2015-2016学年深圳市锦华实验学校九下期中数学试卷

这是一份2015-2016学年深圳市锦华实验学校九下期中数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. −4 的绝对值是
A. 4B. −4C. 2D. ±4

2. 历时4天的第八届中国（深圳）国际文化产业博览会 5 月 21 日下午闭幕，截至 5月 21日 12 时，本届文博会总成交额达 1432.90 亿元．数据 1432.90 亿元用科学记数法表示为
A. 1.4329×105 亿元B. 1.4329×104 亿元
C. 1.4329×103 亿元D. 0.14329×104 亿元

3. 如图，是由三个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的俯视图是
A. B.
C. D.

4. 下列运算中正确的是
A. 2a−3a=−1B. 2a⋅3a=6aC. 2a3=6a3D. 2a4÷a2=2a2

5. 下列图是世界一些国家的国旗图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

6. 下列说法正确是
A. 选举中，人们通常最关心的是众数
B. 若甲组数据的方差 S甲2=0.3，乙组数据的方差 S乙2=0.1，则甲组数据比乙组数据更稳定
C. 数据 3，2，5，2，6 的中位数是 5
D. 某游艺活动抽奖的中奖率为 16，则参加 6 次抽奖，一定有 1 次能获奖

7. 如图，已知 AB 是 ⊙O 的直径，C 是 ⊙O 上的点，sinA=14，BC=1，则 ⊙O 的半径等于
A. 4B. 3C. 2D. 15

8. 如图，已知四边形 ABCD 是菱形，过顶点 D 作 DE⊥AD，交对角线 AC 于点 E，若 ∠DAE=20∘，则 ∠CDE 的度数是
A. 70∘B. 60∘C. 50∘D. 40∘

9. 将函数 y=−x2+2 的图象向右平移 3 个单位后再向上平移 1 个单位，得到的图象的函数表达式是
A. y=−x−32+3B. y=−x+32+3
C. y=−x+32+1D. y=−x−32+1

10. 某市为治理污水，需要铺设一段全长为 2000 米的污水排放管道，为了尽量减少施工对市民生活的影响，实际施工时每天比原计划多铺设 50 米，结果比原计划提前两天完成任务．如果设实际每天铺设管道 x 米，那么可列方程为
A. 2000x−2000x+50=2B. 2000x+50−2000x=2
C. 2000x−2000x−50=2D. 2000x−50−2000x=2

11. 如图，已知直线 y=−x+4 与两坐标轴分别相交于点 A，B 两点，点 C 是线段 AB 上任意一点，过 C 分别作 CD⊥x 轴于点 D，CE⊥y 轴于点 E．双曲线 y=kx 与 CD，CE 分别交于点 P，Q 两点，若四边形 ODCE 为正方形，且 S△OPQ=32，则 k 的值是
A. 4B. 2C. 32D. 53

12. 如图，已知直线 l 的函数表达式为 y=x，点 A1 的坐标为 1,0，以 O 为圆心、 OA1 为半径画弧，与直线 l 交于点 C1，记弧 A1C1 的长为 m1；过点 A1 作 A1B1⊥x 轴，交直线 l 于点 B1，以 O 为圆心、 OB1 为半径画弧，交 x 轴于点 C2，记弧 B1C2 的长为 m2；过点 B1 作 B1A2⊥l，交 x 轴于点 A2，以 O 为圆心，OA2 为半径画弧，交直线 l 于点 C3，记弧 A2C3 的长为 m3；⋯；按此规律作下去，则 mn 的值是
A. π82n−1B. π82nC. π42n−1D. π42n

二、填空题（共4小题；共20分）
13. 计算 x2+2xx2−4 的结果是 ．

14. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，妈妈买了 2 个红豆粽，2 只肉粽，粽子除了内部馅料不同外其他均相同，小颖随意吃了两个，则她吃到一只红豆粽、一只肉粽的概率是 ．

15. 如图，一艘轮船以 20 海里/小时速度从南向北航行，当航行至 A 处时，测得小岛 C 在轮船的北偏东 45 度的方向处，航行一段时间后到达 B 处，此时测得小岛 C 在轮船的南偏东 60 度的方向处．若 CB=40 海里，则轮船航行的时间为 ．

