2015-2016学年武汉市青山区八上期中数学试卷

这是一份2015-2016学年武汉市青山区八上期中数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列图形中，是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 以下列每组长度的三条线段为边能组成三角形的是
A. 2，3，6B. 2，4，6C. 2，2，4D. 6，6，6

3. 若一个多边形的每一个外角都等于 40∘，则这个多边形的边数是 ．
A. 7B. 8C. 9D. 10

4. 如图，△ACB≌△AʹCʹBʹ，∠BCBʹ=30∘，则 ∠ACAʹ 的度数为
A. 20∘B. 30∘C. 35∘D. 40∘

5. 若等腰三角形的顶角为 80∘ ，则它的底角为
A. 80∘B. 50∘C. 40∘D. 20∘

6. 如图，已知 ∠CAB=∠DAB，则添加下列一个条件不能使 △ABC≌△ABD 的是
A. AC=ADB. BC=BD
C. ∠C=∠DD. ∠ABC=∠ABD

7. 如图，已知在 △ABC 中，CD 是 AB 边上的高线，BE 平分 ∠ABC，交 CD 于点 E，BC=5，DE=2，则 △BCE 的面积等于
A. 10B. 7C. 5D. 4

8. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠A=30∘，DE 垂直平分 AB．若 AD=6，则 CD 的长等于
A. 2B. 3C. 4D. 6

9. 如图，过边长为 1 的等边 △ABC 的边 AB 上一点 P，作 PE⊥AC 于点 E，Q 为 BC 延长线上一点，当 PA=CQ 时，连 PQ 交 AC 边于点 D，则 DE 的长为
A. 13B. 12C. 23D. 不能确定

10. △ABC 中，∠CAB=∠CBA=50∘，O 为 △ABC 内一点，∠OAB=10∘，∠OBC=20∘，则 ∠OCA 的度数为
A. 55∘B. 60∘C. 70∘D. 80∘

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 如图，要使四边形木架不变形，至少要钉上 根木条．

12. 如图，根据三角形的有关知识可知图中的 x 的值是 ．

13. 已知 △ABC≌△DEF，若 △ABC 的周长为 32，AB=9，BC=12，则 DF= ．

14. 一个等腰三角形的两边长分别是 2 cm，5 cm，则它的周长为 cm．

15. 如图，在 △ABC 中，∠A=60∘，BD，CD 分别平分 ∠ABC，∠ACB，M，N，Q 分别在 DB，DC，BC 的延长线上，BE，CE 分别平分 ∠MBC，∠BCN，BF，CF 分别平分 ∠EBC，∠ECQ，则 ∠F= ．

16. 如图，等腰 △ABC 底边 BC 的长为 4 cm，面积是 12 cm2，腰 AB 的垂直平分线 EF 交 AC 于点 F，若 D 为 BC 边上的中点，M 为线段 EF 上一动点，则 △BDM 的周长最小值为 cm．

三、解答题（共8小题；共104分）
17. 如图，在 △ABC 中，D 为 BC 延长线上一点，DE⊥AB 于点 E，交 AC 于点 F，若 ∠A=40∘，∠D=45∘．求 ∠ACB 的度数．

18. 如图，点 E，F 在 BC 上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF 与 DE 交于点 O．
（1）求证：AB=DC；
（2）试判断 △OEF 的形状，并说明理由．

19. 如图，在 △ABC 中，CA=CB，点 D 在 BC 上，且 AB=AD=DC，求 ∠C 的度数．

20. 如图，在平面直角坐标系中，A−1,5，B−1,0，C−4,3．
（1）请画出 △ABC 关于 y 轴对称的 △DEF（其中 D，E，F 分别是 A，B，C 的对应点，不写画法）；
（2）直接写出 D，E，F 三点的坐标：D ，E ，F ；
（3）在 y 轴上存在一点，使 PC−PB 最大，则点 P 的坐标为 ．

21. 如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分 ∠DAE，DA∥CE，AB=CB．
（1）试判断 BE 与 AC 有何位置关系?并证明你的结论；
（2）若 ∠DAC=25∘，求 ∠AEB 的度数．

22. 如图，点 D，E 分别在等边 △ABC 的边 BC，AB 上，且 AE=BD，连接 AD，CE 交于点 F，过点 B 作 BQ∥CE 交 AD 延长线于点 Q．
（1）求 ∠AFE 的度数；
（2）求证：AF=BQ．

