第08讲-指数与指数函数（解析版）学案

第08讲-指数与指数函数

一、                   考情分析

1.通过对有理数指数幂a(a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质；

2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念；

3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.

二、                   知识梳理

1.根式

(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.

(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝

2.分数指数幂

(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N+，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N+，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.

(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.

3.指数函数及其性质

(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.

(2)指数函数的图象与性质

[微点提醒]

1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.

2.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大.

三、                   经典例题

考点一　指数幂的运算

【例1-1】 化简下列各式：

(1)＋2－2·－(0.01)0.5；                     (2)(a>0，b>0).

【解析】　(1)原式＝1＋×－

＝1＋×－＝1＋－＝.

(2)原式＝＝a＋－1＋b1＋－2－＝.

【例1-2】 化简下列各式：

(1)[(0.064)－2.5]－－π0；                    (2)a·b－2·(－3a－b－1) ÷(4a·b－3).

解　(1)原式＝－－1

＝－－1

＝－－1＝0.

(2)原式＝－a－b－3÷(4a·b－3)

＝－a－b－3÷(ab－)＝－a－·b－

＝－·＝－.

规律方法　1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.

2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.

3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.

考点二　指数函数的图象及应用

【例2-1】若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.

解析　(1)y＝(a－1)2x－＝a－2x，令2x－＝0，得x＝－1，

故函数y＝(a－1)2x－恒过定点.

(2)在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示.

∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点.

∴b的取值范围是(0，2).

【例2-2】(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)

A.a>1，b<0

B.a>1，b>0

C.0<a<1，b>0

D.0<a<1，b<0

【例2-3】若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________.

解析　(1)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1.

函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.

(2)画出曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示.

由图象得|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1].

考点三　指数函数的性质及应用

【例3－1】 (1)下列各式比较大小正确的是(　　)

A.1.72.5>1.73    B.0.6－1>0.62

C.0.8－0.1>1.250.2    D.1.70.3<0.93.1

(2)设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是________.

【解析】(1)A中，∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，

∴1.72.5<1.73，错误；

B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，

∴0.6－1>0.62，正确；

C中，∵(0.8)－1＝1.25，

∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.

∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，

∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；

D中，∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1，

∴1.70.3>0.93.1，错误.

(2)当a<0时，原不等式化为－7<1，

则2－a<8，解之得a>－3，所以－3<a<0.

当a≥0时，则<1，0≤a<1.

综上知，实数a的取值范围是(－3，1).

答案　(1)B　(2)(－3，1)

【例3－2】 (1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增加的，则m的取值范围是______.

(2)若函数f(x)＝的值域是，则f(x)的单调递增区间是________.

【解析】　(1)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上是增加的，在区间上是减少的.而y＝2t在R上是增加的，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上是增加的，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4].

(2)令g(x)＝ax2＋2x＋3，

由于f(x)的值域是，

所以g(x)的值域是[2，＋∞).

因此有解得a＝1，

这时g(x)＝x2＋2x＋3，f(x)＝.

由于g(x)的单调递减区间是(－∞，－1]，

所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－1].

【例3－3】 如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为________.

【解析】　令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a>1时，因为x∈

[－1，1]，所以t∈，又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去).当0<a<1时，因为x∈[－1，1]，所以t∈，又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，则ymax＝－2＝14，解得a＝(负值舍去).综上，a＝3或a＝.

答案　3或

规律方法　1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.

2.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.

易错警示　在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.

[方法技巧]

1.根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.

2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较.

3.指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分0<a<1和a>1两种情况分类讨论.

4.对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域.

5.对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.

四、                   课时作业

1．（2020·榆林市第二中学高三零模（文））设，，，则的大小关系为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，，所以，故选C.

2．（2020·四川省成都七中高一月考）设且则函数与在同一坐标系中的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】对A，中的，中的，不能统一，错误；

对B，中的，中的，不能统一，错误；

对C，中的，中的，正确；

对D，中的，中的，不能统一，错误；

故选：C.

3．（2020·九台市第四中学高一期末）若，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由根式的性质得，，

因此，，故选：A.

