物理3 简谐运动的回复力和能量学案

这是一份物理3 简谐运动的回复力和能量学案，共11页。


1．理解简谐运动的运动规律，掌握在一次全振动过程中位移、回复力、加速度、速度变化的规律。
2．掌握简谐运动回复力的特征。
3．对水平的弹簧振子，能定性地说明弹性势能与动能的转化过程。
知识点一 简谐运动的回复力
[情境导学]
如图所示，O点为水平弹簧振子的平衡位置，A′、A分别是振子运动的最左端和最右端，弹簧的劲度系数为k。请思考：
(1)振子在振动过程中位于O点左侧x处时所受合外力的大小怎样表示？方向怎样？产生什么效果？
(2)振子在振动过程中位于O点右侧x处时所受合外力的大小怎样表示？方向怎样？产生什么效果？
提示：(1)F＝kx，方向(向右)指向平衡位置O，产生指向平衡位置的加速度，使物体回到平衡位置。
(2)F＝kx，方向(向左)指向平衡位置O，产生指向平衡位置的加速度，使物体回到平衡位置。
[知识梳理]
1．回复力
(1)定义：使振动物体回到平衡位置的力。
(2)表达式：F＝－kx，“－”号表示F与x反向。
(3)方向：总是指向平衡位置。
2．简谐运动：如果物体在运动方向上所受的力与它离开平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。
[初试小题]
1．判断正误。
(1)回复力的方向总是与位移的方向相反。(√)
(2)回复力的方向总是与速度的方向相反。(×)
(3)回复力的方向总是与加速度的方向相反。(×)
(4)回复力F＝－kx中的k一定是弹簧的劲度系数。(×)
2．对于弹簧振子的回复力和位移的关系，下列图中正确的是( )
解析：选C 由简谐运动的回复力公式F＝－kx可知，弹簧振子做简谐运动时的回复力和位移的关系图像应如图C所示。
知识点二 简谐运动的能量
[情境导学]
如图所示，O点为水平弹簧振子的平衡位置，A′、A分别是振子运动的最左端和最右端。请思考：
(1)振子在振动过程中位于O点时的动能、弹簧的弹性势能的大小怎样？
(2)振子在振动过程中位于最左端A′和最右端A时的动能、弹簧的弹性势能的大小怎样？
(3)振子经历A→O→A′过程中振子的动能、弹簧的弹性势能怎样转化？
提示：(1)动能最大，弹性势能为零。
(2)动能为零，弹性势能最大。
(3)A→O过程中弹性势能转化为动能，O→A′过程中动能转化为弹性势能。
[知识梳理]
1．水平弹簧振子的状态与能量的对应关系
弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。
(1)在最大位移处，势能最大，动能为零。
(2)在平衡位置处，动能最大，势能为零。
2．简谐运动的能量特点
在弹簧振子运动的任意位置，系统的动能与势能之和都是一定的，遵守机械能守恒定律。
注意：(1)实际的运动有一定的能量损耗，所以简谐运动是一种理想化的模型。
(2)对于弹簧劲度系数和小球质量都一定的系统，振幅越大，机械能越大。
[初试小题]
1．判断正误。
(1)在简谐运动中，振动系统的机械能是守恒的。(√)
(2)对于水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为零，系统能量也为零。(×)
(3)对于水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为零，弹簧的弹力也为零。(×)
(4)振幅越大的弹簧振子，系统机械能也一定越大。(×)
2．在简谐运动中，振子每次经过同一位置时，下列各组描述振动的物理量总是相同的是( )
A．速度、加速度、动能 B．动能、回复力、位移
C．加速度、速度、势能D．速度、动能、回复力
解析：选B 通过对简谐运动过程的分析可知，在同一位置，位移、加速度、回复力、动能、势能一定相同，由于通过同一位置具有往复性，所以速度方向可能相同，也可能相反，故选项B正确。
