2015-2016学年武汉市江岸区九上期中数学试卷

这是一份2015-2016学年武汉市江岸区九上期中数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 若关于 x 的方程 a−1x2+2x−1=0 是一元二次方程，则 a 的取值范围是
A. a≠1B. a>1C. a<1D. a≠0

2. 一元二次方程 x2−2x−3=0 的根的情况是
A. 无实根B. 有两相等实根C. 有两不等实根D. 无法判断

3. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A. 等边三角形B. 平行四边形C. 正五边形D. 正方形

4. 已知方程 2x2−4x−3=0 两根分别是 x1 和 x2，则 x1x2 的值等于
A. −3B. −32C. 3D. 32

5. 如图，△ABC≌△ADE，点 D 落在 BC 上，且 ∠B=60∘，则 ∠EDC 的度数等于
A. 45∘B. 30∘C. 60∘D. 75∘

6. 如图，在 ⊙O 中，半径OC⊥弦AB 于 P，且 P 为 OC 的中点，则 ∠BAC 的度数是
A. 45∘B. 60∘C. 25∘D. 30∘

7. 如图，图案均是用长度相等的小木棒，按一定规律拼搭而成，第一个图案需 4 根小木棒，则第 6 个图案小木棒根数是 根．
A. 42B. 48C. 54D. 56

8. 某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干、和小分支总数共 57 个．若设主干长出 x 个支干，则可列方程是
A. 1+x2=57B. 1+x+x2=57C. 1+xx=57D. 1+x+2x=57

9. 将抛物线 y=2x2−1，先向上平移 2 个单位，再向右平移 1 个单位后其顶点坐标是
A. 2,1B. 1,2C. 1,−1D. 1,1

10. 如图，∠MON=20∘，A，B 分别为射线 OM，ON 上两定点，且 OA=2，OB=4，点 P，Q 分别为射线 OM，ON 两动点，当 P，Q 运动时，线段 AQ+PQ+PB 的最小值是
A. 3B. 33C. 2D. 23

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 方程 3x2−2x−1=0 的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．

12. 点 A−1,2 关于原点对称的点 B 的坐标是 ．

13. 小明设计了一个魔术盒，当任意实数对 a,b 进入其中，会得到一个新的实数 a2−2b+3．若将实数对 x,−2x 放入其中，得到 −1，则 x= ．

14. 如图，⊙O 的直径 AB 为 13 cm，弦 AC 为 5 cm，∠ACB 的平分线交 ⊙O 于 D，则 CD 长是 cm．

15. 抛物线 y=ax2+b+c 的部分图象如图所示，则当 y<0 时，x 的取值范围是 ．

16. 如图，在等边 △ABC 和等边 △ADE 中，AB=27，AD=23，连接 CE，BE，当 ∠AEC=150∘ 时，则 BE= ．

三、解答题（共8小题；共104分）
17. 按要求解下列方程：x2+x−3=0（公式法）．

18. 已知抛物线的顶点为 1,−4，且过点 −2,5．
（1）求抛物线解析式；
（2）求函数值 y>0 时，自变量 x 的取值范围．

19. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，CD⊥AB 于 E，CO⊥AD 于 F，求证：AD=CD．

20. 如图，在边长为 1 的小正方形组成的方格纸上将 △ABC 绕点 A 顺时针旋转 90∘．
（1）画出旋转后的 △ABʹCʹ；
（2）以点 C 为坐标原点，线段 BC，AC 所在直线分别为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，请直接写出点 Bʹ 的坐标 ；
（3）写出 △ABC 在旋转过程中覆盖的面积 ．

21. 如图，要设计一副宽 20 cm 、长 30 cm 的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为 2:3，如果要使彩条所占面积是图案面积的 925，应如何设计彩条的宽度?

