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人教版 (2019)选择性必修 第一册3 简谐运动的回复力和能量导学案
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这是一份人教版 (2019)选择性必修 第一册3 简谐运动的回复力和能量导学案，共16页。
一、简谐运动的回复力
1．回复力
(1)定义：使振动物体回到平衡位置的力．
(2)方向：总是指向平衡位置．
(3)表达式：F＝－kx.
2．简谐运动
如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动．
二、简谐运动的能量
1．能量转化
弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程．
(1)在最大位移处，势能最大，动能为零．
(2)在平衡位置处，动能最大，势能最小．
2．能量特点
在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型．
1．判断下列说法的正误．
(1)简谐运动的回复力F＝－kx公式中的k为弹簧的劲度系数，是由弹簧的性质决定的．( × )
(2)小球做简谐运动，它的位移方向和加速度的方向相反．( √ )
(3)水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为零，因此能量也为零．( × )
(4)回复力的大小与速度的大小无关，速度增大时，回复力可能增大，也可能减小．( × )
(5)同一简谐运动中的能量由平衡位置的速度决定，若经过平衡位置的速度不变，则振动系统的能量不变．( × )
2．如图1所示的弹簧振子，O为平衡位置，B、C为最大位移位置，以向右的方向为正方向，则振子从B运动到O的过程中，位移方向为________，大小逐渐________；回复力方向为________，大小逐渐________；振子速度方向为________，大小逐渐________；动能逐渐________；势能逐渐________．(均选填“正”“负”“增大”或“减小”)
图1
答案 正 减小 负 减小 负 增大 增大 减小
一、简谐运动的回复力
导学探究
如图2所示为水平方向的弹簧振子模型．
图2
(1)当振子离开O点后，是什么力使其回到平衡位置？
(2)使振子回到平衡位置的力与振子离开平衡位置的位移的大小及方向有何关系？
答案 (1)弹簧的弹力使振子回到平衡位置．
(2)弹簧弹力与位移大小成正比，方向与位移方向相反．
知识深化
1．回复力
(1)回复力的方向总是指向平衡位置，回复力为零的位置就是平衡位置．
(2)回复力的性质
回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供．它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力．例如：如图3甲所示，水平方向的弹簧振子，弹簧弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹簧弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，m随M一起振动，m的回复力由静摩擦力提供．
图3
2．回复力公式：F＝－kx.
(1)k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数．其值由振动系统决定，与振幅无关．
(2)“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反．
3．简谐运动的加速度
由F＝－kx及牛顿第二定律F＝ma可知：a＝－eq \f(k,m)x，加速度a与位移x的大小成正比，方向与位移方向相反．
4．物体做简谐运动的判断方法
(1)简谐运动的回复力满足F＝－kx；
(2)简谐运动的振动图像是正弦曲线．
(2020·沈阳市铁路实验中学高二下期中)如图4所示，弹簧振子B上放一个物块A，在A与B一起做简谐运动的过程中，下列关于A受力的说法中正确的是( )
图4
A．物块A受重力、支持力及B对它施加的大小和方向都随时间变化的摩擦力
B．物块A受重力、支持力及弹簧对它施加的大小和方向都随时间变化的弹力
C．物块A受重力、支持力及B对它施加的恒定的摩擦力
D．物块A受重力、支持力及弹簧对它施加的恒定的弹力
答案 A
解析 物块A受到重力、支持力和摩擦力的作用，重力和支持力二力平衡，摩擦力提供A做简谐运动所需的回复力，由F＝－kx知，摩擦力大小和方向都随时间变化，故A正确．
(多选)如图5所示，物体m系在两水平弹簧之间，弹簧劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然伸长状态，今向右拉动m，然后释放，物体在B、C间振动(不计阻力)，O为平衡位置，则下列判断正确的是( )
图5
A．m做简谐运动，OC＝OB
B．m做简谐运动，OC≠OB
C．回复力F＝－kx
D．回复力F＝－3kx
答案 AD
解析 以O点为原点，水平向右为x轴正方向，物体在O点右方x处时所受合力：F＝－(k1x＋k2x)＝－3kx，因此物体做简谐运动，由对称性可知，OC＝OB＝A，故A、D正确．
二、简谐运动的能量
导学探究
如图6所示为水平弹簧振子，振子在A、B之间往复运动．
图6
(1)从A到B的运动过程中，振子的动能如何变化？弹簧弹性势能如何变化？振动系统的总机械能是否变化？
(2)如果使振子振动的振幅增大，振子回到平衡位置的动能是否增大？振动系统的机械能是否增大？振动系统的机械能的大小与什么因素有关？
(3)实际的振动系统有空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？理想化的弹簧振动系统，忽略空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？
答案 (1)振子的动能先增大后减小 弹簧的弹性势能先减小后增大 总机械能保持不变
(2)振子回到平衡位置的动能增大 振动系统的机械能增大 振动系统的机械能与弹簧的劲度系数和振幅有关
(3)实际的振动系统，能量逐渐减小 理想化的弹簧振动系统，能量不变
知识深化
简谐运动的能量是指物体在经过某一位置时所具有的势能和动能之和．在振动过程中，势能和动能相互转化，机械能守恒．
1．简谐运动的能量由振动系统和振幅决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越大．
2．在简谐运动中，振动的能量保持不变，所以振幅保持不变，只要没有能量损耗，它将永不停息地振动下去．
3．在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化．物体的位移减小，势能转化为动能，位移增大，动能转化为势能．
如图7所示，一水平弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M.