16. 如图，已知一次函数 y=−x+32 的图象与坐标轴分别交于点 A，B 两点，⊙O 的半径为 1，P 是线段 AB 上的一个点，过点 P 作 ⊙O 的切线 PQ，切点为 Q，则 PQ 的最小值为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 计算：2−1−2013+π0+3−8−12tan45∘．

18. 解分式方程：x2x−1−11−2x=1．

19. 如图，直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠ADC=90∘，AB=AC，过点 B 作 BE⊥AC 于点 E．
（1）求证：△ADC≌△BEA；
（2）若 AD=4，CD=3，求 BC 的长．

20. 2013年5月23日起，我市将对行人闯红灯分三档进行处罚，九年级数学研究学习小组在某十字路口随机调查部分市民对该法规的了解情况，统计结果后绘制了如图的三副不完整的统计图，请结合图中相关数据回答下列问题．
得分A50（1）本次共调查的人数为 ；
（2）补全频数分布图；
（3）在扇形统计图中，“B”所在的扇形的圆心角的度数为 ；
（4）若在这一周里，该路口共有 2000 人通过，则可估计得分在 80 以上的人数大约为 ．

21. 某中学为丰富学生的校园生活，准备从友谊体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同、每个篮球的价格相同），若购买 3 个篮球和 2 个足球共需 420 元；购买 2 个篮球和 4 个足球共需 440 元．
（1）购买一个篮球、一个足球各需多少元?
（2）根据该中学的实际情况，需要从该体育用品商店一次性购买足球和篮球共 20 个．要求购买篮球数不少于足球数的 2 倍，总费用不超过 1840 元，那么这所中学有哪几种购买方案?哪种方案所需费用最少?

22. 已知矩形 OABC 中，OA=3，AB=6，以 OA，OC 所在的直线为坐标轴，建立如图 1 的平面直角坐标系．将矩形 OABC 绕点 O 顺时针方向旋转，得到矩形 ODEF，当点 B 在直线 DE 上时，设直线 DE 和 x 轴交于点 P，与 y 轴交于点 Q．
（1）求证：△BCQ≌△ODQ；
（2）求点 P 的坐标；
（3）若将矩形 OABC 向右平移（图2）
得到矩形 ABCG，设矩形 ABCG 与矩形 ODEF 重叠部分的面积为 S，OG=x，请直接写出 x≤3 时，S 与 x 之间的函数关系式，并且写出自变量 x 的取值范围．

