2022中考数学单线段最值之单动点+双动点型练习题

这是一份2022中考数学单线段最值之单动点+双动点型练习题，共47页。
专题一 单线段最值之单动点型
类型一：动点轨迹--直线型
动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。
（1） 当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值
（2） 当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定
①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线。
②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线。
③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线。

例题．如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，则的最小值为_____．

【解析】为矩形，
又
点到的距离与到的距离相等，即点线段垂直平分线上，
连接，交与点，此时的值最小，

且
巩固1．如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（　　）

A． B． C．1 D．2
【解析】连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，
∵△ACB为到等腰直角三角形，∴AC=BC=AB=，∠A=∠B=45°，
∵O为AB的中点，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，
∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ，
在Rt△AOP和△COQ中，，∴Rt△AOP≌△COQ，∴AP=CQ，
易得△APE和△BFQ都为等腰直角三角形，
∴PE=AP=CQ，QF=BQ，
∴PE+QF=（CQ+BQ）=BC==1，
∵M点为PQ的中点，∴MH为梯形PEFQ的中位线，
∴MH=（PE+QF）=，即点M到AB的距离为，
而CO=1，∴点M的运动路线为△ABC的中位线，
∴当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=AB=1，
选C．
巩固2．如图，在平面内，线段AB=6，P为线段AB上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P，且满足PC=PA．若点P沿AB方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为______．

【解析】如图，由题意可知点C运动的路径为线段AC′，点E运动的路径为EE′，
由平移的性质可知AC′=EE′，
在Rt△ABC′中，易知AB=BC′=6，∠ABC′=90°，∴EE′=AC′=


巩固3．如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点．将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连结BE．
（1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD=BE；
（2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长．

【解析】（1）补全图形如图1所示，AD=BE，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，
由旋转的性质得：∠ACB=∠DCE=60°，CD=CE，
∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．

（2）如图2，过点A作AF⊥EB交EB延长线于点F．
∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE=∠A=60°，∴点E的运动轨迹是直线BE，
根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小，此时CD=CE=CF，
∵∠ACB=∠CBE=60°，∴AC∥EF，又∵AF⊥BE，∴AF⊥AC，
在Rt△ACF中，∴CF===，∴CD=CF=.

类型二：动点轨迹--圆或圆弧型
动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。
确定动点轨迹为圆或者圆弧型的方法:
（1） 动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆或者圆弧。
（2） 当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆，具体运用如下;
①见直角，找斜边，想直径，定外心，现圆形
②见定角，找对边，想周角，转心角，现圆形

例题．如图，点在半圆上，半径，，点在弧上移动，连接，作，垂足为，连接，点在移动的过程中，的最小值是______．

【解析】如图，设AD的中点为点E，则
由题意得，点H的运动轨迹在以点E为圆心，EA为半径的圆上
由点与圆的位置关系得：连接BE，与圆E交于点H，此时取得最小值，
连接BD

AB为半圆O的直径，




巩固1．如图，长方形ABCD中，AB=6，BC=4，在长方形的内部以CD边为斜边任意作Rt△CDE，连接AE，则线段AE长的最小值是_____．

【解析】如图，点E'在以点F为圆心，DF为半径的圆上运动，
当A,E,F三点共线时，AE值最小，DF=×6=3，
在长方形ABCD中，AD=BC=4，由勾股定理得：AF===5．
∵EF=CD=×6=3，∴AE=AF﹣EF=5﹣3=2，即线段AE长的最小值是2．


巩固2．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将ΔEBF沿EF所在直线折叠得到ΔEB' F，连接B' D，则B' D的最小值是_____．

【解析】如图所示点B'在以E为圆心EA为半径的圆上运动，

当D、B'、E共线时，B'D的值最小，
根据折叠的性质，△EBF≌△EB'F，∴∠B=∠EB'F，EB'=EB．
∵E是AB边的中点，AB=4，∴AE=EB'=2．
∵AD=6，∴DE2，
∴B'D=22．

巩固3．如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为________.

