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    专题16 动点最值之瓜豆模型 -2022年中考数学几何模型专项复习与训练
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    专题16 动点最值之瓜豆模型 -2022年中考数学几何模型专项复习与训练

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    专题16 动点最值之瓜豆模型

    模型一、运动轨迹为直线

    问题1如图,P是直线BC上一动点,连接AP,取AP中点Q,当点PBC上运动时,Q点轨迹是?

             

     

    解析:P点轨迹是直线时,Q点轨迹也是一条直线.

    理由分别过AQBC作垂线,垂足分别为MN,在运动过程中,因为AP=2AQ,所以QN始终为AM的一半,即Q点到BC的距离是定值,故Q点轨迹是一条直线.

    问题2如图,C为定点,点PQ为动点,CP=CQ,且∠PCQ为定值,当点P在直线AB上运动,Q的运动轨迹是?

      

    解析:CPCQ夹角固定AP=AQPQ轨迹是同一种图形,且PP1=QQ1

    理由:易知△CPP1≌△CPP1,则∠CPP1=CQQ1,故可知Q点轨迹为一条直线.

    模型总结:

    条件:主动点、从动点与定点连线的夹角是定量;

    主动点、从动点到定点的距离之比是定量.

    结论: 主动点、从动点运动轨迹是同样的图形;

    主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角

    主动点、从动点到定点的距离相等时,从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长;

    1.如图,在平面直角坐标系中,A(-30),点By轴正半轴上一动点,点CDx正半轴上,以AB为边在AB的下方作等边ABP,点By轴上运动时,求OP的最小值.

    答案

    解析】求OP最小值需先作出P点轨迹,根据ABP是等边三角形且B点在直线上运动,故可知P点轨迹也是直线.

    两特殊时刻:(1)当点B与点O重合时,作出P点位置P1;(2)当点Bx轴上方且ABx轴夹角为60°时,作出P点位置P2.连接P1P2,即为P点轨迹.

    根据ABP60°可知:y轴夹角为60°,作OP,所得OP长度即为最小值,

    OP2OA3,所以

    2.如图,已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点,ACx轴于点M,交直线y=-x于点N,若点P是线段ON上的一个动点,APB30°BAPA,则点P在线段ON上运动时,A点不变,B点随之运动.求当点P从点O运动到点N时,点B运动的路径长是________

    答案

    【分析】PAB90°APB30°可得:AP:AB,故B点轨迹也是线段,

    P点轨迹路径长与B点轨迹路径长之比也为P点轨迹长ON

    B点轨迹长为

    变式训练1如图,正方形ABCD的边长为4EBC上一点,且BE1FAB边上的一个动点,连接EF,以EF为边向右侧作等边EFG,连接CGCG的最小值是多少?

    答案

    【解析】同样是作等边三角形,区别于上一题求动点路径长,本题是求CG最小值,可以将F点看成是由点B向点A运动,由此作出G点轨迹:

    考虑到F点轨迹是线段,故G点轨迹也是线段,取起点和终点即可确定线段位置,初始时刻G点在位置,最终G点在位置(不一定在CD边),即为G点运动轨迹.

    CG最小值即当CG的时候取到,作CH于点HCH即为所求的最小值.

    根据模型可知:AB夹角为60°,故.过点EEFCH于点F

    HF1,所以,因此CG的最小值

    变式训练2如图,ABC是边长为6的等边三角形,点EAB上,点DBC的中点,EDM为等边三角形.若点E从点B运动到点A,则M点所经历的路径长为 6 

                 

    【解答】解:当点EB时,MAB的中点N处,当点EA重合时,M的位置如图所示,

    所以点E从点B运动到点A,则M点所经历的路径为MN的长,

    ∵△ABC是等边三角形,DBC的中点,ADBCBAD30°

    AB6AD3∵△EDM是等边三角形,AMAD3DAM60°

    ∴∠NAM30°+60°90°ANAB3,在Rt△NAM中,

    由勾股定理得:MN6,则M点所经历的路径长为6,故答案为:6

    变式训练3如图,在矩形ABCD中,AB4DCA30°,点F是对角线AC上的一个动点,连接DF,以DF为斜边作DFE30°的直角三角形DEF,使点E和点A位于DF两侧,点F从点A到点C的运动过程中,点E的运动路径长是  

                     

    【解答】解:E的运动路径是线段EE'的长;

    AB4DCA30°BC

    FA点重合时,在Rt△ADE'中,ADDAE'30°ADE'60°

    DE'CDE'30°

    FC重合时,EDC60°∴∠EDE'90°DEE'30°

    Rt△DEE'中,EE';故答案为

    变式训练4如图,已知线段AB12,点C在线段AB上,且△ACD是边长为4的等边三角形,以CD为边的右侧作矩形CDEF,连接DF,点MDF的中点,连接MB,则线段MB的最小值为               .

