2015-2016学年武汉市汉阳区九上期中数学试卷

这是一份2015-2016学年武汉市汉阳区九上期中数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 将方程化为一元二次方程 3x2−8x=10 的一般形式，其中二次项系数，一次项系数，常数项分别是
A. 3，−8，−10B. 3，−8，10
C. 3，8，−10D. −3，−8，−10

2. 用配方法解方程 x2−2x−5=0 时，原方程应变形为
A. x+12=6B. x+22=9C. x−12=6D. x−22=9

3. 在下列四个图案中，不是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 将二次函数 y=x−12−2 的图象先向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位后顶点为
A. 1,3B. 2,−1C. 0,−1D. 0,1

5. 如图，在 △ABC 中，∠CAB=65∘，将 △ABC 在平面内绕点 A 旋转到 △ABʹCʹ 的位置，使得 CCʹ∥AB，则旋转角的度数为
A. 35∘B. 40∘C. 50∘D. 65∘

6. 如图，已知矩形的长为 10 cm，宽为 4 cm，则图中阴影部分的面积为
A. 20 cm2B. 15 cm2C. 10 cm2D. 25 cm2

7. 股票每天的涨、跌幅均不能超过 10%，即当涨了原价的 10% 后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的 10% 后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为 x，则 x 满足的方程是
A. 1+x2=1110B. 1+x2=109C. 1+2x=1110D. 1+2x=109

8. 抛物线形拱桥，当拱顶高离水面 2 m 时，水面宽 4 m．水面下降 2.5 m，水面宽度增加
A. 1 mB. 2 mC. 3 mD. 6 m

9. 如图，一次函数 y1=x 与二次函数 y2=ax2+bx+c 图象相交于 P 、 Q 两点，则函数 y=ax2+b−1x+c 的图象可能是
A. B.
C. D.

10. 一元二次方程：M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中 ac≠0，a≠c，以下四个结论：
①如果方程 M 有两个不相等的实数根，那么方程 N 也有两个不相等的实数根；
②如果方程 M 有两根符号相同，那么方程 N 的两根符号也相同；
③如果 m 是方程 M 的一个根，那么 1m 是方程 N 的一个根；
④如果方程 M 和方程 N 有一个相同的根，那么这个根必是 x=1．
正确的个数是
A. 1B. 2C. 3D. 4

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 若点 A2,1 与点 B 是关于原点 O 的对称点，则点 B 的坐标为 ．

12. 一元二次方程 x2−2x=0 的解是 ．

13. 如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了 2 m，另一边减少了 3 m，剩余一块面积为 20 m2 的矩形空地，则原正方形空地的边长是 ．

14. 二次函数 y=−2x2−3x+k 的图象在 x 轴下方，则 k 的取值范围是 ．

15. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 Px,y，我们把点 Pʹ−y+1,x+1 叫做点 P 的伴随点，已知点 A1 的伴随点为 A2，点 A2 的伴随点为 A3，点 A3 的伴随点为 A4，⋯，这样依次得到点 A1，A2，A3，⋯，An，⋯．若点 A1 的坐标为 3,1，点 A2015 的坐标为 ．

16. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，D 为边 AB 的中点，E，F 分别为边 AC，BC 上的点，且 AE=AD，BF=BD，若 DE=22，DF=4，则 AB 的长为 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
17. 已知关于 x 的方程 x2+2x+a−2=0．
（1）若方程有一根为 x=1，求 a 的值；
（2）若 a=1，求方程的两根．

18. 四边形 ABCD 是正方形，E，F 分别是 DC 和 CB 的延长线上的点，且 DE=BF，连接 AE，AF，EF．
（1）求证：△ADE≌△ABF．
（2）填空：△ABF 可以由 △ADE 绕旋转中心 点，按顺时针方向旋转 ∘ 得到．
（3）若 BC=8，DE=6，求 △AEF 的面积．

19. 已知关于 x 的方程 x2−2k−1x+k2=0 有两个实数根 x1，x2．
（1）求 k 的取值范围；
（2）若 x1+x2=1−x1x2，求 k 的值．

20. 在平面直角坐标系中，已知 △ABC 的三个顶点的坐标分别为 A−4,3，B−3,1，C−1,3 .
（1）请按下列要求画图.
①将 △ABC 先向右平移 4 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，得到 △A1B1C1 ，画出 △A1B1C1 ；
② △A2B2C2 与 △ABC 关于原点 O 成中心对称，画出 △A2B2C2 .
（2）在第1题中，所得的 △A1B1C1 和 △A2B2C2 关于点 M 成中心对称，请直接写出点 M 的坐标.