图7
(1)简谐运动的能量取决于________，振子振动时动能和________相互转化，总机械能________．
(2)振子在振动过程中，下列说法中正确的是________．
A．振子在平衡位置，动能最大，弹性势能最小
B．振子在最大位移处，弹性势能最大，动能最小
C．振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小
D．在任意时刻，动能与弹性势能之和保持不变
(3)若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面，且m和M无相对滑动而一起运动，下列说法正确的是________．
A．振幅不变 B．振幅减小
C．最大动能不变 D．最大动能减小
答案 (1)振幅 弹性势能 守恒 (2)ABD (3)AC
解析 (1)简谐运动的能量取决于振幅，振子振动时动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒．
(2)振子在平衡位置两侧往复运动，在平衡位置处速度达到最大，动能最大，弹性势能最小，所以A正确；在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变量最大，弹性势能最大，所以B正确；振幅的大小与振子的位置无关，在任意时刻只有弹簧的弹力做功，故机械能守恒，所以C错误，D正确．
(3)振子运动到B点时速度恰为零，此时放上m，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变，选项A正确，B错误；由于机械能守恒，所以最大动能不变，选项C正确，D错误．
三、简谐运动中各物理量的变化
1．如图8所示为水平的弹簧振子示意图，振子运动过程中各物理量的变化情况如表所示．
图8
2.说明：(1)简谐运动中各个物理量对应关系不同．位置不同，则位移不同，加速度、回复力不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同．
(2)简谐运动中的最大位移处，F、a、Ep最大，Ek＝0；在平衡位置处，F＝0，a＝0，Ep＝0，Ek最大．
(3)位移增大时，回复力、加速度和势能增大，速度和动能减小；位移减小时，回复力、加速度和势能减小，速度和动能增大．
一质点做简谐运动的图像如图9所示，在0.1～0.15 s这段时间内，质点的( )
图9
A．加速度增大，速度变小，加速度和速度方向相同
B．加速度增大，速度变小，加速度和速度方向相反
C．加速度减小，速度变大，加速度和速度方向相同
D．加速度减小，速度变大，加速度和速度方向相反
答案 B
解析 由题图可知，在0.1～0.15 s这段时间内，位移为负且增大，质点沿负方向远离平衡位置，则加速度增大，速度减小，二者方向相反．故选B.
如图10所示是弹簧振子做简谐运动的振动图像，可以判定( )
图10
A．t1到t2时间内，系统的动能不断增大，势能不断减小
B．0到t2时间内，振子的位移增大，速度增大
C．t2到t3时间内，振子的回复力先减小再增大，加速度的方向一直沿x轴正方向
D．t1、t4时刻振子的动能、速度都相同
答案 A
解析 t1到t2时间内，x减小，弹力做正功，系统的动能不断增大，势能不断减小，A正确；0到t2时间内，振子的位移减小，速度增大，B错误；t2到t3时间内，振子的位移先增大再减小，所以回复力先增大再减小，C错误；t1和t4时刻振子的位移相同，即位于同一位置，其速度等大反向，但动能相同，D错误．
分析简谐运动中各物理量变化情况的技巧
1．分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，振动质点的回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化．另外，各矢量均在其值为零时改变方向．
2．分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性．位移相同时，回复力、加速度、动能、势能可以确定，但速度可能有两个方向，由于周期性，运动时间也不确定．
针对训练 如图11甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，以向右为正方向，由图可知下列说法中正确的是( )
图11
A．在t＝0.2 s时刻，弹簧振子运动到O位置
B．在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子的速度相同
C．从t＝0到t＝0.2 s的时间内，弹簧振子的动能持续地减小
D．在t＝0.2 s与t＝0.6 s两个时刻，弹簧振子的加速度相同
答案 C
解析 由题图知，t＝0时，弹簧振子位于平衡位置，则在t＝0.2 s时刻，弹簧振子运动到B位置，故A错；在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子的速度大小相等，方向相反，故B错；从t＝0到t＝0.2 s的时间内，弹簧振子的位移越来越大，弹簧的弹性势能越来越大，其动能越来越小，故C对；在t＝0.2 s与t＝0.6 s两个时刻，弹簧振子的加速度大小相等，方向相反，故D错．
1．(简谐运动的回复力)(多选)关于简谐运动的回复力，以下说法正确的是( )
A．简谐运动的回复力不可能是恒力
B．做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向总是相反
C．简谐运动中回复力的公式F＝－kx中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度
D．做简谐运动的物体每次经过平衡位置合力一定为零
答案 AB
解析 根据简谐运动的定义可知，物体做简谐运动时，受到的回复力为F＝－kx，k是比例系数，x是物体相对平衡位置的位移，回复力不可能是恒力，故A正确，C错误；物体的回复力方向总是指向平衡位置，与位移方向相反，根据牛顿第二定律，加速度的方向与合外力的方向相同，所以做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向总是相反，故B正确；做简谐运动的物体每次经过平衡位置回复力为零，但是合力不一定为零，故D错误．
2.(简谐运动的回复力)(多选)如图12所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，下列说法正确的是( )
图12
A．弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B．弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用
C．振子由A向O运动过程中，回复力逐渐增大
D．振子由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置
答案 AD
解析 弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力，回复力是根据效果命名的力，它是由物体受到的具体的力所提供的，在此情景中弹簧的弹力充当回复力，故A正确，B错误；回复力与位移的大小成正比，由A向O运动过程中位移的大小在减小，故此过程回复力逐渐减小，故C错误；回复力总是指向平衡位置，故D正确．
