2015-2016学年武汉市洪山区九上期中数学试卷

这是一份2015-2016学年武汉市洪山区九上期中数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 一元二次方程 xx+2=x 的根为
A. x=0B. x=−1C. x1=0，x2=−1D. x1=0，x2=−2

2. 在平面直角坐标系中，点 1,−2 关于原点对称的点的坐标是
A. 1,2B. −1,2C. 2,−1D. 2,1

3. 已知 x1，x2 是一元二次方程 x2−4x+1=0 的两个实数根，则 x1⋅x2 等于
A. −4B. −1C. 1D. 4

4. 一元二次方程 2x2−26x+3=0 的根的情况是
A. 没有实数根B. 只有一个实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 有两个相等的实数根

5. 抛物线 y=x−12+1 的顶点坐标是
A. 1,1B. −1,1C. 1,−1D. −1,−1

6. 用配方法解一元二次方程 2x2−1=5x，方程可变为
A. x−522=214B. x−542=3316C. x−542=916D. x−542=1716

7. 抛物线 y=−3x2+1 的对称轴是
A. 直线 x=13B. 直线 x=−13C. y 轴D. 直线 x=3

8. 今年某区积极推进“互联网 + 享受教育”课堂生态重构，加强对学校教育信息化的建设的投入，计划从 2015 年起三年共投入 3640 万元，已知 2015 年投入 1000 万元 . 设投入经费的年平均增长率为 x，根据题意，下面所列方程正确的是
A. 10001+x2=3640
B. 1000x2+1=3640
C. 1000+1000x+1000x2=3640
D. 10001+x+10001+x2=2640

9. 已知二次函数 y=−3x−12+k 的图象上有三点 A2,y1，B2,y2，C5,y3，则 y1，y2，y3 的大小关系为
A. y1>y2>y3B. y2>y1>y3C. y3>y1>y2D. y3>y2>y1

10. 如图，已知 △ABC 中，∠C=90∘，AC=BC=22，将 △ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60∘ 到 △ABʹCʹ 的位置，则 CʹB 的长为
A. 23−2B. 3C. 4−22D. 2

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 已知 x=2 是一元二次方程 x2+mx+2=0 的一个解，则 m 的值是 ．

12. 卫生部门为控制流感的传染，对某种流感研究发现：若一人患了流感，经过两轮传染后共有 100 人患了流感，若按此传染速度，第三轮传染后，患流感人数共有 人．

13. 若二次函数 y=k−1x2+2kx−2=0 的图象与 x 轴有两个交点，则 k 的取值范围是 ．

14. 如图，在 Rt△ABC 中，已知 ∠C=90∘，∠B=50∘，点 D 在边 BC 上，BD=2CD．把 △ABC 绕着点 D 逆时针旋转 m0
15. 将二次函数 y=x2−2x−2 的图象在坐标平面内先向左平移 3 个单位，再向上平移 5 个单位后图象对应的二次函数解析式为 ．

16. 如图，抛物线 y=12x2−32x−2 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，顶点为 D 点．点 Mm,0 是 x 轴上的一个动点，当 MC+MD 的值最小时，m 的值为 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
17. 解方程：x2−2x−1=0．

18. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2−4ax+4 经过第一象限内的定点 P .
（1）直接写出点 P 的坐标 ；
（2）当 a=−12 时，求直线 y=32x+1 与抛物线的交点坐标．

19. 小明自己设计一个画轴，如图，画轴长为 20 cm，宽为 10 cm，正中央是一个与整个画轴长、宽比例相同的矩形，如果四周边衬所占面积是整个画轴面积的 1625，且上、下边衬等宽．左、右边衬等宽．求左、右边衬的宽．

20. 在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2−2ax+c 与 x 轴交于 A，B 两点（A 点在 B 点左侧），且 AB=4，且抛物线与 y 轴正半轴交于 C 点，OC=OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直接写出该抛物线的顶点坐标 ，与 x 轴交点坐标为 ；
（3）抛物线上点 −2,b 在图象上的对称点的坐标是 ．

