第八节　函数与方程学案

这是一份第八节　函数与方程学案，共20页。

第八节　函数与方程
学习要求:
1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系.
2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在性定理.


　　1.函数零点的概念
(1)定义:对于函数y=f(x),把使① f(x)=0 的实数x叫做函数y=f(x)的零点. 
(2)意义:方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)的图象与② x轴 有交点⇔函数y=f(x)有③ 零点 . 
2.函数零点的判定(零点存在性定理)
一般地,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有④ f(a)·f(b)<0 ,那么函数y=f(x)在区间⑤ (a,b) 内有零点,即存在c∈(a,b),使得⑥ f(c)=0 ,这个⑦ c 也就是方程f(x)=0的根.我们把这一结论称为零点存在性定理. 
▶提醒　(1)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的实根.
(2)函数零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.
3.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系

Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c
(a>0)的图象



与x轴的交点
⑧ (x1,0), (x2,0)
⑨ (x1,0)
无交点
零点个数
⑩ 两个
一个
无
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点. (　　)
(2)若函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点(函数图象连续不断),则f(a)·f(b)<0. (　　)
(3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值. (　　)
(4)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点. (　　)
(5)函数f(x)=lg x的零点是(1,0). (　　)
答案　(1)✕　(2)✕　(3)✕　(4)√　(5)✕
2.(新教材人教A版必修第一册P144T1改编)下列各图象表示的函数中没有零点的是(　　)

答案　D
3.(新教材人教A版必修第一册P144T2改编)根据表格中的数据,可以断定方程ex-(x+2)=0(e≈2.72)的一个根所在的区间是 (　　)
x
-1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.40
20.12
x+2
1
2
3
4
5
A.(-1,0)　　　　B.(0,1)　　　　C.(1,2)　　　　D.(2,3)
答案　C
4.(新教材人教A版必修第一册P155T2改编)函数f(x)=x+1x的零点个数为 (　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
答案　A
5.对于函数f(x)=x2+mx+n,若f(a)>0, f(b)>0,则函数f(x)在区间(a,b)内 (　　)
A.一定有零点　　　　
B.一定没有零点
C.可能有两个零点　　　　
D.至多有一个零点
答案　C

判断函数零点的个数
　　典例1　(1)(2020湖南怀化高三期末)已知f(x)是R上的偶函数, f(x+π)=f(x),当0≤x≤π2时, f(x)=sin x,则函数y=f(x)-lg|x|的零点个数是 (　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
　　A.12　　　　B.10　　　　C.6　　　　D.5
(2)(2020河北石家庄二模)已知函数f(x)=|log2x|+1,x>0,x+4,x≤0,则y=f(f(x))-3的零点个数为 (　　)
A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6
答案　(1)B　(2)C
解析　(1)由f(x+π)=f(x)得函数周期是π,又f(x)是偶函数,且当x∈0,π2时, f(x)=sin x,因此可得f(x)=|sin x|,y=lg|x|是偶函数,作出函数y=f(x)的图象与当x>0时,y=lg|x|=lg x的图象,如图所示,

由图象可知,当x>0时,两函数图象共有5个交点,
又函数y=f(x)与y=lg|x|均为偶函数,
所以函数y=f(x)-lg|x|的零点个数是10,
即函数y=f(x)-lg|x|的零点个数是10.
(2)易知函数y=f(f(x))-3的零点个数,即方程f(f(x))=3的实数根个数,设t=f(x),则f(t)=3,作出f(x)的图象,
如图所示,

结合图象可知,方程f(t)=3有三个实根,t1=-1,t2=14,t3=4,
则f(x)=-1有一个解,f(x)=14有一个解,f(x)=4有三个解,
故方程f(f(x))=3有5个解,
即y=f(f(x))-3的零点个数为5.
名师点评
函数零点个数的判断方法
(1)直接求零点,令f(x)=0,有几个解就有几个零点;
(2)零点存在性定理,要求函数的图象在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,再结合函数的图象与性质确定函数零点个数;
(3)利用图象交点个数,作出两函数图象,观察其交点个数即得零点个数.

1.(2020贵州铜仁三模)函数f(x)=ln x+x2的零点个数是 (　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
答案　B　因为y=ln x与y=x2均在(0,+∞)上为增函数,所以函数f(x)=ln x+x2至多有一个零点,又因为f1e=ln1e+1e2=−1+1e2<0,f(1)=ln 1+1=1>0,所以f1e·f(1)<0,
即函数f(x)在1e,1上有一个零点.
2.函数f(x)=x2+x-2,x≤0,-1+lnx,x>0的零点个数为 (　　)
A.3　　　　B.2　　　　C.1　　　　D.0
答案　B　解法一:由f(x)=0得x≤0,x2+x-2=0或x>0,-1+lnx=0,解得x=-2或x=e.
因此函数f(x)共有2个零点.
解法二:函数f(x)的图象如图所示,由图象知函数f(x)共有2个零点.

