2017-2018学年河南省信阳市罗山县九年级(上)期中数学试卷
展开1.(3分)剪纸是扬州的非物质文化遗产之一,下列剪纸作品中是中心对称图形的是( )
A.B.
C.D.
2.(3分)对于二次函数y=﹣(x﹣1)2+2的图象与性质,下列说法正确的是( )
A.对称轴是直线x=1,最小值是2
B.对称轴是直线x=1,最大值是2
C.对称轴是直线x=﹣1,最小值是2
D.对称轴是直线x=﹣1,最大值是2
3.(3分)已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个实数根为2,则m的值和另一实数根分别为( )
A.2,﹣4B.﹣2,﹣4C.2,4D.﹣2,4
4.(3分)关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实数根,则k的值为( )
A.k=4B.k=﹣4C.k≥﹣4D.k≥4
5.(3分)已知点P(a+1,﹣+1)关于原点的对称点在第四象限,则a的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A.B.
C.D.
6.(3分)如图,将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′,那么A(﹣2,5)的对应点A′的坐标是( )
A.(2,5)B.(5,2)C.(2,﹣5)D.(5,﹣2)
7.(3分)直角坐标平面上将二次函数y=﹣2(x﹣1)2﹣2的图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位,则其顶点为( )
A.(0,0)B.(1,﹣2)C.(0,﹣1)D.(﹣2,1)
8.(3分)点P1(﹣1,y1),P2(3,y2),P3(5,y3)均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y3>y2>y1B.y3>y1=y2C.y1>y2>y3D.y1=y2>y3
9.(3分)如图,六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成,其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和,若丙的直角边长为2,且丁的面积比丙的面积小,则丁的直角边长是( )
A.B.C.D.
10.(3分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根,下列结论:
①b2﹣4ac<0;②abc>0;③a﹣b+c<0;④m>﹣2,
其中,正确的个数有( )
A.1B.2C.3D.4
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
11.(3分)方程x2=2x的解是 .
12.(3分)把二次函数y=x2﹣12x化为形如y=a(x﹣h)2+k的形式 .
13.(3分)某种药品原来售价100元,连续两次降价后售价为81元,若每次下降的百分率相同,则这个百分率是 .
14.(3分)如图,P为正方形ABCD内一点,且BP=2,PC=3,∠APB=135°,将△APB绕点B顺时针旋转90°得到△CP′B,连接PP′,则AP= .
15.(3分)如图,在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C,F,M,过点C作DE⊥OC,分别交OA,OB于点D,E,以FM为对角线菱形FGMH.已知∠DFE=∠GFH=120°,
FG=FE.设OC=x,图中阴影部分面积为y,则y与x之间的函数关系式是 .
三、解答题(本大题共8小题,共75分)
16.(8分)解方程
(1)x2﹣2x+1=25
(2)x(2x﹣5)=4x﹣10.
17.(9分)如图所示,在正方形ABCD中,AD=1,将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A′BD′,此时A′D′与CD交于点E,求DE的长度.
18.(9分)已知AB在平面直角坐标系中的位置如图所示,每个小正方形的边长为单位1.
(1)在x轴上找一点C,画出△ABC,使△ABC是以AB为底的等腰三角形,并写出点C的坐标: .
(2)将△ABC绕着点C分别按顺时针方向旋转90°、180°、270°,画出旋转后的图形,并说出A点的对应点坐标分别为 , , .
(3)试欣赏你画出的图形,想一想:整个图形 轴对称图形(填“是”或“不是”);若是,有 条对称轴.整个图形 中心对称图形(填“是”或“不是”);若是,对称中心是 点.
19.(9分)某商店以每件16元的价格购进一批商品,物价局限定每件商品的利润不得超过30%.
(1)根据物价局规定,此商品每件售价最高可定为多少?
(2)若每件商品售价定为x元,则每天可卖出(170﹣5x)件,商店预期每天要盈利280元,那么每件商品的售价应定为多少元?
20.(9分)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=9cm,BC=12cm,若点P从点A沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,两点同时出发.
