四川省绵阳市南山中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题含解析

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四川省绵阳市南山中学2018-2019学年高一（上）期中

数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）

1.已知集合M={x∈N|x2-1=0}，则有（　　）

A.  B.

C.  D. 0，

【答案】D

【解析】

【分析】

求出集合M，由此能求出结果．

【详解】解：由集合，知：

在A中，，故A错误；

在B中，，故B错误；

在C中，，故C错误；

在D中，，故D正确．

故选：D．

【点睛】本题考查命题真假的判断，考查元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2.已知函数f（x）=2x的反函数为y=g（x），则g（）的值为（　　）

A.  B. 1 C. 12 D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】

由已知函数解析式求得，再把与互换可得原函数的反函数，取得答案．

【详解】解：∵由，得

∴原函数的反函数为，

则．

故选：A．

【点睛】本题考查函数的反函数的求法，是基础题．

3.在用二次法求方程3x+3x-8=0在（1，2）内近似根的过程中，已经得到f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（　　）

A.  B.  C.  D. 不能确定

【答案】B

【解析】

【分析】

根据函数的零点存在性定理，由f（1）与f（1.5）的值异号得到函数f（x）在区间（1，1.5）内有零点，同理可得函数在区间（1.25，1.5）内有零点，从而得到方程的根所在的区间．

【详解】解：∵f（1）＜0，f（1.5）＞0，

∴在区间（1，1.5）内函数存在一个零点

又∵f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，

∴在区间（1.25，1.5）内函数存在一个零点，

由此可得方程的根落在区间（1.25，1.5）内，

故选：B．

【点睛】本题给出函数的一些函数值的符号，求相应方程的根所在的区间．着重考查了零点存在定理和方程根的分布的知识，考查了学生分析解决问题的能力，属于基础题．

4.下列函数中，在其定义域内既为奇函数且又为增函数的是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．

【详解】解：A．函数是奇函数，在定义域上不是单调函数

B．函数是奇函数，在（-∞，+∞）上是增函数，满足条件．

C．，函数是偶函数，不满足条件．

D．，函数是偶函数，不满足条件．

故选：B．

【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的单调性和奇偶性．

5.设P是平面内的动点，AB是两个定点，则属于集合{P|PA=PB}的点组成的图形是（　　）

A. 等腰三角形 B. 等边三角形

C. 线段AB的垂直平分线 D. 直线AB

【答案】C

【解析】

【分析】

利用集合与线段的垂直平分线点性质即可得出结论．

【详解】解：P是平面内的动点，AB是两个定点，则属于集合{P|PA=PB}的点组成的图形是线段AB的垂直平分线．

故选：C．

【点睛】本题考查了集合与线段的垂直平分线点性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

6.已知a=log20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据指数函数与对数函数单调性得到a，b，c的取值范围，即得到它们的大小关系．

【详解】解：由对数和指数的性质可知，

故选：D．

【点睛】本题考查对数性质，考查指数的性质，考查比较大小，在比较大小时，若所给的数字不具有相同的底数，需要找一个中间量，把要比较大小的数字用不等号连接起来．

7.若3a=5b=225，则+=（　　）

A.  B.  C. 1 D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】

先化对数式，再由换底公式可得结果.

【详解】解：

则

故选：A．

【点睛】本题主要考查了指数与对数运算性质及对数的换底公式的简单应用，属于基础试题

8.已知f（x）=，若f（a）+f（1）=，则a=（　　）

A. 1 B.  C. 或1 D. 或

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用分段函数以及函数值转化求解即可．

【详解】解：

可得：或，解得或，故选：D．

【点睛】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查分类讨论思想以及计算能力．

9.如图中阴影部分的面积S是h的函数（其中0≤h≤H），则该函数的大致图象为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用排除法求解．首先确定当时，阴影部分面积为0，排除A与B，又由当时，阴影部分的面积小于整个半圆面积的一半，排除C，从而得到答案D．

【详解】解：∵当时，对应阴影部分的面积为0，

∴排除A与B；

∵当时，对应阴影部分的面积小于整个区域面积的一半，

且随着h的增大，S随之减小，减少的幅度不断变小，

∴排除C．

从而得到答案D．

故选：D．

【点睛】此题考查了函数问题的实际应用．注意排除法在解选择题中的应用，还要注意数形结合思想的应用．

10.已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是

A. a> B. –12<a≤0 C. –12<a<0 D. a≤

【答案】B

【解析】

【分析】

根据分母不为零列不等式，再根据不等式恒成立转化实数a的满足条件，解得结果.