23. 在 △ABC 中，BD 为 ∠ABC 的平分线．
（1）如图1，∠C=2∠DBC，∠A=60∘，求证：△ABC 为等边三角形；
（2）如图2，若 ∠A=2∠C，BC=8，AB=4.8，求 AD 的长度；
（3）如图3，若 ∠ABC=2∠ACB，∠ACB 的平分线 OC 与 ∠ABC 的角平分线 BD 相交于点 O，且 OC=AB，求 ∠A 的度数．

24. 在 △ABC 中，∠BAC=90∘，AB=AC．
（1）如图1，若 A，B 两点的坐标分别是 A0,4，B−2,0，求 C 点的坐标；
（2）如图2，作 ∠ABC 的角平分线 BD，交 AC 于点 D，过 C 点作 CE⊥BD 于点 E，求证：CE=12BD；
（3）如图3，点 P 是射线 BA 上 A 点右边一动点，以 CP 为斜边作等腰直角 △CPF，其中 ∠F=90∘，点 Q 为 ∠FPC 与 ∠PFC 的角平分线的交点，当点 P 运动时，点 Q 是否恒在射线 BD 上?若在，请证明；若不在，请说明理由．
答案
第一部分
1. B
2. D
3. C
4. B
5. B
6. B
7. C【解析】提示：过 E 作 EF⊥BC，则 EF=DE=2 .
8. B
9. B【解析】过 P 作 PM∥BC，交 AC 于点 M，
∵ △ABC 是等边三角形，且 PM∥BC，
∴ △APM 是等边三角形，
又 ∵ PE⊥AM，
∴ AE=EM=12AM；（等边三角形三线合一），
∵ PM∥CQ，
∴ ∠PMD=∠QCD，∠MPD=∠Q；
又 ∵ PA=PM=CQ，
在 △PMD 和 △QCD 中，
∠PDM=∠CDQ,∠PMD=∠DCQ,PM=CQ,
∴ △PMD≌△QCDAAS；
∴ CD=DM=12CM；
∴ DE=DM+ME=12AM+MC=12AC=12．
10. C
【解析】如图，作 CD⊥AB 于点 D，延长 BO 交 CD 于点 P，连接 PA，
∵ ∠CAB=∠CBA=50∘，
∴ AC=BC，
∴ AD=BD，
∵ ∠CAB=∠CBA=50∘，
∴ ∠ACB=80∘，
∵ ∠ABC=∠CAB=50∘，∠OBC=20∘ ，
∴ ∠CBP=∠OBC=20∘=∠CAP，
∠PAO=∠CAB−∠CAP−∠OAB=50∘−20∘−10∘=20∘=∠CAP,
∠POA=∠OBA+∠OAB=10∘+50∘−20∘=40∘=∠ACD,
∵ 在 △CAP 和 △OAP 中，
∠ACP=∠AOP,∠CAP=∠OAP,AP=AP,
∴ △CAP≌△OAPAAS，
∴ AC=OA，
∴ ∠ACO=∠AOC，
∴∠OCA=12180∘−∠CAO=12180∘−∠CAB−∠OAB=12180∘−50∘−10∘=70∘.
第二部分
11. 1
12. 60
13. 11
14. 12
15. 15∘
【解析】∵BD，CD 分别平分 ∠ABC，∠ACB，∠A=60∘，
∴∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB=12∠ABC+∠ACB=12180∘−∠A=12×180∘−60∘=60∘.
∴∠MBC+∠NCB=360∘−60∘=300∘，
∵BE，CE 分别平分 ∠MBC，∠BCN，
∴∠FBC+∠FBE=12∠MBC，∠ECB=12∠NCB，
∴∠FBC+∠FBE+∠ECB=12∠NCB+∠MBC=150∘，
∴∠E=180∘−∠FBC+∠FBE+∠ECB=180∘−150∘=30∘，
∵BF，CF 分别平分 ∠EBC，∠ECQ，
∴∠FBC=∠FBE，∠FCE=∠FCN+∠QCN，
∵∠FCN+∠QCN=∠FBC+∠F，∠FCE+∠FCN+∠QCN=∠FBC+∠FBE+∠E，
即 ∠FCE=∠FBC+∠F，2∠FCE=2∠FBC+∠E，