【解析】∵∠PAB+∠PBA=90°，∴∠APB=90°
∴点P在以AB为直径的弧上（P在△ABC内）
设以AB为直径的圆心为点O，如图

接OC，交☉O于点P，此时的PC最短
∵AB=6，∴OB=3
∵BC=4
∴
∴PC=5-3=2
巩固4．如图，在中，，，，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8
【解析】如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作垂足为P交⊙O于F，
此时垂线段OP最短，PF最小值为，

∵，，∴
∵，∴
∵点O是AB的三等分点，
∴，，∴，
∵⊙O与AC相切于点D，
∴，∴，
∴，∴，
∴MN最小值为，
如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，
MN最大值，,
∴MN长的最大值与最小值的和是6．选B．
巩固5．如下图所示，在矩形纸片ABCD中，，，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将沿EF所在直线翻折，得到，则的长的最小值是　　

A． B．3 C． D．
【解析】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，
当点在线段CE上时，的长取最小值，如图所示，

根据折叠可知：．
在中，，，，
，
的最小值．
选D．

巩固6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝23 ，△ADC与△ABC关于AC对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE＝CF，BE、DF相交于点P，则CP的最小值为( )
A．1 B．3 C．32 D．2

【解析】连接AD，因为∠ACB＝30°，所以∠BCD＝60°，
因为CB＝CD，所以△CBD是等边三角形，
所以BD＝DC.
因为DE＝CF，∠EDB＝∠FCD＝60°，
所以△EDB≌△FCD，所以∠EBD＝∠FDC，
因为∠FDC＋∠BDF＝60°，
所以∠EBD＋∠BDF＝60°，所以∠BPD＝120°，
所以点P在以A为圆心，AD为半径的弧BD上，
直角△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝23，所以AB＝2，AC＝4，所以AP＝2.
当点A，P，C在一条直线上时，CP有最小值，
CP的最小值是AC－AP＝4－2＝2，
选D.


巩固7．如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，点E在AB上，且AE=CE．
（1）求证：AC2=AE•AB；
（2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并说明理由；
（3）设⊙O半径为4，点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最小值．

【解析】（1）如图1，连接BC，

∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴，∴∠A=∠ABC，
∵EC=AE，∴∠A=∠ACE，∴∠ABC=∠ACE，
∵∠A=∠A，∴△AEC∽△ACB，∴，∴AC2=AE•AB；
（2）PB=PE，理由是：如图2，连接OB，

∵PB为⊙O的切线，∴OB⊥PB，∴∠OBP=90°，∴∠PBN+∠OBN=90°，
∵∠OBN+∠COB=90°，∴∠PBN=∠COB，
∵∠PEB=∠A+∠ACE=2∠A，∠COB=2∠A，
∴∠PEB=∠COB，∴∠PEB=∠PBN，∴PB=PE；

（3）如图3，∵N为OC的中点，∴ON=OC=OB，
Rt△OBN中，∠OBN=30°，∴∠COB=60°，
∵OC=OB，∴△OCB为等边三角形，
∵Q为⊙O任意一点，连接PQ、OQ，
因为OQ为半径，是定值4，则PQ+OQ的值最小时，PQ最小，
当P、Q、O三点共线时，PQ最小，
∴Q为OP与⊙O的交点时，PQ最小，∠A=∠COB=30°，∴∠PEB=2∠A=60°，∠ABP=90°﹣30°=60°，∴△PBE是等边三角形，
Rt△OBN中，BN==，∴AB=2BN=，
设AE=x，则CE=x，EN=﹣x，Rt△CNE中，，x=，
∴BE=PB==，
Rt△OPB中，OP===，
∴PQ=﹣4=．则线段PQ的最小值是．

巩固8．如图，过抛物线上一点A作轴的平行线，交抛物线于另一点B，交轴于点C，已知点A的横坐标为．
（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；
（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；
①连结BD，求BD的最小值；
②当点D落在抛物线的对称轴上，且在轴上方时，求直线PD的函数表达式．

