第五节　指数与指数函数学案

这是一份第五节　指数与指数函数学案，共16页。

第五节　指数与指数函数
学习要求:
1.掌握指数幂的运算性质.
2.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.
3.能画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.


　　1.指数幂的概念
(1)根式的概念
方根的概念
符号表示
备注
如果① xn=a ,n>1,n∈N*,那么x叫做a的n次方根


当n为奇数时,正数的n次方根是一个② 正数 ,负数的n次方根是一个③ 负数
na
0的n次方根是0
当n为偶数时,正数的n次方根有④ 两个 ,它们互为⑤ 相反数
±na
负数没有偶次方根
(2)两个重要公式
nan=⑥a,n为奇数,|a|=⑦a(a≥0),⑧-a(a<0),n为偶数.
(na)n=⑨ a (注意a必须使na有意义). 
2.有理数指数幂
(1)分数指数幂的表示
amn=⑩ nam (a>0,m,n∈N*,n>1), 
a-mn= 1amn =1nam(a>0,m,n∈N*,n>1). 

(2)0的分数指数幂
0的正分数指数幂是 0 ,0的负分数指数幂无意义. 
　　(3)有理数指数幂的运算法则
(i)aras= ar+s (a>0,r,s∈Q). 
(ii)(ar)s= ars (a>0,r,s∈Q). 
(iii)(ab)r= arbr (a>0,b>0,r∈Q). 
　　3.指数函数的图象与性质

a>1
0 图象


定义域
R
值域
(0,+∞)
性质
过定点 (0,1)
当x>0时, y>1 ;
当x<0时, 0 当x>0时, 0 当x<0时, y>1
在(-∞,+∞)上是
增函数
在(-∞,+∞)上是
减函数
▶提醒　(1)当指数函数的底数a的大小不确定时,需分a>1和0 (2)指数函数的图象恒过点(0,1),(1,a),-1,1a,依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象.




知识拓展
判断指数函数的图象与底数大小的关系
如图所示的是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象,底数a,b,c,d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律:在第一象限内,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象越高,底数越大.


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).
(1)nan=(na)n=a. (　　)
(2)(-1)24=(-1)12=-1. (　　)
(3)函数y=a-x(a>0,且a≠1)是R上的增函数. (　　)
(4)函数y=2x-1是指数函数. (　　)
(5)若am0,且a≠1),则m 答案　(1)✕　(2)✕　(3)✕　(4)✕　(5)✕
2.(新教材人教A版必修第一册P107T2改编)设a>0,将a2a·3a2表示成分数指数幂,其结果是(　　)
A.a12　　　　B.a56　　　　C.a76　　　　D.a32
答案　C
3.(新教材人教A版必修第一册P115T2改编)若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点2,13,则f(-1)= (　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.3
答案　C
4.(新教材人教A版必修第一册P115T3改编)某种产品的产量原来是a件,在今后m年内,计划使每年的产量比上一年增加p%,则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为 (　　)
A.y=a(1+p%)x(0 B.y=a(1+p%)x(0≤x≤m,x∈N)
C.y=a(1+xp%)(0 D.y=a(1+xp%)(0≤x≤m,x∈N)
答案　B
5.函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在区间[1,2]上的最大值是最小值的2倍,则a的值是 (　　)
A.12或2　　　　B.12或2
C.12　　　　 D.2
答案　B

根式、指数式的化简与求值
1.0.027-13−-17-2+27912-(2-1)0=　　　　. 
答案　-45
解析　0.027-13−-17-2+27912-(2-1)0=0.3-1-49+53−1=−50+103+53=-45.
2.(2a23b12)(-6a12b13)÷(-3a16b56)(a>0且b>0)=　　　　. 
答案　4a
解析　(2a23b12)(-6a12b13)÷(-3a16b56)=2×(-6)-3·a23+12-16b12+13-56=4a.
3.化简下列各式:
(1)2350+2−2×214-12-(0.01)0.5;
(2)a3b23ab2(a14b12)4a-13b13(a>0,b>0).
解析　(1)原式=1+14×4912−110012=1+14×23−110=1+16−110=1615.
(2)原式=(a3b2a13b23)12ab2a-13b13=a32+16-1+13b1+13-2-13=ab.
名师点评
指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的,无括号的先进行指数运算.
(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.
(3)底数是负数的,先确定符号;底数是小数的,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.
(4)若是根式,则化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.
▶提醒　运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数幂,形式要统一.
指数函数的图象及应用
　　典例1　(1)在同一平面直角坐标系中,如果a>0且a≠1,那么函数f(x)=xa与g(x)=a-x在[0,+∞)上的图象可能是 (　　)

