还剩31页未读，
继续阅读
云南大学附属中学 一二一校区2021-2022学年九年级上学期期中数学【试卷+答案】
展开
这是一份云南大学附属中学 一二一校区2021-2022学年九年级上学期期中数学【试卷+答案】，共34页。试卷主要包含了选择题，四象限等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年云南大学附中一二一校区九年级（上）期中
数学试卷（附教师版答案详细解析）
一、选择题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共32分）
1．（4分）剪纸是我国最古老的民间艺术之一，有着悠久的历史，已经在某种意义上成为了中国文化的一种象征．剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．下列剪纸作品中，是中心对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．“明天下雨的概率为80%”，意味着明天有80%的时间下雨
B．经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯
C．“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会有1张中奖
D．小明前几次的数学测试成绩都在90分以上这次数学测试成绩也一定在90分以上
3．（4分）对于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（ ）
A．它的图象在第二、四象限
B．在每个象限内y随x的增大而增大
C．若x＞1，则﹣3＜y＜0
D．若点A （﹣1，y1）和点B （3，y2） 在这个函数图象上，则y1＜y2
4．（4分）2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，据有关部门统计，2018年末我国贫困人口还有1660万人，此后逐年下降，截至到2020年末我国贫困人口仅有551万人．若设贫困人口的年平均下降率为x，则可列方程为（ ）
A．551（1+x）2＝1660 B．1660（1﹣2x）＝551
C．1660（1﹣x%）2＝551 D．1660（1﹣x）2＝551
5．（4分）下列语句中不正确的有（ ）
①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤圆内接四边形的对角互补；⑥在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
6．（4分）如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是60cm，则这块扇形铁皮的半径是（ ）
A．40cm B．50cm C．60cm D．80cm
7．（4分）已知反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝cx+a和二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①2a+b＝0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a＝；⑤当△ABC是等腰三角形时，a的值有3个．其中正确的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）儿童节期间，游乐场里有一种游戏的规则是：在一个装有6个红球和若干白球（每个球除颜色外，其它都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得欢动世界通票一张，已知参加这种游戏的有300人，游乐场为此游戏发放欢动世界通票60张，请你通过计算估计袋中白球的数量是 个．
10．（3分）把二次函数y＝x2的图象先向左平移3个单位，向下平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为 ．
11．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
12．（3分）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b＝20mm，则边长a＝ mm．
13．（3分）如图，正比例函数y＝kx（k＞0）与反比例函数的图象相交于A，C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连接BC，则△ABC的面积为 ．
14．（3分）如图，已知A、B两点的坐标分别为（，0）、（0，2），P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP＝45°，则点P的坐标为 ．
二、解答题（本大题共9小题，满分0分）
15．解下列方程：
（1）3x2﹣6x﹣2＝0（自选方法）．
（2）5（x﹣2）2＝2（2﹣x）（因式分解法）．
16．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（5，2）、B（5，5）、C（1，1）均在格点上．
（1）画出△ABC向左平移5个单位后的图形△A1B1C1，则A1点的坐标为 ．
（2）画出△A1B1C1绕C1顺时针旋转90°后的图形△A2B2C1，则A2点的坐标为 ．
（3）在（2）的条件下，求△A1B1C1扫过的面积．
17．在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和1个白球，把它们充分搅匀．