21. 如图，已知 △ABC 是等边三角形．
（1）如图（1），点 E 在线段 AB 上，点 D 在射线 CB 上，且 ED=EC．将 △BCE 绕点 C 顺时针旋转 60∘ 至 △ACF，连接 EF．猜想线段 AB，DB，AF 之间的数量关系；
（2）点 E 在线段 BA 的延长线上，其它条件与（1）中一致，请在图（2）的基础上将图形补充完整，并猜想线段 AB，DB，AF 之间的数量关系；
（3）请选择（1）或（2）中的一个猜想进行证明．

22. 已知某种产品的进价为每件 40 元，现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件．市场调查发现，该产品每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，由于供货方的原因销量不得超过 380 件，设这种产品每件降价 x 元（x 为整数），每星期的销售利润为 w 元．
（1）求 w 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
（2）该产品销售价定为每件多少元时，每星期的销售利润最大?最大利润是多少元?
（3）该产品销售价在什么范围时，每星期的销售利润不低于 6000 元，请直接写出结果．

23. 如图（1），在 Rt△ABC 中，∠A=90∘，AC=AB=4，D，E 分别是 AB，AC 的中点．若等腰 Rt△ADE 绕点 A 逆时针旋转，得到等腰 Rt△AD1E1，如图（2），设旋转角为 α0<α≤180∘，记直线 BD1 与 CE1 的交点为 P．
（1）求证：BD1=CE1；
（2）当 ∠CPD1=2∠CAD1 时，求 CE1 的长；
（3）连接 PA，△PAB 面积的最大值为 ．（直接填写结果）