【解析】（1）由题意A（﹣2，5），对称轴x=﹣=4，
∵A、B关于对称轴对称，∴B（10，5）．
（2）①如图1中，

图1
由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，
∴当O、D、B共线时，BD的最小值=OB﹣OD=．

②如图2中，

图2
当点D在对称轴上时，
在Rt△ODE中，OD=OC=5，OE=4，
∴DE==3，
∴点D的坐标为（4，3）．
设PC=PD=x，在Rt△PDK中，x2=（4﹣x）2+22，∴x=，
∴P（，5），
∴直线PD的解析式为y=﹣x+．

类型三：动点轨迹--不确定型
动点轨迹非圆或直线时，基本上将此线段转化为一个三角形中，
（1）利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求最值。
（2）在转化较难进行时，可借助直角三角形斜边上的中线及中位线或构建全等图形进一步转化求最值。

技法1：借助直角三角形斜边上的中线
例题1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（ ）

A．6 B． C． D．
【解析】如图，取CA的中点D，连接OD、BD，则OD=CD=AC=×4=2，
由勾股定理得，BD==2，
当O、D、B三点共线时点B到原点的距离最大，
所以，点B到原点的最大距离是2+2．


技法2：借助三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
例题2．如图，已知等边三角形ABC边长为2，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴负半轴、轴的正半轴上滑动，点C在第四象限，连接OC，则线段OC长的最小值是（　　）

A．1 B．3 C．3 D．
【解析】如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，连接OE，

∵△ABC是等边三角形，
∴CE=AC×sin60°=，AE=BE，
∵∠AOB=90°，
∴EOAB，
∴EC-OE≥OC，
∴当点C，O，E在一条直线上，此时OC最短，
故OC的最小值为：OC＝CE﹣EO＝3，选B．

巩固1．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=4，BC=2.运动过程中点D到点O的最大距离是______．

【解析】如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，
∵OD≤OE+DE，
∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，
此时，∵AB=4，BC=2，
∴OE=AE=AB=2，
DE==，
∴OD的最大值为+2，


巩固2．如图，在中，，，，以线段为边向外作等边，点是线段的中点，连结并延长交线段于点.
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)求平行四边形的面积；
(3)如图，分别作射线，，如图中的两个顶点，分别在射线，上滑动，在这个变化的过程中，求出线段的最大长度.

【解析】(1)在中，，，
，
在等边中，，
，
为的中点，
，
又，
，
在中，，为的中点，
，，
，，，
又，
，
又，
，，
又，
，即，
四边形是平行四边形；
(2)在中，，，
，
∴，
；

(3)取的中点，连结，，
，
的最大长度.

巩固3．如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到是的中点，是的中点，连接，若，则线段的最大值为（　　）

A． B． C． D．
【解析】连接CN，
∵将绕顶点逆时针旋转得到，
∴，，
∴，，
∵是的中点，∴，
∵在△CMN中，MN＜CM+CN，当且仅当M，C，N三点共线时，MN=CM+CN=6，
∴线段的最大值为6．
选D．


技法3：借助构建全等图形
例题3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边△BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是______．

【解析】如图，取AB的中点E，连接CE，PE．

∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠CBE=60°，
∵BE=AE，∴CE=BE=AE，
∴△BCE是等边三角形，∴BC=BE，
∵∠PBQ=∠CBE=60°，
∴∠QBC=∠PBE，
∵QB=PB，CB=EB，
∴△QBC≌△PBE（SAS），
∴QC=PE，
∴当EP⊥AC时，QC的值最小，
在Rt△AEP中，∵AE=52，∠A=30°，
∴PE=12AE=54，
∴CQ的最小值为54．

巩固4．如图，边长为12的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连结MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连结HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（ ）