3．(简谐运动的能量)(2020·天津和平区期末)物体做简谐运动的过程中，下列说法正确的是( )
A．当物体的位移减小时，其速度和加速度的方向一定相同
B．当物体的速度变化最快时，其动能最大
C．当物体的加速度与速度反向时，其回复力正在减小
D．在物体的动能相等的两个时刻，其加速度相同
答案 A
解析 当物体的位移减小时，物体向平衡位置运动，速度的方向指向平衡位置，加速度的方向始终指向平衡位置，所以其速度和加速度的方向一定相同，故A正确；当物体的速度变化最快时，其加速度最大，物体处于最大位移处，速度为零，所以其动能也为零，故B错误；加速度方向始终指向平衡位置，当加速度与速度反向时，速度的方向指向最大位移处，位移增大，回复力增大，故C错误；动能相等的两个时刻，速度大小相等，位移不一定相同，其加速度也不一定相同，故D错误．
4.(简谐运动中各物理量的变化)(多选)一个弹簧振子做简谐运动的周期为T，设t1时刻振子不在平衡位置，经过一段时间到t2时刻，振子的速度与t1时刻的速度大小相等、方向相同，(t2－t1)图13
A．t2时刻振子的加速度一定跟t1时刻的加速度大小相等、方向相反
B．在t1～t2时间内，振子的加速度先减小后增大
C．在t1～t2时间内，振子的动能先增大后减小
D．在t1～t2时间内，弹簧振子的机械能先减小后增大
答案 ABC
解析 由题图可知t1、t2时刻振子的加速度大小相等，方向相反，A正确；在t1～t2时间内回复力先减小后增大，所以振子的加速度先减小后增大，B正确；在t1～t2时间内，振子的速度先增大后减小，所以动能先增大后减小，C正确；简谐运动的机械能守恒，D错误．
考点一 简谐运动的回复力
1．下列关于简谐运动回复力的说法正确的是( )
A．回复力是使物体回到平衡位置的力，它只能由物体受到的合外力来提供
B．回复力可以是物体所受到的某一个力的分力
C．回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相同
D．回复力的方向总是跟物体的速度方向相反
答案 B
解析 回复力是做简谐运动的物体所受到的指向平衡位置的力，不一定是合力，也可以是物体所受到的某一个力的分力，A错误，B正确；回复力的方向总是指向平衡位置，跟物体偏离平衡位置的位移方向相反，C错误；回复力的方向总是指向平衡位置，可能跟物体的速度方向相反，也可能跟物体的速度方向相同，D错误．
2．对于弹簧振子的回复力和位移的关系，下列图中正确的是( )
答案 C
解析 由简谐运动的回复力公式F＝－kx可知，C正确．
3．(多选)如图1所示，物体A与滑块B一起在光滑水平面上做简谐运动，A、B之间无相对滑动，已知水平轻质弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为m和M，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
图1
A．物体A的回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供的
B．滑块B的回复力是由弹簧的弹力提供的
C．物体A与滑块B(整体看成一个振子)的回复力大小跟位移大小之比为k
D．若A、B之间的动摩擦因数为μ，则A、B间无相对滑动的最大振幅为eq \f(μm＋Mg,k)
答案 ACD
解析 物体A做简谐运动时，回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供的，故A正确；滑块B做简谐运动的回复力是由弹簧的弹力和A对B的静摩擦力的合力提供的，故B错误；物体A与滑块B(整体看成一个振子)的回复力满足F＝－kx，则回复力大小跟位移大小之比为k，故C正确；当A、B之间的摩擦力达到最大静摩擦力时，其振幅最大，设为A，以整体为研究对象有：kA＝(M＋m)a，以物体A为研究对象，由牛顿第二定律得：μmg＝ma，联立解得A＝eq \f(μm＋Mg,k)，故D正确．
考点二 简谐运动的能量
4．把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，平衡位置为O，小球在A、B间振动，如图2所示．下列结论正确的是( )
图2
A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小
B．小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大
C．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功
D．小球在O位置时系统的总能量大于小球在B位置时系统的总能量
答案 A
解析 小球在平衡位置时动能最大，加速度为零，A正确；小球在A、B位置时，动能最小，加速度最大，B错误；小球靠近平衡位置时，回复力做正功，远离平衡位置时，回复力做负功，C错误；在小球振动过程中系统的总能量不变，D错误．
5.如图3所示为某个弹簧振子做简谐运动的振动图像，由图像可知( )
图3
A．在0.1 s时，由于位移为零，所以振动能量为零
B．在0.2 s时，振子具有最大势能
C．在0.35 s时，振子具有的能量尚未达到最大值
D．在0.4 s时，振子的动能最大
答案 B
解析 弹簧振子做简谐运动，振动能量不变，不为零，选项A错；在0.2 s时位移最大，振子具有最大势能，选项B对；弹簧振子的振动能量不变，在0.35 s时振子具有的能量与其他时刻相同，选项C错；在0.4 s时振子的位移最大，动能为零，选项D错．
6.(多选)在光滑斜面上的物块A被平行于斜面的轻弹簧拉住静止于O点，如图4所示．现将物块A沿斜面拉到B点无初速度释放，物块A在B、C范围内做简谐运动，则下列说法正确的是( )
图4
A．OB越长，振动能量越大
B．在振动过程中，物块A的机械能守恒
C．物块A与轻弹簧构成的系统的势能，当物块A在C点时最大，当物块A在O点时最小
D．物块A与轻弹簧构成的系统的势能，当物块A在C点时最大，当物块A在B点时最小
答案 AC
解析 做简谐运动的物体的能量跟振幅有关，对确定的振动系统，振幅越大，振动能量越大，A正确；在简谐运动中，系统机械能守恒，但物块A的重力势能与动能总和不断变化，物块A的机械能不守恒，B错误；在简谐运动中，系统在最大位移处势能最大，在平衡位置处动能最大，势能最小，C正确，D错误．
考点三 简谐运动中各物理量的变化
7.如图5所示为做简谐运动物体的振动图像，由图可知( )
图5
A．0～0.5 s时间内，物体的加速度从零变为正向最大
B．0.5～1.0 s时间内，物体所受回复力从零变为正向最大
C．1.0～1.5 s时间内，物体的速度从零变为正向最大
D．1.5～2.0 s时间内，物体的动量从零变为正向最大
答案 D
解析 0～0.5 s时间内，物体的位移x从零变为正向最大，根据牛顿第二定律可得：a＝－eq \f(kx,m)，则加速度从零变为负向最大，故A错误；0.5～1.0 s时间内，物体所受回复力从负向最大变为零，故B错误；1.0～1.5 s时间内，物体的速度从负向最大变为零，故C错误；1.5～2.0 s时间内，物体的速度从零变为正向最大，根据p＝mv可知物体的动量从零变为正向最大，故D正确．
