、C是线段AD上两点,且AB∶BC∶CD=3∶2∶5,E、F分别是AB、CD的中点,且EF=24,求线段AB、BC、CD的长.

图4-6-4







(三)利用整体思想求线段的长
5.如图4-6-5,点C为线段AB上一点,点M、N分别是AC、BC的中点.
(1)若AC=8 cm,CB=6 cm,求线段MN的长;
(2)若AC+BC=a cm,其他条件不变,求线段MN的长.

图4-6-5




(四)利用分类思想求线段的长
6.已知线段AB=8 cm,在直线AB上有一点C,且BC=4 cm,点M是线段AC的中点,求线段AM的长.










7.如图4-6-6,已知线段AB=4,延长AB到点C,使得AB=2BC,反向延长AB到点D,使AC=2AD.
(1)求线段CD的长;
(2)若Q为AB的中点,P为线段CD上一点,且BP=12BC,求线段PQ的长.

图4-6-6












8.已知点C在线段AB上,AC=2BC,点D,E在直线AB上,点D在点E的左侧,AB=15,DE=6,线段DE在线段AB上移动.
(1)如图4-6-7,当E为BC中点时,求AD的长;
(2)点F(异于A,B,C点)在线段AB上,AF=3AD,CF=3,求AD的长;

图4-6-7








(五)利用点的运动求线段的长
9.如图4-6-8,数轴上点A,B表示的有理数分别为-6,3,点P是射线AB上一个动点(不与点A,B重合).M是线段AP靠近点A的三等分点,N是线段BP靠近点B的三等分点.
(1)若点P表示的有理数是0,那么MN的长为　　　;若点P表示的有理数是6,那么MN的长为　　　; 
(2)点P在射线AB上运动(不与点A,B重合)的过程中,MN的长是否发生改变?若不改变,请写出求MN的长的过程;若改变,请说明理由.

图4-6-8







类型二　与角有关的计算
(一)利用角的平分线及角的和差求角度
10.如图4-6-9,已知∠AOB=80°,∠AOC=15°,OD是∠AOB的平分线,求∠DOC的度数.

图4-6-9







11.(2021北京东城期末)如图4-6-10,点O为直线AB上一点,∠BOC=36°,OD平分∠AOC,∠DOE=90°,求∠AOE的度数.

图4-6-10











(二)利用方程思想求角度
12.如图4-6-11所示,已知∠AOC=∠BOD=100°,且∠AOB∶∠AOD=2∶7,求∠BOC和∠COD的度数.

图4-6-11













13.如图4-6-12,OC平分∠AOB,∠AOD∶∠BOD=3∶5,
已知∠COD=15°,求∠AOB的度数.

图4-6-12





14.(2021四川成都成华期末)
(1)如图4-6-13①,∠AOC∶∠COD∶∠BOD=4∶2∶1,若∠AOB=140°,求∠BOC的度数;
(2)如图4-6-13②,∠AOC∶∠COD∶∠BOD=4∶2∶1,OP平分∠AOB,若∠AOB=β,求∠COP的度数(用含β的式子表示);
(3)如图4-6-13③,∠AOC=80°,∠BOD=20°,OE平分∠AOD,OF平分∠BOC,求∠EOF的度数.

图4-6-13







(三)利用整体思想求角的度数
15.如图4-6-14,OC是∠AOD的平分线,OE是∠DOB的平分线.
(1)如果∠AOB=130°,那么∠COE是多少度?
(2)如果∠COE=α,那么∠AOB是多少度?

图4-6-14






(四)利用分类思想求角度
16.已知:∠BOC在∠AOB的外部,OE平分∠AOB,OF平分∠BOC,OD平分∠AOC,∠AOE=30°,∠BOD=10°,试求∠COF的度数.











17.已知∠AOB=50°,过点O引射线OC,若∠AOC∶∠BOC=2∶3,OD平分∠AOB,求∠COD的度数.















(五)利用角的旋转求角度
18.点O是直线AB上的一点,∠COD=90°,射线OE平分∠BOC.
(1)如图4-6-15①,如果∠AOC=50°,依题意补全图形,写出求∠DOE度数的思路(不需要写出完整的推理过程);
(2)将OD绕点O顺时针旋转一定的角度得到图4-6-15②,使得OC在直线AB的上方,若∠AOC=α,其他条件不变,依题意补全图形,并求∠DOE的度数(用含α的式子表示);
(3)将OD绕点O继续顺时针旋转一周,回到图4-6-15①的位置.在旋转过程中,你发现∠AOC与∠DOE(0°≤∠AOC≤180°,0°≤∠DOE≤180°)之间有怎样的数量关系?请直接写出你的发现.