A．6 B．3 C．2 D．1．5
【解析】如图，取BC的中点G，连接MG，

∵旋转角为60°，∴∠MBH+∠HBN=60°，
又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，∴∠HBN=∠GBM，
∵CH是等边△ABC的对称轴，∴HB=AB，∴HB=BG，
又∵MB旋转到BN，∴BM=BN，
在△MBG和△NBH中，，∴△MBG≌△NBH（SAS），∴MG=NH，
根据垂线段最短，当MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，
此时∠BCH=×60°=30°，CG=AB=×12=6，∴MG=CG=×6=3，∴HN=3；
选B．
技法4：借助中位线
例题4．如图，在等腰直角DABC 中，斜边AB的长度为 8，以AC为直径作圆，点P为半圆上的动点，连接BP，取BP的中点M，则CM的最小值为（ ）

A． B． C． D．
【解析】连接AP、CP，分别取AB、BC的中点E、F，连接EF、EM和FM，

∴EM、FM和EF分别是△ABP、△CBP和△ABC的中位线
∴EM∥AP，FM∥CP，EF∥AC，EF=，∴∠EFC=180°－∠ACB=90°
∵AC为直径，∴∠APC=90°，即AP⊥CP，∴EM⊥MF，即∠EMF=90°
∴点M的运动轨迹为以EF为直径的半圆上
取EF的中点O，连接OC，点O即为半圆的圆心
当O、M、C共线时，CM最小，如图所示，CM最小为CM1的长，
∵等腰直角DABC 中，斜边 AB 的长度为 8，
∴AC=BC==，∴EF==，FC==，∴OM1=OF==
根据勾股定理可得OC=，∴CM1=OC－OM1=
即CM最小值为，选C．

巩固5．如图，抛物线与轴交于两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最小值是（ ）

A． B． C． D．
【解析】∵，
∴当时，，解得：，
∴A点与B点坐标分别为：(，0)，(3，0)，即：AO=BO=3，
∴O点为AB的中点，
又∵圆心C坐标为(0，4)，
∴OC=4，
∴BC长度=，
∵O点为AB的中点，E点为AD的中点，
∴OE为△ABD的中位线，即：OE=BD，
∵D点是圆上的动点，
由图可知，BD最小值即为BC长减去圆的半径，
∴BD的最小值为4，
∴OE=BD=2，即OE的最小值为2，
选A.

专题二 单线段最值之双动点型
解决双动点问题的核心时，常借助六种方法把双动点问题转化为上述单动点型问题。
（1） 利用等量代换实现转化
（2） 利用线段和差实现转化
（3） 利用勾股定理实现转化
（4） 利用三角形图形之间关联及边角关系（构造全等，相似，中位线及直角三角形斜边上的中线）实现转化
（5） 利用添加“隐圆”实现转化
（6） 利用轴对称实现转化

技法1借助等量代换实现转化
例题1．如图，中，，，，点D是AC上的任意一点，过点D作于点E，于点F，连接EF，则EF的最小值是_________．

【解析】连接BD

四边形BEDF是矩形。
当时，BD取最小值，
在中，，，根据勾股定理得AC=5，

，
，所以EF的最小值等于BD的最小值为2.4.
巩固1．如图，直线 AB 函数解析式为 y = -2x + 8 ，与 x 轴交于点 A ，与 y轴交于点 B ．
（1）求 A 、 B 两点的坐标；
（2）若点 P (m, n)为线段 AB 上的一个动点（与 A 、B 不重合），作 PE ^ x 轴于 E ， PF ^ y轴于点 F ，连接 EF ，问：
①若DPEF 的面积为 S ，求 S 关于 m 的函数关系式，并求出当 S = 3时 P 点的坐标；
②是否存在点 P ，使 EF 的值最小？若存在，求出 EF 的最小值；若不存在，说明理由．