(1)问几秒后,△PBQ的面积为18cm2.
(2)出发几秒后,线段PQ的长为cm?
(3)△PBQ的面积能否为22cm2?若能,求出时间;若不能,请说明理由.
21.(10分)在平面直角坐标系中,设二次函数y1=(x+a)(x﹣a﹣1),其中a≠0.
(1)若函数y1的图象经过点(1,﹣2),求函数y1的表达式;
(2)若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点,探究实数a,b满足的关系式;
(3)已知点P(x0,m)和Q(1,n)在函数y1的图象上,若m<n,求x0的取值范围.
22.(10分)如图,某日的钱塘江观测信息如下:
按上述信息,小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离s(千米)与时间t(分钟)的函数关系用图3表示.其中:“11:40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点A(0,12),点B坐标为(m,0),曲线BC可用二次函数:s=t2+bt+c(b,c是常数)刻画.
(1)求m值,并求出潮头从甲地到乙地的速度;
(2)11:59时,小红骑单车从乙地出发,沿江边公路以0.48千米/分的速度往甲地方向去看潮,问她几分钟与潮头相遇?
(3)相遇后,小红立即调转车头,沿江边公路按潮头速度与潮头并行,但潮头过乙地后均匀加速,而单车最高速度为0.48千米/分,小红逐渐落后.问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间?(潮水加速阶段速度v=v0+(t﹣30),v0是加速前的速度).
23.(11分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx的图象经过A(5,0)、B(4,4).
(1)求二次函数y=ax2+bx的解析式.
(2)在第一象限的抛物线上存在点M,使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大,求点M的坐标.
(3)作直线x=m交抛物线于点P,交线段OB于点Q,当△PQB为等腰三角形时,请直接写出m的值.
2017-2018学年河南省信阳市罗山县九年级(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)剪纸是扬州的非物质文化遗产之一,下列剪纸作品中是中心对称图形的是( )
A.B.
C.D.
【分析】根据中心对称图形的概念进行判断.
【解答】解:A、不是中心对称图形,故错误;
B、不是中心对称图形,故错误;
C、是中心对称图形,故正确;
D、不是中心对称图形,故错误;
故选:C.
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念:轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合;中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.
2.(3分)对于二次函数y=﹣(x﹣1)2+2的图象与性质,下列说法正确的是( )
A.对称轴是直线x=1,最小值是2
B.对称轴是直线x=1,最大值是2
C.对称轴是直线x=﹣1,最小值是2
D.对称轴是直线x=﹣1,最大值是2
【分析】根据抛物线的图象与性质即可判断.
【解答】解:由抛物线的解析式:y=﹣(x﹣1)2+2,
可知:对称轴x=1,
开口方向向下,所以有最大值y=2,
故选:B.
【点评】本题考查二次函数的性质,解题的关键是正确理解抛物线的图象与性质,本题属于基础题型.
3.(3分)已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个实数根为2,则m的值和另一实数根分别为( )
A.2,﹣4B.﹣2,﹣4C.2,4D.﹣2,4
【分析】设方程的另一根为x,由根与系数的关系可得到关于x和m的方程,可求得答案.
【解答】解:
设方程的另一根为x,
由根与系数的关系可得2x=﹣8,解得x=﹣4,
∴﹣m=﹣4+2=﹣2,解得m=2,
故选:A.
【点评】本题主要考查根与系数的关系,掌握方程两根与方程系数之间的关系是解题的关键,本题也可先把实数根代入方程先求m的值,再解方程.
4.(3分)关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实数根,则k的值为( )
A.k=4B.k=﹣4C.k≥﹣4D.k≥4
【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次方程,解之即可得出结论.
【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实数根,
∴△=42﹣4k=16﹣4k=0,
解得:k=4.
故选:A.
【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程,熟练掌握“当△=0时,方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键.
5.(3分)已知点P(a+1,﹣+1)关于原点的对称点在第四象限,则a的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A.B.
C.D.
【分析】根据关于原点对称点的性质得出对应点坐标,再利用第四象限点的坐标性质得出答案.