（1）“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是 事件，“从中任意抽取1个球是黄球”是 事件；
（2）为了更好的迎接“《生物多样性公约》第15次缔约方大会”（简称“COPL5”），昆明的某校决定开展使昆明的城市形象大变化、大转身的“城市美容”演讲，学校要在甲、乙两名同学中选取一名同学作为主持人，制定如下规则：从盒子中同时抓两个球，若两球颜色相同，则选甲；若两球颜色不同，则选乙．你认为这个规则公平吗？请用列表法或画树状图的方法说明理由．
18．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（1，3），B（3，n）．
（1）直接写出m＝ ；n＝ ；
（2）请结合图象直接写出不等式kx+b＞的解集是 ；
（3）若点P为y轴上一点，△PAB的面积为4，求点P的坐标．
19．为应对新冠疫情，防止病毒传播，上级要求各校在开学前要对学校进行全方位消毒．某校按照要求对学生宿舍进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（毫克）与燃烧时间x（分）之间的关系如图所示（图象由线段OA与部分双曲线AB组成）．根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）求药物在燃烧释放过程中，y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）根据药物说明书要求，只有当空气中每立方米的含药量不低于4毫克时，对预防才有作用，且至少持续作用15分钟以上，才能完全消灭病毒，请问这次消毒是否彻底？
20．如图，⊙O与△ABC的BC边相切于点B，与AC、AB边分别交于点D、E，DE∥OC，EB是⊙O的直径．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径是，AD＝2，求CD的长．
21．专卖店卖某品牌文化衫，如果每件利润为30元（市场管理部门规定，该品牌文化衫每件利润不能超过50元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x元，每天售出y件．
（1）请写出y与x之间的函数表达式；（写出自变量x的范围）
（2）当x为多少时，超市每天销售这种品牌文化衫可获利润1932元？
（3）设超市每天销售这种文化衫可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？
22．（1）【学习心得】
小明同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝ °．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝27°，求∠BAC的数．
（3）【问题拓展】
如图3，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是 .
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标；
（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
2021-2022学年云南大学附中一二一校区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共32分）
1．（4分）剪纸是我国最古老的民间艺术之一，有着悠久的历史，已经在某种意义上成为了中国文化的一种象征．剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．下列剪纸作品中，是中心对称图形的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
2．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．“明天下雨的概率为80%”，意味着明天有80%的时间下雨
B．经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯
C．“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会有1张中奖
D．小明前几次的数学测试成绩都在90分以上这次数学测试成绩也一定在90分以上
【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．
【解答】解：A．明天下雨的概率为80%，只是说明明天下雨的可能性大，与时间无关，故本选项不符合题意；
B．经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，故本选项符合题意；
C．某彩票中奖概率是1%，买100张这种彩票中奖是随机事件，不一定会有1张中奖，故本选项不符合题意；
D．小明前几次的数学测试成绩都在90分以上这次数学测试成绩不一定在90分以上，故本选项不符合题意．
故选：B．
3．（4分）对于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（ ）
A．它的图象在第二、四象限
B．在每个象限内y随x的增大而增大
C．若x＞1，则﹣3＜y＜0
D．若点A （﹣1，y1）和点B （3，y2） 在这个函数图象上，则y1＜y2
【分析】直接利用反比例函数的性质结合图象上点的坐标特点分析得出答案．