【详解】a=0或，可得a=0或–12<a<0，即–12<a≤0，故选B．

【点睛】本题考查函数定义域以及不等式恒成立，考查转化化简与求解能力.

11.已知函数f（x）=x+2x，g（x）=x+lnx，f（x）=x+的零点分别为，则的大小关系为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

将函数的零点问题转化为对应函数图象交点横坐标的问题，利用数形结合思想求解．

【详解】解：在同一直角坐标系中，作出图象，如图

观察图象可知，函数的零点分别为，满足

故选：B．

【点睛】本题考查函数零点的求法，属于基础题目．

12.设函数f（x）=1-，g（x）=ln（ax2-3x+1），若对任意的x1∈[0，+∞），都存在x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的最大值为（　　）

A. 2 B.  C. 4 D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先求函数f（x）值域，再根据题意得g（x）值域所需满足的条件，最后根据二次函数图象确定实数a满足的条件，即得结果．

【详解】解：设的值域为A，

∵在[0，+∞）上的值域为，

∴⊆A，

∴至少要取遍（0，1]中的每一个数，

又

∴实数a需要满足a≤0或

解得.

∴故选：B．

【点睛】本题考查函数值域以及二次函数性质，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.若幂函数y=f（x）的图象经过点（9，），则f（25）的值是______．

【答案】

【解析】

幂函数的图象经过点，设幂函数为常数，，故，故答案为.

14.函数的单调增区间为        ．

【答案】

【解析】

试题分析：，或，在时递减，在时递增，又单调递减，所以原函数单调减区间是．

考点：函数的单调性．

【名师点晴】本题考查复合函数的单调性，函数，，的值域为，且，则复合函数的单调性与的关系是：同增或同减时，是单调递增，当的单调性相反时，是单调递减．求函数的单调区间必先求函数的定义域，象本题由得或，然后在区间和上分别研究其单调性即可．

15.关于x的方程2015x=有实数根，则实数a的取值范围为______．

【答案】（-，5）

【解析】

【分析】

先求的值域,再解不等式得结果.

【详解】解：设，则y的值域为（0，+∞），

即

【点睛】本题考查了指数函数的值域，分式不等式的解法，属于基础题．

16.给出下列五个命题：

①函数f（x）=2a2x-1-1的图象过定点（，-1）；

②已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x（x+1），若f（a）=-2则实数a=-1或2．

③若loga＞1，则a的取值范围是（，1）；

④若对于任意x∈R都f（x）=f（4-x）成立，则f（x）图象关于直线x=2对称；

⑤对于函数f（x）=lnx，其定义域内任意x1≠x2都满足f（）≥

其中所有正确命题的序号是______．

【答案】③④⑤

【解析】

【分析】

由指数函数的图象的特点解方程可判断①；由奇函数的定义，解方程可判断②；由对数不等式的解法可判断③；由函数的对称性可判断④；由对数函数的运算性质可判断⑤．

【详解】解：①函数，则，故①错误；

②因为当时， ，且，所以由函数f（x）是定义在R上的奇函数得，故②错误；

③若，可得，故③正确；

④因为，则f（x）图象关于直线x=2对称，故④正确；

⑤对于函数

当且仅当取得等号，其定义域内任意都满足，故⑤正确．

故答案为：③④⑤．

【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性和对称性、凹凸性，以及函数图象，考查运算能力和推理能力，属于中档题．

三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）

17.已知集合A={x|x2-4x+3≤0}，B={x|log2x＞1}，

（I）求A∩B，（∁RB）∪A；

（II）若{x|1＜x＜a}⊆A，求实数a的取值范围．

【答案】（Ⅰ）A∩B={x|2＜x≤3}，（∁RB）∪A={x|x≤3}．（Ⅱ）a≤3．

【解析】

【分析】

（Ⅰ）先解不等式得集合A，B，再根据交集、补集、并集定义求结果，（II）根据子集为空集与非空分类讨论，解得结果.