8.如图6所示，在光滑水平面上有一质量为m的小物块与左端固定的轻质弹簧相连，构成一个水平弹簧振子，弹簧处于原长时小物块位于O点．现使小物块在M、N两点间沿光滑水平面做简谐运动，在此过程中( )
图6
A．小物块运动到M点时回复力与位移方向相同
B．小物块每次运动到N点时的加速度一定相同
C．小物块从O点向M点运动过程中做加速运动
D．小物块从O点向N点运动过程中机械能增加
答案 B
解析 根据F＝－kx可知小物块运动到M点时回复力与位移方向相反，故A错误；根据a＝－eq \f(kx,m)可知，小物块每次运动到N点时的位移相同，则加速度一定相同，故B正确；小物块从O点向M点运动过程中加速度方向与速度方向相反，做减速运动，故C错误；小物块从O点向N点运动过程中弹簧弹力对小物块做负功，小物块的机械能减小，故D错误．
9.(2021·石家庄市辛集中学月考)如图7所示是弹簧振子在0～0.4 s时间内做简谐运动的图像，由图像可知( )
图7
A．在0.25～0.3 s时间内，回复力越来越小
B．t＝0.7 s时刻，振子的速度最大
C．振子的动能和势能相互转化的周期为0.4 s
D．振子的动能和势能相互转化的周期为0.2 s
答案 D
解析 在0.25～0.3 s时间内，振子的位移增大，回复力越来越大，故A错误；由题图可知，该振子的周期为0.4 s，则振子在t＝0.7 s时的情形与t＝0.3 s时相同，且t＝0.3 s时，振子位移最大，可知在t＝0.7 s时刻振子的位移最大，速度为零，故B错误；动能与势能相互转化的周期等于简谐运动周期的一半，即0.2 s，故C错误，D正确．
10．一弹簧振子振幅为A，从最大位移处经过时间t0第一次到达平衡位置，若振子从平衡位置处经过时间eq \f(t0,3)时的加速度大小和动能分别为a1和E1，而振子位移为eq \f(A,3)时的加速度大小和动能分别为a2和E2，则a1、a2和E1、E2的大小关系为( )
A．a1>a2，E1a2，E1>E2
C．a1E2
答案 A
解析 振子从平衡位置向最大位移处运动时，振子做减速运动，并且加速度增大，所以经过时间eq \f(t0,3)通过的位移大于eq \f(A,3)，所以a1>a2，E111.(多选)如图8所示，一竖直放置的轻弹簧下端固定在水平地面上，质量为m的小球从弹簧正上方高为h处自由下落到弹簧上端A点，然后压缩弹簧到最低点C，若小球放在弹簧上可静止在B点，小球运动过程中空气阻力忽略不计，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
图8
A．B点位于AC连线中点的上方
B．B点位于AC连线中点的下方
C．小球在A点的回复力等于mg
D．小球在C点的回复力大于mg
答案 ACD
解析 小球放在弹簧上，可以静止于B点，知B点为平衡位置，若小球从A点由静止释放，平衡位置在A点和最低点的中点，而小球从弹簧的正上方自由下落，最低点需下移，但是平衡位置不变，可知B点位于AC连线中点的上方，故A正确，B错误；小球在A点所受弹力为零，则小球在A点所受的合力为mg，即回复力为mg，故C正确；若从A点静止释放，到达最低点时，加速度与A点对称，大小为g，但是C点所处的位置在A点关于平衡位置对称点的下方，则小球在C点的回复力大于mg，故D正确．
12.(2020·西安市铁一中期中)公路上匀速行驶的货车受到扰动，车上货物随车厢底板上下振动但不脱离底板．一段时间内货物在竖直方向的振动可视为简谐运动，周期为T.设竖直向上为正方向，以某时刻作为计时起点，其振动图像如图9所示，则( )
图9
A．t＝eq \f(1,4)T时，货物对车厢底板的压力最大
B．t＝eq \f(1,2)T时，货物对车厢底板的压力最小
C．t＝eq \f(3,4)T时，货物对车厢底板的压力最大
D．t＝eq \f(3,4)T时，货物对车厢底板的压力最小
答案 C
解析 要使货物对车厢底板的压力最大，则车厢底板对货物的支持力最大，要求货物向上的加速度最大，由振动图像可知在eq \f(3,4)T时，货物向上的加速度最大，则选项A错误，C正确；货物对车厢底板的压力最小，则车厢底板对货物的支持力最小，要求货物向下的加速度最大，由振动图像可知在eq \f(T,4)时，货物向下的加速度最大，则选项B、D错误．
13.如图10所示，轻弹簧的下端系着A、B两球，mA＝100 g，mB＝500 g，系统静止时弹簧伸长x＝15 cm，未超出弹性限度．若剪断A、B间细绳，则A在竖直方向做简谐运动．问：
图10
(1)A球的振幅为多大？
(2)A球的最大加速度为多大？(g取10 m/s2)
答案 (1)12.5 cm (2)50 m/s2
解析 (1)假设只挂A，静止时弹簧伸长量x1＝eq \f(mAg,k)，
由(mA＋mB)g＝kx，
得k＝eq \f(mA＋mBg,x)，
即x1＝eq \f(mA,mA＋mB)x＝2.5 cm.
则A球的振幅A＝x－x1＝12.5 cm.
(2)剪断细绳瞬间，A受最大弹力，合力最大，加速度最大．
F＝(mA＋mB)g－mAg＝mBg＝mAam，
则am＝eq \f(mBg,mA)＝50 m/s2.
14.如图11所示，倾角为α的斜面体(斜面光滑且足够长)固定在水平地面上，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为L的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块．压缩弹簧使其长度为eq \f(3,4)L时将物块由静止开始释放(物块做简谐运动)，重力加速度为g.
图11
(1)求物块处于平衡位置时弹簧的长度；
(2)物块做简谐运动的振幅是多少；
(3)选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标系，用x表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动．(已知做简谐运动的物体所受的回复力满足F＝－kx)
答案 (1)L＋eq \f(mgsin α,k) (2)eq \f(mgsin α,k)＋eq \f(L,4) (3)见解析
解析 (1)物块平衡时，受重力、支持力和弹簧的弹力．
根据平衡条件，有：mgsin α＝k·Δx
解得Δx＝eq \f(mgsin α,k)
故物块处于平衡位置时弹簧的长度为L＋eq \f(mgsin α,k).
(2)物块做简谐运动的振幅为A＝Δx＋eq \f(1,4)L＝eq \f(mgsin α,k)＋eq \f(L,4).
(3)物块到达平衡位置下方x位置时，弹力为
k(x＋Δx)＝k(x＋eq \f(mgsin α,k))
故合力为F＝mgsin α－k(x＋eq \f(mgsin α,k))＝－kx
故物块做简谐运动．振子的运动
A→O
O→A′
A′→O
O→A
位移
方向
向右
向左
向左
向右
大小
减小
增大
减小
增大
回复力
方向
向左
向右
向右
向左
大小
减小
增大
减小
增大
加速度
方向
向左
向右
向右
向左
大小
减小
增大
减小
增大
速度
方向
向左
向左
向右
向右
大小
增大
减小
增大
减小
振子的动能
增大
减小
增大
减小
弹簧的势能
减小
增大
减小
增大
系统总能量
不变
不变
不变
不变
一、简谐运动的回复力
1．回复力
(1)定义：使振动物体回到平衡位置的力．
(2)方向：总是指向平衡位置．
(3)表达式：F＝－kx.