(2)(多选题)已知实数a,b满足等式12a=13b,则下列关系式中不可能成立的是(　　)
A.0 C.0 答案　(1)A　(2)CD
解析　(1)易知f(x)=xa为幂函数,g(x)=a-x=1ax为指数函数.g(x)=a-x=1ax的图象过定点(0,1),当0<1a<1,即a>1时,g(x)是减函数,f(x)=xa是下凹增函数,故A选项正确,B选项错误;当1a>1,即0 (2)画出函数y=12x和y=13x的图象,如图所示:

结合图象分析a,b满足等式12a=13b时a,b的大小关系.
易知,若a,b均为正数,则a>b>0;若a,b均为负数,则a 若a=b=0,则12a=13b=1.
名师点评
应用指数函数图象的4个技巧
(1)画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),-1,1a.
(2)已知函数解析式判断函数图象一般是取特殊点,判断所给的图象是否过这些点,若不满足,则排除.
(3)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到相应函数的图象.当底数a与1的大小关系不确定时,应注意分类讨论.
(4)有关指数方程、不等式问题的求解,往往要作出相应的指数型函数图象,运用数形结合的思想求解.

1.函数y=ax-a2+a(a>0且a≠1)的图象不可能是 (　　)

答案　D　当0 则y=a0-a2+a=-a-122+54,又01时,函数y=ax-a2+a为增函数,取x=0,则y=a0-a2+a=-a-122+54,又a>1,所以
-a-122+54<1,故A、B中图象可能.
2.函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是 (　　)

A.a>1,b<0　　　　 B.a>1,b>0
C.00　　　　D.0 答案　D　由题中f(x)=ax-b的图象可以观察出,函数f(x)=ax-b在定义域上单调递减,
所以0 函数f(x)=ax-b的图象是将f(x)=ax的图象向左平移得到的,所以b<0.
指数函数的性质及应用
角度一　比较指数式的大小
　　典例2　(2020四川成都七中高三模拟)已知a=243,b=425,c=2513,则 (　　)
A.b B.a C.b D.c 答案　A　a=243=1613,b=425=1615,c=2513,
因为幂函数y=x13在R上单调递增,所以a 因为指数函数y=16x在R上单调递增,所以b 角度二　解简单的指数方程或不等式
典例3　设函数f(x)=4x-14x+1.
(1)解不等式f(x)<13;
(2)求函数f(x)的值域.
解析　(1)因为f(x)=4x-14x+1=1+-24x+1<13,所以4x+1<3,即22x<21,所以x<12,即不等式的解集为-∞,12.
(2)因为f(x)=1+-24x+1,4x>0,所以4x+1>1,-2<-24x+1<0,-1<1+-24x+1<1,
所以f(x)的值域为(-1,1).
角度三　与指数函数有关的复合函数的单调性
典例4　函数f(x)=12-x2+x+1的单调递增区间为 (　　)
A.-∞,12　　　　B.-∞,1-52
C.12,1+52　　　　D.12,+∞
答案　C　由-x2+x+1≥0得1-52≤x≤1+52,
∴f(x)的定义域为1-52,1+52.
∵y=-x2+x+1在-∞,12上单调递增,在12,+∞上单调递减,
∴t=-x2+x+1在1-52,12上单调递增,在12,1+52上单调递减,
又y=12t在R上单调递减,
∴f(x)=12-x2+x+1的单调递增区间为12,1+52.
角度四　指数函数性质的综合问题
典例5　已知定义在R上的函数f(x)=b-2x2x+1+a是奇函数.
(1)求实数a,b的值;
(2)若对任意实数x,不等式f(4x-k·2x)+f(22x+1-k)<0恒成立,求实数k的取值范围.
解析　(1)∵定义在R上的函数f(x)=b-2x2x+1+a是奇函数,
∴f(0)=0,解得b=1.
由f(-1)=-f(1),得b-121+a=−b-24+a,
解得a=2.
故实数a=2,b=1.
(2)由(1)知f(x)=1-2x2x+1+2=-(2x+1)+22(2x+1)=−12+12x+1,
∵y=2x+1在R上单调递增,且y>1,
∴f(x)在R上单调递减.
不等式f(4x-k·2x)+f(22x+1-k)<0恒成立即不等式f(4x-k·2x)<-f(22x+1-k)恒成立,
∵f(x)是奇函数,又是单调递减函数,
∴4x-k·2x>k-22x+1,
可得3·4x-k·2x-k>0恒成立,令t=2x(t>0),
则3t2-kt-k>0(t>0)恒成立,
若k6≤0,则-k≥0,即k≤0;
若k6>0,则Δ<0,即k2+12k<0,此时无解.
综上,实数k的取值范围是(-∞,0].

