专题15 空间向量与立体几何多选题(原卷板)+解析版

专题15 空间向量与立体几何

1．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是（    ）

A． B．平面ABCD

C．三棱锥的体积为定值 D．的面积与的面积相等

【答案】AD

【解析】

【分析】

通过特殊化，点F与点重合可判定A错误；正方体的两个底面平行，判定B正确，三角形BEF的面积是定值，A点到面距离是定值，可判定C正确，△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确，可判定D错误.

【详解】

A．由题意及图形知，当点F与点重合时，故选项A错误；

B．平面ABCD，由正方体的两个底面平行，

平面，故有平面ABCD，此命题正确，不是正确选项；

C．三棱锥A-BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，此命题正确，不是正确选项；

D．由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确，故D是错误的．

故选：AD

【点睛】

本题考查直线与平面平行、垂直的判定、棱锥的体积，考查空间想象能力与运算求解能力，属于中档题．

2．下列命题中正确的是（    ）

A．是空间中的四点，若不能构成空间基底，则共面

B．已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底

C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线

D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为

【答案】ABD

【解析】

【分析】

不共面的三个非零向量可以构成空间向量的一个基底，由此可判断A、B，若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则线面平行，可判断C，直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值与该直线与此平面所成角的正弦值相等，由此可判断D．

【详解】

对于A，是空间中的四点，若不能构成空间基底，则共面，则共面，故A对；

对于B，已知为空间的一个基底，则不共面，若，则也不共面，则也是空间的基底，故B对；

对于C，因为，则，若，则，但选项中没有条件，有可能会出现，故C错；

对于D，∵，则则直线与平面所成角的正弦值为，故D对；

故选：ABD．

【点睛】

本题主要考查命题的真假，考查空间基底的定义，考查空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．

3．已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（    ）

A．若则

B．若则

C．若，，则

D．若，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】

由线面垂直的判定定理、面面平行的判定定理、线面平行的性质定理，以长方体为载体逐一分析即可得出结论．

【详解】

解：

若，则且使得，，又，则，，由线面垂直的判定定理得，故A对；

若，，如图，设，平面为平面，，设平面为平面，，则，故B错；

垂直于同一条直线的两个平面平行，故C对；

若，则，又，则，故D对；

故选：ACD．

【点睛】

本题主要考查线面平行的性质定理、面面平行的判定定理以及线面垂直的判定定理，通常借助长方体为载体进行判断，属于基础题．

4．如图，在正方体中，点在线段上运动，则 （    ）

A．直线平面

B．三棱锥的体积为定值

C．异面直线与所成角的取值范围是

D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为

【答案】ABD

【解析】

【分析】

利用线面垂直的性质判定可判定选项A,对三棱锥转化顶点可判定选项B,找到异面成角的最小值的情况即可判断选项C,转化直线与平面所成角的正弦值的最大值为直线与直线所成角的余弦值最大,进而判断选项D

【详解】

对于选项A,连接,由正方体可得,且平面,则,所以平面,故；同理,连接,易证得,则平面,故A正确；

对于选项B,,因为点在线段上运动,所以,面积为定值,且到平面的距离即为到平面的距离,也为定值,故体积为定值,故B正确；

对于选项C,当点与线段的端点重合时,与所成角取得最小值为,故C错误；

对于选项D,因为直线平面,所以若直线与平面所成角的正弦值最大,则直线与直线所成角的余弦值最大,则运动到中点处,即所成角为,设棱长为1,在中,,故D正确

故选：ABD

【点睛】

本题考查线面垂直的判定,考查异面成角,线面成角,考查棱锥体积,考查转化思想和空间想象能力

5．如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（    ）

A．四点共面 B．平面平面

C．直线与所成角的为 D．平面

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据、是异面直线可判断A；根据面面垂直的判定定理可判断B；取的中点

，连接、，即可判断C；根据线面平行的判定定理即可判断D.

【详解】

对于A，由图显然、是异面直线，故四点不共面，故A错误；

对于B，由题意平面，故平面平面，故B正确；

对于C，取的中点，连接、，可知三角形为等边三角形，故C正确；

对于D，平面，显然与平面不平行，故D错误；

故选：BC

【点睛】

本题主要考查了线面、面面之间的位置关系，属于基础题.

6．已知两条直线，及三个平面，，，则的充分条件是（    ）．

A．， B．，，

C．， D．，，

【答案】ABC

【解析】

【分析】

根据面面垂直的判定定理，即可得作出判断.

【详解】

由面面垂直定理可以判断正确，

对于选项，，，，也可以得到，故错.

故选：.

