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2015-2016学年深圳市南山区学府中学八下期中数学试卷
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这是一份2015-2016学年深圳市南山区学府中学八下期中数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 若 aA. a+22−bD. 3a<3b
2. 下列图案中中心对称图形有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个
3. 如图，△ABC 中，AB=AC=10，BC=8，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D，点 E 为 AC 的中点，连接 DE，则 △CDE 的周长为
A. 20B. 12C. 14D. 13
4. 把直线 y=−x+1 沿 y 轴向上平移一个单位，得到新直线的关系式是
A. y=−xB. y=−x+2C. y=−x−2D. y=−2x
5. 一个多边形的内角和是外角和的 3 倍，则这个多边形是
A. 六边形B. 七边形C. 八边形D. 九边形
6. 如图，点 A，B，C，D，O 都在方格纸的格点上，若 △COD 是由 △AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为
A. 30∘B. 45∘C. 90∘D. 135∘
7. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=6，AD=9，∠BAD 的平分线交 DC 的延长线于点 E，CE 的长为
A. 2B. 3C. 4D. 2.5
8. 下列命题中，正确的是
A. 有一组邻边相等的四边形是菱形
B. 对角线互相平分且垂直的四边形是矩形
C. 两组邻角相等的四边形是平行四边形
D. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
9. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，CE∥BD，DE∥AC，若 AC=4，则四边形 CODE 的周长为
A. 4B. 6C. 8D. 10
10. 学校建围栏，要为 24000 根栏杆油漆，由于改进了技术，每天比原计划多油 400 根，结果提前两天完成了任务，请问原计划每天油多少根栏杆?如果设原计划每天油 x 根栏杆，根据题意列方程为
A. 24000x=24000x−400+2B. 24000x=24000x−400−2
C. 24000x=24000x+400−2D. 24000x=24000x+400+2
11. 如图，在菱形 ABCD 中，AB=10，对角线 AC=12．若过点 A 作 AE⊥CD，垂足为 E，则 AE 的长为
A. 9B. 245C. 485D. 9.5
12. 如图，正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中，点 D 在 CG 上，BC=1，CE=3，H 是 AF 的中点，那么 CH 的长是
A. 2.5B. 5C. 322D. 2
二、填空题（共4小题；共20分）
13. 分解因式：12a3−2a= ．
14. 当 x=1 时，分式 x+2mx−n 无意义；当 x=4 时分式的值为 0，则 m+n2012 的值是 ．
15. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，∠A=36∘，AB 的垂直平分线交 AC 于点 E，垂足为点 D，连接 BE，则 ∠EBC 的度数为 ．
16. 如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠A=60∘，M 是 AD 边的中点，N 是 AB 边上的一动点，将 △AMN 沿 MN 所在直线翻折得到 △AʹMN，连接 AʹC，则 AʹC 长度的最小值是 ．
三、解答题（共7小题；共91分）
17. 解不等式组：x+3>1−x,x2−16
18. 解方程：12x2−9−2x−3=1x+3．
19. 先化简，再求值：x2+4x+4x−1÷x2−4x−1−xx−2，其中 x=3+2．
20. 兴发服装店老板用 4500 元购进一批某款 T 恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用 4950 元购进第二批该款式 T 恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了 9 元．
（1）第一批该款式 T 恤衫每件进价是多少元?
（2）老板以每件 120 元的价格销售该款式 T 恤衫，当第二批 T 恤衫售出 45 时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于 650 元，剩余的 T 恤衫每件售价至少要多少元?（ 利润 = 售价 − 进价 ）
21. 如图，已知菱形 ABCD，AB=AC，E，F 分别是 BC，AD 的中点，连接 AE，CF．
（1）证明：四边形 AECF 是矩形；
（2）若 AB=8，求菱形的面积．
22. 如图，四边形 ABCD 中，∠A=∠ABC=90∘，AD=1，BC=3，E 是边 CD 的中点，连接 BE 并延长与 AD 的延长线相交于点 F．
（1）求证：四边形 BDFC 是平行四边形；
（2）若 △BCD 是等腰三角形，求四边形 BDFC 的面积．
23. 如图 1，已知点 E 在正方形 ABCD 的边 BC 上，若 ∠AEF=90∘，且 EF 交正方形外角的平分线 CF 于点 F．
（1）图 1 中若点 E 是边 BC 的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明 AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；
（2）如图 2，若点 E 在线段 BC 上滑动（不与点 B，C 重合）．
① AE=EF 是否总成立?请给出证明；
②在图 2 的 AB 边上是否存在一点 M，使得四边形 DMEF 是平行四边形?若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. B
2. C
3. C【解析】∵△ABC 是等腰三角形，AD 平分 ∠BAC ，
∴CD=BD=4．
又点 E 为 AC 的中点，
∴CE=AE=5 .