【解答】解:∵点P(a+1,﹣+1)关于原点的对称点坐标为:(﹣a﹣1,﹣1),该对称点在第四象限,
∴,
解得:a<﹣1,
则a的取值范围在数轴上表示为:
.
故选:C.
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质以及不等式组的解法,正确得出关于a的不等式组是解题关键.
6.(3分)如图,将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′,那么A(﹣2,5)的对应点A′的坐标是( )
A.(2,5)B.(5,2)C.(2,﹣5)D.(5,﹣2)
【分析】由线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′可以得出△ABO≌△A′B′O′,∠AOA′=90°,作AC⊥y轴于C,A′C′⊥x轴于C′,就可以得出△ACO≌△A′C′O,就可以得出AC=A′C′,CO=C′O,由A的坐标就可以求出结论.
【解答】解:∵线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′,
∴△ABO≌△A′B′O′,∠AOA′=90°,
∴AO=A′O.
作AC⊥y轴于C,A′C′⊥x轴于C′,
∴∠ACO=∠A′C′O=90°.
∵∠COC′=90°,
∴∠AOA′﹣∠COA′=∠COC′﹣∠COA′,
∴∠AOC=∠A′OC′.
在△ACO和△A′C′O中,
,
∴△ACO≌△A′C′O(AAS),
∴AC=A′C′,CO=C′O.
∵A(﹣2,5),
∴AC=2,CO=5,
∴A′C′=2,OC′=5,
∴A′(5,2).
故选:B.
【点评】本题考查了旋转的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,等式的性质的运用,点的坐标的运用,解答时证明三角形全等是关键.
7.(3分)直角坐标平面上将二次函数y=﹣2(x﹣1)2﹣2的图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位,则其顶点为( )
A.(0,0)B.(1,﹣2)C.(0,﹣1)D.(﹣2,1)
【分析】易得原抛物线顶点,把横坐标减1,纵坐标加1即可得到新的顶点坐标.
【解答】解:由题意得原抛物线的顶点为(1,﹣2),
∵图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位,
∴新抛物线的顶点为(0,﹣1).
故选:C.
【点评】考查二次函数的平移问题;用到的知识点为:二次函数图象的平移与顶点的平移一致.
8.(3分)点P1(﹣1,y1),P2(3,y2),P3(5,y3)均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y3>y2>y1B.y3>y1=y2C.y1>y2>y3D.y1=y2>y3
【分析】根据函数解析式的特点,其对称轴为x=1,图象开口向下,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小,据二次函数图象的对称性可知,P1(﹣1,y1)与(3,y1)关于对称轴对称,可判断y1=y2>y3.
【解答】解:∵y=﹣x2+2x+c,
∴对称轴为x=1,开口向下,
P2(3,y2),P3(5,y3)在对称轴的右侧,y随x的增大而减小,
∵3<5,
∴y2>y3,
根据二次函数图象的对称性可知,P1(﹣1,y1)与(3,y1)关于对称轴对称,
故y1=y2>y3,
故选:D.
【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系,同时考查了函数的对称性及增减性.
9.(3分)如图,六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成,其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和,若丙的直角边长为2,且丁的面积比丙的面积小,则丁的直角边长是( )
A.B.C.D.
【分析】设出丁的直角边为x,表示出其它,再用面积建立方程即可.
【解答】解:设丁的直角边为x,
依题意得:2x+2x=×22+x2,
整理可得x2﹣8x+4=0,
解得x=4±2,
∵4+2>2,不合题意舍,
4﹣2<2,合题意,
∴x=4﹣2,
故选:D.
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和矩形的性质及一元二次方程的应用,列出一元二次方程是解题的关键.
10.(3分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根,下列结论:
①b2﹣4ac<0;②abc>0;③a﹣b+c<0;④m>﹣2,
其中,正确的个数有( )
A.1B.2C.3D.4
【分析】直接利用抛物线与x轴交点个数以及抛物线与方程之间的关系、函数图象与各系数之间关系分析得出答案.