2．简谐运动
如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动．
二、简谐运动的能量
1．能量转化
弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程．
(1)在最大位移处，势能最大，动能为零．
(2)在平衡位置处，动能最大，势能最小．
2．能量特点
在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型．
1．判断下列说法的正误．
(1)简谐运动的回复力F＝－kx公式中的k为弹簧的劲度系数，是由弹簧的性质决定的．( × )
(2)小球做简谐运动，它的位移方向和加速度的方向相反．( √ )
(3)水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为零，因此能量也为零．( × )
(4)回复力的大小与速度的大小无关，速度增大时，回复力可能增大，也可能减小．( × )
(5)同一简谐运动中的能量由平衡位置的速度决定，若经过平衡位置的速度不变，则振动系统的能量不变．( × )
2．如图1所示的弹簧振子，O为平衡位置，B、C为最大位移位置，以向右的方向为正方向，则振子从B运动到O的过程中，位移方向为________，大小逐渐________；回复力方向为________，大小逐渐________；振子速度方向为________，大小逐渐________；动能逐渐________；势能逐渐________．(均选填“正”“负”“增大”或“减小”)
图1
答案 正 减小 负 减小 负 增大 增大 减小
一、简谐运动的回复力
导学探究
如图2所示为水平方向的弹簧振子模型．
图2
(1)当振子离开O点后，是什么力使其回到平衡位置？
(2)使振子回到平衡位置的力与振子离开平衡位置的位移的大小及方向有何关系？
答案 (1)弹簧的弹力使振子回到平衡位置．
(2)弹簧弹力与位移大小成正比，方向与位移方向相反．
知识深化
1．回复力
(1)回复力的方向总是指向平衡位置，回复力为零的位置就是平衡位置．
(2)回复力的性质
回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供．它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力．例如：如图3甲所示，水平方向的弹簧振子，弹簧弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹簧弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，m随M一起振动，m的回复力由静摩擦力提供．
图3
2．回复力公式：F＝－kx.
(1)k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数．其值由振动系统决定，与振幅无关．
(2)“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反．
3．简谐运动的加速度
由F＝－kx及牛顿第二定律F＝ma可知：a＝－eq \f(k,m)x，加速度a与位移x的大小成正比，方向与位移方向相反．
4．物体做简谐运动的判断方法
(1)简谐运动的回复力满足F＝－kx；
(2)简谐运动的振动图像是正弦曲线．
(2020·沈阳市铁路实验中学高二下期中)如图4所示，弹簧振子B上放一个物块A，在A与B一起做简谐运动的过程中，下列关于A受力的说法中正确的是( )
图4
A．物块A受重力、支持力及B对它施加的大小和方向都随时间变化的摩擦力
B．物块A受重力、支持力及弹簧对它施加的大小和方向都随时间变化的弹力
C．物块A受重力、支持力及B对它施加的恒定的摩擦力
D．物块A受重力、支持力及弹簧对它施加的恒定的弹力
答案 A
解析 物块A受到重力、支持力和摩擦力的作用，重力和支持力二力平衡，摩擦力提供A做简谐运动所需的回复力，由F＝－kx知，摩擦力大小和方向都随时间变化，故A正确．
(多选)如图5所示，物体m系在两水平弹簧之间，弹簧劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然伸长状态，今向右拉动m，然后释放，物体在B、C间振动(不计阻力)，O为平衡位置，则下列判断正确的是( )
图5
A．m做简谐运动，OC＝OB
B．m做简谐运动，OC≠OB
C．回复力F＝－kx
D．回复力F＝－3kx
答案 AD
解析 以O点为原点，水平向右为x轴正方向，物体在O点右方x处时所受合力：F＝－(k1x＋k2x)＝－3kx，因此物体做简谐运动，由对称性可知，OC＝OB＝A，故A、D正确．
二、简谐运动的能量
导学探究
如图6所示为水平弹簧振子，振子在A、B之间往复运动．
图6
(1)从A到B的运动过程中，振子的动能如何变化？弹簧弹性势能如何变化？振动系统的总机械能是否变化？
(2)如果使振子振动的振幅增大，振子回到平衡位置的动能是否增大？振动系统的机械能是否增大？振动系统的机械能的大小与什么因素有关？
(3)实际的振动系统有空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？理想化的弹簧振动系统，忽略空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？
答案 (1)振子的动能先增大后减小 弹簧的弹性势能先减小后增大 总机械能保持不变
(2)振子回到平衡位置的动能增大 振动系统的机械能增大 振动系统的机械能与弹簧的劲度系数和振幅有关
(3)实际的振动系统，能量逐渐减小 理想化的弹簧振动系统，能量不变
知识深化
简谐运动的能量是指物体在经过某一位置时所具有的势能和动能之和．在振动过程中，势能和动能相互转化，机械能守恒．
1．简谐运动的能量由振动系统和振幅决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越大．
2．在简谐运动中，振动的能量保持不变，所以振幅保持不变，只要没有能量损耗，它将永不停息地振动下去．
3．在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化．物体的位移减小，势能转化为动能，位移增大，动能转化为势能．
如图7所示，一水平弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M.