【点睛】

本题主要考查的是面面垂直的判定定理、充分条件的判断，考查学生的分析问题解决问题的能力，是基础题.

7．如图,在棱长均相等的四棱锥中, 为底面正方形的中心, ,分别为侧棱,的中点,有下列结论正确的有：(  )

A．∥平面 B．平面∥平面

C．直线与直线所成角的大小为 D．

【答案】ABD

【解析】

【分析】

选项A,利用线面平行的判定定理即可证明；选项B,先利用线面平行的判定定理证明CD∥平面OMN，再利用面面平行的判定定理即可证明；选项C，平移直线，找到线面角，再计算；选项D,因为ON∥PD，所以只需证明PD⊥PB，利用勾股定理证明即可.

【详解】

选项A,连接BD，显然O为BD的中点，又N为PB的中点，所以∥ON,由线面平行的判定定理可得，∥平面；选项B, 由,分别为侧棱,的中点,得MN∥AB,又底面为正方形，所以MN∥CD，由线面平行的判定定理可得，CD∥平面OMN,又选项A得∥平面，由面面平行的判定定理可得，平面∥平面；选项C,因为MN∥CD，所以∠ PDC为直线与直线所成的角，又因为所有棱长都相等，所以∠ PDC=，故直线与直线所成角的大小为；选项D，因底面为正方形，所以,又所有棱长都相等，所以,故,又

∥ON，所以，故ABD均正确.

【点睛】

解决平行关系基本问题的3个注意点

(1)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易忽视．

(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．

(3)会举反例或用反证法推断命题是否正确．

8．如图，矩形，为的中点，将沿直线翻折成，连接，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是(   )

A．存在某个位置，使得 B．翻折过程中，的长是定值；

C．若，则； D．若，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是.

【答案】BD

【解析】

【分析】

对于A取的中点为，连接交于点，则，

由，则，从而判断A，对于B，由判断A的图以及余弦定理可判断B；对于C由线面垂直的性质定理即可判断；对于D根据题意知，只有当平面平面时，

三棱锥的体积最大，取的中点为，

连接，再由线面垂直的性质定理即可判断；

【详解】

对于A，取的中点为，连接交于点，如图 ， 

则，

如果，则,

由于，则,

由于三线共面且共点，

故这是不可能的，故不正确；

对于B，如图，由,

且，

在中，由余弦定理得：

，也是定值，

故是定值，故正确；

对于C，如图

，即,则

若，由于，

且平面，

平面，平面，

，则,

由于，故不成立，故不正确；

对于D，根据题意知，只有当平面平面时，

三棱锥的体积最大，取的中点为，

连接，如图

，则，

且，平面平面

，平面

平面，平面

，

则，,

,

从而,

易知

的中点就是三棱锥的外接球的球心，球的半径为，

表面积是，故D正确；

故选：BD

【点睛】

本题主要考查了立体几何中的翻折问题，考查了学生的空间想象能力以及立体几何中的垂直性质定理，余弦定理，综合性比较强，属于难题.

9．下列选项正确的为（    ）

A．已知直线：，：，则的充分不必要条件是

B．命题“若数列为等比数列，则数列为等比数列”是假命题

C．棱长为正方体中，平面与平面距离为

D．已知为抛物线上任意一点且，若恒成立，则

【答案】ABCD

【解析】

【分析】

A．分析“”与“”的互相推出情况，由此确定是否为充分不必要条件；

B．分析特殊情况：时，，由此判断命题真假；

C．将面面距离转化为点到面的距离，从而可求出面面距离并判断对错；

D．根据线段长度之间的关系列出不等式，从而可求解出的取值范围.

【详解】

A．当时，，，显然；

当时，，解得，

所以的充分不必要条件是正确；

B．当时，，所以此时为等比数列，

但不是等比数列，所以命题是假命题，故正确；

C．如图所示：

由图可知：，所以平面平面，

所以平面与平面距离即为到平面的距离，记为，

由等体积可知：，所以，故正确；

D．设，因为，所以，

所以且，所以，

当时显然符合，当时，所以，

综上可知：.故正确.

故选：ABCD.

【点睛】

本题考查命题真假的判断，难度一般.(1)判断命题是命题的何种条件时，注意从两方面入手：充分性、必要性；(2)立体几何中求解点到平面的距离，采用等体积法较易.

10．在四面体中，以上说法正确的有（    ）

A．若，则可知

B．若Q为的重心，则

C．若，，则

D．若四面体各棱长都为2，M，N分别为，的中点，则

【答案】ABC

【解析】

【分析】

根据向量的线性运算与数量积一一判断即可.