[问题探究]
如图甲所示为水平方向的弹簧振子，如图乙所示为竖直方向的弹簧振子，如图丙所示为m随M一起振动的系统。
请思考：
(1)图甲中水平方向的弹簧振子的回复力的来源是什么？
(2)图甲乙中竖直方向的弹簧振子的回复力的来源是什么？
(3)图丙中水平方向m与M整体的回复力的来源是什么？m的回复力的来源是什么？
提示：(1)弹簧的弹力提供回复力。
(2)弹簧的弹力与重力的合力提供回复力。
(3)m与M整体的回复力由弹簧的弹力提供；m的回复力由M对m的静摩擦力提供。
[要点归纳]
1．回复力的理解
(1)作用效果：使振动物体回到平衡位置。
(2)来源：回复力可以由某一个力提供，也可能由几个力的合力提供，还可能由某一个力的分力提供。归纳起来，回复力一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。
注意：回复力是效果力，受力分析时不能再“额外添加”上回复力。
2．简谐运动的回复力的特点
(1)表达式：F＝－kx。
①回复力大小：与振子的位移大小成正比；
②回复力的方向：“－”表示与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置。
(2)表达式F＝－kx中的k指的是由振动系统本身决定的比例系数。而不一定是弹簧的劲度系数。
(3)简谐运动的加速度的特点：根据牛顿第二定律得a＝eq \f(F,m)＝－eq \f(k,m)x，表明弹簧振子做简谐运动时振子的加速度大小也与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反。
(4)简谐运动的回复力与时间的关系：因x＝Asin(ωt＋φ)，故回复力F＝－kx＝－kAsin(ωt＋φ)，可见回复力随时间按正弦规律变化。
[例题1] 如图所示，A、B两物体组成弹簧振子，在振动过程中，A、B始终保持相对静止，下列给定的四幅图中能正确反映振动过程中物体A所受摩擦力Ff与振子相对平衡位置位移x关系的图线为( )
[解析] 设弹簧的劲度系数为k，振子距平衡位置的位移为x时系统的加速度为a，根据牛顿第二定律有kx＝－(mA＋mB)a，所以当位移为x时，整体的加速度a＝－eq \f(kx,mA＋mB)，隔离对A分析，则摩擦力Ff＝mAa＝－eq \f(mA,mA＋mB)kx，B正确。
[答案] B
[例题2] 一质量为m，某一面的面积为S的正方体木块，放在水面上静止(平衡)，如图所示，现用力向下将其压入水中一段深度后(未全部浸入)撤掉外力，木块在水中上下振动，不计空气阻力。
(1)试分析木块上下振动的回复力的来源；
(2)试证明该木块的振动是简谐运动。
[解析] (1)木块上下振动的回复力是重力和浮力的合力。
(2)以木块为研究对象，取竖直向下为正方向，设静止时木块浸入水中的深度为Δx，当木块又被压入水中x后，撤去外力瞬间木块的受力如图所示，则
F合＝mg－F浮①
又F浮＝ρgS(Δx＋x)②
联立①②式可得
F合＝mg－ρgS(Δx＋x)＝mg－ρgSΔx－ρgSx
又木块静止时，有mg＝ρgSΔx，所以F合＝－ρgSx
即F合＝－kx(k＝ρgS)
所以木块的振动是简谐运动。
[答案] 见解析
判断一个振动是否为简谐运动的方法
(1)运动学方法：对物体的位移分析，如果位移—时间表达式满足x＝Asin(ωt＋φ)或x ­t图像满足正(余)弦规律，即可判断为简谐运动。
(2)动力学方法：对物体进行受力分析，物体所受到的回复力满足F＝－kx，即可判断为简谐运动。
(3)加速度方法：根据牛顿第二定律或运动学知识，求解物体的加速度，如果满足a＝－kx，即可判断为简谐运动。
[针对训练]
1.如图所示，对做简谐运动的弹簧振子m，受力分析正确的是( )