【解析】（1）令x=0，则y=8，∴B（0，8），
令y=0，则-2x+8=0，∴x=4，∴A（4，0），
（2）①∵点P（m，n）为线段AB上的一个动点，∴-2m+8=n，
∵A（4，0），∴OA=4，∴0＜m＜4
∵PF=m，PE=-2m+8，∴=PF×PE=×m×（-2m+8）=，（0＜m＜4）；
②存在，如图，∵PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，OA⊥OB，

∴四边形OEPF是矩形，∴EF=OP，当OP⊥AB时，此时EF最小，
∵A（4，0），B（0，8），∴AB=
∵S△AOB=×OA×OB=×AB×OP，，
∴EF的最小值=OP=.
巩固2．如图，点A在抛物线上，直线⊥y轴于点M，AC⊥于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，若点M的坐标为(0，6)，则BD的取值范围是_______．

【解析】∵=-(x+1)(x-3)，
∴顶点坐标为（1，4），与x轴的交点坐标为（-1，0）（3，0），
∵0≤x≤3，
∴当A与顶点重合时，AC最短，
当x=1时，y=-1+2+3=4，
∴AC=6-4=2；
当A在轴上时，AC最长，此时AC=6，
∴2≤AC≤6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∴BD的取值范围是．
故答案为：

巩固3．已知抛物线y=x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线y=x2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线y=x2+1于点P，此时△PMF周长最小值，

∵F（0，2）、M（ ，3），
∴ME=3，FM==2，
∴△PMF周长的最小值=ME+FM=3+2=5．
选C．

巩固4．△ABC和△ADE为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H为DE，BE，CD中点．
（1）当△ADE绕点A旋转时，如图1，则△FGH的形状为 ，说明理由；
（2）在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图2，若AB=3，AD=2，求线段FH的长；
（3）在△ADE旋转的过程中，若AB=a，AD=b（a＞b＞0），则△FGH的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．

【解析】（1）结论：△FGH是等边三角形．理由如下：
如图1中，连接BD、CE，延长BD交CE于M，设BM交FH于点O．

∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，∠ADB=∠AEC，
∵EG=GB，EF=FD，
∴FG=BD，GF∥BD，
∵DF=EF，DH=HC，
∴FH=EC，FH∥EC，∴FG=FH，
∵∠ADB+∠ADM=180°，
∴∠AEC+∠ADM=180°，
∴∠DMC+∠DAE=180°，
∴∠DME=120°，
∴∠BMC=60°
∴∠GFH=∠BOH=∠BMC=60°，
∴△GHF是等边三角形，
故答案为：等边三角形．
（2）如图2中，连接AF、EC．

易知AF⊥DE，
在Rt△AEF中，AE=2，EF=DF=1，
∴AF==，
Rt△ABF中，BF= =，
∴BD=CE=BF﹣DF=，
∴FH=EC=
（3）存在．理由如下．
由（1）可知，△GFH是等边三角形，GF=BD，
∴△GFH的周长=3GF=BD，
在△ABD中，AB=a，AD=b，
∴BD的最小值为a﹣b，最大值为a+b，
∴△FGH的周长最大值为（a+b），最小值为（a﹣b）．

技法2借助隐圆实现转化
例题2．在△ABC中，AB＝5，AC＝8，∠BAC＝60°，点D是BC上一动点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，线段EF的最小值为_____．
【解析】如图，过点B作BG⊥AC，过点A作AH⊥BC，连接AD，

∵AB=5，∠BAC=60°，BG⊥AC，
∴AG=，BG=AG=，
∵AC=8，AG=，∴GC=，
∴BC===7，
∵S△ABC=•BC•AH=•AC•BG，∴AH=，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
∴∠AED+∠AFD=180°，
∴点A，点E，点D，点F四点在以AD为直径的圆上，设圆心为O，连接OE，OF，
∴∠EOF=120°，
∴EF=2•OE•cos30°，
∴当⊙O的直径最小时，EF的长最小，
∴AD与AH重合时，EF最小，
∴EF最小值为

