广东省江门市蓬江二中九年级（上）期末数学试卷（解析版）

这是一份广东省江门市蓬江二中九年级（上）期末数学试卷（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


2017-2018学年广东省江门市蓬江二中九年级（上）期末数学试卷
　
一、选择题
1．下列交通标志中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
　
2．一元二次方程x2﹣2x=0的根是（　　）
A．x1=0，x2=﹣2 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=﹣2 D．x1=0，x2=2
　
3．如图，是某几何体的俯视图，该几何体可能是（　　）

A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．正方体
　
4．如图的四个转盘中，C、D转盘分成8等分，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（　　）
A． B． C． D．
　
5．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（　　）

A．2 B． C． D．
　
6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为3，∠A=45°，则的长是（　　）

A．π B．π C．π D．π
　
7．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（　　）

A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜4 C．x＞0 D．x＞4
　
8．如图，点P是▱ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（　　）

A．0对 B． 1对 C．2对 D．3对
　
9．一次函数y=﹣x+a﹣3（a为常数）与反比例函数y=﹣的图象交于A、B两点，当A、B两点关于原点对称时a的值是（　　）
A．0 B．﹣3 C．3 D．4
　
10．已知抛物线y=﹣x2+4x+5与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，若D为AB的中点，则CD的长为（　　）
A． B． C． D．7
　
　
二、填空题
11．若点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，则ab=　　　　　　．
　
12．如果将抛物线y=x2+2x﹣1向上平移3个单位，那么所得的新抛物线的表达式是　　　　　　．
　
13．如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30m，那么楼的高度AC为　　　　　　m（结果保留根号）．

　[来源:学#科#网Z#X#X#K]
14．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为　　　　　　．

　
15．如图，等边三角形AOB的顶点A的坐标为（﹣4，0），顶点B在反比例函数y=（x＜0）的图象上，则k=　　　　　　．

　
16．由一些完全相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多是　　　　　　．

　
　
三、解答题
17．（2015秋•江门校级期末）已知α，β均为锐角，且满足，求α+β的值．
　
18．（2013•海珠区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB=90°，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．
（1）求证：直线BD与⊙O相切；
（2）若AD：AE=，BC=6，求切线BD的长．

　
19．（2015秋•江门校级期末）已知关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1=0．
（1）若该方程无解，求a的取值范围；
（2）当a=1时，求该方程的解．
　
20．（2015秋•江门校级期末）如图，在山顶上有一座电视塔，在塔顶B处，测得地面上一点A的俯角α=60°，在塔底C处测得的俯角β=45°，已知BC=60m，求山高CD（精确到1m，≈1.732）

　
21．（2009•陕西）甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是：3，4，5，6的4张牌做抽数学游戏．游戏规则是：将这4张牌的正面全部朝下，洗匀，从中随机抽取一张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽的牌放回，正面全部朝下、洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数字，这样就得到一个两位数．若这个两位数小于45，则甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏公平吗？请运用概率知识说明理由．
　
22．（2015秋•江门校级期末）如图，点A、B在反比例函数的图象上，且点A、B的横坐标分别为a、2a（a＞0），AC⊥x轴，垂足为C，且△AOC的面积为2，
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．

　
　
四、解答题
23．（2015•阜新）如图，△ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A（﹣1，5），B（﹣4，1），C（﹣1，1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△AB′C′，点B，C的对应点分别为点B′，C′，
（1）画出△AB′C′；
（2）写出点B′，C′的坐标；
（3）求出在△ABC旋转的过程中，点C经过的路径长．

　
24．（2015•滕州市校级模拟）如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM周长最小时，求点M的坐标及△ACM的最小周长．

　
25．（2015秋•滦县期末）（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：AD•BC=AP•BP．
（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．
（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD中，AB=12，AD=BD=10．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值．

　
　