图7
(1)简谐运动的能量取决于________，振子振动时动能和________相互转化，总机械能________．
(2)振子在振动过程中，下列说法中正确的是________．
A．振子在平衡位置，动能最大，弹性势能最小
B．振子在最大位移处，弹性势能最大，动能最小
C．振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小
D．在任意时刻，动能与弹性势能之和保持不变
(3)若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面，且m和M无相对滑动而一起运动，下列说法正确的是________．
A．振幅不变 B．振幅减小
C．最大动能不变 D．最大动能减小
答案 (1)振幅 弹性势能 守恒 (2)ABD (3)AC
解析 (1)简谐运动的能量取决于振幅，振子振动时动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒．
(2)振子在平衡位置两侧往复运动，在平衡位置处速度达到最大，动能最大，弹性势能最小，所以A正确；在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变量最大，弹性势能最大，所以B正确；振幅的大小与振子的位置无关，在任意时刻只有弹簧的弹力做功，故机械能守恒，所以C错误，D正确．
(3)振子运动到B点时速度恰为零，此时放上m，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变，选项A正确，B错误；由于机械能守恒，所以最大动能不变，选项C正确，D错误．
三、简谐运动中各物理量的变化
1．如图8所示为水平的弹簧振子示意图，振子运动过程中各物理量的变化情况如表所示．
图8
2.说明：(1)简谐运动中各个物理量对应关系不同．位置不同，则位移不同，加速度、回复力不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同．
(2)简谐运动中的最大位移处，F、a、Ep最大，Ek＝0；在平衡位置处，F＝0，a＝0，Ep＝0，Ek最大．
(3)位移增大时，回复力、加速度和势能增大，速度和动能减小；位移减小时，回复力、加速度和势能减小，速度和动能增大．
一质点做简谐运动的图像如图9所示，在0.1～0.15 s这段时间内，质点的( )
图9
A．加速度增大，速度变小，加速度和速度方向相同
B．加速度增大，速度变小，加速度和速度方向相反
C．加速度减小，速度变大，加速度和速度方向相同
D．加速度减小，速度变大，加速度和速度方向相反
答案 B
解析 由题图可知，在0.1～0.15 s这段时间内，位移为负且增大，质点沿负方向远离平衡位置，则加速度增大，速度减小，二者方向相反．故选B.
如图10所示是弹簧振子做简谐运动的振动图像，可以判定( )
图10
A．t1到t2时间内，系统的动能不断增大，势能不断减小
B．0到t2时间内，振子的位移增大，速度增大
C．t2到t3时间内，振子的回复力先减小再增大，加速度的方向一直沿x轴正方向
D．t1、t4时刻振子的动能、速度都相同
答案 A
解析 t1到t2时间内，x减小，弹力做正功，系统的动能不断增大，势能不断减小，A正确；0到t2时间内，振子的位移减小，速度增大，B错误；t2到t3时间内，振子的位移先增大再减小，所以回复力先增大再减小，C错误；t1和t4时刻振子的位移相同，即位于同一位置，其速度等大反向，但动能相同，D错误．
分析简谐运动中各物理量变化情况的技巧
1．分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，振动质点的回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化．另外，各矢量均在其值为零时改变方向．
2．分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性．位移相同时，回复力、加速度、动能、势能可以确定，但速度可能有两个方向，由于周期性，运动时间也不确定．
针对训练 如图11甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，以向右为正方向，由图可知下列说法中正确的是( )
图11
A．在t＝0.2 s时刻，弹簧振子运动到O位置
B．在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子的速度相同
C．从t＝0到t＝0.2 s的时间内，弹簧振子的动能持续地减小
D．在t＝0.2 s与t＝0.6 s两个时刻，弹簧振子的加速度相同
答案 C
解析 由题图知，t＝0时，弹簧振子位于平衡位置，则在t＝0.2 s时刻，弹簧振子运动到B位置，故A错；在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子的速度大小相等，方向相反，故B错；从t＝0到t＝0.2 s的时间内，弹簧振子的位移越来越大，弹簧的弹性势能越来越大，其动能越来越小，故C对；在t＝0.2 s与t＝0.6 s两个时刻，弹簧振子的加速度大小相等，方向相反，故D错．
1．(简谐运动的回复力)(多选)关于简谐运动的回复力，以下说法正确的是( )
A．简谐运动的回复力不可能是恒力
B．做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向总是相反
C．简谐运动中回复力的公式F＝－kx中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度
D．做简谐运动的物体每次经过平衡位置合力一定为零
答案 AB
解析 根据简谐运动的定义可知，物体做简谐运动时，受到的回复力为F＝－kx，k是比例系数，x是物体相对平衡位置的位移，回复力不可能是恒力，故A正确，C错误；物体的回复力方向总是指向平衡位置，与位移方向相反，根据牛顿第二定律，加速度的方向与合外力的方向相同，所以做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向总是相反，故B正确；做简谐运动的物体每次经过平衡位置回复力为零，但是合力不一定为零，故D错误．
2.(简谐运动的回复力)(多选)如图12所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，下列说法正确的是( )
图12
A．弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B．弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用
C．振子由A向O运动过程中，回复力逐渐增大
D．振子由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置
答案 AD