巩固5．如图，等腰三角形△ABC中，∠BAC=120°，AB=3．
（1）求BC的长．

（2）如图，点D在CA的延长线上，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，连EF．求EF的最小值．

【解析】（1）过点A作AM⊥BC于点M，

∵等腰三角形△ABC中，∠BAC=120°，AB=3，
∴∠B=(180°-120°)÷2=30°，BM=CM，
∴BM=3÷2×=，
∴BC=2 BM=2×=3；


（2）连接BD，取BD的中点O，连接OE，OF，
∵DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，
∴在Rt∆BDF与Rt∆BDE中，OB=OD=OE=OF=BD，
∴B，D，E，F四点共圆，
∴∠EOF=2∠EBF=2×30°=60°，
∴∆OEF是等边三角形，
∴EF=OF=BD，
∵∠C=∠EBF =30°，
∴当BD⊥CD时，BD=BC=，此时，BD的值最小，
∴EF的最小值=BD =×=．

巩固6．在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O、A、C的坐标分别为O（0，0），A（﹣x，0），C（0，y），且x、y满足．
（1）矩形的顶点B的坐标是　 ．
（2）若D是AB中点，沿DO折叠矩形OABC，使A点落在点E处，折痕为DO，连BE并延长BE交y轴于Q点．
①求证：四边形DBOQ是平行四边形．
②求△OEQ面积．
（3）如图2，在（2）的条件下，若R在线段AB上，AR＝4，P是AB左侧一动点，且∠RPA＝135°，求QP的最大值是多少？

【解析】（1）∵x﹣4≥0，4﹣x≥0
∴x＝4，∴y＝6
∴点A（﹣4，0），点C（0，6），点B（﹣4，6）
（2）①∵D是AB中点，
∴AD＝BD
∵折叠
∴AD＝DE，∠ADO＝∠ODE
∴∠DBE＝∠DEB
∵∠ADE＝∠DBE+∠DEB
∴∠ADO+∠ODE＝∠DBE+∠DEB
∴∠ADO＝∠DBE
∴OD∥BQ，且AB∥OC
∴四边形BDOQ是平行四边形，
②如图，过点D作DF⊥BQ于点F，

∵AD＝3，AO＝4
∴DO＝＝5
∵四边形BDOQ是平行四边形，
∴BD＝OQ＝3，BQ＝DO＝5，
∴CQ＝CO﹣OQ＝3
∵AB∥CO
∴∠ABQ＝∠BQC，且∠BFD＝∠BCQ＝90°
∴△BFD∽△QCB
∴


∵DE＝BD，DF⊥BQ

，
∴S▱BDOQ＝12，∴S△EOQ＝S▱BDOQ﹣S△DEO﹣S△BDE＝
（3）如图，连接RO，以RO为直径作圆H，作HF⊥OQ于点F，

∵RA＝4＝AO，∴∠AOR＝∠ARO＝45°，RO＝
∵∠APR+∠AOR＝135°+45°＝180°
∴点A，点P，点R，点O四点共圆
∴点P在以点H为圆心，RO为直径的圆上，
∴点P，点H，点Q三点共线时，PQ值最大，
∵∠HOF＝45°，HF⊥OQ，
∴∠FHO＝∠HOF＝45°，且OH＝
∴HF＝OF＝2，
∴QF＝OQ﹣OF＝3﹣2＝1
∴HQ＝
∴PQ的最大值为.
技法3 借助三角形图形之间关联及边角关系实现转化
例题3．如图，点A、B分别在y轴和x轴正半轴上滑动，且保持线段AB＝4，点D坐标为（4，3），点A关于点D的对称点为点C，连接BC，则BC的最小值为_____．

【解析】如图所示，取AB的中点E，连接OE，DE，OD，

由题可得，D是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE，
∵点D坐标为(4，3)，
∴OD＝＝5，
∵Rt△ABO中，OE＝AB＝×4＝2，
∴当O，E，D在同一直线上时，DE的最小值等于OD﹣OE＝3，
∴BC的最小值等于6，
故答案为：6．




