2023年广东省广州市番禺区天星学校中考数学二模试卷（含答案）

这是一份2023年广东省广州市番禺区天星学校中考数学二模试卷（含答案），共24页。


2023年广东省广州市番禺区天星学校中考数学二模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）|﹣|的相反数是（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
2．（3分）下列汽车车标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角的度数为（　　）
A．100度 B．120度 C．135度 D．140度
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．x2+2x2＝3x4 B．（x3）4＝x7
C．（2x+y）（2x﹣y）＝2x2﹣y2 D．x÷x3＝x﹣2
5．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝40°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE，点D恰好落在BC的延长线上，则旋转角的度数（　　）

A．70° B．80° C．100° D．110°
6．（3分）某校要从四名学生中选拔一名参加市“汉字听写”大赛，将多轮选拔赛的成绩数据进行分析得到每名学生的平均成绩及其方差如下表所示：

甲
乙
丙
丁
平均数（单位：分）
m
90
91
88
方差s2（单位：分2）
n
12.5
14.5
11
根据表中数据，可以判断同学甲是这四名选手中成绩最好且发挥最稳定的学生，则m，n的值可以是（　　）
A．m＝92，n＝15 B．m＝92，n＝8.5
C．m＝85，n＝10 D．m＝90，n＝12.5
7．（3分）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣10x+k＝0的两个根，则k的值为（　　）
A．21 B．25 C．21或25 D．20或24
8．（3分）若点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（5，y3）在反比例函数y＝（a为常数）的图象上，则y1，y2，y3大小关系为（　　）
A．y3＞y1＞y2 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y2＞y1 D．y1＞y2＞y3
9．（3分）《九章算术》记载：今有坦高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺．问几何日相逢？（大意是有一道墙，高9尺，上面种一株瓜，瓜蔓向下伸，每天长7寸，地上种着瓠向上长，每天长1尺，问瓜蔓，瓠蔓要多少天才相遇）．如图是瓜蔓与瓠蔓离地面的高度h（单位：尺）关于生长时间x（单位：日）的函数图象，则由图可知两图象交点P的横坐标是（　　）

A．4 B．5 C．5 D．30
10．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM＝2，则线段ON的长为（　　）

A． B． C．1 D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）因式分解：ab2﹣ac2＝　 　
12．（3分）抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则两次都是“正面朝上”的概率是 　 　．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E，若∠E＝28°，则∠BAC＝　 　．

14．（3分）一次函数y＝nx+（n2﹣7）的图象过y轴上一点（0，2），且y随x的增大而减小，则n＝　 　．
15．（3分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个实数根，则＝　 　．
16．（3分）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在边AD上，折叠EF的两端分别在AB、BC上（含端点），且AB＝8cm，BC＝10cm，则折痕EF的最大值是　 　．

三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（5分）解方程组：．
18．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE并延长AE交BC的延长线于点F，连接BE且BE⊥AF．求证：
（1）FC＝AD；
（2）AB＝BC+AD．

19．（6分）已知：T＝（1+）÷．
（1）化简T；
（2）若点（x，0）在二次函数y＝（x﹣3）（x﹣1）的图象上，求T的值．
20．（6分）如图，直线l与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，2），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，点P（0，a）为y轴上一个动点．
（1）请直接写出直线l的表达式；
（2）求出△ABC的面积；
（3）当△ABC与△ABP面积相等时，求实数a的值．

21．（8分）央行推出数字货币，支付方式即将变革，调查结果显示，目前支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其它，调查组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）本次一共调查了多少名购买者？
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，C种支付方式所对应的圆心角为 　 　度；
（4）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“现金”三种付款方式中选一种方式进行付款，请用树状图或列表法求出两人恰好选择同一种付款方式的概率．
22．（8分）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物顶部A点处测得乙建筑物顶部D点的俯角α为45°，底部C点的俯角β为58°，BC为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度CD为8m，求甲建筑物的高度AB．（sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，结果保留整数）

23．（10分）在边长为12的正方形ABCD中，P为AD的中点，连接PC，
（1）作出以BC为直径的⊙O，交PC于点Q（要求尺规作图，不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接AQ，证明：AQ为⊙O的切线；
（3）求QC的长与cos∠DAQ的值；