名师点评
指数函数的性质及应用问题的解题策略
(1)比较大小问题.常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)比较大小.
(2)解简单的指数型不等式要充分利用指数函数的性质,将指数型不等式转化为一次、二次不等式解决.
(3)指数函数的综合问题.要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合,同时要特别注意,底数不确定时,应对底数进行分类讨论.

1.(多选题)已知函数f(x)=2x-12x+1,则下列说法正确的是 (　　)
A.f(x)的图象关于原点对称
B.f(x)的图象关于y轴对称
C.f(x)的值域为(-1,1)
D.∀x1,x2∈R,且x1≠x2,f(x1)-f(x2)x1-x2<0恒成立
答案　AC　f(x)=2x-12x+1的定义域为R,关于原点对称,又f(-x)=2-x-12-x+1=1-2x1+2x=-f(x),所以f(x)是奇函数,图象关于原点对称,故A选项中说法正确;
f(1)=2-12+1=13,f(-1)=12-112+1=−13≠f(1),所以f(x)的图象不关于y轴对称,故B选项错误;
f(x)=2x-12x+1=1−21+2x,令1+2x=t,则t∈(1,+∞),y=f(x)=1-2t,
易知1-2t∈(-1,1),所以f(x)的值域为(-1,1),故C选项中说法正确;
函数t=1+2x在R上单调递增,且y=1-2t在t∈(1,+∞)上单调递增,
根据复合函数的单调性,可知f(x)=1-21+2x在R上单调递增,
故∀x1,x2∈R,且x1≠x2,f(x1)-f(x2)x1-x2<0不成立,故D选项中说法错误.
2.(2020江西南昌模拟)函数y=134x-x2的单调增区间是 (　　)
A.[1,2]　　　　 B.[1,3]
C.(-∞,2]　　　　D.[2,+∞)
答案　D　y=134x-x2=3-4x+x2,
∵y1=3x在R上单调递增,y2=x2-4x在(-∞,2)上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,
∴y=3-4x+x2在(-∞,2)上单调递减,在[2,+∞)上单调递增.故选D.


A组　基础达标

1.(2020山东济宁高三二模)已知函数g(x)=3x+t的图象不经过第二象限,则t的取值范围为(　　)
A.t≤-1　　　　B.t<-1
C.t≤-3　　　　D.t≥-3
答案　A
2.设x>0,且1 A.0 C.1 答案　C
3.函数y=x+a与y=ax,其中a>0,且a≠1,在同一直角坐标系中它们的大致图象有可能是 (　　)

答案　D
4.(2020安徽淮北一中高三模拟)设a=log49,b=3-1.1,c=827-13,则 (　　)
A.a>b>c　　　　B.b>a>c
C.a>c>b　　　　D.c>a>b
答案　C
5.(多选题)(2020山东聊城模拟)已知函数f(x)=2-x-2x,有下列四个结论,其中正确的结论是 (　　)
A.f(0)=0
B.f(x)是奇函数
C.f(x)在(-∞,+∞)上单调递增
D.对任意的实数a,方程f(x)-a=0都有解
答案　ABD　f(x)=2-x-2x,则f(0)=120-20=0,故A选项正确;
f(-x)=2x-2-x=-f(x),所以f(x)是奇函数,故B选项正确;
f(x)=12x-2x在R上是减函数,故C选项错误;
当x→-∞时, f(x)→+∞;当x→+∞时,f(x)→-∞,即f(x)的值域是(-∞,+∞),它又是R上的减函数,因此对任意实数a,f(x)=a都有解,故D选项正确.
6.化简:(a23·b-1)-12·a-12·b136a·b5=　　　　. 
答案　1a
7.已知0≤x≤2,则函数y=4x-12-3×2x+5的最大值为　　　　. 
答案　52
解析　设2x=t,0≤x≤2,则1≤t≤4,y=4x-12−3×2x+5=12t2−3t+5=12(t-3)2+12,故当t=1,即x=0时,函数有最大值52.
8.化简下列各式:
(1)[(0.06415)-2.5]23−3338-π0;
(2)56a13·b-2·(-3a-12b-1)÷(4a23·b−3)12.
解析　(1)原式=641 00015-5223−27813−1=410315×(-52)×23−32313−1=52−32-1=0.
(2)原式=-52a-16b-3÷(4a23·b−3)12=−54a-16b-3÷(a13b-32)=-54a-32·b-23=−54·1ab3=−5ab4ab2.
9.设函数f(x)=1210-ax,a是不为零的常数.
(1)若f(3)=12,求使不等式f(x)≥4的x的取值范围;
(2)当x∈[-1,2]时, f(x)的最大值是16,求a的值.
解析　(1)由f(3)=12得a=3,不等式f(x)≥4可化为23x-10≥22,∴x≥4,故x的取值范围是[4,+∞).
(2)当a>0时,f(x)=2ax-10是增函数,所以在[-1,2]上,f(x)的最大值为f(2)=22a-10=16,解得a=7;当a<0时,f(x)=2ax-10是减函数,f(x)的最大值为f(-1)=2-a-10=16,解得a=-14.综上,a=-14或a=7.