23. 如图，已知抛物线 y=ax2−2ax−3a a<0 与 x 轴交于 A，B 两点，点 A 在点 B 的左边，与 y 轴交于点 C，顶点为 D，若以 BD 为直径的 ⊙M 经过点 C．
（1）请直接写出 C，D 两点的坐标（用含 a 的代数式表示）；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）在抛物线上是否存在点 E，使 ∠EDB=∠CBD?若存在，请求出所有满足条件的点 E 的坐标；若不存在，请说明理由；
答案
第一部分
1. A
2. C
3. D
4. D
5. B
6. A
7. C
8. C
9. A
10. D
11. B【解析】四边形 ODCE 为正方形，则 OC 是第一象限的角平分线.
则解析式是 y=x，
根据题意得：y=x,y=−x+4,
解得：x=2,y=2,
则 C 的坐标是 2,2，
设 Q 的坐标是 2,a，
则 DQ=EP=a，PC=CQ=2−a，
正方形 ODCE 的面积是：4，
S△ODQ=12×2⋅a=a，
同理 S△OPE=a，S△CPQ=122−a2，
则 4−a−a−122−a2=32，
解得：a=1 或 −1（舍去），
则 Q 的坐标是 2,1，
把 2,1 代入 y=kx 得：k=2．
12. C
第二部分
13. xx−2
【解析】x2+2xx2−4=xx+2x+2x−2=xx−2．
14. 23
【解析】画树状图得：
因为共有 12 种等可能的结果，她吃到一只红豆粽、一只肉粽的有 8 种情况，
所以她吃到一只红豆粽、一只肉粽的概率是：812=23．
15. 1+3 小时
【解析】如图，作 CD⊥AB 于点 D，
根据题意得：∠A=45∘，∠B=60∘，
在 Rt△BDC 中，
∵BC=40，
∴BD=20 海里，CD=203 海里，
在 Rt△ADC 中，
∵∠A=45∘，
∴CD=AD=203，
∴AB=BD+AD=20+203 海里，
∵ 轮船的航行速度为 20 海里/小时，
∴ 航行时间为 20+203÷20=1+3 小时．
16. 22
【解析】连接 OP，OQ．
∵PQ 是 ⊙O 的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知 PQ2=OP2−OQ2，
∵ 当 PO⊥AB 时，线段 PQ 最短；
∵ 一次函数 y=−x+32，
当 x=0 时，y=32，
∴A0,32，当 y=0 时，x=32，
∴B32,0，
∴OA=OB=32，
∴AB=OA2+OB2=6，
∴OP=12AB=3，
∴PQ=OP2−OQ2=22．
第三部分
17. 原式= 12−1−2−12×1=−3．
18. 去分母得：x+1=2x−1，
移项合并得：x=2，
经检验 x=2 是分式方程的解．
19. （1） 因为 BE⊥AC，
所以 ∠AEB=90∘，
因为 AB∥CD，
所以 ∠DCA=∠BAE，
在 △ADC 和 △BEA 中，
∠D=∠AEB,∠DCA=∠BAE,AC=BA,
所以 △ADC≌△BEAAAS．
（2） 因为 △ADC≌△BEA，
所以 AD=BE=4，AE=CD=3，
在 Rt△ADC 中：
AC=AD2+CD2=5，
所以 CE=5−3=2，
在 Rt△CEB 中：
BC=CE2+BE2=4+16=25．
20. （1） 200
【解析】观察两种统计图知：C组的频数为 60，其扇形的圆心角为 108∘，
所以调查的人数为：60÷108360=200（人）；
（2） D组的人数为 200−10−20−60−20=90，
统计图为：
（3） 36∘
【解析】“B”所在的扇形的圆心角的度数为 20200×360∘=36∘；
（4） 1100
【解析】路口共有 2000 人通过，则可估计得分在 80 以上的人数大约为 90+20200×2000=1100 人．
21. （1） 设每个篮球 x 元，每个足球 y 元，由题意，得：
3x+2y=420,2x+4y=440,
解得：
x=100,y=60.
答：购买一个篮球需要 100 元，一个足球需要 60 元．
（2） 设购买篮球 y 个，则购买足球 20−y 个.
由题意，得：
y≥220−y,100y+6020−y≤1840,
解得：
403≤y≤16.∵
y 为整数，
∴ 有 3 种方案：
①购买篮球 14 个，足球 6 个；
②购篮球 15 个，足球 5 个；
③购买篮球 16 个，足球 4 个．
∵ 篮球较贵一些，
∴ 方案①所需费用最低．
22. （1） ∵ 四边形 OABC 和四边形 ODEF 是矩形，
∴ ∠BCQ=∠ODE=∠ODQ=90∘，BC=OD=3，