        

    答案6

    【解析】如图所示∵∠FCB30ºF的路径是定射线DF,又∵点MDF的中点,∴

    D点为定点,F点为主动点,M点为从动点,由瓜豆原理内容可知M点的路径亦是一条射线,

    CD的中点N,连接NM并延长,则射线NM就是M点的路径,且NMCF

    BGNM于点G,交CF于点H,则BGCF,故BGBHHGBHCN426

    ∴线段BM的最小值即为BG,最小值为6.

    模型二、运动轨迹为圆

    问题1.如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接APQAP中点.当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是?

           

    解析:Q点轨迹是一个圆

    理由:Q点始终为AP中点,连接AO,取AO中点M,则M点即为Q点轨迹圆圆心,半径MQOP一半,任意时刻,均有AMQ∽△AOP

    问题2.如图,APQ是直角三角形,PAQ=90°AP=2AQ,当P在圆O运动时,Q点轨迹是?

             

    解析:Q点轨迹是一个圆

    理由:∵APAQQ点轨迹圆心M满足AMAO

    又∵APAQ=21Q点轨迹圆心M满足AOAM=21

    即可确定圆M位置,任意时刻均有APO∽△AQM,且相似比为2

    模型总结

    条件:两个定量

    主动点、从动点与定点连线的夹角是定量(PAQ是定值);

    主动点、从动点到定点的距离之比是定量(AP:AQ是定值).

    结论1)主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角:PAQ=OAM

    2)主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比:AP:AQ=AO:AM,也等于两圆半径之比.

    1.如图,点P34),圆P半径为2A2.80),B5.60),点M是圆P上的动点,点CMB的中点,则AC的最小值是_______

    答案1.5

    解析由题意可知M点为主动点,C点为从动点,B点为定点

    CBM中点,可知C点轨迹BP中点F,以F为圆心,FC为半径作圆,即为点C轨迹,如图所示:

    由题中数据可知OP5,又∵点AF分别是OBBP的中点,∴AF是△BPO的中位线,∴AF2.5

    M运动到如图位置时,AC的值最小,此时ACO三点共线,∴AC2.511.5.

    2.如图,A⊙B上任意一点,点C⊙B外,已知AB2BC4△ACD是等边三角形,则的面积的最大值为(   

          

    A44 B4 C48 D6

    【答案】A

    【详解】解:如图,以BC为边向上作等边三角形BCM,连接DM

    ,即

    中,

    D的运动轨迹是以点M为圆心,DM长为半径的圆,

    要使面积最大,则求出点D到线段BC的最大距离,

    是边长为4的等边三角形,MBC的距离是

    DBC的最大距离是的面积最大值是.故选:A

    3.如图,正方形ABCD中,OBC边的中点,点E是正方形内一动点,OE=2,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90°DF,连接AECF.求线段OF长的最小值.

    解析E是主动点,F是从动点,D是定点,E点满足EO=2

    E点轨迹是以O为圆心,2为半径的圆.

    考虑DEDFDE=DF,故作DMDODM=DOF点轨迹是以点M为圆心,2为半径的圆.

    直接连接OM,与圆M交点即为F点,此时OF最小.可构造三垂直全等求线段长,再利用勾股定理求得OM,减去MF即可得到OF的最小值.答案为

       

    变式训练1如图,在等腰RtABC中,ACBC,点P在以斜边AB为直径的半圆上,MPC的中点,当半圆从点A运动至点B时,点M运动的路径长为________

    答案】π

    【解析】当点P位于AB的中点时,MAB的中点,

    分别为ACBC的中点,连接CP于点O,如图所示:

    当点P沿半圆从点A运动至点B ,点M的运动路径是以O为圆心,1为半径的半圆,如图蓝色半圆,

    ∴点M的运动路径长为π.

    变式训练2如图,AB的直径,C上一点,其中P上的动点,连AP,取AP中点Q,连CQ,则线段CQ的最大值为(   

    A B C D

    【答案】D

    【详解】如图,连接OQ,作CH⊥ABH

    ∵AQQP∴OQ⊥PA∴∠AQO90°

    Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K,连接CK

    当点QCK的延长线上时,CQ的值最大,∵∴∠COH60°

    Rt△OCH中,∵∠COH60°OC=AB=3

    ∴OHOCCH

    Rt△CKH中,CK∴CQ的最大值为,故选:D

    变式训练3如图, 中, 于点 是半径为2上一动点, 连结 的中点, 连结 长的最大值为     

    A3 B C4 D

    【答案】B

    【详解】解:如图,可知PBA延长线与的交点时此时长的最大,证明如下:

    连接BP,∵,∴BD=DC,

    的中点,

    DE//BP, ,

    所以当BP长最大时,长的最大,

    由题意可知PBA延长线与的交点时BP长最大此时长的最大,

    BC=6,AD=4,∴BD=DC=3,BA=5,

    的半径为2,即AP=2,

    BP=5+2=7,∴.