2017-2018学年广东省江门市蓬江二中九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题
1．下列交通标志中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，即可判断出．
【解答】解：∵A．此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，故此选项错误；
B：∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，故此选项错误；
C．∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，故此选项错误；
D．此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，故此选项正确；
故选D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
　
2．一元二次方程x2﹣2x=0的根是（　　）
A．x1=0，x2=﹣2 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=﹣2 D．x1=0，x2=2
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：x2﹣2x=0，
x（x﹣2）=0，
x=0，x﹣2=0，
x1=0，x2=2，
故选D．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中．
　
3．如图，是某几何体的俯视图，该几何体可能是（　　）

A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．正方体
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】根据几何体的俯视图是从上面看，所得到的图形分别写出各个几何体的俯视图判断即可．
【解答】解：圆柱的俯视图是圆，A错误；
圆锥的俯视图是圆，且中心由一个实点，B正确；
球的俯视图是圆，C错误；
正方体的俯视图是正方形，D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的概念，掌握主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形是解题的关键．
　
4．如图的四个转盘中，C、D转盘分成8等分，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（　　）
A． B． C． D．
【考点】几何概率．
【分析】利用指针落在阴影区域内的概率是：，分别求出概率比较即可．
【解答】解：A、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为： =；
B、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为： =；
C、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：；
D、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：，
∵＞＞＞，
∴指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是：．
故选：A．
【点评】此题考查了几何概率，计算阴影区域的面积在总面积中占的比例是解题关键．
　
5．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（　　）

A．2 B． C． D．
【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理；勾股定理的逆定理．
【专题】压轴题；网格型．
【分析】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．
【解答】解：如图：，
由勾股定理，得
AC=，AB=2，BC=，
∴△ABC为直角三角形，[来源:学科网]
∴tan∠B==，
故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．
　
6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为3，∠A=45°，则的长是（　　）

A．π B．π C．π D．π
【考点】弧长的计算；圆周角定理．
【分析】根据圆周角得出圆心角为90°，再利用弧长公式计算即可．
【解答】解：因为⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为3，∠A=45°，[来源:学科网ZXXK]
所以可得圆心角∠BOC=90°，
所以的长==π，
故选B．
【点评】此题考查弧长公式，关键是根据圆周角得出圆心角为90°．
　
7．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（　　）

A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜4 C．x＞0 D．x＞4
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】利用当函数值y＞0时，即对应图象在x轴上方部分，得出x的取值范围即可．
【解答】解：如图所示：当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是：﹣2＜x＜4．
故选：B．
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，利用数形结合得出是解题关键．
　
8．如图，点P是▱ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（　　）

A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
【考点】相似三角形的判定；平行四边形的性质．
【分析】利用相似三角形的判定方法以及平行四边形的性质得出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CPB，
∴△EDC∽△CBP，
故有3对相似三角形．
故选：D．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
　
9．一次函数y=﹣x+a﹣3（a为常数）与反比例函数y=﹣的图象交于A、B两点，当A、B两点关于原点对称时a的值是（　　）
A．0 B．﹣3 C．3 D．4
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；关于原点对称的点的坐标．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】设A（t，﹣），根据关于原点对称的点的坐标特征得B（﹣t，），然后把A（t，﹣），B（﹣t，）分别代入y=﹣x+a﹣3得﹣=﹣t+a﹣3， =t+a﹣3，两式相加消去t得2a﹣6=0，再解关于a的一次方程即可．
【解答】解：设A（t，﹣），
∵A、B两点关于原点对称，
∴B（﹣t，），[来源:学科网]
把A（t，﹣），B（﹣t，）分别代入y=﹣x+a﹣3得﹣=﹣t+a﹣3， =t+a﹣3，
两式相加得2a﹣6=0，
∴a=3．
故选C．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
　
10．已知抛物线y=﹣x2+4x+5与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，若D为AB的中点，则CD的长为（　　）
A． B． C． D．7
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】根据y=﹣x2+4x+5可以求得此抛物线与x轴的交点A和点B的坐标，与y轴交点C的坐标，从而可以求得点D的坐标，进而可以求得CD的长．
【解答】解：∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣5）（x+1），
∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，5）．
又∵D为AB的中点，
∴点D的坐标为（1，0）．
∴CD==．
故选：C．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点坐标，此题利用抛物线的三种形式间的相互转换得到点A、B的坐标，求出线段AB中点D的坐标是解决问题的关键．
　
二、填空题
11．若点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，则ab=　　．
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即：求关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
【解答】解：∵点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，
∴b=﹣1，a=2，
∴ab=2﹣1=．
故答案为：．
【点评】此题考查了关于原点对称的点的坐标，这一类题目是需要识记的基础题，记忆时要结合平面直角坐标系．
　
12．如果将抛物线y=x2+2x﹣1向上平移3个单位，那么所得的新抛物线的表达式是　y=x2+2x+2　．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】直接根据抛物线向上平移的规律求解．
【解答】解：抛物线y=x2+2x﹣1向上平移3个单位得到y=x2+2x﹣1+3=x2+2x+2．
故答案为y=x2+2x+2．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
　
13．如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30m，那么楼的高度AC为　10　m（结果保留根号）．