确定零点所在的区间
　　典例2　(1)函数f(x)=ln(x+1)-2x的零点所在的区间是 (　　)
A.12,1　　　　B.(1,e-1)
C.(e-1,2)　　　　D.(2,e)
(2)设函数y=x3与y=12x-2的图象的交点为(x0,y0),若x0∈(n,n+1),n∈N,则x0所在的区间是　　　　. 
答案　(1)C　(2)(1,2)
解析　(1)因为函数f(x)=ln(x+1)-2x在(0,+∞)上单调递增且连续,
又f(e-1)=ln(e-1+1)-2e-1=1−2e-1<0,
f(2)=ln(2+1)-22=ln 3-1>0,
即f(e-1)f(2)<0,
所以函数f(x)=ln(x+1)-2x的零点所在的区间是(e-1,2),故选C.
(2)设f(x)=x3-12x-2,则x0是函数f(x)的零点,在同一坐标系下作出函数y=x3与y=12x-2的图象,如图所示.

因为f(1)=1-12-1=-1<0, f(2)=8-120=7>0,所以f(1)f(2)<0,所以x0∈(1,2).
名师点评
确定函数零点所在区间的方法
(1)解方程法:当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,然后看求得的根是否落在给定区间内.
(2)图象法:把方程转化为两个函数,看图象的交点的横坐标所在的区间.
(3)利用函数零点存在性定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(4)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.

1.若a A.(a,b)和(b,c)内　　　　B.(-∞,a)和(a,b)内
C.(b,c)和(c,+∞)内　　　　D.(-∞,a)和(c,+∞)内
答案　A　∵a ∴f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0, f(c)=(c-a)(c-b)>0,即f(a)f(b)<0, f(b)f(c)<0.
由函数零点存在性定理可知在区间(a,b),(b,c)内分别存在零点,又函数f(x)是二次函数,最多有两个零点,因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内.
2.方程2x+2x-2=0的根所在的区间为 (　　)
A.-12,0　　　　B.0,12 C.12,1　　　　D.1,32
答案　B　设f(x)=2x+2x-2,可得f(x)是R上的增函数,
因为f(0)=1-2=-1<0, f12=2-1>0,所以f(0)·f12<0,所以f(x)的零点在0,12上,即方程2x+2x-2=0的根所在的区间为0,12.
函数零点的应用
　　典例3　(1)(2020广东海珠二模)已知函数f(x)=|x-3|-1,x≥0,-x2+2,x<0,函数g(x)=mx,若函数y=f(x)-2g(x)恰有三个零点,则实数m的取值范围是 (　　)
A.-16,12　　　　B.-13,1 C.-16,+∞　　　　D.-∞,12
(2)(多选题)已知函数f(x)=|log2(x-1)|,13,若方程f(x)=m有四个不同的实根x1,x2,x3,x4满足x1 A.x1x2=1　　　　
B.1x1+1x2=1
C.x3+x4=12　　　　
D.x3x4∈(27,29)
答案　(1)A　(2)BCD
解析　(1)由题意,画出函数f(x)=|x-3|-1,x≥0,-x2+2,x<0的图象如下图所示:

y=f(x)-2g(x)恰有三个零点,即f(x)=2g(x)有三个不等实根,即f(x)的图象与g(x)=2mx的图象有三个不同交点,由图象可知,当直线斜率在kOA,kOB之间时,有三个交点,
即kOA<2m 所以-13<2m<1,可得-16 (2)作出函数f(x)的图象,方程f(x)=m有四个不同的实根,
即函数y=f(x)的图象与直线y=m有四个不同的交点,如图所示:

由图象可知|log2(x1-1)|=|log2(x2-1)|,且1 所以log2(x1-1)=-log2(x2-1),即log2(x1-1)+log2(x2-1)=0,
所以log2[(x1-1)(x2-1)]=0,即(x1-1)·(x2-1)=1,
所以x1+x2=x1x2,所以1x1+1x2=1,
故选项A错误,选项B正确;
又x3,x4是方程12x2−6x+292=m(0 所以x3+x4=12,x3x4=29-2m,
因为方程f(x)=m有四个不同的实根,所以由图可知m∈(0,1),
所以x3x4=29-2m∈(27,29),
故选项C,选项D均正确.
名师点评
1.已知函数的零点求参数,主要方法有:(1)直接求方程的根,构建方程(不等式)求参数;
(2)数形结合;(3)分离参数,转化为求函数的最值.
2.已知函数零点的个数求参数范围,常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点个数问题,需准确画出两个函数的图象,利用图象写出满足条件的参数范围.