解析 弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力，回复力是根据效果命名的力，它是由物体受到的具体的力所提供的，在此情景中弹簧的弹力充当回复力，故A正确，B错误；回复力与位移的大小成正比，由A向O运动过程中位移的大小在减小，故此过程回复力逐渐减小，故C错误；回复力总是指向平衡位置，故D正确．
3．(简谐运动的能量)(2020·天津和平区期末)物体做简谐运动的过程中，下列说法正确的是( )
A．当物体的位移减小时，其速度和加速度的方向一定相同
B．当物体的速度变化最快时，其动能最大
C．当物体的加速度与速度反向时，其回复力正在减小
D．在物体的动能相等的两个时刻，其加速度相同
答案 A
解析 当物体的位移减小时，物体向平衡位置运动，速度的方向指向平衡位置，加速度的方向始终指向平衡位置，所以其速度和加速度的方向一定相同，故A正确；当物体的速度变化最快时，其加速度最大，物体处于最大位移处，速度为零，所以其动能也为零，故B错误；加速度方向始终指向平衡位置，当加速度与速度反向时，速度的方向指向最大位移处，位移增大，回复力增大，故C错误；动能相等的两个时刻，速度大小相等，位移不一定相同，其加速度也不一定相同，故D错误．
4.(简谐运动中各物理量的变化)(多选)一个弹簧振子做简谐运动的周期为T，设t1时刻振子不在平衡位置，经过一段时间到t2时刻，振子的速度与t1时刻的速度大小相等、方向相同，(t2－t1)
A．t2时刻振子的加速度一定跟t1时刻的加速度大小相等、方向相反
B．在t1～t2时间内，振子的加速度先减小后增大
C．在t1～t2时间内，振子的动能先增大后减小
D．在t1～t2时间内，弹簧振子的机械能先减小后增大
答案 ABC
解析 由题图可知t1、t2时刻振子的加速度大小相等，方向相反，A正确；在t1～t2时间内回复力先减小后增大，所以振子的加速度先减小后增大，B正确；在t1～t2时间内，振子的速度先增大后减小，所以动能先增大后减小，C正确；简谐运动的机械能守恒，D错误．
考点一 简谐运动的回复力
1．下列关于简谐运动回复力的说法正确的是( )
A．回复力是使物体回到平衡位置的力，它只能由物体受到的合外力来提供
B．回复力可以是物体所受到的某一个力的分力
C．回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相同
D．回复力的方向总是跟物体的速度方向相反
答案 B
解析 回复力是做简谐运动的物体所受到的指向平衡位置的力，不一定是合力，也可以是物体所受到的某一个力的分力，A错误，B正确；回复力的方向总是指向平衡位置，跟物体偏离平衡位置的位移方向相反，C错误；回复力的方向总是指向平衡位置，可能跟物体的速度方向相反，也可能跟物体的速度方向相同，D错误．
2．对于弹簧振子的回复力和位移的关系，下列图中正确的是( )
答案 C
解析 由简谐运动的回复力公式F＝－kx可知，C正确．
3．(多选)如图1所示，物体A与滑块B一起在光滑水平面上做简谐运动，A、B之间无相对滑动，已知水平轻质弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为m和M，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
图1
A．物体A的回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供的
B．滑块B的回复力是由弹簧的弹力提供的
C．物体A与滑块B(整体看成一个振子)的回复力大小跟位移大小之比为k
D．若A、B之间的动摩擦因数为μ，则A、B间无相对滑动的最大振幅为eq \f(μm＋Mg,k)
答案 ACD
解析 物体A做简谐运动时，回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供的，故A正确；滑块B做简谐运动的回复力是由弹簧的弹力和A对B的静摩擦力的合力提供的，故B错误；物体A与滑块B(整体看成一个振子)的回复力满足F＝－kx，则回复力大小跟位移大小之比为k，故C正确；当A、B之间的摩擦力达到最大静摩擦力时，其振幅最大，设为A，以整体为研究对象有：kA＝(M＋m)a，以物体A为研究对象，由牛顿第二定律得：μmg＝ma，联立解得A＝eq \f(μm＋Mg,k)，故D正确．
考点二 简谐运动的能量
4．把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，平衡位置为O，小球在A、B间振动，如图2所示．下列结论正确的是( )
图2
A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小
B．小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大
C．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功
D．小球在O位置时系统的总能量大于小球在B位置时系统的总能量
答案 A
解析 小球在平衡位置时动能最大，加速度为零，A正确；小球在A、B位置时，动能最小，加速度最大，B错误；小球靠近平衡位置时，回复力做正功，远离平衡位置时，回复力做负功，C错误；在小球振动过程中系统的总能量不变，D错误．
5.如图3所示为某个弹簧振子做简谐运动的振动图像，由图像可知( )
图3
A．在0.1 s时，由于位移为零，所以振动能量为零
B．在0.2 s时，振子具有最大势能
C．在0.35 s时，振子具有的能量尚未达到最大值
D．在0.4 s时，振子的动能最大
答案 B
解析 弹簧振子做简谐运动，振动能量不变，不为零，选项A错；在0.2 s时位移最大，振子具有最大势能，选项B对；弹簧振子的振动能量不变，在0.35 s时振子具有的能量与其他时刻相同，选项C错；在0.4 s时振子的位移最大，动能为零，选项D错．
6.(多选)在光滑斜面上的物块A被平行于斜面的轻弹簧拉住静止于O点，如图4所示．现将物块A沿斜面拉到B点无初速度释放，物块A在B、C范围内做简谐运动，则下列说法正确的是( )
图4
A．OB越长，振动能量越大
B．在振动过程中，物块A的机械能守恒
C．物块A与轻弹簧构成的系统的势能，当物块A在C点时最大，当物块A在O点时最小
D．物块A与轻弹簧构成的系统的势能，当物块A在C点时最大，当物块A在B点时最小
答案 AC
解析 做简谐运动的物体的能量跟振幅有关，对确定的振动系统，振幅越大，振动能量越大，A正确；在简谐运动中，系统机械能守恒，但物块A的重力势能与动能总和不断变化，物块A的机械能不守恒，B错误；在简谐运动中，系统在最大位移处势能最大，在平衡位置处动能最大，势能最小，C正确，D错误．
考点三 简谐运动中各物理量的变化
7.如图5所示为做简谐运动物体的振动图像，由图可知( )
图5
A．0～0.5 s时间内，物体的加速度从零变为正向最大
B．0.5～1.0 s时间内，物体所受回复力从零变为正向最大
C．1.0～1.5 s时间内，物体的速度从零变为正向最大
D．1.5～2.0 s时间内，物体的动量从零变为正向最大
答案 D
解析 0～0.5 s时间内，物体的位移x从零变为正向最大，根据牛顿第二定律可得：a＝－eq \f(kx,m)，则加速度从零变为负向最大，故A错误；0.5～1.0 s时间内，物体所受回复力从负向最大变为零，故B错误；1.0～1.5 s时间内，物体的速度从负向最大变为零，故C错误；1.5～2.0 s时间内，物体的速度从零变为正向最大，根据p＝mv可知物体的动量从零变为正向最大，故D正确．