24. 如图，已知抛物线 y=−x2+mx+m−2 的顶点为 A，且经过点 B3,−3．
（1）求顶点 A 的坐标；
（2）在对称轴左侧的抛物线上存在一点 P，使得 ∠PAB=45∘，求点 P 坐标；
（3）如图（2），将原抛物线沿射线 OA 方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线 OA 交于 C，D 两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段 CD 的长度是否为定值?若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
答案
第一部分
1. A
2. C【解析】将 x2−2x−5=0 移项得 x2−2x=5，两边同时加 1 得 x2−2x+1=5+1，即 x−12=6．
3. D
4. B
5. C
【解析】∠ACCʹ=∠ACʹC=65∘，∠CACʹ=50∘．
6. A【解析】根据题意观察题图可知，长方形的面积=10×4=40cm2，再根据中心对称的性质，得图中阴影部分的面积即是长方形面积的一半，故图中阴影部分的面积为 12×40=20cm2．
7. B
8. B
9. A【解析】∵ 一次函数 y1=x 与二次函数 y2=ax2+bx+c 图象相交于 P 、 Q 两点，
∴ 方程 ax2+b−1x+c=0 有两个不相等的根，
∴ 函数 y=ax2+b−1x+c 与 x 轴有两个交点，
又 ∵−b2a>0，a>0，
∴−b−12a=−b2a+12a>0，
∴ 函数 y=ax2+b−1x+c 的对称轴 x=−b−12a>0，
∴ A 符合条件．
10. C
【解析】①两个方程的根的判别式都是 Δ=b2−4ac，
∵ 方程 M 有两个不相等的实数根，
∴ 方程 N 有两个不相等的实数根，结论正确；
② ∵ 方程 M 的两根符号相同，且 ac≠0，
∴ca>0，
∴ac>0，
∴ 方程 N 有同号二实数根，结论正确；
③ ∵m 是方程 M 的一个根，
∴am2+bm+c=0，
∴c1m2+b1m+a=0，
1m 是方程 N 的一个根，结论正确；
④ ∵ 方程 M 和方程 N 有一个相同的根，
∴ax2+bx+c=cx2+bx+a，
∴a−cx2=a−c，
∵a≠c，
∴a−c≠0，
∴x2=1，
∴x=±1，结论错误．
∴ ①②③正确．
第二部分
11. −2,−1
12. x1=0，x2=2
13. 7 m
14. k<−98
15. −3,1
【解析】∵A13,1，
∴A20,4，A3−3,1，A40,−2，A53,1，A60,4，⋯⋯，
∵2015=4×503+3，
∴A2015=A3．
16. 45
【解析】如图，延长 FD 到 G，使 DG=FD=4，连接 AG，EG，作 EH⊥DF 于点 H，
∵ 点 D 是 AB 的中点，
∴AD=BD，
在 △ADG 和 △BDF 中，
AD=BD,∠ADG=∠BDF,DG=DF,
∴△ADE≌△BDF，
∴∠GAD=∠B，
∴AG∥BC．
∵∠ACB=90∘，
∴∠GAE=90∘．
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠ADE=90∘−12∠DAE，
同理，∠BDF=90∘−12∠B，
∴∠EDF=180∘−∠ADE+∠BDF=180∘−180∘−12∠DAE+∠B=45∘,
∴∠DEH=45∘，
∴DH=EH=22DE=22×22=2，
∴GH=6，
∴EG=EH2+GH2=22+62=210．
∵AG=BF，AD=AE，BD=BF，AD=BD，
∴AG=AE，
∴AE=22EG=25，
∴AD=25，
∴AB=45．
第三部分
17. （1） 将 x=1 代入方程得 1+2+a−2=0，解得 a=−1．
（2） 将 a=1 代入方程得 x2+2x−1=0，
∵Δ=22−4×1×−1=8，
∴x=−2±82×1=−1±2，
∴x1=−1+2，x2=−1−2．
18. （1） ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABC=90∘，
而 F 是 CB 延长线上的点，
∴∠ABF=90∘．
在 △ADE 和 △ABF 中
AD=AB,∠ADE=∠ABF,DE=BF,
∴△ADE≌△ABF SAS．
（2） A；90
（3） ∵BC=8，
∴AD=8．
在 Rt△ADE 中，DE=6，AD=8，
∴AE=AD2+DE2=10．
∵△ABF 可以由 △ADE 绕旋转中心 A 点，按顺时针方向旋转 90∘ 得到，
∴AE=AF，∠EAF=90∘，
∴△AEF 的面积 =12AE2=12×100=50 .
19. （1） ∵ Δ=b2−4ac=−2k−12−4×1×k2=−8k+4≥0，
∴ k≤12．
（2） ∵x1+x2=2k−1，x1x2=k2，且 x1+x2=1−x1x2，
∴ 2k−1=1−k2，
∴ k1=1，k2=−3，
∵ k≤12，
∴ k=−3．
20. （1）
△A1B1C1 和 △A2B2C2 即为所求．
（2） 点 M 的坐标为 2,1 .
21. （1） AB=AF+BD．
（2） 如图（1），AB=AF−BD．
（3） 如图（2），过点 E 作 EG∥BC 交 AC 于点 G，
得 △AEG 为等边三角形，
∵DE=CE，
∴∠CDE=∠ECD，
又 ∵∠CDE+∠BED=∠ABC=∠ACD=∠ECD+∠GCE，
∴∠BED=∠GCE，
在 △BDE 和 △GEC 中，
BE=CG,∠BED=∠GCE,DE=CE,
∴△BDE≌△GEC，
∴BD=EG=AE，
又 ∵AF=BE，
∴AB=BE+AE=AF+BD．
22. （1） w=20−x300+20x=−20x2+100x+6000,
∵ 300+20x≤380，
∴ 0≤x≤4，且 x 为整数．
（2） w=−20x2+100x+6000=−20x−522+6125,
∵ −20x−522≤0，
∴ 当 x=2 或 x=3 时有最大利润 6120 元，即当定价为 57 或 58 元时有最大利润 6120 元．
（3） 不低于 55 元且不高于 60 元时，每星期利润不低于 6000 元．
23. （1） 在 △ABD1 和 △ACE1 中，
AB=AC,∠BAD1=∠CAE1,AD1=AE1,
∴△ABD1≌△ACE1，
∴BD1=CE1．
（2） 延长 BA 交 D1E1 于 F，如图．
由（1）知 △ABD1≌△ACE1，
∴∠AD1B=∠AE1C，
∴∠CE1D1+∠E1D1A+∠AD1P=90∘，
∴∠CPD1=90∘，
∴∠CAD1=45∘，
∴∠BAD1=135∘，
∴∠D1AF=45∘=∠AD1E1，
∴AF=D1F=12AD12+AE12=2，
∵∠AFD1=90∘，
∴BD1=25+22，
∴CE1=25+22．
（3） 2+23
24. （1） 依题意 −32+3m+m−2=−3，
∴m=2，
∴y=−x2+2x=−x−12+1，
∴ 顶点 A1,1．
（2） 过 B 作 BQ⊥BA 交 AP 于 Q，过 B 作 GH∥y 轴分别过 A，Q 作 AG⊥GH 于 G，QH⊥GH 于 H，
∵∠PAB=45∘，
∴BA=BQ，
∵∠QBH+∠ABG=90∘，
∠BAG+∠ABG=90∘，
∴∠BAG=∠QBH．
在 △ABG 和 △BQH 中，
∠BAG=∠QBH,∠AGB=∠BHQ,BA=BQ,
∴△ABG≌△BQH，
∴AG=BH=2，BG=QH=4，
∴Q−1,−5．
∴ 直线 AP 的解析式为 y=3x−2，
联立抛物线与直线 AP，
∴−x2+2x=3x−2，
∴x1=1，x2=−2，
∵P 在对称轴左侧的抛物线上，
∴P−2,−8．
（3） CD 长度为定值．
∵ 直线 OA 的解析式为 y=x，
∴ 可设新抛物线解析式为 y=−x−a2+a，
联立抛物线与直线 OA，
∴−x−a2+a=x，
∴x1=a，x2=a−1，
即 C，D 两点横坐标的差是常数 1，
∴CD=2．