【解答】解：A．y＝﹣，由﹣3＜0，则双曲线的两支分别位于第二、第四象限，故此选项不合题意；
B．y＝﹣，由﹣3＜0，则在每一象限内y随x的增大而增大，故此选项不合题意；
C．y＝﹣，若x＞1，则﹣3＜y＜0，故此选项不合题意；
D．y＝﹣，若点A （﹣1，y1）和点B （3，y2） 在这个函数图象上，则y1＞y2，故此选项符合题意；
故选：D．
4．（4分）2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，据有关部门统计，2018年末我国贫困人口还有1660万人，此后逐年下降，截至到2020年末我国贫困人口仅有551万人．若设贫困人口的年平均下降率为x，则可列方程为（ ）
A．551（1+x）2＝1660 B．1660（1﹣2x）＝551
C．1660（1﹣x%）2＝551 D．1660（1﹣x）2＝551
【分析】等量关系为：2018年贫困人口×（1﹣下降率）2＝2020年贫困人口，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设贫困人口的年平均下降率为x，，根据题意得：
1660（1﹣x）2＝551，
故选：D．
5．（4分）下列语句中不正确的有（ ）
①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤圆内接四边形的对角互补；⑥在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】根据垂径定理的推论、等弧的概念、轴对称图形、圆内接四边形的性质、圆周角定理判断即可．
【解答】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，本说法错误；
②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，本说法错误；
③能够完全重合的两条弧是等弧，本说法错误；
④圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，本说法错误；
⑤圆内接四边形的对角互补，本说法正确；
⑥在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等或互补，本说法错误；
故选：A．
6．（4分）如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是60cm，则这块扇形铁皮的半径是（ ）
A．40cm B．50cm C．60cm D．80cm
【分析】首先根据圆锥的底面直径求得圆锥的底面周长，然后根据底面周长等于展开扇形的弧长求得铁皮的半径即可．
【解答】解：∵圆锥的底面直径为60cm，
∴圆锥的底面周长为60πcm，
∴扇形的弧长为60πcm，
设扇形的半径为r，
则＝60π，
解得：r＝40cm，
故选：A．
7．（4分）已知反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝cx+a和二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据反比例函数的图象得出b＜0，逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系，抛物线与y轴的交点，即可得出a、b、c的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数的图象在二、四象限，
∴b＜0，
A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，
∴a＞0，b＜0，c＜0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，A错误；
B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，b＞0，
∴与b＜0矛盾，B错误；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，b＞0，
∴与b＜0矛盾，C错误；
D、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，
∴a＜0，b＜0，c＜0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，D正确．
故选：D．
8．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①2a+b＝0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a＝；⑤当△ABC是等腰三角形时，a的值有3个．其中正确的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），可知二次函数的对称轴为直线x＝＝1，即﹣＝1，可得2a与b的关系；将A、B两点代入可得c、b的关系；函数开口向上，x＝1时取得最小值，则m≠1，可判断③；根据图象AD＝BD，顶点坐标，判断④；由图象知BC≠AC，从而可以判断⑤．
【解答】解：①∵二次函数与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．
∴二次函数的对称轴为直线x＝＝1，即﹣＝1，
∴2a+b＝0．
故①正确；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．
∴a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0．