∴2∠F=∠E，
∴∠F=12∠E=12×30∘=15∘．
16. 8
【解析】连接 AD，
因为 △ABC 是等腰三角形，点 D 是 BC 边的中点，
所以 AD⊥BC，
所以 S△ABC=12BC⋅AD=12×4×AD=12，
解得 AD=6 cm，
因为 EF 是线段 AB 的垂直平分线，
所以点 B 关于直线 EF 的对称点为点 A，
所以 AD 的长为 BM+MD 的最小值，
所以
△BDM的周长最短=BM+MD+BD=AD+12BC=6+12×4=6+2=8cm.
第三部分
17. ∵DE⊥AB，
∴∠AEF=90∘，
∵∠A=40∘，
∴∠AFE=90∘−∠A=90∘−40∘=50∘，
∴∠CFD=∠AEF=50∘，
∵∠D=45∘，
∴∠ACB=∠CFD+∠D=50∘+45∘=95∘．
18. （1） ∵ BE=CF，
∴ BE+EF=CF+EF，
即 BF=CE．
又 ∠A=∠D，∠B=∠C，
∴ △ABF≌△DCEAAS，
∴ AB=DC．
（2） △OEF 为等腰三角形．
∵ △ABF≌△DCE，
∴ ∠AFB=∠DEC，
∴ OE=OF，
∴ △OEF 为等腰三角形．
19. 设 ∠B=x∘，
∵ CA=CB，
∴ ∠B=∠CAB=x∘，
∵ AB=AD=DC，
∴ ∠B=∠ADB=x∘，∠C=12x∘，
在 △ABC 中，x+x+12x=180，
解得：x=72，
∴ ∠C=12×72∘=36∘．
故 ∠C 的度数是 36∘．
20. （1） 如图，△DEF 即为所求作三角形；
（2） 1,5；1,0；4,3
（3） 0,−1
【解析】延长 CB 交 y 轴于 P，此时 PC−PB 最大，故点 P 即为所求．
设 BC 所在直线解析式为 y=kx+b，将点 B−1,0 、点 C−4,3 代入，
得：−k+b=0,−4k+b=3,
解得：k=−1,b=−1.
∴ 直线 BC 所在直线解析式为 y=−x−1，当 x=0 时，y=−1，
∴ 点 P 坐标为 0,−1．
21. （1） BE 所在直线垂直平分 AC．
∵ AC 平分 ∠DAE，
∴ ∠DAC=∠EAC，
∵ DA∥CE，
∴ ∠DAC=∠ACE，
∴ ∠ACE=∠EAC，
∴ EA=EC，
∴ E 在 AC 的垂直平分线上，
∵ AB=CB，
∴ B 在 AC 的垂直平分线上，
∴ BE 所在直线垂直平分 AC．
（2） ∵ AC 是 ∠DAE 的平分线，
∴ ∠DAC=∠CAE=25∘，
又 DA∥EC，
∴ ∠DAC=∠ACE=25∘，
∴ ∠CAE=∠ACE=25∘，
∴ AE=CE，∠AEC=130∘，
在 △AEB 和 △CEB 中，
AE=CE,AB=CB,EB=EB,
∴ △AEB≌△CEBSSS，
∴ ∠AEB=∠CEB，
∴ ∠AEB=12360∘−∠AEC=12×360∘−130∘=115∘．
22. （1） ∵ △ABC 为等边三角形，
∴ ∠BAC=∠ABC=∠ACB=60∘，
∴ AB=BC=CA．
在 △ABD 和 △CAE 中，
BD=AE,∠ABD=∠CAE,AB=CA,
∴ △ABD≌△CAESAS，
∴ ∠BAD=∠ACE，
又 ∠BAD+∠DAC=∠BAC=60∘．
∴ ∠ACE+∠DAC=60∘，
∵ ∠AFE=∠ACE+∠DAC，
∴ ∠AFE=60∘．
（2） 延长 CE 到点 M，使 CM=AQ，连接 AM，
∵ 在 △ABQ 和 △CAM 中，
AB=CA,∠BAQ=∠ACM,AQ=CM,
∴ △ABQ≌△CAMSAS，
∴ ∠Q=∠M，AM=BQ，
∵ BQ∥CE，
∴ ∠Q=∠AFM，
∴ ∠M=∠AFM，
∴ AM=AF，
∵ AM=BQ，
∴ AF=BQ．