A．重力、支持力、弹簧的弹力
B．重力、支持力、弹簧的弹力、回复力
C．重力、支持力、回复力、摩擦力
D．重力、支持力、摩擦力
解析：选A 弹簧振子受重力、支持力和弹簧的弹力；简谐运动是最简单的机械振动，没有能量损失，故没有摩擦力；回复力是由合力提供，是效果力，不能说物体受回复力。故A正确，B、C、D错误。
2.一质量为m的小球，通过一根轻质弹簧悬挂在天花板上，如图所示。
证明该小球的振动是否为简谐运动？
解析：振动过程中小球的回复力由弹簧的弹力与小球的重力的合力提供。
设振子的平衡位置为O，向下为正方向，此时弹簧已经有了一个伸长量h，设弹簧的劲度系数为k，由平衡条件得kh＝mg①
当振子向下偏离平衡位置的距离为x时，回复力即合外力为F回＝mg－k(x＋h)②
将①代入②式得F回＝－kx，可见小球所受合外力与它的位移的关系符合简谐运动的受力特点，该振动系统的振动是简谐运动。
答案：是简谐运动
[问题探究]
如图所示为水平弹簧振子，O点为平衡位置，B、C点为两个最大位移处。
请思考振子经历从B→O→C的过程中：
(1)振子在振动过程中位移、回复力、速度、加速度、动能、势能都怎样变化？
(2)振子在振动过程中机械能守恒吗？
提示： (1)B→O的过程中：振子在振动过程中位移、回复力、加速度、势能、回复力均减小，速度增大；
O→C的过程中：振子在振动过程中位移、回复力、加速度、势能、回复力均增大，速度减小。
(2)振子在振动过程中只有弹力做功，故机械能守恒。
[要点归纳]
1．简谐运动中各物理量的变化规律
当物体做简谐运动时，它偏离平衡位置的位移x、回复力F及加速度a、速度v、动能Ek、势能Ep、振动能量E遵循一定的变化规律，可列表如下：
2．两个方向变化转折点
(1)平衡位置是位移方向、回复力方向和加速度方向变化的转折点。
(2)最大位移处是速度方向变化的转折点。
[例题3] 一弹簧振子振幅为A，从最大位移处经过时间t0第一次到达平衡位置，若振子从最大位移处经过eq \f(t0,3)时的加速度大小和动能分别为a1和E1，若振子从最大位移处经过路程为eq \f(A,3)时加速度大小和动能分别为a2和E2，则a1、a2和E1、E2的大小关系为( )
A．a1＞a2，E1＞E2 B．a1＜a2，E1＞E2
C．a1＜a2，E1＜E2D．a1＞a2，E1＜E2
[解析] 弹簧振子从最大位移处往平衡位置运动，速度增大，加速度减小，故eq \f(t0,3)时间内运动的路程小于eq \f(A,3)，即其距离平衡位置的距离大于eq \f(2,3)A，距离平衡位置越远，加速度越大，速度越小，因此a1>a2，E1[答案] D
简谐运动中各物理量变化的两种分析顺序

[针对训练]
1．弹簧振子在水平方向上做简谐运动的过程中，下列说法正确的是( )
A．弹簧振子在平衡位置时它的机械能最大
B．弹簧振子在最大位移处时它的弹性势能最大
C．弹簧振子从平衡位置到最大位移处它的动能增大
D．弹簧振子从最大位移处到平衡位置它的机械能减小
解析：选B 弹簧振子做简谐运动时机械能守恒，因此选项A和D均错误；在最大位移处时，弹性势能最大，B选项正确；从平衡位置到最大位移处的运动是振子远离平衡位置的运动，速度减小，动能减小，C选项错误。
2．一弹簧振子沿水平方向放置，取向右为正方向，其振动图像如图所示。由图可知( )
A．t＝1.0 s时振子的速度为零，加速度为正的最大值
B．在1.0 s～1.5 s内振子的速度增加，加速度为负值
C．在2.0 s～2.5 s内振子的速度减小，加速度为负值
D．t＝2.5 s时振子的速度为零，加速度为负的最大值
解析：选B t＝1.0 s时振子的速度为零，加速度为负的最大值，所以A错误；在1.0 s～1.5 s内振子的速度增加，加速度为负值，所以B正确；在2.0 s～2.5 s内振子的速度增加，加速度为正值，所以C错误；t＝2.5 s时振子的速度最大，加速度为0，所以D错误；故选B。