22. 2015 年十一黄金周商场大促销，某店主计划从厂家采购高级羽绒服和时尚皮衣两种产品共 20 件，高级羽绒服的采购单价 y1（元/件）与采购数量 x1（件）满足 y1=−20x1+1500（0（1）经店主与厂家协商，采购高级羽绒服的数量不少于时尚皮衣数量，且高级羽绒服采购单价不低于 1240 元，问该店主共有几种进货方案?
（2）该店主分别以 1760 元/件和 1700 元/件的价格销售出高级羽绒服和时尚皮衣，且全部售完，则在（1）问的条件下，采购高级羽绒服多少件时总利润最大?并求最大利润．

23. 已知在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=BC，BM⊥CM 于 M，且 CM>BM．
（1）如图 1，过点 A 作 AF⊥CM 于 F，直接写出线段 BM，AF，MF 的数量关系是 ．
（2）如图 2，D 为 BM 延长线上一点，连 AD 以 AD 为斜边向右侧作等腰 Rt△ADE，再过点 E 作 EN⊥BM 于 N，求证：CM+EN=MN；
（3）将（2）中的 △ADE 绕点 A 顺时针旋转任意角 α 后，连接 BD 取 BD 中点 P，连接 CP，EP，作出图形，试判断 CP，EP 的数量和位置关系并证明．