　若函数f(x)=2x-2x-a的一个零点在区间(1,2)上,则实数a的取值范围是 (　　)
A.(1,3)　　　　B.(1,2)
C.(0,3)　　　　D.(0,2)
答案　C　因为函数f(x)=2x-2x-a在区间(1,2)上单调递增,
又函数f(x)=2x-2x-a的一个零点在区间(1,2)内,
则有f(1)·f(2)<0,
所以-a(4-1-a)<0,
即a(a-3)<0,
所以0
直观想象——数形结合在解决函数零点问题中的应用

　　(2020天津,9,5分)已知函数f(x)=x3,x≥0,-x,x<0.若函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4个零点,则k的取值范围是 (　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
　　A.-∞,-12∪(22,+∞)　　　　
B.-∞,-12∪(0,22)
C.(-∞,0)∪(0,22)　　　　
D.(-∞,0)∪(22,+∞)
答案　D　令h(x)=|kx2-2x|,函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4个零点,
即y=f(x)与y=h(x)的图象恰有4个不同交点.
当k=-12时,h(x)=-12x2-2x=12x2+2x,在同一直角坐标系中作出y=f(x),y=h(x)的图象如图.

由图可知y=f(x)与y=h(x)的图象恰有4个不同交点,
即函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|恰有4个零点,排除A,B;
当k=1时,h(x)=|x2-2x|,作出y=h(x)与y=f(x)的图象如图所示.

此时,函数y=f(x)与y=h(x)的图象仅有2个交点,不合题意,排除C,故选D.

　　本题把函数的零点问题转化为了两个函数图象的交点个数问题,再借助于函数的图象解决问题,这是解决函数零点问题最常用的方法,提升了直观想象素养.

1.已知函数f(x)=x+4x,x>0,(x+2)2-1,x≤0,若方程f(x)-2m=0恰有三个不同的实数根,则实数m的取值范围是 (　　)
A.(2,+∞)　　　　B.(4,+∞)
C.(2,4)　　　　 D.(3,4)
答案　A　画出函数f(x)的图象,如图所示.

当x>0时, f(x)=x+4x≥4.设g(x)=2m,则方程f(x)-2m=0恰有三个不同的实数根,即f(x)和g(x)=2m的图象有三个交点.由图象可知,2m>4,即m>2,故实数m的取值范围是(2,+∞).
2.(2020河南开封二模)定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(-x)与f(x+2)=f(-x-2),且当x∈[-3,-1]时,f(x)=(x+2)2,则函数y=1f(x)-log|x-1|5的零点个数为 (　　)
A.12　　　　B.10　　　　C.8　　　　D.6
答案　C　因为f(x+2)=f(-x-2),令x+2=t,得f(t)=f(-t),所以函数f(x)是定义在R上的偶函数.又因为f(x+2)=f(-x),得f(x+2)=f(x),所以函数f(x)是周期为2的周期函数.
由y=1f(x)-log|x-1|5=0,得1f(x)=log|x-1|5,
根据换底公式,得1f(x)=1log5|x-1|,即f(x)=log5|x-1|,
因此,求函数y=1f(x)-log5|x-1|的零点个数可以转化为求函数h(x)=f(x)(f(x)≠0)与g(x)=log5|x-1|(|x-1|>0,|x-1|≠1)的图象的交点个数问题.
函数f(x)的周期为2,所以x≠2k(k∈Z),
所以函数h(x)的定义域是{x∈R|x≠2k,k∈Z},
由|x-1|>0且|x-1|≠1,得x≠0,1,2,
函数g(x)的定义域是{x∈R|x≠0,1,2}.
在同一坐标系中作出函数y=h(x)(x≠2k)(k∈Z)与g(x)=log5|x-1|(x≠0,1,2)的图象,如图所示,

由图可知,函数h(x)=f(x)(f(x)≠0)与g(x)=log5|x-1|(x≠0,1,2)的图象一共有8个交点.
即函数y=1f(x)-log|x-1|5的零点个数为8.