23. （1） ∵ BD 为 ∠ABC 的平分线，
∴ ∠ABC=2∠DBC，
∵ ∠C=2∠DBC，
∴ ∠ABC=∠C，
∴ AB=AC，
∵ ∠A=60∘，
∴ △ABC 是等边三角形．
（2） 如图2，在 BC 上截取 BE=AB，连接 DE，
在 △ABD 与 △EBD 中，
AB=BE,∠ABD=∠EBD,BD=BD,
∴ △ABD≌△EBDSAS，
∴ ∠A=∠DEB，AD=ED，
∵ ∠A=2∠C，
∴ ∠DEB=2∠C，∠DEB=∠C+∠CDE，
∴ ∠C+∠CDE=2∠C，
∴ ∠C=∠CDE，
∴ ED=EC，
∵ AB=4.8，
∴ CE=BC−BE=3.2，
∴ AD=DE=CE=3.2．
（3） 如图3，过点 B 作 BF 平分 ∠DBC 交 AC 于点 F，
∵ BD 平分 ∠ABC，
∴ ∠ABD=∠CBD=12∠ABC，
即 ∠ABC=2∠ABD=2∠CBD，
∵ ∠ABC=2∠ACB，
∴ ∠ACB=∠ABD=∠CBD，
∵ OC 平分 ∠ACB，BF 平分 ∠DBC，
∴ ∠1=∠3=12∠DBC，∠4=∠2=12∠ACB，
∴ ∠1=∠2=∠3=∠4，
在 △OBC 与 △FCB 中，
∠DBC=∠ACB,BC=CB,∠2=∠1,
∴ △OBC≌△FCBASA，
∴ OC=BF，
∵ AB=OC，
∴ BF=AB，
∵ ∠ABF=∠ABD+∠3，∠AFB=∠ACB+∠1，
又 ∵ ∠ABD=∠ACB，∠1=∠3，
∴ ∠ABF=∠AFB，
∴ AB=AF，
∴ AB=BF=AF，
∴ △ABF 为等边三角形，
∴ ∠A=60∘．
24. （1） 如图1中，作 CM⊥OA，垂足为 M，
因为 ∠AOB=∠BAC=90∘，
所以 ∠BAO+∠CAM=90∘，∠BAO+∠ABO=90∘，
所以 ∠ABO=∠CAM，
在 △ABO 和 △CAM 中，
∠ABO=∠CAM,∠AOB=∠AMC,AB=AC,
所以 △ABO≌△CAMAAS，
所以 MC=AO=4，AM=BO=2，MO=AO−AM=2，
所以点 C 坐标 4,2．
（2） 如图2，延长 CE，BA 相交于点 F，
因为 ∠EBF+∠F=90∘，∠ACF+∠F=90∘，
所以 ∠EBF=∠ACF，
在 △ABD 和 △ACF 中，
∠EBF=∠ACF,AB=AC,∠BAC=∠CAF,
所以 △ABD≌△ACFASA，
所以 BD=CF，
在 △BCE 和 △BFE 中，
∠EBF=∠CBE,BE=BE,∠CEB=∠FEB,
所以 △BCE≌△BFEASA，
所以 CE=EF=12CF，
所以 CE=12BD．
（3） 结论：点 Q 恒在射线 BD 上，
理由如下：
如图3中作 QE⊥PF，QG⊥FC，QH⊥PC，QM⊥BP，QN⊥BC，垂足分别为点 E 、点 G 、点 H 、点 M 、点 N，连接 QC，
在四边形 QMBN 中，
因为 ∠QMB=∠QNB=90∘，
所以 ∠MQN=180∘−∠ABC=135∘，
同理可证：∠HQG=135∘，
所以 ∠MQN=∠HQG，
所以 ∠MQH=∠GQN，
因为 PQ 平分 ∠FPC，QF 平分 ∠PFC，QE⊥PF，QH⊥PC，QG⊥FC，
所以 QE=QH=QG，∠QPH=12∠CPF=22.5∘，
因为 ∠PMQ=∠PHQ=90∘，
所以 M，H，Q，P 四点共圆，
所以 ∠HMQ=∠HPQ=22.5∘，
同理 ∠QNG=22.5∘，
所以 ∠HMQ=∠QNG，
在 △MHQ 和 △NGQ 中，
∠HMQ=∠QNG,∠MQH=∠NQG,QH=QG,
所以 △MHQ≌△NGQAAS，
所以 QM=QN，
因为 QM⊥BP，QN⊥BC，
所以 BQ 平分 ∠ABC，
所以点 Q 恒在射线 BD 上．