【解答】解:如图所示:图象与x轴有两个交点,则b2﹣4ac>0,故①错误;
∵图象开口向上,∴a>0,
∵对称轴在y轴右侧,
∴a,b异号,
∴b<0,
∵图象与y轴交于x轴下方,
∴c<0,
∴abc>0,故②正确;
当x=﹣1时,a﹣b+c>0,故此选项错误;
∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标纵坐标为:﹣2,
故二次函数y=ax2+bx+c向上平移小于2个单位,则平移后解析式y=ax2+bx+c﹣m与x轴有两个交点,此时关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根,
故﹣m<2,
解得:m>﹣2,
故④正确.
故选:B.
【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系,正确把握二次函数与方程之间的关系是解题关键.
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
11.(3分)方程x2=2x的解是 x1=0,x2=2 .
【分析】先移项得到x2﹣2x=0,再把方程左边进行因式分解得到x(x﹣2)=0,方程转化为两个一元一次方程:x=0或x﹣2=0,即可得到原方程的解为x1=0,x2=2.
【解答】解:∵x2﹣2x=0,
∴x(x﹣2)=0,
∴x=0或x﹣2=0,
∴x1=0,x2=2.
故答案为x1=0,x2=2.
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法:把一元二次方程变形为一般式,再把方程左边进行因式分解,然后把方程转化为两个一元一次方程,解这两个一元一次方程得到原方程的解.
12.(3分)把二次函数y=x2﹣12x化为形如y=a(x﹣h)2+k的形式 y=(x﹣6)2﹣36 .
【分析】由于二次项系数为1,所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式,把一般式转化为顶点式.
【解答】解:y=x2﹣12x=(x2﹣12x+36)﹣36=(x﹣6)2﹣36,即y=(x﹣6)2﹣36.
故答案为y=(x﹣6)2﹣36.
【点评】本题考查了二次函数解析式的三种形式:
(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数);
(2)顶点式:y=a(x﹣h)2+k;
(3)交点式(与x轴):y=a(x﹣x1)(x﹣x2).
13.(3分)某种药品原来售价100元,连续两次降价后售价为81元,若每次下降的百分率相同,则这个百分率是 10% .
【分析】设平均每次降价的百分率为x,那么第一次降价后的售价是原来的(1﹣x),那么第二次降价后的售价是原来的(1﹣x)2,根据题意列方程解答即可.
【解答】解:设平均每次降价的百分率为x,根据题意列方程得
100×(1﹣x)2=81,
解得x1=0.1=10%,x2=1.9(不符合题意,舍去).
答:这两次的百分率是10%.
故答案为:10%.
【点评】本题考查一元二次方程的应用,要掌握求平均变化率的方法.若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.
14.(3分)如图,P为正方形ABCD内一点,且BP=2,PC=3,∠APB=135°,将△APB绕点B顺时针旋转90°得到△CP′B,连接PP′,则AP= 1 .
【分析】根据旋转性质可得∠APB=∠CP'B=135°、∠ABP=∠CBP'、BP=BP'、AP=CP',由∠ABP+∠PBC=90°知△BPP'是等腰直角三角形,进而根据∠CP'B=135°可得∠PP'C=90°,由此可利用勾股定理即可CP的值,则AP的长也可求出.
【解答】解:∵△BP'C是由△BPA旋转得到,
∴∠APB=∠CP'B=135°,∠ABP=∠CBP',BP=BP',AP=CP',
∵∠ABP+∠PBC=90°,
∴∠CBP'+∠PBC=90°,即∠PBP'=90°,
∴△BPP'是等腰直角三角形,
∴∠BP'P=45°,
∵∠APB=∠CP'B=135°,
∴∠PP'C=90°,
∵BP=2,
∴PP′==2,
∵PC=3,
∴CP'===1,
∴AP=CP′=1,
故答案为:1.
【点评】本题主要考查旋转的性质、等腰直角三角形、勾股定理等知识点,熟练运用这些性质、定理得△PP′C是直角三角形是解题关键.