∴DE 是 △ABC 的中位线.
∴DE=12AB=5 .
∴△CDE 的周长 =CD+CE+DE=4+5+5=14．
4. B
5. C
6. C
7. B
8. D
9. C
10. D
11. C
12. B【解析】提示：延长 AD 交 EF 于 M 点，连接 AC，CF .
则 ∠ACF=90∘ .
∵AF=25，H 为 AF 中点，
∴CH=5 .
第二部分
13. 12aa−2a+2
14. 1
15. 36∘
【解析】∵DE 是 AB 的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=36∘，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72∘，
∴∠EBC=∠ABC−∠ABE=36∘．
16. 7−1
第三部分
17.
x+3>1−x, ⋯⋯①x2−16 解不等式 ① 得：
x>−1,
解不等式 ② 得：
x<1,∴
不等式组的解集为 −118. 去分母，得
12−2x+3=x−3.
12−2x−6=x−3.
−3x=−9.
x=3.
经检验，x=3 是原方程的增根，舍去．
∴ 原方程组无解．
19. 原式=x+22x−1⋅x−1x+2x−2−xx−2=x+2−xx−2=2x−2.
当 x=3+2 时，原式=233．
20. （1） 设第一批 T 恤衫每件进价是 x 元，
由题意，得
4500x=4950x+9.
解得
x=90.
经检验 x=90 是分式方程的解，且符合题意．
答：第一批 T 恤衫每件的进价是 90 元．
（2） 设剩余的 T 恤衫每件售价 y 元．
由（1）知，第二批购进 495099=50（件）．
由题意，得
120×50×45+y×50×15−4950≥650.
解得
y≥80.
答：剩余的 T 恤衫每件售价至少要 80 元．
21. （1） ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AB=BC，
又 ∵AB=AC，
∴△ABC 是等边三角形，
∵E 是 BC 的中点，
∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一），
∴∠1=90∘，
∵E，F 分别是 BC，AD 的中点，
∴AF=12AD，EC=12BC，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AD∥BC 且 AD=BC，
∴AF∥EC 且 AF=EC，
∴ 四边形 AECF 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
又 ∵∠1=90∘，
∴ 四边形 AECF 是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
（2） 在 Rt△ABE 中，AE=82−42=43，
∴S菱形ABCD=8×43=323．
22. （1） ∵ ∠A=∠ABC=90∘，
∴ ∠A+∠ABC=180∘．
∴ AF∥BC，
∴ ∠BCE=∠FDE，
又 ∵ E 是边 CD 的中点，
∴ CE=DE．
在 △BCE 和 △FDE 中，
∠BCE=∠FDE,CE=DE,∠BEC=∠FED,
∴ △BCE≌△FDEASA．
∴ BC=FD．
∴ 四边形 BDFC 是平行四边形．
（2） 62 或 35．
23. （1） 如图 1，取 AB 的中点 G，连接 EG，
△AGE 与 △ECF 全等．
（2） ①若点 E 在线段 BC 上滑动时，AE=EF 总成立．
证明：如图 2，在 AB 上截取 AH=EC，连接 EH，
∵ AB=BC，
∴ BH=BE，
∴ △HBE 是等腰直角三角形，
∴ ∠AHE=180∘−45∘=135∘，
又 ∵ CF 平分正方形的外角，
∴ ∠DCF=45∘，
∴ ∠ECF=135∘，
∴ ∠AHE=∠ECF．
而 ∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90∘，
∴ ∠BAE=∠CEF，
在 △AHE 和 △ECF 中，
∠AHE=∠ECF,AH=EC,∠HAE=∠CEF,
∴ △AHE≌△ECF，
∴ AE=EF．
②存在，如图 3，过 D 作 DM⊥AE 交 AB 于点 M，
则有：DM∥EF，连接 ME，DF，
∵ ∠ADM 与 ∠BAE 都是 ∠DAE 的余角，
∴ ∠ADM=∠BAE，
在 △ADM 与 △BAE 中，
∠ADM=∠BAE,∠MAD=∠EBA,AD=BA,
∴ △ADM≌△BAEAAS，
∴ MD=AE，
∵ AE=EF，
∴ MD=EF，
∵ MD∥EF，
∴ 四边形 DMEF 为平行四边形．
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 若 a
2. 下列图案中中心对称图形有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个
3. 如图，△ABC 中，AB=AC=10，BC=8，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D，点 E 为 AC 的中点，连接 DE，则 △CDE 的周长为
A. 20B. 12C. 14D. 13
4. 把直线 y=−x+1 沿 y 轴向上平移一个单位，得到新直线的关系式是
A. y=−xB. y=−x+2C. y=−x−2D. y=−2x