4．（2020·天水市第一中学高二月考（文））已知函数是定义在的周期为2的函数，当时，，则（    ）

A．1 B．4 C．2 D．32

【答案】C

【解析】由已知可得.

5．（2020·广西壮族自治区平桂高中高一期末）函数恒过定点（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】令，得，，因此，定点的坐标为.

6．（2020·陕西省西安一中高二期中（文））若指数函数在区间上的最大值和最小值之和为，则的值为（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为指数函数在区间上单调，且，

即 解得，又

所以

7．（2020·甘肃省甘谷第一中学高二开学考试（理））下列函数中，值域为且在区间上单调递增的是 (   )

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】（A）的值域不是R，是［－1，＋∞），所以，排除；

（B）的值域是（0，＋∞），排除；

（D）＝，在（0，）上递减，在（，＋∞）上递增，不符；

8．（2020·湖南省高三一模（理））已知函数在区间内单调递增，且，若，，，则、、的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，则函数为偶函数，

函数在区间内单调递增，在该函数在区间上为减函数，

，由换底公式得，由函数的性质可得，

对数函数在上为增函数，则，

指数函数为增函数，则，即，

，因此，.

9．（2019·河南省高一月考）设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】画出函数的图象如图所示．

不妨令，则，则．

结合图象可得，故．

∴．选B．

10．（2020·江西省上高二中高一期末）设函数，(且)，表示不超过实数的最大正数，则函数的值域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，所以，

.

因为,所以，

当时，，，

此时，，；

当时，；

当时，，，

此时，，；

11．（2020·四川省高三二模（理））函数，若，则__________.

【答案】

【解析】由题意，函数，

所以，即，解得，

又由.

12．（2020·全国高三月考（理））定义在上的函数，如果满足对常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中成为函数的上界.若已知函数在上是以为上界的有界函数，则实数的取值范围为_________.

【答案】

【解析】令，则，对称轴为.

①当或，即或时，，故或；

②当时，.

综上.

13．（2020·福建省高一期末）已知函数．

（1）写出的定义域；

（2）判断的奇偶性；

（3）已知在定义域内为单调减函数，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【解析】（1）∵，恒成立，

∴，

即的定义域为．

（2）∵由（1）得的定义域为关于原点对称，

∴，

∴为奇函数．

（3）∵对任意的，不等式恒成立，

∴，

又∵是奇函数，

∴

又∵在定义域内为单调减函数．

∴，

即对任意恒成立，

∴得即为所求．

14．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文））已知在区间 上的值域为。

(1)求实数的值；

(2)若不等式 当上恒成立，求实数k的取值范围。

【解析】（1）

当时，在上单调递增

，即，与矛盾。故舍去。

当时，，即，故

此时，满足时其函数值域为。

当时，在上单调递减

，即，舍去。

综上所述：。

（2）由已知得在上恒成立

在上恒成立

令，且，则上式

恒成立。记

时单调递减，

故

所以的取值范围为。

15．（2020·全国高三一模（理））已知函数.

（1）当时，求函数的值域.

（2）设函数，若，且的最小值为，求实数的取值范围.

【解析】（1）当时，，

令，

∵∴，

而是增函数，∴，

∴函数的值域是.

（2）当时，则在上单调递减，

在上单调递增，所以的最小值为，

在上单调递增，最小值为，

而的最小值为，所以这种情况不可能.

当时，则在上单调递减且没有最小值，

在上单调递增最小值为，

所以的最小值为，解得（满足题意），

所以，解得.

所以实数的取值范围是.

16．（2020·广东省中山纪念中学高三月考（文））已知定义域为的函数是奇函数.

（1）求的值；

（2）判断并证明函数的单调性；

（3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.

【解析】（1）因为是上的奇函数，所以，即，即.

经验证，

故时，满足题意.

（2）由（1）知，，

任取，且，则，

函数在上是增函数，所以.

又，则，即，

∴在上为减函数.

（3）因为是奇函数，从而不等式等价于，

又因为为上减函数，所以由上式推得，

即对一切，恒成立，

则，即.