15.(3分)如图,在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C,F,M,过点C作DE⊥OC,分别交OA,OB于点D,E,以FM为对角线菱形FGMH.已知∠DFE=∠GFH=120°,
FG=FE.设OC=x,图中阴影部分面积为y,则y与x之间的函数关系式是 y=x2 .
【分析】由在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C,F,M,过点C作DE⊥OC,可得△OCD与△OCE是等腰直角三角形,即可得OC垂直平分DE,求得DE=2x,再由∠DFE=∠GFH=120°,可求得CF与DF,EF的长,继而求得△DF的面积,再由菱形FGMH中,FG=FE,得到△FGM是等边三角形,即可求得其面积,继而求得答案.
【解答】解:∵ON是Rt∠AOB的平分线,
∴∠DOC=∠EOC=45°,
∵DE⊥OC,
∴∠ODC=∠OEC=45°,
∴CD=CE=OC=x,
∴DF=EF,DE=CD+CE=2x,
∵∠DFE=∠GFH=120°,
∴∠CEF=30°,
∴CF=CE•tan30°=x,
∴EF=2CF=x,
∴S△DEF=DE•CF=x2,
∵四边形FGMH是菱形,
∴FG=MG=FE=x,
∵∠G=180°﹣∠GFH=60°,
∴△FMG是等边三角形,
∴S△FGH=x2,
∴S菱形FGMH=x2,
∴S阴影=S△DEF+S菱形FGMH=x2.
故答案为:y=x2.
【点评】此题考查了菱形的性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识.注意证得△OCD与△OCE是等腰直角三角形,△FGM是等边三角形是关键.
三、解答题(本大题共8小题,共75分)
16.(8分)解方程
(1)x2﹣2x+1=25
(2)x(2x﹣5)=4x﹣10.
【分析】(1)左边写成完全平方式后,再开方即可得;
(2)利用因式分解法求解可得.
【解答】解:(1)∵(x﹣1)2=25,
∴x﹣1=5或x﹣1=﹣5,
解得:x=6或x=﹣4;
(2)∵x(2x﹣5)=2(2x﹣5),
∴x(2x﹣5)﹣2(2x﹣5)=0,
∴(2x﹣5)(x﹣2)=0,
则2x﹣5=0或x﹣2=0,
解得:x=或x=2.
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.
17.(9分)如图所示,在正方形ABCD中,AD=1,将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A′BD′,此时A′D′与CD交于点E,求DE的长度.
【分析】利用正方形和旋转的性质得出A′D=A′E,进而利用勾股定理得出BD的长,进而利用锐角三角函数关系得出DE的长即可.
【解答】解:由题意可得出:∠BDC=45°,∠DA′E=90°,
∴∠DEA′=45°,
∴A′D=A′E,
∵在正方形ABCD中,AD=1,
∴AB=A′B=1,
∴BD=,
∴A′D=﹣1,
∴在Rt△DA′E中,
DE==2﹣.
【点评】此题主要考查了正方形和旋转的性质以及勾股定理、锐角三角函数关系等知识,得出A′D的长是解题关键.
18.(9分)已知AB在平面直角坐标系中的位置如图所示,每个小正方形的边长为单位1.
(1)在x轴上找一点C,画出△ABC,使△ABC是以AB为底的等腰三角形,并写出点C的坐标: (0,0) .
(2)将△ABC绕着点C分别按顺时针方向旋转90°、180°、270°,画出旋转后的图形,并说出A点的对应点坐标分别为 (2,﹣1) , (﹣1,﹣2) , (﹣2,1) .
(3)试欣赏你画出的图形,想一想:整个图形 是 轴对称图形(填“是”或“不是”);若是,有 4 条对称轴.整个图形 是 中心对称图形(填“是”或“不是”);若是,对称中心是 C 点.
【分析】(1)可将C点放在原点,这样构成以AB为底的等腰三角形.
(2)根据旋转角度、旋转方向、旋转中心找到各点的对称点,顺次连接即可.
(3)根据(2)所画的图形结合轴对称、中心对称的性质及特点即可作出回答.
【解答】解:(1)所画图形如下:
C点坐标为:(0,0);
(2)所画图形如上.