24. 如图，二次函数 y=ax2−2mx−3m2（其中 a，m 为常数，且 a>0，m>0）的图象与 x 轴分别交于点 A，B（点 A 位于点 B 左侧），与 y 轴交于点 C0,−3，点 D 在二次函数图象上，且 CD∥AB，连接 AD；过点 A 作射线 AE 交二次函数于点 E，使 AB 平分 ∠DAE．
（1）当 a=1 时，求点 D 的坐标；
（2）证明：无论 a，m 取何值，点 E 在同一直线上运动；
（3）设该二次函数图象顶点为 F，试探究：在 x 轴上是否存在点 P，使以 PF，AD，AE 为边构成的三角形是以 AE 为斜边的直角三角形?如果存在，请用含 m 的代数式表示点 P 的横坐标；如果不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. A
2. C
3. D
4. B
5. C
6. D
7. C
8. B
9. D
10. D
第二部分
11. 3，−2，−1
12. 1,−2
13. −2
14. 1722
15. x<−1 或 x>3
16. 4
第三部分
17. 因为
a=1,b=1,c=−3.
所以
Δ=b2−4ac=12−4×1×−3=13>0.
x=−b±b2−4ac2a=−1±132.
所以
x1=−1+132,x2=−1−132.
18. （1） 设抛物线解析式为 y=ax−12−4，
把 −2,5 代入得 a⋅−2−12−4=5，
解得 a=1，
∴ 抛物线解析式为 y=x−12−4，
即 y=x2−2x−3．
（2） 当 y=0 时，x2−2x−3=0，
解得 x1=−1，x2=3，
则抛物线与 x 轴的两交点坐标为 −1,0，3,0，
而抛物线的开口向上，
∴ 当 x<−1 或 x>3 时，y>0．
19. ∵CD⊥AB，CO⊥AD，
∴∠OEC=∠OFA=90∘，AD=2AF，CD=2CE，
在 △OCE 和 △OAF 中，
∠COE=∠AOF,∠OEC=∠OFA,OC=OA,
∴△OCE≌△OAF，
∴CE=AF，
∴AD=CD．
20. （1） 如图 1，△ABʹCʹ 为所作：
（2） 如图 2，
1,1
（3） 54π+1
21. 设横彩条的宽度是 2x cm，竖彩条的宽度是 3x cm，则
30−6x20−4x=1−925×20×30,
解得
x1=1或x2=9.∵4×9=36>20,∴x=1,∴
横彩条的宽度是 2 cm，竖彩条的宽度是 3 cm．
22. （1） 设购买羽绒服 x 件，则购买皮衣 20−x 件，则：x≥20−x,−20x+1500≥1240,0 ∴10≤x≤13 且为整数，
∴ 该店主有 4 种进货方案：
羽绒服 10 件，皮衣 10 件；
羽绒服 11 件，皮衣 9 件；
羽绒服 12 件，皮衣 8 件；
羽绒服 13 件，皮衣 7 件．
（2） 设购买羽绒服 x 件，利润为 W 元，则
W=1760+20x−1500x+1700+1020−x−130020−x=30x−92+957010≤x≤13且为整数.
∵a=30>0，
∴ 当 10≤x≤13 且为整数时，W 随 x 的增大而增大，
∴ 当 x=13 时，W 最大，且最大值为 W=30×13−92+9570=10050．
答：当采购羽绒服 13 件时，有最大利润为 10050 元．
23. （1） AF=BM+MF
（2） 如图，过点 A 作 AG⊥CM 于 G，反向延长 GA 交 EN 于 H，
∵ BM⊥CM，EN⊥BM，AG⊥CM，
∴ ∠GMN=∠ENM=∠AGM=90∘，
∴ 四边形 GMNH 为矩形，
∴ AH⊥EN，
∵ ∠ACB=90∘，CM⊥BM，AG⊥CM，
∴ ∠BMC=∠CGA=∠ACB=90∘，
∴ ∠ACG+∠BCM=∠ACG+∠CAG=90∘，
∴ ∠BCM=∠CAG，
在 △ACG 和 △CBM 中，
∠CAG=∠BCM,∠CGA=∠BMC,AC=CB,
∴ △ACG≌△CBM，
同理 △AEH≌△EDN，
∴ CM=AG，EN=AH，
∴ MN=GH=GA+AH=CM+EN．
（3） 如图 3，
CP=PE，且 CP⊥PE，理由如下：
取 AB 的中点 M，AD 的中点 N，连接 PM，CM，NE，PN，
∵ △BCA 与 △AED 均为等腰直角三角形，
∴ CM=BM=AM，CM⊥BA，EN=AN=DN，NE⊥AD，
∵ P 为 BD 中点，
∴ PN=AM=BM=CM，PN∥BA，PM=AN=DN=NE，PM∥AD，
∴ AMPN 是平行四边形，
∴ ∠BMP=∠BAD=∠PND，
∴ ∠PMC=∠ENP，
在 △PNE 和 △CMP 中，
NP=MC,∠ENP=∠PMC,NE=MP,
∴ △PNE≌CMP，
∴ CP=PE，∠EPN=∠PCM，
∵ CM⊥AB，PN∥AB，
∴ CM⊥PN，
延长 CM 分别交 PN，PE 于点 H，Q，则 ∠PHQ=90∘，
∴ ∠HPQ+∠PQH=90∘，
∵ ∠PCH=∠HPQ，
∴ ∠PCH+∠PQH=90∘，
∴ ∠CPQ=90∘，
∴ CP⊥PE，
综上所述，CP=PE 且 CP⊥PE．
24. （1） 当 a=1 时，y=ax2−2mx−3m2=x2−2mx−3m2，
∵ 二次函数图象与 y 轴交于点 C0,−3，
∴−3m2=−3，解得：m=±1，
∵m>0，
∴m=1，
∴ 抛物线解析式为：y=x2−2x−3=x−12−4，
∵C，D 关于直线 x=1 对称，
∴D 点坐标为：2,−3．
（2） 作 D 关于 x 轴对称的点 Dʹ，则点 Dʹ 必在射线 AE 上，如图 1，
当 y=0，则 0=ax2−2mx−3m2，解得：x1=−m，x2=3m，
当 x=0，y=−3am2，可得：A−m,0，B3m,0，C0,−3am2，D2m,−3am2，
∴Dʹ2m,3am2，
∵ 点 C 坐标为 0,−3，
∴−3am2=−3，则 am2=1，
可求得直线 ADʹ 的解析式为：y=1mx+1，
联立 y=1mx+1,y=ax2−2mx−3m2, 整理得 x2−3mx−4m2=0，解得 x1=4m，x2=−m（舍去），
∴E4m,5，
∴E 在直线 y=5 上运动．
即无论 a，m 取何值，点 E 在同一直线上运动．
（3） 由（2）得：Fm,−4，E4m,5，A−m,0，D2m,−3，设 Pb,0，
∴PF2=m−b2+16，AD2=9m2+9，AE2=25m2+25，
若以 PF，AD，AE 为边构成的三角形是以 AE 为斜边的直角三角形，则有 m−b2+16+9m2+9=25m2+25，解得：b1=−3m，b2=5m，
∴P 的坐标为 −3m,0 或 5m,0．