专题18 直线与圆【多选题】（原卷版）+解析版

专题18 直线与圆

1．下面说法中错误的是（   ）

A．经过定点的直线都可以用方程表示

B．经过定点的直线都可以用方程表示

C．经过定点的直线都可以用方程表示

D．不经过原点的直线都可以用方程表示

E. 经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示

【答案】ABCD

【解析】利用直线方程的各种形式的使用条件，对选项逐一分析，得出结果.

对于A项，该方程不能表示过点P且垂直于轴的直线，即点斜式只能表示斜率存在的直线，所以A项不正确；

对于B项，该方程不能表示过点P且平行于轴的直线，即该直线不能表示斜率为零的直线，所以B项不正确；

对于C项，斜截式不能表示斜率不存在的直线，所以C项不正确；

对于D项，截距式的使用条件是能表示在两坐标轴上都有非零截距的直线，所以D不正确；[来源:Z§xx§k.Com]

对于E项，经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程 表示，是正确的，该方程没有任何限制条件，所以E正确；

故选ABCD.

2．下列说法正确的是（    ）

A．截距相等的直线都可以用方程表示

B．方程能表示平行轴的直线

C．经过点，倾斜角为的直线方程为

D．经过两点，的直线方程

【答案】BD

【解析】根据直线方程的使用条件，逐项判断即可得出．

对于A，若直线过原点，横纵截距都为零，则不能用方程表示，所以A不正确；

对于B，当时，平行于轴的直线方程形式为，所以B正确；

对于C，若直线的倾斜角为，则该直线的斜率不存在，不能用表示，所以C不正确；

对于D，设点是经过两点，的直线上的任意一点，根据

可得，所以D正确．

故选：BD．

3．已知方程和（其中且，），它们所表示的曲线在同一坐标系中可能出现的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】将直线和曲线方程化简成，，结合每个选项依次对参数的正负分析.[来源:学+科+网Z+X+X+K]

由题：且，，

方程即，

即，斜率，轴截距，

A选项根据椭圆，，直线斜率，轴截距，可能；

B选项根据椭圆，，直线斜率，但是轴截距不可能，所以B选项不可能；

C选项根据双曲线，，直线斜率， 轴截距，可能；

D选项根据双曲线，，直线斜率应该，与图中不一致，所以该选项不可能.

故选：AC

4．下列说法正确的是（   ）

A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2

B．点关于直线的对称点为

C．过，两点的直线方程为

D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为

【答案】AB

【解析】根据直线的方程及性质，逐项分析，A中直线在坐标轴上的截距分别为2，，所以围成三角形的面积是2正确，B中在直线上，且连线的斜率为，所以B正确，C选项需要条件，故错误，D选项错误，还有一条截距都为0的直线.

A中直线在坐标轴上的截距分别为2，，所以围成三角形的面积是2正确，B中在直线上，且连线的斜率为，所以B正确，C选项需要条件，故错误，D选项错误，还有一条截距都为0的直线.

5．瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【解析】设，依题意可确定的外心为，可得出一个关系式，求出重心坐标，代入欧拉直线方程，又可得出另一个关系式，解方程组，即可得出结论.

设的垂直平分线为，

的外心为欧拉线方程为

与直线的交点为，

，①

 由，，重心为，

代入欧拉线方程，得，②

由 ①②可得或 .

故选:AD

6．以下四个命题表述正确的是（    ）

A．直线恒过定点

B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1

C．曲线与曲线恰有三条公切线，则

D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点

【答案】BCD

【解析】A.将直线方程进行重新整理，利用参数分离法进行求解即可；

B.根据圆心到直线的距离与半径的关系可判断；

C.通过题意可得两圆相切，则两圆心的距离为半径和，即可求得的值；

D.设出点，求出以线段为直径的圆的方程，题中的切点、为圆与圆的交点，将两圆作差求出公共弦的方程，即可发现直线经过的定点.

解：A.直线得，
由，得，即直线恒过定点，故A错误；

B. 圆心到直线的距离，圆的半径，故圆C上有3个点到直线的距离为1，故B正确；

C. 曲线，即，

曲线，即，

两圆心的距离为，解得，故C正确；

D. 因为点为直线上一动点，设点，

圆的圆心为，

以线段为直径的圆的方程为，

即

故直线圆与圆的公共弦方程为：，

即，此直线即为直线，经验证点在直线上，即直线经过定点，故D正确.

故选：BCD.

7．在平面直角坐标系中，圆的方程为.若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取可以是()

A． B． C． D．

【答案】AB

【解析】先得到的轨迹方程为圆，与直线有交点，得到的范围，得到答案.

所作的圆的两条切线相互垂直，所以，圆点，两切点构成正方形

即

在直线上，圆心距

计算得到

故答案选AB

8．已知圆，圆交于不同的，两点，下列结论正确的有（    ）[来源:Zxxk.Com]

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【解析】根据两圆的方程相减，求得公共弦所在直线的方程，代入点的坐标，结合圆的性质，即可求解，得到答案.

由题意，由圆的方程可化为

两圆的方程相减可得直线的方程为：，即，

分别把，两点代入可得：

两式相减可得，即，

所以选项A、B是正确的；

由圆的性质可得，线段与线段互相平分，所以，

所以选项C是正确的，选项D是不正确的.

故选：ABC.

9．已知点是直线上一定点，点、是圆上的动点，若的最大值为，则点的坐标可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】设点的坐标为，可得知当、均为圆的切线时，取得最大值，可得出四边形为正方形，可得出，进而可求出点的坐标.

如下图所示：

原点到直线的距离为，则直线与圆相切，

由图可知，当、均为圆的切线时，取得最大值，

连接、，由于的最大值为，且，，

则四边形为正方形，所以，

由两点间的距离公式得，

整理得，解得或，因此，点的坐标为或.

故选：AC.

10．设有一组圆.下列四个命题正确的是（  ）

A．存在，使圆与轴相切

B．存在一条直线与所有的圆均相交

C．存在一条直线与所有的圆均不相交

D．所有的圆均不经过原点

【答案】ABD

【解析】根据圆的方程写出圆心坐标，半径，判断两个圆的位置关系，然后对各选项进行分析检验，从而得到答案.

根据题意得圆的圆心为（1，k），半径为，

选项A,当k=，即k=1时，圆的方程为，圆与x轴相切，故正确；

选项B，直线x=1过圆的圆心（1，k），x＝1与所有圆都相交，故正确；[来源:Zxxk.Com]

选项C,圆k：圆心（1，k），半径为k2，圆k+1：圆心（1，k+1），半径为（k+1）2，

两圆的圆心距d＝1，两圆的半径之差R﹣r＝2k+1，（R﹣r＞d），∁k含于Ck+1之中，

若k取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，故错误；

选项D,将（0，0）带入圆的方程，则有1+k2＝k4，不存在 k∈N*使上式成立，

即所有圆不过原点，正确．

故选ABD

[来源:Zxxk.Com]