根据坐标图及各点的位置即可得出:A′(2,﹣1),A′′(﹣1,﹣2),A′′′(﹣2,1).
(3)根据所画图形可得:是对称图,有4条对称轴;也是中心对称图形,C是中心对称点.
故答案为:(0,0),(2,﹣1),(﹣1,﹣2),(﹣2,1);是,4,是C.
【点评】本题考查旋转作图及等腰三角形的性质,难度不大,但综合了很多知识,注意细心解答.
19.(9分)某商店以每件16元的价格购进一批商品,物价局限定每件商品的利润不得超过30%.
(1)根据物价局规定,此商品每件售价最高可定为多少?
(2)若每件商品售价定为x元,则每天可卖出(170﹣5x)件,商店预期每天要盈利280元,那么每件商品的售价应定为多少元?
【分析】(1)原价加上原价的30%即为最高售价;
(2)根据:每件盈利×销售件数=总盈利额;其中,每件盈利=每件售价﹣每件进价.建立等量关系.
【解答】解:(1)16(1+30%)=20.8,
答:此商品每件售价最高可定为20.8元.
(2)(x﹣16)(170﹣5x)=280,
整理,得:x2﹣50x+600=0,
解得:x1=20,x2=30,
因为售价最高不得高于20.8元,所以x2=30不合题意应舍去.
答:每件商品的售价应定为20元.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系,列方程求解.
20.(9分)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=9cm,BC=12cm,若点P从点A沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,两点同时出发.
(1)问几秒后,△PBQ的面积为18cm2.
(2)出发几秒后,线段PQ的长为cm?
(3)△PBQ的面积能否为22cm2?若能,求出时间;若不能,请说明理由.
【分析】设运动时间为t秒时,则PB=(9﹣t)cm,BQ=2tcm.
(1)根据三角形的面积公式,即可得出关于t的一元二次方程,解之即可得出结论;
(2)根据勾股定理,即可得出关于t的一元二次方程,解之即可得出结论;
(3)假设能,根据三角形的面积公式,即可得出关于t的一元二次方程,由根的判别式△=﹣7<0,可得知该方程无解,即假设不成立,进而即可得出△PBQ的面积不能为22cm2.
【解答】解:设运动时间为t秒时,则PB=(9﹣t)cm,BQ=2tcm.
(1)根据题意,得:×(9﹣t)×2t=18,
整理,得:t2﹣9t+18=0,
解得:t1=3,t2=6.
答:出发3秒或6秒后,△PBQ的面积为18cm2;
(2)根据题意得:(9﹣t)2+(2t)2=()2,
整理,得:5t2﹣18t+16=0,
解得:t1=,t2=2.
答:出发秒或2秒后,线段PQ的长为cm;
(3)假设能,根据题意得:×(9﹣t)×2t=22,
整理,得:t2﹣9t+22=0,
∵△=(﹣9)2﹣4×1×22=﹣7<0,
∴该方程无解,
∴假设不成立,即△PBQ的面积不能为22cm2.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
21.(10分)在平面直角坐标系中,设二次函数y1=(x+a)(x﹣a﹣1),其中a≠0.
(1)若函数y1的图象经过点(1,﹣2),求函数y1的表达式;
(2)若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点,探究实数a,b满足的关系式;
(3)已知点P(x0,m)和Q(1,n)在函数y1的图象上,若m<n,求x0的取值范围.
【分析】(1)根据待定系数法,可得函数解析式;
(2)根据函数图象上的点满足函数解析式,可得答案;
(3)根据二次函数的性质,可得答案.