【详解】

解：对于，，，

，，即，故正确；

对于，若Q为的重心，则，

即，故正确；

对于，若，，则

，

，

，

，

.

故正确；

对于，

，

故错误.

故选：

【点睛】

本题考查向量的线性运算，向量的数量积及利用向量的数量积求向量的模，属于中档题.

11．给出下列命题，其中正确命题有（   ）

A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底

B．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底

C．是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么共面

D．已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底

【答案】ABCD

【解析】

【分析】

根据空间基底的概念，结合向量的共面定量，逐项判定，即可求解，得到答案.

【详解】

选项中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以正确；

选项中，根据空间基底的概念，可得正确；

选项中，由不能构成空间的一个基底，可得共面，

又由过相同点B，可得四点共面，所以正确；

选项中：由是空间的一个基底，则基向量与向量一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以正确．

故选：ABCD.

【点睛】

本题主要考查了空间基底的概念及其判定，其中解答中熟记空间基底的概念，合理利用共面向量定量进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

12．已知四棱锥，底面为矩形，侧面平面，，.若点为的中点，则下列说法正确的为（    ）

A．平面

B．面

C．四棱锥外接球的表面积为

D．四棱锥的体积为6

【答案】BC

【解析】

【分析】

作图，在四棱锥中，根据题意逐一证明或排除.

【详解】

作图在四棱锥中：

由题：侧面平面，交线为，底面为矩形，，则

平面，过点B只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；

连接交于，连接，中，∥，面，

面，所以面，所以选项B正确；

四棱锥的体积是四棱锥的体积的一半，取中点，连接，

，则平面，，四棱锥的体积

所以选项D错误.

矩形中，易得，

中求得：在中

即： ，所以O为四棱锥外接球的球心，半径为，

所以其体积为，所以选项C正确

故选：BC

【点睛】

此题考查立体图形中的平行垂直关系，求锥体体积和外接球体积，综合性强，对空间位置关系辨析能力要求较高.

13．给出下列命题，其中不正确的命题为（    ）

A．若＝，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段；

B．若，则是钝角；

C．若为直线l的方向向量，则 (λ∈R)也是l的方向向量；

D．非零向量满足与，与，与都是共面向量，则必共面．

【答案】ABCD

【解析】

【分析】

结合向量相关知识，对每个选项依次检验，证明其成立或举出反例判定该选项错误.

【详解】

考虑平行四边形中，满足，不满足A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段；所以A选项不正确；

当非零向量夹角为时，满足，但它们夹角不为钝角，所以B选项不正确；

若为直线l的方向向量，当不能说是l的方向向量，所以C选项不正确；

考虑三棱柱，，满足与，与，与都是共面向量，但不共面，所以D选项不正确.

故选：ABCD

【点睛】

此题考查向量相关概念问题的辨析，考查基础知识的掌握程度，易错点在于对细节特殊情况的讨论.

14．正方体的棱长为2,分别为的中点,则（    ）

A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行

C．平面截正方体所得的截面面积为 D．点与点到平面的距离相等

【答案】BC

【解析】

【分析】

A．利用线面垂直的定义进行分析；

B．作出辅助线利用面面平行判断；

C．作出截面然后根据线段长度计算出截面的面积；

D．通过等体积法进行判断.

【详解】

A．若，又因为且，所以平面，

所以，所以，显然不成立，故结论错误；

B．如图所示，取的中点，连接，

由条件可知：，，且，所以平面平面，

又因为平面，所以平面，故结论正确；

C．如图所示，连接，延长交于点，

因为为的中点，所以，所以四点共面，

所以截面即为梯形，又因为，，

所以，所以，故结论正确；

D．记点与点到平面的距离分别为，

因为，

又因为，

所以，故结论错误.

故选：BC.

【点睛】

本题考查空间立体几何的直线、平面间的关系及截面和体积有关的计算的综合应用，难度一般.

15．正方体的棱长为2，已知平面，则关于截此正方体所得截面的判断正确的是（    ）

A．截面形状可能为正三角形 B．截面形状可能为正方形

C．截面形状可能为正六访形 D．截面面积最大值为

【答案】ACD

【解析】

【分析】

借助正方体，画出截面图形，再对选项进行一一判断．

【详解】

如图，显然A,C成立，下面说明D成立，

如图设截面为多边形，

设，则，

则

所以多边形的面积为两个等腰梯形的面积和，

所以

因为，

，

所以

当时，，故D成立。

故选：ACD．

【点睛】

本题考查空间几何体的截面问题，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时要注意从动态的角度进行分析问题和求解问题，属于中档题．