简谐运动的对称性在力学问题中的应用
1．简谐运动的对称性规律
2．对于涉及简谐运动的力学问题，由于简谐运动是变加速来回往复的直线运动，无法使用匀变速直线运动的公式进行有关计算，但是应用简谐运动的对称性规律可以快捷解题。
[示例] 如图所示，质量为M的物块A放置在光滑水平桌面上，右侧连接一固定于墙面的水平轻绳，左侧通过一倾斜轻绳跨过光滑定滑轮与一竖直轻弹簧相连。现将质量为m的钩码B挂于弹簧下端，当弹簧处于原长时，将B由静止释放，当B下降到最低点时(未着地)，A对水平桌面的压力刚好为零。轻绳不可伸长，弹簧始终在弹性限度内，物块A始终处于静止状态。以下判断错误的是( )
A．M<2m
B．2mC．在B从释放位置运动到最低点的过程中，B所受合力对B先做正功后做负功
D．在B从释放位置运动到速度最大的过程中，B克服弹簧弹力做的功等于B机械能的减少量
[解析] 钩码B释放后做简谐运动，根据简谐运动的对称性，钩码B在最高点加速度大小为g，所以在最低点加速度大小也为g，在最低点对B由牛顿第二定律有F－mg＝ma，得F＝2mg，而B在最低点时物块A对水平桌面的压力刚好为零，可知A左侧轻绳上拉力的竖直分力等于Mg，故M<2m，A项正确，B项错误；B从释放位置到最低
点的过程中，速度先增大后减小，由动能定理可知，合力对B先做正功后做负功，C项正确；由功能关系可知，B从释放到速度最大过程中B克服弹簧弹力做的功等于B机械能的减少量，D项正确
[答案] B
[拓展训练]
1.如图所示，弹簧下端挂一质量为m的物体，物体在竖直方向上做振幅为A的简谐运动，当物体振动到最高点时，弹簧正好为原长，则物体在振动过程中( )
A．物体在最低点时所受的弹力大小应为2mg
B．弹簧的弹性势能和物体的动能之和不变
C．弹簧的最大弹性势能等于mgA
D．物体的最大动能应等于mgA
解析：选A 物体做简谐运动，最高点和最低点关于平衡位置对称，最高点加速度为g，最低点加速度也为g，方向向上，在最低点有F－mg＝ma，a＝g，故F＝2mg，A正确；根据物体和弹簧总的机械能守恒，弹簧的弹性势能、物体的动能、物体的重力势能之和不变，B错误；物体下落到最低点时，重力势能的减少量全部转化为弹簧的弹性势能，所以弹簧的最大弹性势能为Ep＝mg×2A＝2mgA，C错误；当弹簧的弹力等于物体的重力时，物体速度最大，动能最大，此时弹簧处于拉伸状态，弹性势能Ep′不为零，根据系统机械能守恒，可知此时物体的动能为Ek＝mgA－Ep′，即Ek小于mgA，D错误。
2． 如图所示，竖直轻质弹簧下端固定在水平面上，上端连一质量为M的物块A，A的上面放置一质量为M的物块B，系统可在竖直方向做简谐运动，则( )
A．当振动到最低点时，B对A的压力最小
B．当B振动到最高点时，B对A的压力最小
C．当向上振动经过平衡位置时，B对A的压力最大
D．当向下振动经过平衡位置时，B对A的压力最大
解析：选B 由于简谐运动的对称性，A、B一起做简谐运动，B做简谐运动的回复力是由B的重力和A对B的作用力的合力提供。做简谐运动的物体在最大位移处时有最大回复力，即具有最大的加速度am，在最高点和最低点加速度大小相等，最高点时加速度向下，最低点时加速度向上，由牛顿第二定律对B在最高点时有mg－F高＝mam，得F高＝mg－mam，在最低点时有F低－mg＝mam，得F低＝mg＋mam，经过平衡位置时，加速度为零，A对 B的作用力F平＝mg。所以B选项正确，A、C、D错误。
1.把一个小球套在光滑细杆上，小球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图所示。下列结论正确的是( )
A．小球在O位置时，动能最大，加速度最大