图4-6-15

















专项综合全练（五） 线段与角的有关计算
1.解析　因为AB=10 cm,BC=6 cm,所以AC=AB-BC=10-6=4 cm.
因为AD=6.5 cm,AC=4 cm,所以CD=AD-AC=6.5-4=2.5 cm.
2.解析　因为AB=10 cm,BC=4 cm,
所以AC=AB-BC=10-4=6 cm.
因为D是线段AC的中点,
所以CD=12AC=12×6=3 cm.
所以BD=BC+CD=4+3=7 cm.
3.解析　因为E为线段AB的中点,AB=16 cm,
所以AE=12AB=8 cm,
所以AC=AE+EC=11 cm,
因为点D为线段AC的中点,
所以CD=12AC=5.5 cm,
所以DE=CD-EC=5.5-3=2.5(cm).
4.解析　设AB=3x,BC=2x,CD=5x,则BE=32x,CF=52x,
因为EF=EB+BC+CF=24,所以32x+2x+52x=24,解得x=4,
所以AB=12,BC=8,CD=20.
5.解析　(1)因为点M,N分别是AC,BC的中点,AC=8 cm,CB=6 cm,所以CM=12AC=12×8=4 cm,CN=12BC=12×6=3 cm,
所以MN=CM+CN=4+3=7 cm.
(2)因为点M,N分别是AC,BC的中点,
所以CM=12AC,CN=12BC,
所以MN=CM+CN=12AC+12BC=12(AC+BC),
因为AC+BC=a cm,所以MN=12a cm.
6.解析　(1)当点C在线段AB上时,如图,

则AC=AB-BC=8-4=4(cm).
因为M是AC的中点,
所以AM=12AC=12×4=2(cm).
(2)当点C在线段AB的延长线上时,如图,

则AC=AB+BC=8+4=12(cm).
因为M是AC的中点,
所以AM=12AC=12×12=6(cm).
综上可得,线段AM的长是2 cm或6 cm.
7.解析　(1)因为AB=4,AB=2BC,
所以BC=2,所以AC=AB+BC=6,
因为AC=2AD,所以AD=3,所以CD=AC+AD=6+3=9.
(2)因为Q为AB的中点,所以BQ=12AB=2,
因为BP=12BC,所以BP=1,
当点P在B、C之间时,PQ=BP+BQ=2+1=3;
当点P在A、B之间时,PQ=BQ-BP=2-1=1.
综上,PQ的长为1或3.
8.解析　(1)因为AC=2BC,AB=15,所以BC=5,AC=10,
因为E为BC中点,所以CE=2.5,
因为DE=6,所以CD=3.5,
所以AD=AC-CD=10-3.5=6.5.
(2)当点F在点C的右侧时,如图,

因为CF=3,AC=10,所以AF=AC+CF=13,
所以AD=13AF=133;
当点F在点C的左侧时,如图,

因为AC=10,CF=3,所以AF=AC-CF=7,所以AD=13AF=73.
综上所述,AD的长为133或73.
9.解析　(1)6;6.
(2)MN的长不会发生改变,理由如下:
设点P表示的有理数是a(a>-6且a≠3).
当-6
因为M是线段AP靠近点A的三等分点,N是线段BP靠近点B的三等分点,
所以MP=23AP=23(a+6),NP=23BP=23(3-a),
所以MN=MP+NP=6;
当a>3时,如图,AP=a+6,BP=a-3,