    故选:B.

    课后训练

    1.如图,在△ABC中,∠ACB90ºA30ºBC2DAB上一动点,以DC为斜边向右侧作等腰RtDCE,使∠CED90º连接BE,则线段BE的最小值为           .

    【解答】

    【解析】由题意可知C为定点,D点为主动点,路径为线段AB,点E为从动点,

    ∵△DCE是等腰直角三角形,∴∠DCE45º

    结合瓜豆原理内容可知从动点E的路径为一条线段,可以看成是由线段AB先绕着定点C逆时针旋转45º再以定点C为位似中心,以为位似比缩小来的,

    如图,将BE的最小距离转化为点到线的最小距离(点B的最短距离),

    由旋转相似可得

    ,在中,有,则

    ∴线段BE的最小值为.

    3.如图,,点O在线段上,的半径为1,点P上一动点,以为一边作等边,则的最小值为_____

    【答案】

    【详解】解:如图,在上方以为一边作等边,连接

    都是等边三角形,

    ,即

    中,

    在以点为圆心,长为半径的圆上,如图,设交于点,过点于点,则,则当点与点重合时,取得最小值,最小值为

    是等边三角形,

    中,,则

    的最小值为,故答案为:

    4.A是双曲线在第一象限上的一个动点,连接AO并延长交另一交令一分支点B,以AB为斜边作等腰RtABC,点C在第二象限,随着点A的运动,点C的位置也在不断变化,但始终在某函数图像上运动,则这个函数的解析式为                       .

      

    答案

    【解析】连接OC,作CD轴于点DAE轴于点E,如图所示:

    设点A的坐标为

    AB两点是正比例函数图像与反比例函数图像的交点,

    ∴点A与点B关于原点对称,∴OAOB

    ∵△ABC为等腰直角三角形,∴OCOAOCOA,∴∠DOC+∠AOE90º

    ∵∠DOC+∠DCO90º∴∠DCO=∠AOE

    在△COD与△OAE中,,∴△COD≌△OAEAAS),

    ,∴点C在反比例函数的图像上.

    7.如图,AB⊙O的直径,C⊙O上一点,其中AB2∠AOC120°P⊙O上的动点,连AP,取AP中点Q,连CQ,则线段CQ的最大值为____________

          

    【答案】

    【详解】解:如图,连接OQ,作CH⊥ABH∵AQ=QP

    ∴OQ⊥PA∴∠AQO=90°

    Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K,连接CK

    当点QCK的延长线上时,CQ的值最大,

    中,∵∠COH=60°OC=1∴OH=

    中,∴CQ的最大值为.故答案为:

    8.如图,已知点M04),N40),开始时,ABC的三个顶点ABC分别与点MNO重合,点

    Ay轴上从点M开始向点O滑动,到达点O结束运动,同时点B沿着x轴向右滑动,则在此运动过程中,

    C的运动路径长 4 

        

    【解答】解:过点C'C'Dx轴,C'Ey

    M04),N40),OMON

    ∵∠CA'C'+45°EAB+∠MGB45°+∠MGB∴∠EA'C'B'GB

    ∵∠B'GB+∠GB'B45°GB'B+∠DB'C'45°∴∠EA'C'DB'C'

    A'C'B'C'Rt△A'C'E≌Rt△B'C'DHL),EC'DC'

    C'在第四象限的角平分线上,C的运动轨迹是线段ACC的运动路径长为4;故答案为4

    9.如图,已知在扇形AOB中,OA3,∠AOB120ºC是在上的动点,以BC为边作正方形BCDE,当点C从点A移动至点B时,求点D运动的路径长?

    答案

    【解析】将圆O补充完整,延长BO交圆O于点F,取的中点H,连接FHHBBD,如图所示:

    由题意可得△FHB是等腰直角三角形,HFHB,∠FHB90º

    ∵∠FDB45ºFHB,∴点D在圆H上运动,轨迹如图中蓝色虚线,

    ∴∠HFG=∠HCF15º∴∠FHG150º∴∠CHB120º

    ∴点D的运动路径长度为.

     

     


     

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