A组　基础达标

1.已知函数f(x)=2x-1,x≤1,1+log2x,x>1,则函数f(x)的零点为 (　　)
A.12,0　　　　B.-2,0
C.12　　　　 D.0
答案　D
2.函数y=12ln x+x-2的零点所在的区间是 (　　)
A.1e,1　　　　B.(1,2)
C.(e,3)　　　　D.(2,e)
答案　B
3.(2020浙江嘉兴高三开学考试)若函数f(x)=ln x-1x+a在区间(1,e)上存在零点,则常数a的取值范围为 (　　)
A.0 C.1e−1 答案　C
4.设函数f(x)=x2+bx+c,x≤0,2,x>0.若f(-4)=f(0), f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为 (　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
答案　C
5.已知实数x0是函数f(x)=x−6x的一个零点,若0 A.f(x1)<0, f(x2)<0　　　　B.f(x1)<0, f(x2)>0
C.f(x1)>0, f(x2)<0　　　　D.f(x1)>0, f(x2)>0
答案　B
6.(多选题)已知函数f(x),g(x)的图象分别如图1,2所示,方程f(g(x))=1,g(f(x))
=-1,g(g(x))=-12的实根个数分别为a,b,c,则 (　　)

A.a+b=c　　　　B.b+c=a
C.ab=c　　　　 D.b+c=2a
答案　AD
7.已知x0是函数f(x)=2x+11-x的一个零点,若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则 (　　)
A.f(x1)<0, f(x2)<0　　　　
B.f(x1)<0, f(x2)>0
C.f(x1)>0, f(x2)<0　　　　
D.f(x1)>0, f(x2)>0
答案　B
8.(2020河北沧州模拟)已知函数f(x)=2-x,x≤0,ln1x,x>0,g(x)=f(x)-x-a.若g(x)有2个零点,则实数a的取值范围是 (　　)
A.[-1,0)　　　　 B.[0,+∞)
C.[-1,+∞)　　　　D.[1,+∞)
答案　D　令g(x)=0,可得f(x)=x+a,作出函数y=f(x)与函数y=x+a的图象,如图所示:

由图可知,当a≥1时,函数y=f(x)与函数y=x+a的图象有2个交点,
此时,函数y=g(x)有2个零点.因此,实数a的取值范围是[1,+∞).
9.已知函数f(x)=e|x-1|,x>0,-x2-2x+1,x≤0,若关于x的方程[f(x)]2-3f(x)+a=0(a∈R)有2个不同的实数根,则a的值是 (　　)
A.0　　　　B.1
C.6　　　　D.2
答案　D　函数f(x)=e|x-1|,x>0,-x2-2x+1,x≤0的图象如图所示,

令f(x)=t,由题意可知方程t2-3t+a=0有两个不同的实数根t1∈(1,2),t2∈(2,e)或t1=1,t2=2,由于t1+t2=3,故t1=1,t2=2.
令g(t)=t2-3t+a,g(1)=g(2)=0,所以a=2.
10.(2020福建厦门一中高三模拟)函数f(x)=|log2x|,02,若实数a,b,c满足0 A.ab=1　　　　B.c-a=32
C.b2-4ac<0　　　　D.a+c<2b
答案　D　函数f(x)=|log2x|,02的图象如图:

由f(a)=f(b)可得-log2a=log2b,即log2a+log2b=0,所以log2ab=0,ab=1,故A中结论恒成立;
由f(a)=f(c)可得-log2a=log12c-32=-log2c-32,即log2c-32=log2a,所以c−32=a,c−a=32,故B中结论恒成立;由图象可知f(a)=f(b)=f(c)∈(0,1),所以12
B组　能力拔高

11.(2020山东聊城模拟)关于x的方程(x2-1)2-|x2-1|+k=0,给出下列四个命题:
①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根;
②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根;
③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根;
④存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根.
其中正确命题的个数是 (　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
答案　D　令t=x2-1(t≥-1),y=t2-|t|,y=-k,
在同一平面直角坐标系中作出函数y=t2-|t|,y=-k的图象,如图所示.