21. 如图，已知 △ABC 三个顶点的坐标分别为 A−2,3，B−6,0，C−1,0．
（1）画出 △ABC 关于 C 点对称的 △DEC，则点 A 的对应点 D 的坐标为 ．
（2）将 △ABC 绕坐标原点 O 逆时针旋转 90∘ 得 △AʹBʹCʹ，画出图形，则点 A 的对应点 Aʹ 坐标为 ．
（3）△CDE 与 △AʹBʹCʹ 重叠部分的面积为 ．

22. 如图 1，E 是正方形 ABCD 中 CD 边上的任意一点．
（1）以点 A 为中心，把 △ADE 顺时针旋转 90∘，画出旋转后的图形；
（2）在 BC 边上画一点 F，使 △CFE 的周长等于正方形 ABCD 周长的一半，请简要说明你取该点的理由；
（3）如图 2，将射线 AE 绕点 A 顺时针旋转 45∘ 交对角线 BD 于点 Q，交 BC 于点 G，
AE 与 BD 交于点 P，线段 BQ，PQ，PD 有何数量关系?证明你的结论．

23. 九年级数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第 x（1≤x≤70 且 x 为整数）天的售价与销量的相关信息如下表：
已知该商品的进价为每件 30 元，设销售该商品的每天利润为 y 元．
（1）求出 y 与 x 的函数关系式．
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少?
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于 3250 元?请直接写出结果 ．