∵ 在 △BCQ 和 △ODQ 中
∠BCQ=∠ODQ,∠CQB=∠DQO,BC=OD,
∴ △BCQ≌△ODQAAS；
（2） ∵ △BCQ≌△ODQ，
∴ CQ=DQ，
在 Rt△ODQ 中，∠ODQ=90∘，OD=3，由勾股定理得：OQ2=OD2+DQ2，
则 OQ2=6−OQ2+32，
解得：OQ=154，DQ=94，
即 Q 的坐标是 0,154，
∵ 矩形 ABCO 的边 AB=6，OA=3，
∴ B 的坐标是 −3,6，
设直线 BD 的解析式是 y=kx+154，
把 B 的坐标代入得：k=−34，
即直线 BD 的解析式是 y=−34x+154，
把 y=0 代入得：−34x+154=0，
解得：x=5，
即 P 的坐标是 5,0 ；
（3） 过 D 作 DM⊥OP 于 M，如答图 1，
∵ ∠DMO=∠ODQ=90∘，OQ∥DM，
∴ ∠QOD=∠MDO，
∴ △QDO∽△OMD ，
∴ OQOD=QDOM=ODDM，
∴ 1543=94OM=3DM，
即得：OM=95，DM=125，
设 OG=x，x≤3，
分为两种情况：①如答图 2，
当 0≤x≤95 时，
∵ DM=125，OM=95，OG=x，CG∥DM，
∴ △ONG∽△ODM，
∴ 12595=NGx，
NG=43x，
∴ S=12×OG×GN=12⋅x⋅43x，
S=23x2 .
②如图 3，
当 95在 Rt△ODP 中，由勾股定理得：PD=52−32=4，
∵ DM=125，OM=95，
∴ PM=5−95=165，
∵ OG=x，CG∥DM，
∴ △PGN∽△PMD，
∴ 125165=NG5−x，
∴ NG=345−x，
∴ S=S△ADP−S△PGN=12×3×4−12⋅5−x⋅345−x，S=−38x2+154x−278，
即 S 和 x 的函数关系式是 S=23x20≤x≤95 和 S=−38x2+154x−2789523. （1） 因为将 x=0 代入抛物线的解析式得 y=−3a，
所以点 C 的坐标是 0,−3a．
因为 x=−b2a=2a2a=1，
所以点 D 的横坐标为 1．
因为将 x=1 代入抛物线的解析式得 y=a−2a−3a=−4a，
所以点 D 的坐标是 1,−4a．
（2） 令 y=0 得：ax2−2ax−3a=0，
因为 a≠0，故得 x1=−1，x2=3 ，
所以 A−1,0，B3,0．
如图 1 所示：过点 D 作 DN⊥y 轴于点 N，则 DN=1，CN=−4a−−3a=−a．
因为 BD 为 ⊙M 的直径，
所以 ∠BCD=90∘．
所以 ∠DCN+∠BCO=90∘．
因为 ∠CDN+∠DCN=90∘，
所以 ∠BCO=∠CDN，
因为 ∠BOC=∠DNC=90∘，
所以 △BOC∽△CND．
所以 OBCN=OCDN，即 3−a=−3a1，解得 a=±1（其中 a=1 舍去），
所以 a=−1．
所以所求抛物线为 y=−x2+2x+3．
（3） 存在．
因为 a=−1，
所以 D1,4．
因为设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，将 B3,0，C0,3 代入得：3k+b=0,b=3,
解得：k=−1，b=3，
所以直线 BC 为：y=−x+3．
如图 2 所示：过点 D 作 DE∥BC，交抛物线于点 E．
因为 DE∥BC，
所以 ∠EDB=∠CBD．
所以设直线 DE 为 y=−x+b，
因为把点 D1,4 代入得：4=−1+b，解得：b=5，
所以直线 DE 为：y=−x+5．
解方程组 y=−x+5,y=−x2+2x+3, 得：x1=1,y1=4, x2=2,y2=3.
因为 D1,4，
所以 E2,3．
如图 3 所示：作 ∠PDB=∠CBD，DP 交 BC 于点 P，交抛物线于点 E．
因为 ∠EDB=∠CBD，
所以 PD=PB．
又因为 MB=MD，
所以 PM⊥BD．
因为 B3,0，D1,4，
所以直线 BD 为 y=−2x+6，且 M2,2，
所以设直线 PM 为 y=12x+b2，
所以 2=1+b2，
所以 b2=1，
所以直线 PM 为：y=12x+1，
解方程组 y=12x+1,y=−x+3, 得：x=43,y=53,
所以 P43,53．
因为 D1,4，P43,53，
所以直线 PD 为：y=−7x+11．
解方程组 y=−7x+11,y=−x2+2x+3, 得：x1=1,y1=4, x2=8,y2=−45,
因为 D1,4，
所以 E8,−45．
综上所述，在抛物线上存在满足条件的点 E，点 E 的坐标为 E2,3 或 E8,−45．