B组　能力拔高

10.若函数f(x)=12x,x<1,a+14x,x≥1的值域为(a,+∞),则a的取值范围为 (　　)
A.14,+∞　　　　B.14,12 C.12,1　　　　D.14,1
答案　B　易知当x<1时,f(x)=12x∈12,+∞,当x≥1时,f(x)=a+14x∈a,a+14,∵函数f(x)的值域为(a,+∞),∴a+14≥12,a≤12,即a∈14,12.
11.(多选题)定义运算a?b=a(a≥b),b(a A. f(x)的值域为[1,+∞)
B. f(x)的值域为(0,1]
C.使不等式f(x+1) D.使不等式f(x+1) 答案　AC　由函数f(x)=1?2-x,得f(x)=1(1≥2-x),2-x(1<2-x),
即f(x)=2-x(x<0),1(x≥0),
作出函数f(x)的图象如下,

根据函数图象可知f(x)的值域为[1,+∞).故A选项正确,B选项错误;若不等式f(x+1)0,即-1 12.(多选题)若实数a,b满足2a+3a=3b+2b,则下列关系式中可能成立的是 (　　)
A.0 C.1 答案　ABD　设f(x)=2x+3x,g(x)=3x+2x,作出函数f(x)与g(x)的图象如图,

由图象可知,①当x<0时, f(x) ②当x=0或x=1时, f(x)=g(x),所以2a+3a=3b+2b时,a=b,故D正确;
③当0g(x),所以2a+3a=3b+2b时,0 ④当x>1时, f(x) 13.(2019江苏启东高三期末)已知不等式N<3x-2x3x+2x 答案　2
解析　设f(x)=3x-2x3x+2x,其中x∈R.
f(x)=1-23x1+23x=21+23x-1.
∵23x>0,
∴1+23x>1,
∴0<21+23x<2,
∴-1<21+23x-1<1,
即-1 令M=1,N=-1,则M-N的最小值是1-(-1)=2.
14.已知函数f(x)=k2x-2-x是定义域为R的奇函数.
(1)求k的值;
(2)求不等式f(x2+2x)+f(x-4)>0的解集;
(3)若g(x)=22x+2-2x-2mf(x)在[1,+∞)上的最小值为-2,求m的值.
解析　(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数,
∴f(0)=20k-2-0=0,即k-1=0,解得k=1.
(2)由(1)可得k=1,
∴f(x)=2x-2-x,
在R上任取x1,x2,且x2>x1,
∵f(x1)=2x1−2-x1,f(x2)=2x2−2-x2,
∴f(x2)-f(x1)=(2x2−2-x2)-(2x1−2-x1)
=(2x2−2x1)+12x1-12x2=(2x2−2x1)+(2x2-2x1)2x1·2x2=(2x2−2x1)1+12x1+x2>0,即f(x2)>f(x1),
∴f(x)在R上单调递增,
∵f(x2+2x)+f(x-4)>0,
∴f(x2+2x)>f(4-x),
∴x2+2x>4-x,即x2+3x-4>0,解得x>1或x<-4.
∴不等式的解集为(-∞,-4)∪(1,+∞).
(3)∵g(x)=22x+2-2x-2mf(x),
∴g(x)=22x+2-2x-2m(2x-2-x)=(2x-2-x)2-2m(2x-2-x)+2.
令t=2x-2-x,h(t)=g(x)=t2-2mt+2.
∵x≥1,∴t≥32.
∴h(t)=t2-2mt+2=(t-m)2-m2+2t≥32.
若m≥32,
则当t=m时,h(t)min=-m2+2=-2,解得m=2;
若m<32,则当t=32时,h(t)min=174-3m=-2,解得m=2512>32(舍去).
综上,m=2.