因为M是线段AP靠近点A的三等分点,N是线段BP靠近点B的三等分点.
所以MP=23AP=23(a+6),NP=23BP=23(a-3),
所以MN=MP-NP=6.
综上所述,点P在射线AB上运动(不与点A,B重合)的过程中,MN的长为定值6.
10.解析　因为∠AOB=80°,OD是∠AOB的平分线,
所以∠AOD=∠BOD=40°,
因为∠AOC=15°,
所以∠DOC=40°-15°=25°.
11.解析　因为O为AB上一点,∠BOC=36°,
所以∠AOC=180°-∠BOC=180°-36°=144°,
因为OD平分∠AOC,
所以∠AOD=12∠AOC=12×144°=72°,
又因为∠DOE=90°,
所以∠AOE=∠DOE-∠AOD=90°-72°=18°.
12.解析　设∠AOB和∠AOD的度数分别为2x、7x,
由题意得,2x+100°=7x,
解得x=20°,
则∠AOB=40°,∠AOD=140°,
∠BOC=∠AOC-∠AOB=60°,
∠COD=∠BOD-∠BOC=40°.
13.解析　因为∠AOD∶∠BOD=3∶5,
所以设∠AOD=3x,则∠BOD=5x.
所以∠AOB=∠AOD+∠BOD=3x+5x=8x.
因为OC平分∠AOB,
所以∠AOC=12∠AOB=12×8x=4x.
所以∠COD=∠AOC-∠AOD=4x-3x=x.
因为∠COD=15°,所以x=15°.
所以∠AOB=8x=8×15°=120°.
14.解析　 (1)由∠AOC∶∠COD∶∠BOD=4∶2∶1,
设∠BOD=x°,则∠COD=2x°,∠AOC=4x°,
因为∠AOB=140°,所以x+2x+4x=140,
解得x=20,
所以∠BOD=20°,∠COD=40°,∠AOC=80°,
所以∠BOC=∠BOD+∠COD=20°+40°=60°.
(2)设∠BOD=y,则∠COD=2y,∠AOC=4y,
所以y+2y+4y=β,解得y=17β,
所以∠AOC=47β.
因为OP平分∠AOB,所以∠AOP=12β,
所以∠COP=47β-12β=114β.
(3)因为OF平分∠BOC,∠BOD=20°,
所以∠COF=12(∠BOD+∠COD)=10°+12∠COD,
因为OE平分∠AOD,∠AOC=80°,
所以∠AOE=12(∠AOC+∠COD)=40°+12∠COD,
所以∠COE=∠AOC-∠AOE=80°-40°+12∠COD=40°-12∠COD,
所以∠EOF=∠COE+∠COF=40°-12∠COD+10°+12∠COD=50°.
15.解析　因为OC是∠AOD的平分线,
所以∠COD=12∠AOD.
因为OE是∠BOD的平分线,
所以∠DOE=12∠BOD.
所以∠COD+∠DOE=12∠AOD+12∠BOD=12(∠AOD+∠BOD).
因为∠COD+∠DOE=∠COE,∠AOD+∠BOD=∠AOB,
所以∠COE=12∠AOB.
(1)因为∠AOB=130°,
所以∠COE=65°.
(2)因为∠COE=α,所以∠AOB=2∠COE=2α.
16.解析　①如图,

因为OE平分∠AOB,∠AOE=30°,∠BOD=10°,
所以∠AOD=30°+30°+10°=70°,
因为OD平分∠AOC,所以∠COD=∠AOD=70°,
因为OF平分∠BOC,所以∠COF=(70°+10°)÷2=40°.
②如图,

因为OE平分∠AOB,∠AOE=30°,∠BOD=10°,
所以∠AOD=30°+30°-10°=50°,
因为OD平分∠AOC,所以∠COD=∠AOD=50°,
因为OF平分∠BOC,所以∠COF=(50°-10°)÷2=20°.
综上所述,∠COF的度数是40°或20°.
17.解析　①如图,当射线OC在∠AOB的内部时,

设∠AOC、∠COB的度数分别为2x、3x,则∠AOB=2x+3x=5x=50°,所以x=10°,所以∠AOC=2x=20°,
又因为∠AOD=12∠AOB=12×50°=25°,
所以∠COD=∠AOD-∠AOC=25°-20°=5°.
②如图,当射线OC在∠AOB的外部时,

设∠AOC、∠COB的度数分别为2y、3y,则∠AOB=3y-2y=y=50°,
所以∠AOC=2y=100°,又因为∠AOD=25°,
所以∠COD=∠AOC+∠AOD=100°+25°=125°.
综上所述,∠COD的度数为5°或125°.
18.解析　(1)补全图形如图所示.

解题思路如下:
由∠AOC+∠BOC=180°,∠AOC=50°,得∠BOC=130°;
由OE平分∠BOC,得∠COE=65°;
由∠COD=90°,∠COE=65°,得∠DOE=25°.
(2)补全图形如图所示.

因为∠AOC=α,所以∠BOC=180°-α,
因为射线OE平分∠BOC,
所以∠COE=12∠BOC=90°-12α,
因为∠COD=90°,所以∠DOE=90°-∠COE=α2.
(3)∠AOC与∠DOE之间的数量关系为∠DOE=12∠AOC或∠DOE=180°-12∠AOC.