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】由题意得，在直角三角形ACB中，知道了已知角的邻边求对边，用正切函数计算即可．
【解答】解：∵自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，
∴∠ABC=30°，
∴AC=AB•tan30°=30×=10（米）．
∴楼的高度AC为10米．
故答案为：10．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．
　
14．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为　4　．

【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】压轴题．
【分析】根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．
【解答】解：∵OD⊥BC，
∴BD=CD=BC=3，
∵OB=AB=5，
∴OD==4．
故答案为4．
【点评】题考查了垂径定理、勾股定理，本题非常重要，学生要熟练掌握．
　
15．如图，等边三角形AOB的顶点A的坐标为（﹣4，0），顶点B在反比例函数y=（x＜0）的图象上，则k=　﹣4　．

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．
【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，因为△AOB是等边三角形，点A的坐标为（﹣4，0）所∠AOB=60°，根据锐角三角函数的定义求出BD及OD的长，可得出B点坐标，进而得出反比例函数的解析式；
【解答】解：过点B作BD⊥x轴于点D，
∵△AOB是等边三角形，点A的坐标为（﹣4，0），
∴∠AOB=60°，OB=OA=AB=4，
∴OD=OB=2，BD=OB•sin60°=4×=2，
∴B（﹣2，2），
∴k=﹣2×2=﹣4；
故答案为﹣4．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点、等边三角形的性质、解直角三角函数等知识，难度适中．
　
16．由一些完全相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多是　5　．

【考点】由三视图判断几何体．
【分析】易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由主视图可得第二层立方体的可能的个数，相加即可．
【解答】解：结合主视图和俯视图可知，左边上层最多有2个，左边下层最多有2个，右边只有一层，且只有1个．
所以图中的小正方体最多5块．
故答案为：5．
【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
　
三、解答题
17．（2015秋•江门校级期末）已知α，β均为锐角，且满足，求α+β的值．
【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．
【分析】根据非负数的性质列出算式，根据特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】解：由题意得，sinα=0，tanβ﹣1=0，
则sinα=，tanβ=1，
解得α=30°，β=45°，
则α+β=75°．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值、非负数的性质，熟记特殊角的三角函数值、掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．
　
18．（2013•海珠区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB=90°，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．
（1）求证：直线BD与⊙O相切；
（2）若AD：AE=，BC=6，求切线BD的长．

【考点】切线的判定与性质．
【分析】（1）如图，连接OD，欲证明直线BD与⊙O相切，只需证明OD⊥BD即可；
（2）连接DE．利用圆周角定理和三角形中位线定理易求DE的长度，而AD：AE=，在直角△ADE中，利用勾股定理即可求得AE的长度；最后利用切割线定理来求切线BD的长度．
【解答】（1）证明：∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO（等边对等角）．
又∵∠A+∠CDB=90°（已知），
∴∠ADO+∠CDB=90°（等量代换），
∴∠ODB=180°﹣（∠ADO+∠CDB）=90°，即BD⊥OD．
又∵OD是圆O的半径．
∴BD是⊙O切线；