【解答】解:(1)函数y1的图象经过点(1,﹣2),得
(a+1)(﹣a)=﹣2,
解得a1=﹣2,a2=1,
函数y1的表达式y=(x﹣2)(x+2﹣1),化简,得y=x2﹣x﹣2;
函数y1的表达式y=(x+1)(x﹣2)化简,得y=x2﹣x﹣2,
综上所述:函数y1的表达式y=x2﹣x﹣2;
(2)当y=0时(x+a)(x﹣a﹣1)=0,解得x1=﹣a,x2=a+1,
y1的图象与x轴的交点是(﹣a,0),(a+1,0),
当y2=ax+b经过(﹣a,0)时,﹣a2+b=0,即b=a2;
当y2=ax+b经过(a+1,0)时,a2+a+b=0,即b=﹣a2﹣a;
(3)y1的对称轴为:=,
当P在对称轴的左侧(含顶点)时,y随x的增大而减小,
(1,n)与(0,n)关于对称轴对称,
由m<n,得0<x0≤;
当P在对称轴的右侧时,y随x的增大而增大,
由m<n,得<x0<1,
综上所述:m<n,所求x0的取值范围0<x0<1.
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,解(1)的关键是利用待定系数法;解(2)的关键是把点的坐标代入函数解析式;解(3)的关键是利用二次函数的性质,要分类讨论,以防遗漏.
22.(10分)如图,某日的钱塘江观测信息如下:
按上述信息,小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离s(千米)与时间t(分钟)的函数关系用图3表示.其中:“11:40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点A(0,12),点B坐标为(m,0),曲线BC可用二次函数:s=t2+bt+c(b,c是常数)刻画.
(1)求m值,并求出潮头从甲地到乙地的速度;
(2)11:59时,小红骑单车从乙地出发,沿江边公路以0.48千米/分的速度往甲地方向去看潮,问她几分钟与潮头相遇?
(3)相遇后,小红立即调转车头,沿江边公路按潮头速度与潮头并行,但潮头过乙地后均匀加速,而单车最高速度为0.48千米/分,小红逐渐落后.问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间?(潮水加速阶段速度v=v0+(t﹣30),v0是加速前的速度).
【分析】(1)根据起始时间结合到达乙地时间,即可求出m值,再根据速度=路程÷时间,即可求出潮头从甲地到乙地的速度;
(2)根据小红出发时间结合路程=速度×时间,可求出此时潮头离乙地的距离,再根据时间=路程÷二者速度和即可求出小红需多长时间与潮头相遇;
(3)根据点B、C的坐标利用待定系数法可求出二次函数解析式,令潮头的速度=小红的最高速度,可求出小红开始落后的时间,利用二次函数图象上点的坐标特征可求出此时潮头离开乙地的距离,再根据潮头离乙地的距离﹣小红离乙地的距离=1.8千米,即可求出t值,用其减去30加上潮头走完二者相遇地到乙地所需时间即可得出结论.
【解答】解:(1)12时10分﹣11时40分=30分,
12÷30=0.4(千米/分).
答:m的值为30.潮头从甲地到乙地的速度为0.4千米/分.
(2)0.4×(30+40﹣59)=4.4(千米),
4.4÷(0.4+0.48)=5(分钟).
答:小红出发五分钟后与潮头相遇.
(3)将B(30,0)、C(55,15)代入s=t2+bt+c中,
得:,解得:,
∴曲线BC的函数关系式为s=t2﹣t﹣.
令0.4+(t﹣30)=0.48,解得:t=35,
当t=35时,s=t2﹣t﹣=2.2.
根据题意得:t2﹣t﹣﹣0.48(t﹣35)﹣2.2=1.8,
整理得:t2﹣70t+1000=0,
解得:t=50或t=20(不合题意,舍去).
∵0.48×5÷0.4=6(分钟),
∴50﹣30+6=26(分钟),
∴小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需26分钟.
【点评】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征以及解一元二次方程,解题的关键是:(1)根据数量关系,列式计算;(2)求出小红出发时潮头离乙地的距离;(3)根据二者相距1.8千米,列出关于t的一元二次方程.
23.(11分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx的图象经过A(5,0)、B(4,4).
(1)求二次函数y=ax2+bx的解析式.
(2)在第一象限的抛物线上存在点M,使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大,求点M的坐标.
(3)作直线x=m交抛物线于点P,交线段OB于点Q,当△PQB为等腰三角形时,请直接写出m的值.
【分析】(1)由于抛物线与x轴的两个交点已知,因此抛物线的解析式可设成交点式,然后把点B的坐标代入,即可求出抛物线的解析式.