又∵b＝﹣2a．
∴3b＝﹣6a，a﹣（﹣2a）+c＝0．
∴3b＝﹣6a，2c＝﹣6a．
∴2c＝3b．
故②错误；
③∵抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1．
∴x＝1时，二次函数有最小值．
∴m≠1时，a+b+c＜am2+bm+c．
即a+b＜am2+bm．
故③正确；
④∵AD＝BD，AB＝4，△ABD是等腰直角三角形．
∴AD2+BD2＝42．
解得，AD2＝8．
设点D坐标为（1，y）．
则[1﹣（﹣1）]2+y2＝AD2．
解得y＝±2．
∵点D在x轴下方．
∴点D为（1，﹣2）．
∵二次函数的顶点D为（1，﹣2），过点A（﹣1，0）．
设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2．
∴0＝a（﹣1﹣1）2﹣2．
解得a＝．
故④正确；
⑤由图象可得，AC≠BC．
故△ABC是等腰三角形时，a的值有2个．（故⑤错误）
故①③④正确，②⑤错误．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）儿童节期间，游乐场里有一种游戏的规则是：在一个装有6个红球和若干白球（每个球除颜色外，其它都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得欢动世界通票一张，已知参加这种游戏的有300人，游乐场为此游戏发放欢动世界通票60张，请你通过计算估计袋中白球的数量是 24 个．
【分析】设袋中共有m个球，根据摸到红球的概率求出球的总个数，即可解答．
【解答】解：设袋中共有m个红球，则摸到红球的概率P（红球）＝，
∴≈．（5分）
解得m≈24，
故答案为：24．
10．（3分）把二次函数y＝x2的图象先向左平移3个单位，向下平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为 y＝（x+3）2﹣5 ．
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：把二次函数y＝x2的图象先向左平移3个单位，向下平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为y＝（x+3）2﹣5．
故答案为y＝（x+3）2﹣5．
11．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是 k≤4且k≠2 ．
【分析】因为一元二次方程有实数根，所以△≥0，得关于k的不等式，求解即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+4x+2＝0有实数根，
∴△≥0且k﹣2≠0，
即42﹣4（k﹣2）×2≥0且k﹣2≠0
解得k≤4且k≠2．
故答案为：k≤4且k≠2．
12．（3分）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b＝20mm，则边长a＝ mm．
【分析】如图，连接OC、OD，过O作OH⊥CD于H．解直角三角形求出CD即可．
【解答】解：如图，连接OC、OD，过O作OH⊥CD于H．
∵∠COD＝＝60°，OC＝OD，
∴△COD是等边三角形，
∴∠COH＝90°﹣60°＝30°，
∵OH⊥CD，
∴CH＝DH＝CD，OH＝b＝10（mm），
∴CH＝10×tan30°＝（mm），
∴a＝2CH＝（mm），
故答案为：．
13．（3分）如图，正比例函数y＝kx（k＞0）与反比例函数的图象相交于A，C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连接BC，则△ABC的面积为 1 ．
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，点A，C关于原点对称，则△ABC的面积为△AOB面积的2倍，即S＝|k|．
【解答】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，
即S＝|k|，
依题意有S△ABC＝2S△AOB＝2××|k|＝1．
故答案为：1．
14．（3分）如图，已知A、B两点的坐标分别为（，0）、（0，2），P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP＝45°，则点P的坐标为 （+1，+1）或（﹣1，1﹣） ．
【分析】过圆心C作CF平行于OA，过P作PE垂直于x轴，两线交于F，由A和B的坐标得出OA及OB的长，利用勾股定理求出AB的长，由∠AOP＝45°，得到三角形POE为等腰直角三角形，得到P的横纵坐标相等，设为（a，a），再由∠AOB＝90°，利用圆周角定理得到AB为直径，外接圆圆心即为直径AB的中点，设为C，求出C的坐标，可得出PC＝2，根据垂径定理求出EF的长，用PE﹣EF表示出PF，用P的横坐标减去C的横坐标，表示出CF，在直角三角形PCF中，利用勾股定理列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，进而确定出P的坐标．
【解答】解：∵OB＝2，OA＝2，
∴AB＝＝4，
∵∠AOP＝45°，
∴P点横纵坐标相等，可设为a，即P（a，a），
∵∠AOB＝90°，
∴AB是直径，
∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，坐标C（，1），
可得P点在圆上，P点到圆心的距离为圆的半径2，