当k=0时,两函数图象有3个交点,且交点横坐标分别为-1,0,1,由于-1,0,1都在函数t=x2-1的值域[-1,+∞)内,
令x2-1=1,x2-1=-1,x2-1=0,故原方程有5个不同的实根;
当k<0时,此时-k>0,两函数图象有2个交点,设交点横坐标分别为t1,t2,
其中t1>1在[-1,+∞)内,而t2<-1不在[-1,+∞)内,
所以t1=x2-1,于是原方程有2个不同的实根x1=1+t1,x2=-1+t1;
当k=14时,函数图象有2个交点,
设交点横坐标分别为t3,t4,则t3∈(-1,0),t4∈(0,1),
则原方程有4个不同的实根;
当0 设交点横坐标分别为t5,t6,t7,t8,
则t5,t6∈(-1,0),t7,t8∈(0,1),
则原方程有8个不同的实根.
综上,四个命题都正确.
12.(多选题)已知函数f(x)=x-2,x∈(-∞,0),lnx,x∈(0,1),-x2+4x-3,x∈[1,+∞),若函数g(x)=f(x)-m恰有2个零点,则实数m可以是 (　　)
A.-1　　　　B.0
C.1　　　　 D.2
答案　ABC　令g(x)=f(x)-m=0,则f(x)=m,
在同一直角坐标系中作出y=f(x)的图象与直线y=m,
只需两函数图象有两个交点即可.

由图可知当m=-1,0,1时,两函数图象均有两个交点,故选ABC.
13.(多选题)若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x1,x2,且x1 A.当m=0时,x1=2,x2=3　　　　B.m>-14
C.当m>0时,20时,x1<2<3 答案　ABD　当m=0时,(x-2)(x-3)=0,
∴x1=2,x2=3,故A对;
方程(x-2)(x-3)=m化为x2-5x+6-m=0,由方程有两个不等实根得Δ=25-4(6-m)=1+4m>0,∴m>-14,故B对;
当m>0时,画出函数y=(x-2)(x-3)和函数y=m的图象如图,

由(x-2)(x-3)=m得,函数y=(x-2)(x-3)的图象和直线y=m的交点横坐标分别为x1,x2,由图可知,x1<2<3 14.(多选题)已知f(x)=lnx-2,x>0,2x-12,x≤0,存在实数m满足2f(f(m))+1=2f(m)+1,则 (　　)
A.f(m)≤0　　　　
B.f(m)可能大于0
C.m∈(-∞,-1]　　　　
D.m∈(-∞,-1]∪(0,e2]
答案　AD　由2f(f(m))+1=2f(m)+1,可得f(f(m))=2f(m)-12.
若f(m)>0,则ln[f(m)]-2=2f(m)-12,
∵ln x≤x-1,2x>x,
∴ln x-2≤x-3,x-1<2x-1<2x-12,
∴ln x-2≤x-3 ∴方程无解;
若f(m)≤0,
则2f(f(m))+1=22f(m)-12+1=2f(m)+1恒成立,
故只需解f(m)≤0即可,
当m≤0时,由f(m)=2m-12≤0,
解得m≤-1;
当m>0时,由f(m)=ln m-2≤0,
解得0 综上所述,当m∈(-∞,-1]∪(0,e2]时, f(m)≤0,
满足2f(f(m))+1=2f(m)+1.

C组　思维拓展

15.(2020江苏苏州高三二模)函数f(x)=x(x-t)2(x≤t),x4(x>t),其中t>0,若函数g(x)=f [f(x)-1]有6个不同的零点,则实数t的取值范围是　　　　. 
答案　(3,4)
解析　由题意,函数f(x)=x(x-t)2(x≤t),x4(x>t),其中t>0,
则f′(x)=(3x-t)(x-t),x≤t,14,x>t,
当xt时, f′(x)>0,函数f(x)为增函数;
当t3 故当x=t3时,函数f(x)取极大值427t3,
由f(x)=0,解得x=0或x=t,即函数f(x)有两个零点0和t,
因为函数g(x)=f[f(x)-1]恰有6个不同的零点,
则方程f(x)-1=0和f(x)-1=t各有三个解,即函数f(x)的图象与直线y=1和直线y=t+1各有三个交点,作出函数f(x)的大致图象如图:

故t4<1<427t3,t4 16.(2020山西忻州高三二模)已知定义在R上的函数f(x)存在零点,且对任意m∈R,n∈R都满足fm2f(m)+f(n)=[f(m)]2+2n,则函数g(x)=|f [f(x)]-4|+log3x-1有　　　　个零点. 
答案　3
解析　∵定义在R上的函数f(x)存在零点,且对任意m∈R,n∈R都满足fm2f(m)+f(n)=[f(m)]2+2n,
∴可设m为f(x)的零点,则f(m)=0,
∴f [f(n)]=2n,
∴f [f(x)]=2x,
∴g(x)=|2x-4|+log3x-1,
令g(x)=0,得1-log3x=|2x-4|,分别作出函数y=1-log3x和y=|2x-4|的图象,如图所示,由图象可知,y=1-log3x和y=|2x-4|函数图象有三个交点,
∴g(x)=|2x-4|+log3x-1有三个零点,
故答案为3.