第14讲 数列大题的考法研究（原卷版）

第14讲  数列大题的考法研究

【题型精讲】

题型一：等差数列、等比数列的判定与证明

1．（2021·山东省青岛第十七中学高三期中）已知数列中，，前项和为，且满足.证明：数列是等差数列，并求的通项公式；

2．（2021·吉林吉林·高三月考（理））已知数列满足：，.

设，证明：数列是等差数列；

3．（2021·全国·高三专题练习（文））已知数列的前项和满足.

证明：对任意的正整数，集合中的三个元素可以排成一个递增的等差数列

题型二：分组转化法求和

1．（2021·江苏·高二单元测试）已知数列满足，．

（1）求，；

（2）设，求证：数列是等比数列，并求其通项公式；

（3）已知，求证：．

2．（2021·江苏·海安高级中学高三月考）已知数列的前n项和为，且

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前20项和．

3．（2021·山东枣庄·高二期末）已知数列满足，

（1）求，，，并求；

（2）求的前100项和．

4．（2021·山西临汾·二模（理））山西面食历史悠久，源远流长，称为“世界面食之根”．临汾牛肉丸子面、饸饹面是我们临汾人喜爱吃的面食．调查资料表明，某学校在每周一有1000名学生选择面食，餐厅的面食窗口在每周一提供牛肉丸子面和饸饹面两种面食．凡是在本周一选择牛肉丸子面的学生，下周一会有改选饸饹面；而选择饸饹面的学生，下周一会有改选牛肉丸子面．用分别表示在第个周一选择牛肉丸子面和饸饹面的人数，且．

（1）证明：数列是常数列；

（2）若，求数列的前项和．

题型三：裂项相消法求和

1．（2021·广东·清远市博爱学校高三月考）已知数列满足

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，是数列的前项和，求.

2．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高二月考（理））已知数列满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

3．（2021·上海市第三女子中学高三期中）已知数列的前项和为，且；

（1）求的通项公式；

（2）设，是数列的前项和，求；

（3）设，是数列的前项和，若对任意均有恒成立，求的最小值；

题型四：错位相减法求和

1．（2021·四川资阳·高三月考（文））已知数列的前项和为，且，（，）

（1）求的通项公式；

（2）记，求数列的前项和．

2．（2021·河南南阳·高二期中）若数列的前项和为，且；数列满足，.

（1）求数列，的通项公式；

（2）求数列的前项和.

3．（2021·安徽·六安一中高三月考（文））已知数列的前项和为，且，．

（1）证明数列为等差数列，并求的通项公式；

（2）已知，求数列的前项和，并证明．

【课后精练】

1．（2021·全国·高二课时练习）已知函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．

（1）求数列的通项公式；

（2）若函数，令，求数列的前2020项和．

2．（2021·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，函数对一切实数总有，数列满足分别求数列、的通项公式.

3．（2021·陕西·铜川市第一中学高二期中（理））在公差不为0的等差数列中，，，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求的前项和．

4．（2021·安徽·六安一中高三月考（文））已知是等比数列，，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

5．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高二月考（文））已知数列的前项和．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

6．（2021·浙江·模拟预测）已知数列的前项和为，，数列满足，．

（1）求数列、的通项公式；

（2）若数列满足，求证：．

7．（2021·湖南·临澧县第一中学高三月考）已知数列满足.

（1）证明：数列为等比数列，并求；

（2）求数列的前项和.

8．（2021·贵州师大附中高二月考（理））已知数列满足，且.

（1）若数列满足，求数列的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

9．（2021·全国·高二专题练习）已知数列，满足，，.

（1）证明为等比数列，并求的通项公式；

（2）求.

10．（2021·全国·高二课时练习）已知数列的前n项和为.

（1）求数列的通项公式；

（2） 求数列的前n项和.