四川省成都七中2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题含解析

这是一份四川省成都七中2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

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四川省成都七中2018-2019学年高一（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.若集合M={x|x≤6}，a=2，则下面结论中正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
元素a与集合M是与的关系，集合与集合M是与的关系，逐个选项判断符号使用是否正确即可.
【详解】解：由集合M={x|x≤6}，a=2，知：
在A中，{a}M，故A正确；
在B中，aM，故B错误；
在C中，{a}⊆M，故C错误；
在D中，aM，故D错误．
故选：A．
【点睛】本题考查属于与包含于符号的区别，属于基础题.
2.已知幂函数f（x）=xa（a是常数），则（　　）
A. 的定义域为R B. 在上单调递增
C. 的图象一定经过点 D. 的图象有可能经过点
【答案】C
【解析】
【分析】
幂函数f（x）=xa的定义域和单调性都与幂指数a有关，过定点（1,1），易选得A.
【详解】解：（1）对于A，幂函数f（x）=xa的定义域与a有关，不一定为R，A错误；
（2）对于B，a＞0时，幂函数f（x）=xa在（0，+∞）上单调递增，
a＜0时，幂函数f（x）=xa在（0，+∞）上单调递减，B错误；
（3）对于C，幂函数f（x）=xa的图象过定点（1，1），C正确；
（4）对于D，幂函数f（x）=xa的图象一定不过第四象限，D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了幂函数的图像与性质，属于基础题.
3.已知函数g（x）=，函数f（x）=|x|•g（x），则f（-2）=（　　）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
直接代入x=－2，求出f（－2）的值.
【详解】解：因为函数g（x）=，函数f（x）=|x|•g（x），
所以f（－2）=|－2|•g（－2）=2×（－1）=－2．
故选：D．
【点睛】本题考查了分段函数的取值，属于基础题.
4.函数f（x）=-lnx的定义域为（　　）
A. B.
C. 或 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
结合根式和对数的有意义得出关系式，解出x范围即为定义域.
【详解】解：因为f（x）有意义，则；解得x≥1；
∴f（x）的定义域为：{x|x≥1}．
故选：B．
【点睛】本题考查了根式和对数函数的定义域，属于基础题.
5.若函数y=f（x）的定义域为{x|-3≤x≤8，x≠5，值域为{y|-1≤y≤2，y≠0}，则y=f（x）的图象可能是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
由图象知，选项中定义域不是，排除，选项中，出现一个对应三个，所以不是函数，故排除，故选B.
6.设a=2，b=，c=（）0.3，则（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由指数和对数函数的性质判断a、c、b的范围，然后比较大小即可.
【详解】解：a=2＜=0，
b=＞=1，
0＜c=（）0.3＜（）0=1，
所以a＜c＜b．
故选：A．
【点睛】本题考查了指数和对数函数的性质，属于基础题.
7.若f（x）=4x2-kx-8在[5，8]上为单调递减函数，则k的取值范围是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
结合二次函数的开口和对称轴很容易判断函数单调性，再由函数在[5，8]上为单调递减得出不等关系解出答案.
【详解】解：二次函数f（x）=4x2－kx－8开口向上，对称轴x=,
因为函数f（x）=在[5，8]上为单调递减函数
所以对称轴x=，解得k≥64．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，属于基础题.
8. 某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表 ，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y="[x](" [x]表示不大于x的最大整数)可以表示为 【】
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：根据规定每人推选一名代表，当各班人数除以的余数大于时增加一名代表，即余数分别为时可以增选一名代表，也就是要进一位，所以最小应该加，因此利用取整函数可表示为，也可以用特殊取值法，若，排除C，D，若，排除A，故选B．
考点：函数的解析式及常用方法．
【方法点晴】本题主要考查了函数的解析式问题，其中解答中涉及到取整函数的概念，函数解析式的求解等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，此类问题的解答中主要是读懂题意，在根据数学知识即可得到答案，对于选择题要选择最恰当的方法，试题有一定的难度，属于中档试题．