24．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知B点的坐标为（3，0），C点的坐标为（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）图1中，点P为抛物线上的动点，且位于第二象限，过P，B两点作直线l交y轴于点D，交直线AC于点E．是否存在这样的直线l：以C，D，E为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，请求出这样的直线l的解析式；若不存在，请说明理由．
（3）图2中，点C和点C′关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线上，且∠MBA＝∠CBC'，求M点的横坐标．
​
25．（12分）平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连AE，点F在线段AE上，连BF，连AC．
（1）如图1，已知AB⊥AC，点E为BC中点，BF⊥AE．若AE＝5，BF＝2，求AF的长度；
（2）如图2，已知AB＝AE，∠BFE＝∠BAC，将射线AE沿AC翻折交CD于H，过点C作CG⊥AC交AH于点G．若∠ACB＝45°，求证：AF+AE＝AG；
（3）如图3，已知AB⊥AC，若∠ACB＝30°，AB＝2，直接写出AF+BF+CF的最小值．


参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：|﹣|的相反数是﹣|﹣|＝﹣，
故选：D．
2． 解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
3． 解：如图，∵∠C＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣90°＝90°，
∵AD、BE分别是∠BAC和∠ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝×90°＝45°，
∴∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）＝180°﹣45°＝135°．
故选：C．

4． 解：A选项，原式＝3x2，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝x12，故该选项不符合题意；
C选项，原式＝（2x）2﹣y2＝4x2﹣y2，故该选项不符合题意；
D选项，原式＝x﹣2，故该选项符合题意；
故选：D．
5． 解：由旋转的性质可知，∠BAD的度数为旋转度数，AB＝AD，∠ADE＝∠B＝40°，
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝40°，
∴∠BAD＝100°，
故选：C．
6． 解：由题意可知，甲的平均数比其他三个同学高，所以m可以是92；
又因为甲是这四名选手中成绩最稳定，所以甲的方差比其他三个同学小，所以n可以是8.5．
故选：B．
7． 解：当3为腰长时，将x＝3代入x2﹣10x+k＝0，得：32﹣10×3+k＝0，
解得：k＝21，
当k＝3时，原方程为x2﹣10x+21＝0，
解得：x1＝7，x2＝3，
∵3+3＜7，
∴k＝21不符合题意；
当3为底边长时，关于x的方程x2﹣10x+k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣10）2﹣4×1×k＝0，
解得：k＝25，
当k＝25时，原方程为x2﹣10x+25＝0，
解得：x1＝x2＝5，
∵5+3＞5，
∴k＝25符合题意．
∴k的值为25．
故选B．
8． 解：∵a2≥0，
∴3+a2≥3，
∴反比例函数y＝（a为常数）的图象位于第一三象限，
∵﹣4＜﹣2，
∴0＞y1＞y2，
∵5＞0，
∴y3＞0，
∴y3＞y1＞y2．
故选：A．
9． 解：设两图象交点P的横坐标是x，则：
0.7x+x＝9，
解得x＝5，
两图象交点P的横坐标是5，
故选：C．
10． 解：作MH⊥AC于H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠MAH＝45°，
∴△AMH为等腰直角三角形，
∴AH＝MH＝AM＝×2＝，
∵CM平分∠ACB，
∴BM＝MH＝，
∴AB＝2+，
∴AC＝AB＝（2+）＝2+2，
∴OC＝AC＝+1，CH＝AC﹣AH＝2+2﹣＝2+，
∵BD⊥AC，
∴ON∥MH，
∴△CON∽△CHM，
∴＝，即＝，
∴ON＝1．
故选：C．

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11． 解：ab2﹣ac2
＝a（b2﹣c2）
＝a（b+c）（b﹣c），
故答案为：a（b+c）（b﹣c）．
12． 解：画树状图如下：

共有4种等可能的结果数，其中两次都是“正面朝上”的结果有1种，
∴两次都是“正面朝上”的概率＝．
故答案为：．
13． 解：∵AE∥BD，
∴∠DBC＝∠E＝28°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠DBC＝56°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝56°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝68°．
故答案为：68°．
14． 解：∵函数图象过点（0，2），
∴n2﹣7＝2，
∴n＝±3，
又∵y随x增大而减小，
∴n＜0，
∴n＝﹣3．
故答案为：﹣3．
15． 解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x1•x2＝﹣1，
则原式＝＝＝﹣4．
故答案为：﹣4．
16． 解：①如图，点F与点C重合时，折痕EF最大，
由翻折的性质得，BC＝B′C＝10cm，
在Rt△B′DC中，B′D＝＝＝6cm，
∴AB′＝AD﹣B′D＝10﹣6＝4cm，
设BE＝x，则B′E＝BE＝x，
AE＝AB﹣BE＝8﹣x，
在Rt△AB′E中，AE2+AB′2＝B′E2，
即（8﹣x）2+42＝x2，
解得x＝5，
在Rt△BEF中，EF＝＝＝5cm．
②当E与A重合时，四边形ABFB′是正方形，EF＝8cm，
8＞5，
∴EF的最大值为8
故答案为：8cm．