5. 一个多边形的内角和是外角和的 3 倍，则这个多边形是
A. 六边形B. 七边形C. 八边形D. 九边形
6. 如图，点 A，B，C，D，O 都在方格纸的格点上，若 △COD 是由 △AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为
A. 30∘B. 45∘C. 90∘D. 135∘
7. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=6，AD=9，∠BAD 的平分线交 DC 的延长线于点 E，CE 的长为
A. 2B. 3C. 4D. 2.5
8. 下列命题中，正确的是
A. 有一组邻边相等的四边形是菱形
B. 对角线互相平分且垂直的四边形是矩形
C. 两组邻角相等的四边形是平行四边形
D. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
9. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，CE∥BD，DE∥AC，若 AC=4，则四边形 CODE 的周长为
A. 4B. 6C. 8D. 10
10. 学校建围栏，要为 24000 根栏杆油漆，由于改进了技术，每天比原计划多油 400 根，结果提前两天完成了任务，请问原计划每天油多少根栏杆?如果设原计划每天油 x 根栏杆，根据题意列方程为
A. 24000x=24000x−400+2B. 24000x=24000x−400−2
C. 24000x=24000x+400−2D. 24000x=24000x+400+2
11. 如图，在菱形 ABCD 中，AB=10，对角线 AC=12．若过点 A 作 AE⊥CD，垂足为 E，则 AE 的长为
A. 9B. 245C. 485D. 9.5
12. 如图，正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中，点 D 在 CG 上，BC=1，CE=3，H 是 AF 的中点，那么 CH 的长是
A. 2.5B. 5C. 322D. 2
二、填空题（共4小题；共20分）
13. 分解因式：12a3−2a= ．
14. 当 x=1 时，分式 x+2mx−n 无意义；当 x=4 时分式的值为 0，则 m+n2012 的值是 ．
15. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，∠A=36∘，AB 的垂直平分线交 AC 于点 E，垂足为点 D，连接 BE，则 ∠EBC 的度数为 ．
16. 如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠A=60∘，M 是 AD 边的中点，N 是 AB 边上的一动点，将 △AMN 沿 MN 所在直线翻折得到 △AʹMN，连接 AʹC，则 AʹC 长度的最小值是 ．
三、解答题（共7小题；共91分）
17. 解不等式组：x+3>1−x,x2−16
18. 解方程：12x2−9−2x−3=1x+3．
19. 先化简，再求值：x2+4x+4x−1÷x2−4x−1−xx−2，其中 x=3+2．
20. 兴发服装店老板用 4500 元购进一批某款 T 恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用 4950 元购进第二批该款式 T 恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了 9 元．
（1）第一批该款式 T 恤衫每件进价是多少元?
（2）老板以每件 120 元的价格销售该款式 T 恤衫，当第二批 T 恤衫售出 45 时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于 650 元，剩余的 T 恤衫每件售价至少要多少元?（ 利润 = 售价 − 进价 ）
21. 如图，已知菱形 ABCD，AB=AC，E，F 分别是 BC，AD 的中点，连接 AE，CF．
（1）证明：四边形 AECF 是矩形；
（2）若 AB=8，求菱形的面积．
22. 如图，四边形 ABCD 中，∠A=∠ABC=90∘，AD=1，BC=3，E 是边 CD 的中点，连接 BE 并延长与 AD 的延长线相交于点 F．
（1）求证：四边形 BDFC 是平行四边形；
（2）若 △BCD 是等腰三角形，求四边形 BDFC 的面积．
23. 如图 1，已知点 E 在正方形 ABCD 的边 BC 上，若 ∠AEF=90∘，且 EF 交正方形外角的平分线 CF 于点 F．
（1）图 1 中若点 E 是边 BC 的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明 AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；
（2）如图 2，若点 E 在线段 BC 上滑动（不与点 B，C 重合）．
① AE=EF 是否总成立?请给出证明；
②在图 2 的 AB 边上是否存在一点 M，使得四边形 DMEF 是平行四边形?若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. B
2. C
3. C【解析】∵△ABC 是等腰三角形，AD 平分 ∠BAC ，
∴CD=BD=4．
又点 E 为 AC 的中点，
∴CE=AE=5 .