过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F，
∴∠CFP＝90°，
∴PF＝a﹣1，CF＝a﹣，PC＝2，
∴在Rt△PCF中，利用勾股定理得：（a﹣）2+（a﹣1）2＝22，
舍去不合适的根，可得：a＝1+，
则P点坐标为（+1，+1）．
∵P与P′关于圆心（，1）对称，
∴P′（﹣1，1﹣）．
故答案为：（+1，+1）或（﹣1，1﹣）
二、解答题（本大题共9小题，满分0分）
15．解下列方程：
（1）3x2﹣6x﹣2＝0（自选方法）．
（2）5（x﹣2）2＝2（2﹣x）（因式分解法）．
【分析】（1）利用配方法求解可得；
（2）移项后利用因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）3x2﹣6x﹣2＝0，
x2﹣2x＝，
x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）5（x﹣2）2＝2（2﹣x），
5（x﹣2）2+2（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（5x﹣10+2）＝0，
∴x﹣2＝0或5x﹣8＝0，
∴x1＝2，x2＝．
16．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（5，2）、B（5，5）、C（1，1）均在格点上．
（1）画出△ABC向左平移5个单位后的图形△A1B1C1，则A1点的坐标为 （0，2） ．
（2）画出△A1B1C1绕C1顺时针旋转90°后的图形△A2B2C1，则A2点的坐标为 （﹣3，﹣3） ．
（3）在（2）的条件下，求△A1B1C1扫过的面积．
【分析】（1）根据平移的性质分别找出对应点连接即可，由图形可知点的坐标；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A1、B1的对应点A2、B2，连接即可，由图形可知点的坐标；
（3）△A1B1C1扫过的面积可以看成是扇形的面积与三角形的面积的和．
【解答】解：（1）如图所示，即为所求，
由图形可知，A1（0，2）；
（2）如图所示，即为所求，
由图形可知，A2（﹣3，﹣3）；
（3）∵BC＝＝4，
∴S＝＝8π+6．
17．在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和1个白球，把它们充分搅匀．
（1）“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是 必然 事件，“从中任意抽取1个球是黄球”是 不可能 事件；
（2）为了更好的迎接“《生物多样性公约》第15次缔约方大会”（简称“COPL5”），昆明的某校决定开展使昆明的城市形象大变化、大转身的“城市美容”演讲，学校要在甲、乙两名同学中选取一名同学作为主持人，制定如下规则：从盒子中同时抓两个球，若两球颜色相同，则选甲；若两球颜色不同，则选乙．你认为这个规则公平吗？请用列表法或画树状图的方法说明理由．
【分析】（1）直接利用必然事件以及不可能事件的定义分别求解即可得出答案；
（2）首先根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出两个球颜色相同的情况数和不同的情况数，再利用概率公式即可求出答案．
【解答】解：（1）∵不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和1个白球，
∴“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是必然事件；
“从中任意抽取1个球是黄球”是不可能事件；
故答案为：必然，不可能；
（2）根据题意画图如下：
一共有12种可能出现的结果，其中两个球是同色的有6种情况，
则甲获胜的概率是＝，乙获胜的概率是，
∵＝，
∴这个规则公平．
18．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（1，3），B（3，n）．
（1）直接写出m＝ 3 ；n＝ 1 ；
（2）请结合图象直接写出不等式kx+b＞的解集是 x＜0或1＜x＜3 ；
（3）若点P为y轴上一点，△PAB的面积为4，求点P的坐标．
【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式求出m的值，从而得出反比例函数解析式，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出n的值；
（2）根据图象即可求得；
（3）利用待定系数法求出一次函数解析式，根据直线解析式求出与y轴的交点C的坐标，然后根据三角形的面积公式S△PAB＝S△PBC﹣S△PAC＝4，列式进行计算即可求解．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过A（1，3），
∴3＝，则m＝3，
∴反比例函数的表达式为y＝，
又∵点B（3，n）在反比例函数y＝的图象上．
∴n＝1，
故答案为：3，1；
（2）∵A（1，3），B（3，1），
观察图象可知，不等式kx+b＞的解集为x＜0或1＜x＜3；
（3）∵一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，3）、B（3，1）两点．
∴，
解得，
∴一次函数的表达式为y＝﹣x+4；
设直线y＝﹣x+4与y轴交于点C，则C（0，4）．
∵S△PAB＝S△PBC﹣S△PAC＝PC•（3﹣1）＝4，
∴PC＝4，
∴P（0，0）或（0，8）．