9.已知f（x）是定义域为（-∞，+∞）的奇函数，满足f（1-x）=f（1+x），f（1）=2，则f（-1）+f（3）=（　　）
A. 4 B. 0 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先由奇函数求出f（－1）=－f（1）=－2，再由f（1－x）=f（1+x）得到函数对称性求出f（3）=f（－1）=－f（1）=－2，然后看计算答案.
【详解】解：根据题意，f（x）是定义域为（－∞，+∞）的奇函数，且f（1）=2，
则f（－1）=－f（1）=－2，
又由f（x）满足f（1－x）=f（1+x），则函数f（x）的对称轴为x=1，
则f（3）=f（－1）=－f（1）=－2，
则（－1）+f（3）=－4；
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的奇偶性和对称性，属于基础题.
10.若函数f（x）=（k-1）ax-a-x（a＞0，a≠1）在R上既是奇函数，又是减函数，则g（x）=loga（x+k）的图象是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数是一个奇函数，函数在原点处有定义，得到函数的图象一定过原点，求出k的值，根据函数是一个减函数，得出底数的范围，得到结果．
【详解】∵函数f（x）＝（k﹣1）ax﹣a﹣x（a＞0，a≠1）在R上是奇函数，
∴f（0）＝0
∴k＝2，
又∵f（x）＝ax﹣a﹣x为减函数，
所以1＞a＞0，
所以g（x）＝loga（x+2），
定义域为，且递减，
故选A.
【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性，即对数函数的性质，本题解题的关键是看出题目中所出现的两个函数性质的应用．
11.已知函数f（x）=，对任意的x1，x2≠±1且x1≠x2，给出下列说法：
①若x1+x2=0，则f（x1）-f（x2）=0；②若x1•x2=1，则f（x1）+f（x2）=0；
③若1＜x2＜x1，则f（x2）＜f（x1）＜0；④若（）g（x）=f（），且0＜x2＜x1＜1．则g（x1）+g（x2）=g（），
其中说法正确的个数为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
①和②直接用x1表示x2，代入计算即可；③中先对函数进行分离常数得f（x）=－1－，判断出函数在区间(1,+∞)单调递增，然后可得f（x2）＜f（x1）＜0正确；④中先求出g（x）= ，再代入计算化简即可.
【详解】解：函数f（x）=，
①若x1+x2=0，则f（x1）－f（x2）==0，故①正确；
②若x1•x2=1，则x2=，
f（x1）+f（x2）=+=0，故②正确；
③f（x）==－1－在x＞1递增，可得若1＜x2＜x1，
则f（x2）＜f（x1）＜0，故③正确；
④若（）g（x）=f（）=，即g（x）= ，
且0＜x2＜x1＜1．则g（x1）+g（x2）= + = .
g（ ）=
即有g（x1）+g（x2）=g（ ），故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了函数解析式的化简运算，分式函数单调性，分式函数中分子分母次数相同时常采用分离常数法处理.
12.设函数f（x）=，若对任意给定的m∈（1，+∞），都存在唯一的x0∈R满足f（f（x0））=2a2m2+am，则正实数a的取值范围为（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先画出函数f（x）图像，记t=f（x0），存在唯一的x0，所以必有t＞1，所以f（t）=2a2m2+am＞1对任意给定的m∈（1，+∞）恒成立，因式分解得（ma+1）（2ma－1）＞0，因为ma+1＞0，所以2ma－1＞0恒成立，代入m=1即可.
【详解】解：作出函数f（x）的图象如图：由图象知当x＞0时，f（x）=log2x的值域为R，
当－1≤x≤0，f（x）的取值范围为[0，1]，
当x＜－1时，f（x）的取值范围是（－∞，1），
即由图象知当f（x）≤1时，x的值不唯一，设t=f（x0），
当x＞0时，由f（x）=log2x≥1得x≥2，则方程f（f（x0））=2a2m2+am，
等价为f（t）=2a2m2+am，
因为2a2m2+am＞0
所以若存在唯一的x0∈R满足f（f（x0））=2a2m2+am，
则t＞1，即由f（x）=log2x＞1得x＞2，
即当x＞2时，f（f（x））与x存在一一对应的关系，则此时必有f（f（x））＞1，
即2a2m2+am＞1，得（ma+1）（2ma－1）＞0，
因为ma+1＞0，
所以不等式等价为2ma－1＞0，设h（m）=2ma－1，
因为m＞1，a＞0，
所以只要h（1）≥0即可，得2a－1≥0，得a≥，
即实数a的取值范围是[，+∞）．
故选：A．