三．解答题（共9小题，满分72分）
17． 解：，
①+②得：5x＝8，
解得x＝1.6，
把x＝1.6代入①得：4.8﹣y＝3，
解得y＝1.8，
∴方程组的解为．
18． 证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠FCE，
∵E 是 CD 的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE 与△FCE 中，

∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴FC＝AD；
（2）∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝FE，
又 BE⊥AE，
∴∠AEB＝∠FEB＝90°，且BE＝BE，AE＝FE，
∴△AEB≌△FEB（SAS）
∴AB＝BF
∴AB＝BF＝BC+CF．
∵AD＝FC，
∴AB＝BC+AD．
19． 解：（1）T＝（1+）÷
＝•
＝．
（2）∵（x，0）在二次函数y＝（x﹣3）（x﹣1）的图象上，
∴0＝（x﹣3）（x﹣1），
解得x1＝3，x2＝1，
∵T＝（1+）÷中x≠3，
∴T＝＝＝．
20． 解：（1）设直线AB所在的表达式为：y＝kx+b，
则，
解得：，
故直线l的表达式为：；
（2）在Rt△ABC中，
由勾股定理得：AB2＝OA2+OB2＝32+22＝13
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴S△ABC＝AB2＝；
（3）①当P在y轴正半轴时，P点为：（0，a），如图1所示：

S△ABP＝AO•BP＝，
∵AO＝3，
∴BP＝，
∵B（0，2），
∴a﹣2＝，
∴a＝．
②）①当P在y轴负半轴时，如图2所示：

S△ABP＝S△ABO+S△APO＝
∵S△ABO＝3，
∴S△APO＝﹣3＝，
即有：×AO×PO＝，
∴PO＝，
∵P在y轴负半轴，
∴a＝﹣．
综上：a＝或a＝﹣．


21． 解：（1）44÷22%＝200（名），
答：本次一共调查了200名购买者．

（2）A种支付方式的有：200×30%＝60人D种支付方式的有：200﹣56﹣44﹣60＝40（人），
补全统计图如图所示：


（3）扇形统计图中，C种支付方式所对应的圆心角为360°×22%＝79.2°，
故答案为：79.2；

（4）画树状图如下：

一共产生了9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种付款方式的结果有3种，
所以两人恰好选择同一种付款方式的概率为＝．
22． 解：延长CD交AE于点F，

由题意得：AB＝CF，CF⊥AE，
设AF＝xm，
在Rt△AFD中，∠FAD＝45°，
∴FD＝AF•tan45°＝x（m），
在Rt△AFC中，∠FAC＝58°，
∴CF＝AF•tan58°≈1.6x（m），
∵CF﹣DF＝CD，
∴1.6x﹣x＝8，
解得：x＝，
∴AB＝CF＝1.6x≈21（m），
∴甲建筑物的高度AB约为21m．
23． 解：（1）如图，点Q为所作；

（2）证明：过Q点作QE⊥BC于E，交AD于F，连接BQ、OQ、OA，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD＝AD＝AB＝12，AD∥BC，
在Rt△PCD中，PC＝＝6，
∵BC为直径，
∴∠BQC＝90°，
∵PD∥BC
∴∠CPD＝∠BCQ，
∴Rt△BCQ∽Rt△CPD，
∴CQ：PD＝BC：CP，即CQ：6＝12：6，
∴CQ＝，
∵CQ2＝CE•CB，
∴CE＝＝，
在Rt△CEQ中，QE＝＝，
∴FQ＝12﹣＝，
∵AF＝AD﹣FD＝AD﹣CE＝12﹣＝．
∴AQ＝＝12，
在△OAB和△OQA中
，
∴△OAB≌△OQA（SSS），
∴∠OQA＝∠OBA＝90°，
∴OQ⊥AQ，
∴AQ为⊙O的切线；
（3）由（2）得CQ＝，AF＝，AQ＝12，
∴cos∠EAQ＝＝，
即cos∠DAQ的值为．
24． 解：（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c过B（3，0），C（0.3），
∴，解得：，
∴函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3；