19．为应对新冠疫情，防止病毒传播，上级要求各校在开学前要对学校进行全方位消毒．某校按照要求对学生宿舍进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（毫克）与燃烧时间x（分）之间的关系如图所示（图象由线段OA与部分双曲线AB组成）．根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）求药物在燃烧释放过程中，y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）根据药物说明书要求，只有当空气中每立方米的含药量不低于4毫克时，对预防才有作用，且至少持续作用15分钟以上，才能完全消灭病毒，请问这次消毒是否彻底？
【分析】（1）首先根据题意，药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；
（2）将y＝4分别代入求得的正比例函数和反比例函数求得的x值，然后作差与15比较即可得出此次消毒是否有效．
【解答】解：（1）设双曲线AB的解析式为y＝，
将（20，5）代入解析式得，k＝20×5＝100，
∴药物在燃烧释放过程中，双曲线AB的函数解析式为y＝，
将y＝8代入解析式得，8＝，
解得x＝12.5，
故A（12.5，8），
设线段OA的函数解析式为y＝nx，
将A（8，12.5）代入可得：8n＝12.5，
解得：n＝0.64，
∴药物在燃烧释放过程中，线段OA的函数解析式为y＝0.64 x（0≤x≤12.5），
综上，y＝；
（2）将y＝4代入y＝中，
可得：，
解得：x＝25，
将y＝4代入y＝0.64x中，
0.64x＝4，
解得：x＝6.25，
Q＝25﹣6.25＝18.75＞15，
∴这次消毒很彻底．
20．如图，⊙O与△ABC的BC边相切于点B，与AC、AB边分别交于点D、E，DE∥OC，EB是⊙O的直径．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径是，AD＝2，求CD的长．
【分析】（1）先根据切线的性质得∠ABC＝90°，再根据平行线的性质得到∠COB＝∠OED，∠COD＝∠ODE，接着证明△COD≌△COE，所以∠ODC＝∠OBC＝90°，然后利用切线的判定定理得到结论；
（2）先利用勾股定理得到OA＝，则AB＝4，再证明△AOD∽△ACB，则利用相似比可求出BC＝3，然后利用△COD≌△COE得到BC的长．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵BC为⊙O切线，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵DE∥OC，
∴∠COB＝∠OED，∠COD＝∠ODE，
∵OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE，
∴∠COB＝∠COD，
在△COD和△COE中，
，
∴△COD≌△COE（SAS），
∴∠ODC＝∠OBC＝90°，
∴OD⊥CD，
而OD为半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）在Rt△AOD中，OA＝＝＝，
∴AB＝OA+OB＝+＝4，
∵∠OAD＝∠CAB，∠ADO＝∠ABC，
∴△AOD∽△ACB，
∴＝，即＝，解得BC＝3，
∵△COD≌△COE，
∴CD＝CB＝3．
21．专卖店卖某品牌文化衫，如果每件利润为30元（市场管理部门规定，该品牌文化衫每件利润不能超过50元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x元，每天售出y件．
（1）请写出y与x之间的函数表达式；（写出自变量x的范围）
（2）当x为多少时，超市每天销售这种品牌文化衫可获利润1932元？
（3）设超市每天销售这种文化衫可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？
【分析】（1）根据“每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件”列函数关系式即可；
（2）根据题意“每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件，超市每天销售这种玩具可获利润1932元”即可得到结论；
（3）根据题意得到w＝﹣（x﹣35）2+2112.5，根据二次函数的性质得到当x＜35时，w随x的增大而增大，于是得到结论．
【解答】解：（1）根据题意得，y＝﹣x+50（0＜x≤20）；
（2）根据题意得，（30+x）（﹣x+50）＝1932，
解得：x1＝54，x2＝16，
∵每件利润不能超过50元，
∴x＝16，
答：当x为16时，超市每天销售这种玩具可获利润1932元；
（3）根据题意得，w＝（30+x）（﹣x+50）＝﹣x2+35x+1500＝﹣（x﹣35）2+2112.5，
∵a＝﹣＜0，
∴当x＜35时，w随x的增大而增大，
∴当x＝20时，w最大＝2000，
答：当x为20时w最大，最大值是2000元．
22．（1）【学习心得】
小明同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝ 45 °．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝27°，求∠BAC的数．
（3）【问题拓展】
如图3，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是 2﹣2 .