【点睛】本题考查了复合函数与分段函数，函数的恒成立与能成立，综合性较强，分段函数常借助函数图像进行处理，复合函数一般采用换元法.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.设集合A={0，1，2}，B={2，3}，则A∪B=______．
【答案】{0，1，2，3}
【解析】
【分析】
由集合A、B可直接写出A∪B.
【详解】解：设集合A={0，1，2}，B={2，3}，则A∪B={0，1，2，3}
故答案为：{0，1，2，3}．
【点睛】本题考查了集合的并集运算，属于基础题.
14.函数y=1+loga（x+2）（a＞0且a≠1）图象恒过定点A，则点A的坐标为______．
【答案】（-1，1）
【解析】
【分析】
由对数函数的性质loga1=0，所以令x+2=1，可知y=1.
【详解】解：由对数函数的性质，令x+2=1可知y=1
所以y=1+loga（x+2）（a＞0且a≠1）图象恒过定点A（－1，1），
故答案为：（－1，1）.
【点睛】本题考查了对数函数的定点问题，对数函数定点需要把握住loga1=0进行解决.
15.已知函数f（x）（对应的曲线连续不断）在区间[0，2]上的部分对应值如表：
x
0
0.88
1.30
1.406
1.431
1.52
1.62
1.70
1.875
2
f（x）
-2
-0.963
-0.340
-0.053
0.145
0.625
1.975
2.545
4.05
5

由此可判断：当精确度为0.1时，方程f（x）=0的一个近似解为______（精确到0.01）
【答案】1.41（答案不唯一）
【解析】
【分析】
先由表中观察到f（1.406）f（1.431）＜0，且函数图像连续，所以在（1.406，1.431）上必有零点，再精确到0.01即可.
【详解】解：由所给的函数值的表格可以看出，
在x=1.406与x=1.431这两个数字对应的函数值的符号不同，
即f（1.406）f（1.431）＜0，
∴函数的零点在（1.406，1.431）上，
故当精确度为0.1时，方程f（x）=0的一个近似解为1.41
故答案为：1.41（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了零点存在定理，属于基础题.
16.函数f（x）为定义在（0，+∞）上的单调递增函数，且f（x）•f（f（x）+）=1，则f（-1）=______．
【答案】
【解析】
【分析】
先换元记f（x）=t，用反证法证出t≤1，因为f（t+）=，用t+替换x代入方程f（x）•f（f（x）+）=1得f（+）=t=f（x），所以+=x，即x2t2－xt－1=0，代入x=－1，解出t即可.
【详解】解：设f（x）=t，
若t＞1，则f（t+）＞1
因为f（x）在（0，+∞）上的单调递增函数，
所以1=tf（t+）＞t，即与t＞1矛盾，
所以t≤1，
则方程等价为tf（t+）=1，即f（t+）=，
令t+替换x代入方程f（x）•f（f（x）+）=1，
得f（t+）•f（f（t+）+）=1，即•f（+）=1，
即f（+）=t=f（x），即+=x，整理得x2t2－xt－1=0
代入x=－1，解得t=或t=＞1（舍）
所以f（－1）=
故答案为：
【点睛】本题考查了复合函数和抽象函数，综合性较强，复合函数一般可用换元法处理.
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.计算：
（Ⅰ）－（－2）0－+（1.5）-2；
（Ⅱ）+lg2-log48．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（1）利用分数指数幂直接化简；（2）利用换底公式进行化简运算即可.
【详解】（Ⅰ）－（－2）0－+（1.5）－2==
（Ⅱ）+lg2－log48=lg5+lg2－+2=1－=．
【点睛】本题考查了分数指数幂的运算，对数的运算，属于基础题.



18.已知集合A={x|x2-2x-3≤0，x∈R}，B={x|x2-2mx+（m-2）（m+2）≤0，x∈R，m∈R}．
（Ⅰ）若A∩B=[0，3]，求实数m的值；
（Ⅱ）若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．
【答案】（Ⅰ）m=2；（Ⅱ）m＞5或m＜-3
【解析】
【分析】
（1）先通过解不等式求出集合A和B，因为A∩B=[0，3]，列出关系式，求出m；（2）写出∁RB，因为A⊆∁RB，列出关系式，可求出m范围.
【详解】（Ⅰ）A={x|x2－2x－3≤0，x∈R}={x|－1≤x≤3}
B={x|x2－2mx+（m－2）（m+2）≤0 }={x|m－2≤x≤m+2}
因为A∩B=[0，3]
所以，即
所以m=2
（Ⅱ）因为B={x|m－2≤x≤m+2}．
所以∁RB={x|x＞m+2或x＜m－2}
要使A⊆∁RB，
则3＜m－2或－1＞m+2，
解得m＞5或m＜－3，
即实数m的取值范围是m＞5或m＜－3．
【点睛】本题考查了集合的运算，集合间的包含关系，属于基础题.