（2）存在直线l使得以C，D，E为顶点的三角形与△ABE相似，
当l⊥AC时，以C，D，E为顶点的三角形与△ABE相似，
∴∠ACD＝∠EBO，
在Rt△ACO和Rt△DBO中，
，
∴ΔΑCO≌△DBO（ASA），
∴OA＝OD，
解﹣x2+2x+3＝0，
得：x1＝3（不符合题意，舍去），x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∴D（0，1），
由B（3，0），D（0，1）的坐标得，直线BD的解析式为：y＝﹣x+1；
（3）连接BM，CC′，作C′H⊥BC交BC于H，
∵抛物线对称轴为直线：x＝﹣＝1，
∴CC′＝2，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝45°，
∴∠C′CB＝45°，
∵C′H⊥BC，CC′＝2，
∴C′H＝CH＝，
∵OB＝OC＝3，
∴BC＝3，
∴BH＝3＝2，
∴tan∠CBC′＝，
∵∠MBA＝∠CBC′，
∴tan∠MBA＝＝，
∴ON＝，
∴N（0，）或N（0，﹣），
当N（0，），如图：

由点B、N的坐标得，直线BN解析式为：y＝﹣x+，
解方程﹣x2+2x+3＝﹣x+，
解得：x＝﹣或3（舍去），
∴M的横坐标为﹣；
当N（0，﹣），如图：

同理可得，直线BN解析式为：y＝x﹣，
解方程﹣x2+2x+3＝x﹣，
解得：x＝3（舍去）或﹣，
∴M的横坐标为﹣，
综上所述：M的横坐标为﹣或﹣．
25． （1）解：∵AB⊥AC，如图1，
∴∠BAC＝90°，
E为BC的中点，AE＝5，
∴AE＝BE＝EC＝5，
∵BF⊥AE，
∴∠BFE＝90°，
在Rt△BEF中，EF＝＝1，
∴AF＝AE﹣EF＝4；
（2）证明：如图2，设射线AE与射线GC交于点M，
由题可设∠CAM＝∠CAG＝α，
∵AC⊥CG，
∴∠ACM＝∠ACG＝90°，
∴∠AMG＝∠AGM＝90°﹣α，
∴AM＝AG，
∵∠BFE＝∠BAC，
∴∠ABF+∠BAE＝∠CAM+∠BAE，
∴∠ABF＝∠CAM＝α，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴∠ABF+∠FBE＝∠ACB+∠CAM，
∵∠ABF＝∠CAM＝α，∠ACB＝45°，
∴∠FBE＝∠ACB＝45°，
延长BF交AC于N，
∴BN＝CN，∠BNC＝∠ANF＝90°，
过E作EP⊥AC于P，
则∠APE＝∠BNA＝90°，
在△ABN与△EAP中，
，
∴△ABN≌△EAP（AAS），
∴AN＝EP，
过E作EQ⊥CM于Q，
∴∠EQC＝∠ACM＝∠EPC＝90°，
∴四边形EQCP为矩形，
∵∠BCM＝90°﹣∠ACB＝45°，
∴∠BCM＝∠ACB，
∴EP＝EQ＝AN，
∴矩形EQCP为正方形，
∴EQ∥AC，
∴∠MEQ＝∠FAN，
在△MEQ与△FAN中，
，
∴△EQM≌△ANF（ASA），
∴AF＝EM，
∵AM＝AE+EM，
∴AG＝AE+AF；
（3）解：如图3，以AC为边构等边△ACN，以AF为边构造等边△AFM，
∴AF＝AM＝FM，AC＝AN＝CN，
∠FAM＝∠CAN＝60°，
∴∠FAM﹣∠MAC＝∠CAN﹣∠MAC，
∴∠CAF＝∠NAM，
在△AFC与△AMN中，
，
∴△AFC≌△AMN（SAS），
∴CF＝CM，
∴AF+BF+CF＝BF+FM+MN，
当B，F，M，N四点共线时，AF+BF+CF最小，
即为线段BN的长度，如图4，
过N作NT⊥BA交其延长线于T，
∴∠BTN＝90°，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵AB＝2，∠ACB＝30°，
∴BC＝2AB＝4，
∴AC＝＝，
∴AN＝AC＝，
∵∠BAN＝∠BAC+∠CAN＝150°，
∴∠TAN＝180°﹣∠BAN＝30°，
在Rt△TAN中，TN＝，
∴＝3，
∴TB＝TA+AB＝3+2＝5，
∴BN＝＝，
∴AF+BF+CF的最小值为．