(2)以O、A、B、M为顶点的四边形中,△OAB的面积固定,因此只要另外一个三角形面积最大,则四边形面积即最大;求出另一个三角形面积的表达式,利用二次函数的性质确定其最值;本问需分类讨论:①当0<x<4时,点M在抛物线OB段上时,如答图1所示;②当4<x<5时,点M在抛物线AB段上时,图略.
(3)△PQB为等腰三角形时,有三种情形,需要分类讨论,避免漏解:①若点B为顶点,即BP=BQ,如答图2﹣1所示;②若点P为顶点,即PQ=PB,如答图2﹣2所示;③若点Q为顶点,即QP=QB,如答图2﹣3所示.
【解答】解:(1)∵该抛物线经过点A(5,0),O(0,0),
∴该抛物线的解析式可设为y=a(x﹣0)(x﹣5)=ax(x﹣5).
∵点B(4,4)在该抛物线上,
∴a×4×(4﹣5)=4.
∴a=﹣1.
∴该抛物线的解析式为y=﹣x(x﹣5)=﹣x2+5x.
(2)以O、A、B、M为顶点的四边形中,△OAB的面积固定,因此只要另外一个三角形面积最大,则四边形面积即最大.
①当0<x<4时,点M在抛物线OB段上时,如答图1所示.
∵B(4,4),∴易知直线OB的解析式为:y=x.
设M(x,﹣x2+5x),
过点M作ME∥y轴,交OB于点E,则E(x,x),
∴ME=(﹣x2+5x)﹣x=﹣x2+4x.
S△OBM=S△MEO+S△MEB=ME(xE﹣0)+ME(xB﹣xE)=ME•xB=ME×4=2ME,
∴S△OBM=﹣2x2+8x=﹣2(x﹣2)2+8
∴当x=2时,S△OBM最大值为8,即四边形的面积最大.
②当4<x<5时,点M在抛物线AB段上时,图略.
可求得直线AB解析式为:y=﹣4x+20.
设M(x,﹣x2+5x),
过点M作ME∥y轴,交AB于点E,则E(x,﹣4x+20),
∴ME=(﹣x2+5x)﹣(﹣4x+20)=﹣x2+9x﹣20.
S△ABM=S△MEB+S△MEA=ME(xE﹣xB)+ME(xA﹣xE)=ME•(xA﹣xB)=ME×1=ME,
∴S△ABM=﹣x2+x﹣10=﹣(x﹣)2+,
∴当x=时,S△ABM最大值为 ,即四边形的面积最大.
比较①②可知,当x=2时,四边形面积最大.
当x=2时,y=﹣x2+5x=6,
∴M(2,6).
(3)由题意可知,点P在线段OB上方的抛物线上.
设P(m,﹣m2+5m),则Q(m,m)
当△PQB为等腰三角形时,
①若点B为顶点,即BP=BQ,如答图2﹣1所示.
过点B作BE⊥PQ于点E,则点E为线段PQ中点,
∴E(m,).
∵BE∥x轴,B(4,4),
∴=4,
解得:m=2或m=4(与点B重合,舍去)
∴m=2;
②若点P为顶点,即PQ=PB,如答图2﹣2所示.
易知∠BOA=45°,∴∠PQB=45°,则△PQB为等腰直角三角形.
∴PB∥x轴,
∴﹣m2+5m=4,
解得:m=1或m=4(与点B重合,舍去)
∴m=1;
③若点Q为顶点,即QP=QB,如答图2﹣3所示.
∵P(m,﹣m2+5m),Q(m,m),
∴PQ=﹣m2+4m.
又∵QB=(xB﹣xQ)=(4﹣m),
∴﹣m2+4m=(4﹣m),
解得:m=或m=4(与点B重合,舍去),
∴m=.
综上所述,当△PQB为等腰三角形时,m的值为1,2或 .
【点评】本题是二次函数压轴题,待定系数法、四边形的面积、等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.
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日期:2020/10/24 17:38:02;用户:13784622801;邮箱:13784622801;学号:37960971
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