巩固7．如图，是的弦，，点是上的一个动点，且，若点，分别是，的中点，则的最大值是_______．

【解析】∵点分别是的中点，

∴，
∴当取得最大值时，就取得最大值，当是直径时，最大，
连接并延长交于点，连接，
∵是的直径，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．

巩固8．如图，在△ABC中，BC=6，BC边上的高为4，在△ABC的内部作一个矩形EFGH，使EF在BC边上，另外两个顶点分别在AB、AC边上，则对角线EG长的最小值为_____．

【解析】如图，作AQ⊥BC于点Q，交DG于点P，

∵四边形DEFG是矩形，
∴AQ⊥DG，GF=PQ，
设GF=PQ=x，则AP=4﹣x，
由DG∥BC知△ADG∽△ABC，
∴，即，
则EF=DG=（4﹣x），
∴EG===，
∴当x=时，EG取得最小值，最小值为，

巩固9．如图，四边形中，，，，点，分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合），点，分别是，的中点，则长度的最大值为___．

【解析】如图，连结，
∵点，分别是，的中点，
∴，，
，
当点与点重合时，的值最大即最大，
在中，
，，，
，
的最大值．


巩固10．已知在平面直角坐标系中，点，以线段为直径作圆，圆心为，直线交于点，连接.
（1）求证：直线是的切线；
（2）点为轴上任意一动点，连接交于点，连接：
①当时，求所有点的坐标 （直接写出）；②求的最大值.
【解析】（1）证明：连接，则：

∵为直径
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
即：
∵轴
∴
∴
∴直线为的切线.
（2）①如图1，当位于上时：
∵
∴
∴设，则
∴
∴，解得：
∴

即

如图2，当位于的延长线上时：
∵
∴设，则
∴
∴，解得：
∴

即

②如图，作于点，
∵是直径
∴
∴
∴
∵半径
∴
∴的最大值为.



技法4 借助轴对称实现转化
例题4．如图，在的同侧，，点为的中点，若，则的最大值是_____．

【解析】如图，作点关于的对称点，点关于的对称点．
，
，
，
，
，
为等边三角形
，
的最大值为，


技法5 借助线段和差实现转化
例题5．如图，OA＝4，C是射线OA上一点，以O为圆心，OA的长为半径作使∠AOB＝152°，P是上一点，OP与AB相交于点D，点P′与P关于直线OA对称，连接CP，
尝试：
（1）点P′在所在的圆　 　（填“内”“上”或“外”）；（2）AB＝　 　．
发现：（1）PD的最大值为　 　；

【解析】尝试：（1）∵点P′与P关于直线OA对称，∴点P′在所在的圆上，
（2）如图1，延长AO交所在圆上的点E，
连接BE，则∠ABE＝90°，
∵∠AOB＝152°，OB＝OA，∴∠BAO＝∠ABO＝14°
∵OA＝4，∴AE＝2OA＝8，∴AB＝AE•cos14°＝8×＝2，
发现：（1）∵PD=OP-PD,OP为定值，当OD值最小时，PD值最大，当OP⊥AB时，点D到直线AB的距离最小，故此时PD有最大值，
∵在Rt△AOD中， OA＝4，cos∠OAD＝，∴AD＝，
∴OD＝＝1，∴PD＝4﹣1＝3，∴PD的最大值为3，

巩固11．如图，在中，，，P是以BC为直径的上的一个动点，连接AP，则AP长的最小值为_______．

【分析】如图，连接AM、PM，利用勾股定理可求出AM的长，根据AP+PM≥AM可得A，P，M三点共线时，AP的长最小，根据线段的和差关系即可求出此时AP的长．

【解析】如图，连接AM、PM，
∵BC为的直径，BC=16，∴CM=8，
在中，，
∵AP+PM≥AM，∴当A，P，M三点共线时，AP的长最小，此时AP=AM-PM=AM-CM=17-8=9．