（2）解：连接DE，则∠ADE=90°（圆周角定理）．
∵∠C=90°，
∴∠ADE=∠C，
∴DE∥BC，
又∵D是AC中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC=3，AE=BE．
∵AD：AE=，
在直角△ADE中，利用勾股定理求得AE=3，则AB=6．
∴BD2=AB•BE=6×3=54，
∴BD=3．

【点评】本题主要考查了切线的判定与性质．其中要证某直线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
　
19．（2015秋•江门校级期末）已知关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1=0．
（1）若该方程无解，求a的取值范围；
（2）当a=1时，求该方程的解．
【考点】根的判别式．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到a≠0且△=22﹣4×a×（﹣1）＜0，然后求出a的取值范围；[来源:学。科。网Z。X。X。K]
（2）把a=1代入，原方程化为x2+2x﹣1=0，根据公式法即可得到结论．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1=0无解，
∴a≠0且△=22﹣4×a×（﹣1）＜0，
解得a＜﹣1，
∴a的取值范围是a＜﹣1；

（2）当a=1时，原方程化为x2+2x﹣1=0，
∴x==﹣1，
∴该方程的解为：x1=﹣1+，x2=﹣1﹣．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
　
20．（2015秋•江门校级期末）如图，在山顶上有一座电视塔，在塔顶B处，测得地面上一点A的俯角α=60°，在塔底C处测得的俯角β=45°，已知BC=60m，求山高CD（精确到1m，≈1.732）

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形△DBA、△ADC，应利用其公共边AD构造等量关系，借助BC=DB﹣DC构造方程关系式，进而可求出答案．
【解答】解：设山高CD=x（米），
∵∠CAD=∠β=45°，∠BAD=∠α=60°，∠ADB=90°，
∴AD=CD=x，BD=AD•tan60°=x．
∵BD﹣CD=BC=60，
∴x﹣x=60．
∴x==30（+1）．
∴CD=30×（1.732+1）≈82（米）．
答：山高CD约为82米．
【点评】本题考查了学生借助俯角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
　
21．（2009•陕西）甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是：3，4，5，6的4张牌做抽数学游戏．游戏规则是：将这4张牌的正面全部朝下，洗匀，从中随机抽取一张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽的牌放回，正面全部朝下、洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数字，这样就得到一个两位数．若这个两位数小于45，则甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏公平吗？请运用概率知识说明理由．
【考点】游戏公平性．
【分析】游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
【解答】解：这个游戏不公平，游戏所有可能出现的结果如下表：

第二次第一次
3
4
5
6
3
33
34
35
36
4
43
44
45
46
5
53
54
55
56
6
63
64
65
66
表中共有16种等可能结果，小于45的两位数共有6种．（5分）
∴P（甲获胜）=，P（乙获胜）=．（7分）
∵，
∴这个游戏不公平．（8分）
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
　
22．（2015秋•江门校级期末）如图，点A、B在反比例函数的图象上，且点A、B的横坐标分别为a、2a（a＞0），AC⊥x轴，垂足为C，且△AOC的面积为2，
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．

【考点】反比例函数综合题．
【专题】综合题．
【分析】（1）由S△AOC=xy=2，设反比例函数的解析式y=，则k=xy=4；
（2）连接AB，过点B作BE⊥x轴，交x轴于E点，通过分割面积法S△AOB=S△AOC+S梯形﹣S△BOE求得．
【解答】解：（1）∵S△AOC=2，
∴k=2S△AOC=4；
∴y=；

（2）连接AB，过点B作BE⊥x轴，
S△AOC=S△BOE=2，
∴A（a，），B（2a，）；
S梯形ACEB=（+）×（2a﹣a）=3，
∴S△AOB=S△AOC+S梯形ACEB﹣S△BOE=3．

【点评】此题重点考查了函数性质的应用和图形的分割转化思想．同学们要熟练掌握这类题型．
　
四、解答题
23．（2015•阜新）如图，△ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A（﹣1，5），B（﹣4，1），C（﹣1，1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△AB′C′，点B，C的对应点分别为点B′，C′，
（1）画出△AB′C′；
（2）写出点B′，C′的坐标；
（3）求出在△ABC旋转的过程中，点C经过的路径长．