【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．
（2）由A、B、C、D共圆，得出∠BDC＝∠BAC，
（3）根据正方形的性质可得AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠3，然后求出∠AHB＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH＝AB＝2，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．
【解答】解：（1）如图1，
∵AB＝AC，AD＝AC，
∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上，
∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，
∴∠BDC＝∠BAC＝45°，
故答案是：45；
（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴点A、B、C、D共圆，
∴∠BDC＝∠BAC，
∵∠BDC＝27°，
∴∠BAC＝27°，
（3）如图3，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1＝∠2，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，
∴∠1+∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，
取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH＝AO＝AB＝2，
在Rt△AOD中，OD＝＝＝2，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值＝OD﹣OH＝2﹣2．
（解法二：可以理解为点H是在以AB为直径的半圆上运动，当O、H、D三点共线时，DH长度最小）．
故答案为：2﹣2．
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标；
（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】①将A，B点坐标代入抛物线解析式求出系数a，b的值，即可得解析式，
②数形结合思想找到PN和PM的数量关系，求PM最大值转化为求PN最大值问题，利用配方法求最值，
③分类讨论，应用一线三直角模型构造全等三角形，找到线段关系，从而出点坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）中，
得，
，
∴解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
故抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）当x＝0时，y＝3，
∴C（0，﹣3），
∵B（3，0），
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵PN∥y轴，
∴∠MNP＝45°，
∵PM⊥BC，
∴PM＝PN，则当PN最大时，PM也最大，
设BC的解析式为y＝mx+n，
∴，
解得，
∴BC解析式为y＝x﹣3，
设P（x，x2﹣2x﹣3），N（x，x﹣3），
∴PN＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，
当x＝时，PN最大，则PM＝PN＝×＝，
∴P（，），
故PM最大值为，P点坐标为（，﹣）；
（3）存在，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．
∵CEQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，
∴设Q（x，x2﹣2x﹣3），
①如图，过点E作x轴的垂线L，再分别过点C和点Q作垂线L的垂线，分别交于点M和点N，
∵∠CEQ＝90°，
∴∠QEM+∠CEN＝90°，
∵∠QEM+∠MQE＝90°，
∴∠EQM＝∠CEN，
∵∠CNE＝∠QME＝90°，EC＝EQ，
∴△EMQ≌△CNE（AAS），
∴CN＝EM＝x2﹣2x﹣3，MQ＝EN＝3，
∴|xQ|+NQ＝CM，﹣x+3＝x2﹣2x﹣3，
解得x＝﹣2，x＝3（舍去），
∴OE＝CM＝2+3＝5，E（﹣5，0），
②如图，过点E作x轴的垂线L，再分别过点C和点Q作垂线L的垂线，分别交于点M和点N，
同理：△EMC≌△QNE（AAS），
CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，
∴﹣x+x2﹣2x﹣3＝3，
解得x＝，x＝（舍去），
∴OE＝CM＝，E（，0），
③如图，点E和点O重合，点Q和点B重合，此时E（0，0），
④如图，过点E作x轴的垂线L，再分别过点C和点Q作垂线L的垂线，分别交于点M和点N，
同理：△EMC≌△QNE（AAS），
CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，
∴x+3＝x2﹣2x﹣3，
解得x＝，x＝（舍去），
∴OE＝CM＝，E（，0），
综上所述，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．
2021-2022学年云南大学附中一二一校区九年级（上）期中
数学试卷（附教师版答案详细解析）
一、选择题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共32分）
1．（4分）剪纸是我国最古老的民间艺术之一，有着悠久的历史，已经在某种意义上成为了中国文化的一种象征．剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．下列剪纸作品中，是中心对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．“明天下雨的概率为80%”，意味着明天有80%的时间下雨
B．经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯
C．“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会有1张中奖
D．小明前几次的数学测试成绩都在90分以上这次数学测试成绩也一定在90分以上
3．（4分）对于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（ ）
A．它的图象在第二、四象限
B．在每个象限内y随x的增大而增大
C．若x＞1，则﹣3＜y＜0
D．若点A （﹣1，y1）和点B （3，y2） 在这个函数图象上，则y1＜y2
4．（4分）2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，据有关部门统计，2018年末我国贫困人口还有1660万人，此后逐年下降，截至到2020年末我国贫困人口仅有551万人．若设贫困人口的年平均下降率为x，则可列方程为（ ）