19.设函数f（x）=xk（k∈R，且为常数）．
（Ⅰ）当k=3时，判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（Ⅱ）当k=1时，设函数g（x）=f（x）-，利用函数的单调性的定义证明函数y=g（x）在x∈（0，+∞）为单调递增函数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）代入k=3时，f（x）=x3，因为f（－x）=－f（x），所以为奇函数；（2）代入k=1，得f（x）=x，g（x）=x－，设0＜x2＜x1，作差f（x1）－f（x2）化简后通过判断其正负来确定单调性.
【详解】（1）∵k=3时，f（x）=x3定义域为R，
∴f（－x）=（－x）3=－x3=－f（x），则f（x）为奇函数．
（2）当k=1时，f（x）=x，g（x）=x－，
设0＜x2＜x1，
则f（x1）－f（x2）=x1－－x2+=x1－x2+（）=，
因为0＜x2＜x1，
所以x1x2＞0，x1－x2＞0，
即f（x1）－f（x2）＞0，则f（x1）＞f（x2），
即g（x）在（0，+∞）上是增函数．
【点睛】本题考查了函数奇偶性得判断，单调性的证明，属于基础题.


20.著名英国数学和物理学家IssacNewton（1643年-1727年）曾提出了物质在常温环境下温度变化的冷却模型．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，tmin后物体温度θ℃，可由公式θ=θ0+（θ1-θ0）e-kt（e为自然对数的底数）得到，这里k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正的常数．现将一个原来温度为62℃的物体放在15℃的空气中冷却，1min以后物体的温度是52℃．
（Ⅰ）求k的值（精确到0.01）；
（Ⅱ）该物体从原来的62℃开始冷却多少min后温度是32℃？
（参考数据：ln≈-0.24，ln≈-0.55，ln≈-1.02）
【答案】（Ⅰ）k=0.24；（Ⅱ）t=4.25
【解析】
【分析】
（1）因为θ=θ0+（θ1-θ0）e-kt，代入θ1=62，θ0=15，t=1，θ=52，得到方程解出k即可；（2）由（1）和题中数据得32=15+47e－0.24t，解出t即可.
【详解】解：（Ⅰ）由题意可知，θ1=62，θ0=15，t=1，θ=52，
所以52=15+（62－15）e－k，
化简得：k=－ln，
因为ln≈－0.24，
所以k=0.24；
（Ⅱ）由（I）可知θ=15+47e－0.24t，
所以当θ=32时，32=15+47e－0.24t，
解得：t=4.25．
【点睛】本题考查了函数模型的应用，属于基础题.
21.已知函数g（x）对一切实数x，y∈R都有g（x+y）-g（y）=x（x+2y-2）成立，且g（1）=0，h（x）=g（x+1）+bx+c（b，c∈R），f（x）=
（Ⅰ）求g（0）的值和g（x）的解析式；
（Ⅱ）记函数h（x）在[-1，1]上的最大值为M，最小值为m．若M-m≤4，当b＞0时，求b的最大值；
（Ⅲ）若关于x的方程f（|2x-1|）+-3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．
【答案】（Ⅰ）g（x）=x2-2x+1；（Ⅱ）2；（Ⅲ）（0，+∞）
【解析】
【分析】
（1）令x=1，y=0得g（1）－g（0）=－1，又g（1）=0，得g（0）=1，再令y=0可得g（x）=x2－2x+1；（2）由（1）得h（x）=g（x+1）+bx+c=x2+bx+c，分－＜－1和－1≤－＜0讨论函数的最值，结合M－m≤4确定b的范围；（3）令|2x－1|=t，化简得方程t2－（2+3k）t+（1+2k）=0，（t＞0），结合题意和t=|2x－1|的图象知方程有两解，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1，分类结合二次函数零点的分布求解k的范围即可.
【详解】（Ⅰ）令x=1，y=0得g（1）－g（0）=－1，
因为g（1）=0，所以g（0）=1，
令y=0得g（x）－g（0）=x（x－2），
所以g（x）=x2－2x+1．
（Ⅱ）h（x）=g（x+1）+bx+c=x2+bx+c．
①当－＜－1，即b＞2时，M－m=h（1）－h（－1）=2b＞4，与题设矛盾
②当－1≤－＜0时，即0＜b≤2时，M－m=h（1）－h（－）=（+1）2≤4恒成立，
综上可知当0＜b≤2时，b的最大值为2．
（Ⅲ）当x=0时，2x－1=0则x=0不是方程的根，
方程f（|2x－1|）+－3k=0可化为：
|2x－1|2－（2+3k）|2x－1|+（1+2k）=0，|2x－1|≠0，
令|2x－1|=t，则方程化为t2－（2+3k）t+（1+2k）=0，（t＞0），
因为方程f（|2x－1|）+－3k－1=0有三个不同的实数解，
由t=|2x－1|的图象知，
t2－（2+3k）t+（1+2k）=0，（t＞0），有两个根t1、t2，
且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1．
记h（t）=t2－（2+3k）t+（1+2k），
则，此时k＞0，
或，此时k无解，
综上实数k的取值范围是（0，+∞）．
【点睛】
本题考查了抽象函数解析式的求法，二次函数的最值，函数的零点，复合函数用换元法，函数零点问题可结合函数图像分析.