24. 已知抛物线 y=ax−12+4 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴交于点 C，点 D 为抛物线的顶点，已知 CD=2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点 P 为线段 BC 上一点（不与 B，C 重合），过点 P 作 PM∥y轴，交抛物线于点 M，交 x 轴于点 N，当 △BCM 的面积最大时，求 N 点的坐标；
（3）将（1）中的抛物线向上平移 m（m>0）个单位，与直线 CD 交于 G，H 两点，设平移后的抛物线的顶点为 E，是否存在实数 m，使得 GH⊥EH?若存在，请求出 m 的值；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. C
2. B
3. C【解析】由题可知 a=1，b=−4，c=1，
∴x1⋅x2=ca=11=1．
4. D
5. A
6. B
7. C
8. D
9. A
10. A
第二部分
11. −3
12. 1000
13. k<−1−3 或 k>−1+3 且 k≠1
14. 80∘ 或 120∘
15. y=x+22+2
16. 2441
第三部分
17. ∵a=1，b=−2，c=−1，
∴b2−4ac=4−4×1×−1=8>0．
∴x=−b±b2−4ac2a=2±82×1=1±2．
∴x1=1+2，x2=1−2．
18. （1） 4,4
（2） 当 a=−12 时，抛物线为 y=−12x2+2x+4，
解 y=−12x2+2x+4,y=32x+1, 得 x=3,y=112 或 x=−2,y=−2,
故交点坐标为 3,112 和 −2,−2．
19. ∵ 画轴长为 20 cm，宽为 10 cm，
∴ 画轴的长宽比为：2:1．
设中间的矩形的长为 2x cm，宽为 x cm，
由题意，得
20×10−2x×x=20×10×1625,
解得：
x1=6,x2=−6不合题意,舍去.∴
左右边衬的宽为：10−6÷2=2cm．
答：左右边衬的宽为 2 cm．
20. （1） 由题意，抛物线的对称轴为：直线 x=−−2a2a=1．
∵ 抛物线 y=ax2−2ax+c 与 x 轴交于 A，B 两点（A 点在 B 点左侧），且 AB=4，且抛物线与 y 轴正半轴交于 C 点，OC=OB，
∴ 点 A 的坐标为 −1,0，点 B 的坐标为 3,0，点 C 的坐标为 0,3．
将点 B，C 的坐标代入抛物线解析式得 9a−6a+c=0,c=3,
解得 a=−1,c=3.
∴ 抛物线的解析式为：y=−x2+2x+3．
（2） 1,4；−1,0，3,0
（3） 4,−5
21. （1） 如图 1，
△DEC 为所作；0,−3
（2） 如图 2，
△AʹBʹCʹ 为所作；−3,−2
（3） 35
22. （1） 如图 1 所示：△ABEʹ 即为所求；
（2） 作 ∠EAEʹ 的平分线交 BC 于点 F，则 △CFE 的周长等于正方形 ABCD 的周长的一半，如图 2，
由旋转可知 AE=AEʹ，BEʹ=DE，
因为 AF 平分 ∠EʹAE，
所以 ∠EʹAF=∠EAF，
在 △AEF 和 △AEʹF 中：
AE=AEʹ,∠EAF=∠EʹAF,AF=AF.
所以 △AEF≌△AEʹF，
所以 EF=EʹF=BF+DE，
所以 EF+EC+FC=BC+CD，
所以 △CFE 的周长等于正方形 ABCD 周长的一半．
（3） PQ2=PD2+BQ2．证明如下：
作 BM⊥BD，BM=PD，连接 AM，QM，如图 3，
因为四边形 ABCD 是正方形，
所以 AB=AD，∠ABD=∠ADB=45∘，
因为 BM⊥BD，
所以 ∠MBA=90∘−45∘=45∘=∠ADB，
在 △ADP 和 △ABM 中，
AD=AB,∠ADP=∠ABM,DP=BM.
所以 △ADP≌△ABM，
所以 AM=AP，∠BAM=∠DAP，
因为 ∠PAQ=45∘，
所以 ∠DAP+∠BAQ=∠BAM+∠BAQ=45∘，
即 ∠MAQ=45∘，
在 △MAQ 和 △PAQ 中，AM=AP,∠MAQ=∠PAQ,AQ=AQ.
所以 △MAQ≌△PAQ，
所以 MQ=PQ，
因为 ∠MBQ=90∘，
所以 MQ2=BM2+BQ2，
所以 PQ2=PD2+BQ2．
23. （1） y=x+45−30150−2x=−2x2+120x+2250（1≤x≤40 且为整数）．
y=85−30150−2x=−110x+8250（40 （2） 当 1≤x≤40 时，
y=−2x2+120x+2250=−2x2−60x+900−900−1125=−2x−302+4050,
∵ −2<0，
∴ 当 x=30 时，ymax=4050．
当 40 ∵ −110<0，
∴ y 随 x 的增大而减小，
∴ 当 x=41 时，ymax=3740．
∴ 第 30 天时，销售利润最大，最大利润为 4050 元．
（3） 共有 36 天
24. （1） 如图 1，过点 D 作 DM⊥x轴 于点 M，过点 C 作 CE⊥DM 于点 E，
∵ 抛物线的解析式为 y=ax−12+4，
∴ 可得其顶点 D 坐标为 1,4，C0,a+4，
∴ CE=1，由勾股定理得：DE=1，
∴ a=−1，
∴ 抛物线的解析式为 y=−x2+2x+3；
（2） 对 y=−x2+2x+3，令 x=0，得 y=3，
∴ 点 C 的坐标为 0,3．
令 y=0，得 x=−1 或 x=3，
∵ 点 A 在点 B 的左边，
∴ 点 A 的坐标为 −1,0，点 B 的坐标为 3,0．
如图 2，
设 Px,−x+3，则 Mx,−x2+2x+3，
∴ PM=−x2+2x+3−−x+3=−x2+3x，
∴S△BCM=S△PMC+S△PMB=12PM⋅NO+12PM⋅NB=12PMNO+BN=12PM⋅BO=32PM,
∴ S△BCM=32−x2+3x=−32x−322+278，
∴ 当 x=32 时，△BCM 的面积最大，
∴ N32,0；
（3） 存在．
如图 3，作抛物线的对称轴 EP，作 CN⊥EP 于点 N，HM⊥EP 于点 M，连接 HE，
由（1）得 △DNC 为等腰直角三角形，
∴ ∠HDE=∠CDN=45∘，
∴ △DHE 为等腰直角三角形，
∴ EM=DM=HM=12m，
∴ H1+12m,4+12m，
∵ 点 H 在抛物线 y=−x−12+4+m 上，
∴ 4+12m=−1+12m−12+4+m，
∴ 14m2=12m，解得 m=2 或 m=0（舍去），
∴m 的值为 2．