∴DE 是 △ABC 的中位线.
∴DE=12AB=5 .
∴△CDE 的周长 =CD+CE+DE=4+5+5=14．
4. B
5. C
6. C
7. B
8. D
9. C
10. D
11. C
12. B【解析】提示：延长 AD 交 EF 于 M 点，连接 AC，CF .
则 ∠ACF=90∘ .
∵AF=25，H 为 AF 中点，
∴CH=5 .
第二部分
13. 12aa−2a+2
14. 1
15. 36∘
【解析】∵DE 是 AB 的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=36∘，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72∘，
∴∠EBC=∠ABC−∠ABE=36∘．
16. 7−1
第三部分
17.
x+3>1−x, ⋯⋯①x2−16
x>−1,
解不等式 ② 得：
x<1,∴
不等式组的解集为 −1
12−2x+3=x−3.
12−2x−6=x−3.
−3x=−9.
x=3.
经检验，x=3 是原方程的增根，舍去．
∴ 原方程组无解．
19. 原式=x+22x−1⋅x−1x+2x−2−xx−2=x+2−xx−2=2x−2.
当 x=3+2 时，原式=233．
20. （1） 设第一批 T 恤衫每件进价是 x 元，
由题意，得
4500x=4950x+9.
解得
x=90.
经检验 x=90 是分式方程的解，且符合题意．
答：第一批 T 恤衫每件的进价是 90 元．
（2） 设剩余的 T 恤衫每件售价 y 元．
由（1）知，第二批购进 495099=50（件）．
由题意，得
120×50×45+y×50×15−4950≥650.
解得
y≥80.
答：剩余的 T 恤衫每件售价至少要 80 元．
21. （1） ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AB=BC，
又 ∵AB=AC，
∴△ABC 是等边三角形，
∵E 是 BC 的中点，
∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一），
∴∠1=90∘，
∵E，F 分别是 BC，AD 的中点，
∴AF=12AD，EC=12BC，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AD∥BC 且 AD=BC，
∴AF∥EC 且 AF=EC，
∴ 四边形 AECF 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
又 ∵∠1=90∘，
∴ 四边形 AECF 是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
（2） 在 Rt△ABE 中，AE=82−42=43，
∴S菱形ABCD=8×43=323．
22. （1） ∵ ∠A=∠ABC=90∘，
∴ ∠A+∠ABC=180∘．
∴ AF∥BC，
∴ ∠BCE=∠FDE，
又 ∵ E 是边 CD 的中点，
∴ CE=DE．
在 △BCE 和 △FDE 中，
∠BCE=∠FDE,CE=DE,∠BEC=∠FED,
∴ △BCE≌△FDEASA．
∴ BC=FD．
∴ 四边形 BDFC 是平行四边形．
（2） 62 或 35．
23. （1） 如图 1，取 AB 的中点 G，连接 EG，
△AGE 与 △ECF 全等．
（2） ①若点 E 在线段 BC 上滑动时，AE=EF 总成立．
证明：如图 2，在 AB 上截取 AH=EC，连接 EH，
∵ AB=BC，
∴ BH=BE，
∴ △HBE 是等腰直角三角形，
∴ ∠AHE=180∘−45∘=135∘，
又 ∵ CF 平分正方形的外角，
∴ ∠DCF=45∘，
∴ ∠ECF=135∘，
∴ ∠AHE=∠ECF．
而 ∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90∘，
∴ ∠BAE=∠CEF，
在 △AHE 和 △ECF 中，
∠AHE=∠ECF,AH=EC,∠HAE=∠CEF,
∴ △AHE≌△ECF，
∴ AE=EF．
②存在，如图 3，过 D 作 DM⊥AE 交 AB 于点 M，
则有：DM∥EF，连接 ME，DF，
∵ ∠ADM 与 ∠BAE 都是 ∠DAE 的余角，
∴ ∠ADM=∠BAE，
在 △ADM 与 △BAE 中，
∠ADM=∠BAE,∠MAD=∠EBA,AD=BA,
∴ △ADM≌△BAEAAS，
∴ MD=AE，
∵ AE=EF，
∴ MD=EF，
∵ MD∥EF，
∴ 四边形 DMEF 为平行四边形．
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