22.对数函数g（x）=1ogax（a＞0，a≠1）和指数函数f（x）=ax（a＞0，a≠1）互为反函数．已知函数f（x）=3x，其反函数为y=g（x）．
（Ⅰ）若函数g（kx2+2x+1）的定义域为R，求实数k的取值范围；
（Ⅱ）若0＜x1＜x2且|g（x1）|=|g（x2）|，求4x1+x2的最小值；
（Ⅲ）定义在I上的函数F（x），如果满足：对任意x∈I，总存在常数M＞0，都有-M≤F（x）≤M成立，则称函数F（x）是I上的有界函数，其中M为函数F（x）的上界．若函数h（x）=，当m≠0时，探求函数h（x）在x∈[0，1]上是否存在上界M，若存在，求出M的取值范围，若不存在，请说明理由．
【答案】（Ⅰ）k＞1；（Ⅱ）4；（Ⅲ）见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）因为g（x）=1ogax与f（x）=3x，互为反函数，所以a=3，得g（kx2+2x+1）= log3（kx2+2x+1）的定义域为R，所以kx2+2x+1＞0恒成立，可求解k的范围；（Ⅱ）由|g（x1）|=|g（x2）|，得|log3x1|=|log3x2|，分析化简得x1x2=1，4x1+x2=4x1+，利用双勾函数求其最值；（Ⅲ）由h（x）==－1+，分m＞0和m＜0分别求出h（x）的取值范围，然后讨论其上下界.
【详解】（Ⅰ）由题意得g（x）=log3x，
因为g（kx2+2x+1）=log3（kx2+2x+1）的定义域为R，
所以kx2+2x+1＞0恒成立，
当k=0时不满足条件，
当k≠0时，若不等式恒成立，
则，即，
解得k＞1；
（Ⅱ）由|g（x1）|=|g（x2）|，得|log3x1|=|log3x2|，
因为0＜x1＜x2，
所以0＜x1＜1＜x2，且－log3x1=log3x2，
所以log3x1+log3x2=log3x1x2=0，
所以x1x2=1，
所以则4x1+x2=4x1+，0＜x1＜1，
因为函数y=4x+在（0，）上单调递减，在（，1）上单调递增，
所以当x1=时，4x1+x2取得最小值为4．
（Ⅲ）h（x）==－1+，（m≠0），
（i）当m＞0，1+m3x＞1，则h（x）在[0，1]上单调递减，
所以≤h（x）≤，
①若||≥||，即m∈（0，]时，存在上界M，M∈[||，+∞），
②若||＜||，即m∈（，+∞）时，存在上界M，M∈[||，+∞），
（ii）当m＜0时，
①若－＜m＜0时，h（x）在[0，1]上单调递增，h（x）∈[，]，存在上界M，M∈[，+∞），
②若m=－时，h（x）=－1+在[0，1]上单调递增，h（x）∈[2，+∞），故不存在上界．
③若－1＜m＜－时，h（x）在[0，log3（－））上单调递增，h（x）在（log3（－），1]上单调递增，h（x）∈（－∞，]∪[，+∞）故不存在上界，
④若m=－1，h（x）=－1+在（0，1]上单调递增，h（x）∈（－∞，－2]，故不存在上界
⑤若m＜－1，h（x）在[0，1]上单调递增，h（x）∈[，]，而＜0，存在上界M，M∈[||，+∞）；
综上所述，当m＜－1时，存在上界M，M∈[||，+∞），
当－1≤m≤－时，不存在上界，
当－＜m＜0时，存在上界M，M∈[，+∞），
当m∈（0，]时，存在上界M，M∈[||，+∞），
当m∈（，+∞）时，存在上界M，M∈[||，+∞）．
【点睛】本题考查了反函数的概念，对数函数的定义域，恒成立问题与分类讨论，综合性较强，属于难题.