B．小球在A、B位置时，动能最小，加速度最大
C．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功
D．小球从B到O的过程中，振子振动的能量不断增加
解析：选B 小球在平衡位置O时，弹簧处于原长，弹性势能为零，动能最大，位移为零，加速度为零，A项错误；小球在最大位移A、B处，动能为零，加速度最大，B项正确；由A→O，回复力做正功，由O→B，回复力做负功，C项错误；由B→O，动能增加，弹性势能减少，总能量不变，D项错误。
2．做简谐振动的物体，当振子的位移为负值时，下列说法中可能正确的是( )
A．速度一定为正值，加速度一定为负值
B．速度为零时，加速度最大
C．速度一定为负值，加速度一定为正值
D．速度最大时，加速度为零
解析：选B 当振子的位移为负值时，加速度一定为正值，而速度方向有两种可能，不一定为正值，也不一定为负值，故A、C错误；当振子到达负的最大位移处时，速度为零，加速度最大，故B正确；当振子的位移为负值时，振子不可能通过平衡位置，速度不可能最大，加速度不可能为零，故D错误。
3.一劲度系数为k＝200 N/m的轻质弹簧，与质量为0.4 kg的可看作质点的小球，组成弹簧振子。振子在竖直方向做简谐运动时，规定竖直向上为正方向，坐标原点与平衡位置重合。振子振动图像如图所示，则( )
A．在t＝1 s时，速度为负向最大值，回复力为零
B．在t＝2 s时，速度为负向最大值，弹簧弹力为零
C．在t＝3 s时，速度为正向最大值，加速度为1 m/s2
D．在t＝4 s时，速度为正向最大值，回复力为零
解析：选D 当t＝1 s时，正向位移最大，速度为零，回复力最大，选项A错误；当 t＝2 s时，位移为零，而速度最大，速度方向要看该点切线斜率的正负，t＝2 s时，速度
为负值，此时振子的加速度为零，弹簧弹力等于小球的重力4 N，选项B错误；当t＝3 s时，位移负向最大，加速度a＝eq \f(kx,m)最大，速度为零，选项C错误；当t＝4 s时，位移为零，回复力为零，速度最大，方向为正，选项D正确。
4．甲、乙两弹簧振子，振动图像如图所示，则可知( )
A．两弹簧振子完全相同
B．振子的振动频率之比f甲∶f乙＝1∶2
C．振子甲速度为零时，振子乙速度也为零
D．两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲∶F乙＝2∶1
解析：选B 由振动图像读出两弹簧振子的振幅和周期不同，则两弹簧振子一定不完全相同，故A错误；两弹簧振子周期之比T甲∶T乙＝2∶1，频率之比f甲∶f乙＝1∶2，故B正确；由图看出，甲在最大位移处时，乙在平衡位置，即振子甲速度为零时，振子乙速度最大，故C错误；由振动图像读出两振子位移最大值之比x甲∶x乙＝2∶1，根据简谐运动的特征F＝－kx，由于弹簧的劲度系数k可能不等，回复力最大值之比F甲∶F乙不一定等于2∶1，故D错误。
简谐运动的回复力的理解
简谐运动中各物理量的变化规律
物理量
过程
x
F
a
v
Ek
Ep
E
远离平衡位置运动
增大
增大
增大
减小
减小
增大
不变
最大位移处
最大
最大
最大
零
零
最大
不变
靠近平衡位置运动
减小
减小
减小
增大
增大
减小
不变
平衡位置
零
零
零
最大
最大
最小
不变
状态量的对称性
当振动物体通过关于平衡位置对称的两个位置时：
①物体的位移、回复力、加速度各量的大小一定对应相等，方向一定相反；
②速度大小一定相等，方向可能相同、也可能相反；
③动能、势能、机械能一定相等
时间的对称性
①振动物体来回通过相同的两点间的时间一定相等。如图所示tBC＝tCB；
②振动物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间一定相等。如图所示tBC＝tB′C′