【详解】解：（Ⅰ）

则,

（Ⅱ）若,即，满足条件,

若，则需

综上．

【点睛】本题考查集合交并补运算以及解不等式，考查基本运算求解能力，属基础题.

18.某种树苗栽种时高度为A(A为常数)米，栽种n年后的高度记为f(n)．经研究发现f(n)近似地满足 f(n)＝，其中，a，b为常数，n∈N，f(0)＝A．已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．

（1）栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍；

（2）该树木在栽种后哪一年的增长高度最大．

【答案】（1）栽种年后，该树木高度是栽种时高度的倍；（2）第年的增长高度最大．

【解析】

试题分析：（1）由题中所给条件，运用待定系数法不难求出，进而确定出函数，其中．由，运用解方程的方法即可求出，问题得解; （2）由前面（1）中已求得，可表示出第n年的增长高度为，这是一个含有较多字母的式子，这也中本题的一个难点，运用代数化简和整体思想可得：，观察此式特征能用基本不等式的方法进行求它的最值，即：，成立的条件为 当且仅当时取等号，即可求出．

试题解析： （1）由题意知．

所以解得． 4分

所以，其中．

令，得，解得，

所以．

所以栽种９年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．  6分

（2）由（1）知．

第n年的增长高度为． 9分

所以

12分

．

当且仅当，即时取等号，此时．

所以该树木栽种后第5年的增长高度最大．           14分

考点：1.待定系数法求解;2.函数的最值;3.基本不等式的运用

19.已知函数是二次函数，且满足；函数.

（1）求的解析式；

（2）若，且对恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）用待定系数法设的解析式，由已知条件可求得三个系数；(2)由的解析式可得当时的值域，由可得的解析式，由的单调性可得的最小值，由可得.

试题解析：（1）设..

..

（2）

开口向上，对称轴．

在上单调递增，．

，．

考点：二次函数的值域、指数函数的单调性.

【易错点晴】本题主要考查了二次函数图象与性质及指数函数的单调性的阴功，其中第一问主要考查待定系数求二次函数，由题中的条件很容易求出函数的解析式；第二问由求出的解析式，只要注意的值域和的单调性很容易求出时的值域，这样的能求.本题也是围绕着函数的性质来进行考查的，着重了值域的考查，难度中等.

20.已知函数f（x）=logm（m＞0且m≠1），

（I）判断f（x）的奇偶性并证明；

（II）若m=，判断f（x）在（3，+∞）的单调性（不用证明）；

（III）若0＜m＜1，是否存在β＞α>0，使f（x）在[α，β]的值域为[logmm（β-1），logm（α-1）]？若存在，求出此时m的取值范围；若不存在，请说明理由．

【答案】（Ⅰ）f（x）是奇函数（Ⅱ）见解析（Ⅲ）．

【解析】

【分析】

（Ⅰ）先求定义域，再判断与f（x）关系，最后根据奇偶性定义作判断与证明，（Ⅱ）根据单调性定义进行判断，（Ⅲ）先根据单调性确定方程组，转化为一元二次方程有两正根，再根据二次方程实根分布列方程，最后解不等式组得结果.

【详解】解：（Ⅰ）f（x）是奇函数；证明如下：

由解得x＜-3或x＞3，

所以f（x）的定义域为（-∞，-3）∪（3，+∞），关于原点对称．

∵=，

故f（x）为奇函数/

（Ⅱ）任取x1，x2∈（3，+∞）且x1＜x2，

=，

∵（x1-3）（x2+3）-（x1+3）（x2-3）＜0，∴（x1-3）（x2+3）＜（x1+3）（x2-3），

即，

当m=时，，即f（x1）＜f（x2）．

故f（x）在（3，+∞）上单调递减．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当0＜m＜1时，f（x）在[α，β]上单调递减．

假设存在β＞α＞0，使f（x）在[α，β]的值域为[logmm（β-1），logm（α-1）]．

则有，∴．

所以α，β是方程的两正根，

整理得mx2+（2m-1）x-3m+3=0在（0，+∞）有2个不等根α和β．

令h（x）=mx2+（2m-1）x-3m+3，则h（x）在（0，+∞）有2个零点，

解得，

故m的取值范围为．

【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性以及一元二次方程实根分布，考查数形结合思想方法以及等价转化思想方法，考查综合综合分析与求解能力，属难题.