【考点】作图-旋转变换；弧长的计算．
【分析】（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，然后根据网格结构找出点B、C的对应点B′，C′的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据图形即可得出点A的坐标；
（3）利用AC的长，然后根据弧长公式进行计算即可求出点B转动到点B′所经过的路程．
【解答】解：（1）△AB′C′如图所示；

（2）点B′的坐标为（3，2），点C′的坐标为（3，5）；

（3）点C经过的路径为以点A为圆心，AC为半径的圆弧，路径长即为弧长，
∵AC=4，
∴弧长为： ==2π，
即点C经过的路径长为2π．

【点评】本题考查了利用旋转变换作图，弧长的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应点位置作出图形是解题的关键．
　
24．（2015•滕州市校级模拟）如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM周长最小时，求点M的坐标及△ACM的最小周长．

【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）直接将（﹣1，0），代入解析式进而得出答案，再利用配方法求出函数顶点坐标；
（2）分别得出AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，进而利用勾股定理的逆定理得出即可；
（3）利用轴对称最短路线求法得出M点位置，再求△ACM周长最小值．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y=x2+bx﹣2上，
∴×（﹣1 ）2+b×（﹣1）﹣2=0，
解得：b=﹣，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2．
y=（x﹣）2﹣，
∴顶点D的坐标为：（，﹣）；

（2）当x=0时y=﹣2，∴C（0，﹣2），OC=2．
当y=0时， x2﹣x﹣2=0，
解得：x1=﹣1，x2=4，
∴B （4，0），
∴OA=1，OB=4，AB=5．
∵AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC是直角三角形．

（3）如图所示：连接AM，
点A关于对称轴的对称点B，BC交对称轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，
MC+MA的值最小，即△ACM周长最小，
设直线BC解析式为：y=kx+d，则，
解得：，
故直线BC的解析式为：y=x﹣2，
当x=时，y=﹣，
∴M（，﹣），
△ACM最小周长是：AC+AM+MC=AC+BC=+2=3．

【点评】此题主要考查了二次函数综合以及利用轴对称求最短路线和勾股定理的逆定理等知识，得出M点位置是解题关键．
　
25．（2015秋•滦县期末）（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：AD•BC=AP•BP．
（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．
（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD中，AB=12，AD=BD=10．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值．

【考点】圆的综合题．
【分析】（1）由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质可得AE=BE=6，根据勾股定理可得DE=8，由题可得DC=DE=8，则有BC=10﹣8=2．易证∠DPC=∠A=∠B．根据AD•BC=AP•BP，就可求出t的值．
【解答】（1）证明：如图1，
∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∠BPC+∠APD=90°，
∴∠APD=∠BPC，
∴△ADP∽△BPC，
∴，
∴AD•BC=AP•BP；

（2）结论AD•BC=AP•BP仍成立；
理由：证明：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，
又∵∠BPD=∠A+∠APD，
∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠APD，
∵∠DPC=∠A=θ，
∴∠BPC=∠APD，
又∵∠A=∠B=θ，
∴△ADP∽△BPC，
∴，
∴AD•BC=AP•BP；

（3）解：如下图，过点D作DE⊥AB于点E，

∵AD=BD=10，AB=12，
∴AE=BE=6
∴DE==8，
∵以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，
∴DC=DE=8，
∴BC=10﹣8=2，
∵AD=BD，
∴∠A=∠B，
又∵∠DPC=∠A，
∴∠DPC=∠A=∠B，
由（1）（2）的经验得AD•BC=AP•BP，
又∵AP=t，BP=12﹣t，
∴t（12﹣t）=10×2，
∴t=2或t=10，
∴t的值为2秒或10秒．
【点评】本题是对K型相似模型的探究和应用，考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、等角的余角相等、三角形外角的性质、解一元二次方程等知识，以及运用已有经验解决问题的能力，渗透了特殊到一般的思想．