8.如图6所示，在光滑水平面上有一质量为m的小物块与左端固定的轻质弹簧相连，构成一个水平弹簧振子，弹簧处于原长时小物块位于O点．现使小物块在M、N两点间沿光滑水平面做简谐运动，在此过程中( )
图6
A．小物块运动到M点时回复力与位移方向相同
B．小物块每次运动到N点时的加速度一定相同
C．小物块从O点向M点运动过程中做加速运动
D．小物块从O点向N点运动过程中机械能增加
答案 B
解析 根据F＝－kx可知小物块运动到M点时回复力与位移方向相反，故A错误；根据a＝－eq \f(kx,m)可知，小物块每次运动到N点时的位移相同，则加速度一定相同，故B正确；小物块从O点向M点运动过程中加速度方向与速度方向相反，做减速运动，故C错误；小物块从O点向N点运动过程中弹簧弹力对小物块做负功，小物块的机械能减小，故D错误．
9.(2021·石家庄市辛集中学月考)如图7所示是弹簧振子在0～0.4 s时间内做简谐运动的图像，由图像可知( )
图7
A．在0.25～0.3 s时间内，回复力越来越小
B．t＝0.7 s时刻，振子的速度最大
C．振子的动能和势能相互转化的周期为0.4 s
D．振子的动能和势能相互转化的周期为0.2 s
答案 D
解析 在0.25～0.3 s时间内，振子的位移增大，回复力越来越大，故A错误；由题图可知，该振子的周期为0.4 s，则振子在t＝0.7 s时的情形与t＝0.3 s时相同，且t＝0.3 s时，振子位移最大，可知在t＝0.7 s时刻振子的位移最大，速度为零，故B错误；动能与势能相互转化的周期等于简谐运动周期的一半，即0.2 s，故C错误，D正确．
10．一弹簧振子振幅为A，从最大位移处经过时间t0第一次到达平衡位置，若振子从平衡位置处经过时间eq \f(t0,3)时的加速度大小和动能分别为a1和E1，而振子位移为eq \f(A,3)时的加速度大小和动能分别为a2和E2，则a1、a2和E1、E2的大小关系为( )
A．a1>a2，E1
C．a1
答案 A
解析 振子从平衡位置向最大位移处运动时，振子做减速运动，并且加速度增大，所以经过时间eq \f(t0,3)通过的位移大于eq \f(A,3)，所以a1>a2，E1
图8
A．B点位于AC连线中点的上方
B．B点位于AC连线中点的下方
C．小球在A点的回复力等于mg
D．小球在C点的回复力大于mg
答案 ACD
解析 小球放在弹簧上，可以静止于B点，知B点为平衡位置，若小球从A点由静止释放，平衡位置在A点和最低点的中点，而小球从弹簧的正上方自由下落，最低点需下移，但是平衡位置不变，可知B点位于AC连线中点的上方，故A正确，B错误；小球在A点所受弹力为零，则小球在A点所受的合力为mg，即回复力为mg，故C正确；若从A点静止释放，到达最低点时，加速度与A点对称，大小为g，但是C点所处的位置在A点关于平衡位置对称点的下方，则小球在C点的回复力大于mg，故D正确．
12.(2020·西安市铁一中期中)公路上匀速行驶的货车受到扰动，车上货物随车厢底板上下振动但不脱离底板．一段时间内货物在竖直方向的振动可视为简谐运动，周期为T.设竖直向上为正方向，以某时刻作为计时起点，其振动图像如图9所示，则( )
图9
A．t＝eq \f(1,4)T时，货物对车厢底板的压力最大
B．t＝eq \f(1,2)T时，货物对车厢底板的压力最小
C．t＝eq \f(3,4)T时，货物对车厢底板的压力最大
D．t＝eq \f(3,4)T时，货物对车厢底板的压力最小
答案 C
解析 要使货物对车厢底板的压力最大，则车厢底板对货物的支持力最大，要求货物向上的加速度最大，由振动图像可知在eq \f(3,4)T时，货物向上的加速度最大，则选项A错误，C正确；货物对车厢底板的压力最小，则车厢底板对货物的支持力最小，要求货物向下的加速度最大，由振动图像可知在eq \f(T,4)时，货物向下的加速度最大，则选项B、D错误．
13.如图10所示，轻弹簧的下端系着A、B两球，mA＝100 g，mB＝500 g，系统静止时弹簧伸长x＝15 cm，未超出弹性限度．若剪断A、B间细绳，则A在竖直方向做简谐运动．问：
图10
(1)A球的振幅为多大？
(2)A球的最大加速度为多大？(g取10 m/s2)
答案 (1)12.5 cm (2)50 m/s2
解析 (1)假设只挂A，静止时弹簧伸长量x1＝eq \f(mAg,k)，
由(mA＋mB)g＝kx，
得k＝eq \f(mA＋mBg,x)，
即x1＝eq \f(mA,mA＋mB)x＝2.5 cm.
则A球的振幅A＝x－x1＝12.5 cm.
(2)剪断细绳瞬间，A受最大弹力，合力最大，加速度最大．
F＝(mA＋mB)g－mAg＝mBg＝mAam，
则am＝eq \f(mBg,mA)＝50 m/s2.
14.如图11所示，倾角为α的斜面体(斜面光滑且足够长)固定在水平地面上，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为L的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块．压缩弹簧使其长度为eq \f(3,4)L时将物块由静止开始释放(物块做简谐运动)，重力加速度为g.
图11
(1)求物块处于平衡位置时弹簧的长度；
(2)物块做简谐运动的振幅是多少；
(3)选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标系，用x表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动．(已知做简谐运动的物体所受的回复力满足F＝－kx)
答案 (1)L＋eq \f(mgsin α,k) (2)eq \f(mgsin α,k)＋eq \f(L,4) (3)见解析
解析 (1)物块平衡时，受重力、支持力和弹簧的弹力．
根据平衡条件，有：mgsin α＝k·Δx
解得Δx＝eq \f(mgsin α,k)
故物块处于平衡位置时弹簧的长度为L＋eq \f(mgsin α,k).
(2)物块做简谐运动的振幅为A＝Δx＋eq \f(1,4)L＝eq \f(mgsin α,k)＋eq \f(L,4).
(3)物块到达平衡位置下方x位置时，弹力为
k(x＋Δx)＝k(x＋eq \f(mgsin α,k))
故合力为F＝mgsin α－k(x＋eq \f(mgsin α,k))＝－kx
故物块做简谐运动．振子的运动
A→O
O→A′
A′→O
O→A
位移
方向
向右
向左
向左
向右
大小
减小
增大
减小
增大
回复力
方向
向左
向右
向右
向左
大小
减小
增大
减小
增大
加速度
方向
向左
向右
向右
向左
大小
减小
增大
减小
增大
速度
方向
向左
向左
向右
向右
大小
增大
减小
增大
减小
振子的动能
增大
减小
增大
减小
弹簧的势能
减小
增大
减小
增大
系统总能量
不变
不变
不变
不变
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