A．551（1+x）2＝1660 B．1660（1﹣2x）＝551
C．1660（1﹣x%）2＝551 D．1660（1﹣x）2＝551
5．（4分）下列语句中不正确的有（ ）
①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤圆内接四边形的对角互补；⑥在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
6．（4分）如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是60cm，则这块扇形铁皮的半径是（ ）
A．40cm B．50cm C．60cm D．80cm
7．（4分）已知反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝cx+a和二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①2a+b＝0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a＝；⑤当△ABC是等腰三角形时，a的值有3个．其中正确的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）儿童节期间，游乐场里有一种游戏的规则是：在一个装有6个红球和若干白球（每个球除颜色外，其它都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得欢动世界通票一张，已知参加这种游戏的有300人，游乐场为此游戏发放欢动世界通票60张，请你通过计算估计袋中白球的数量是 个．
10．（3分）把二次函数y＝x2的图象先向左平移3个单位，向下平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为 ．
11．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
12．（3分）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b＝20mm，则边长a＝ mm．
13．（3分）如图，正比例函数y＝kx（k＞0）与反比例函数的图象相交于A，C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连接BC，则△ABC的面积为 ．
14．（3分）如图，已知A、B两点的坐标分别为（，0）、（0，2），P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP＝45°，则点P的坐标为 ．
二、解答题（本大题共9小题，满分0分）
15．解下列方程：
（1）3x2﹣6x﹣2＝0（自选方法）．
（2）5（x﹣2）2＝2（2﹣x）（因式分解法）．
16．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（5，2）、B（5，5）、C（1，1）均在格点上．
（1）画出△ABC向左平移5个单位后的图形△A1B1C1，则A1点的坐标为 ．
（2）画出△A1B1C1绕C1顺时针旋转90°后的图形△A2B2C1，则A2点的坐标为 ．
（3）在（2）的条件下，求△A1B1C1扫过的面积．
17．在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和1个白球，把它们充分搅匀．
（1）“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是 事件，“从中任意抽取1个球是黄球”是 事件；
（2）为了更好的迎接“《生物多样性公约》第15次缔约方大会”（简称“COPL5”），昆明的某校决定开展使昆明的城市形象大变化、大转身的“城市美容”演讲，学校要在甲、乙两名同学中选取一名同学作为主持人，制定如下规则：从盒子中同时抓两个球，若两球颜色相同，则选甲；若两球颜色不同，则选乙．你认为这个规则公平吗？请用列表法或画树状图的方法说明理由．
18．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（1，3），B（3，n）．
（1）直接写出m＝ ；n＝ ；
（2）请结合图象直接写出不等式kx+b＞的解集是 ；
（3）若点P为y轴上一点，△PAB的面积为4，求点P的坐标．
19．为应对新冠疫情，防止病毒传播，上级要求各校在开学前要对学校进行全方位消毒．某校按照要求对学生宿舍进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（毫克）与燃烧时间x（分）之间的关系如图所示（图象由线段OA与部分双曲线AB组成）．根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）求药物在燃烧释放过程中，y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）根据药物说明书要求，只有当空气中每立方米的含药量不低于4毫克时，对预防才有作用，且至少持续作用15分钟以上，才能完全消灭病毒，请问这次消毒是否彻底？
20．如图，⊙O与△ABC的BC边相切于点B，与AC、AB边分别交于点D、E，DE∥OC，EB是⊙O的直径．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径是，AD＝2，求CD的长．
21．专卖店卖某品牌文化衫，如果每件利润为30元（市场管理部门规定，该品牌文化衫每件利润不能超过50元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x元，每天售出y件．
（1）请写出y与x之间的函数表达式；（写出自变量x的范围）
（2）当x为多少时，超市每天销售这种品牌文化衫可获利润1932元？
（3）设超市每天销售这种文化衫可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？
22．（1）【学习心得】
小明同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝ °．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝27°，求∠BAC的数．
（3）【问题拓展】
如图3，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是 .
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标；
（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
2021-2022学年云南大学附中一二一校区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共32分）
1．（4分）剪纸是我国最古老的民间艺术之一，有着悠久的历史，已经在某种意义上成为了中国文化的一种象征．剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．下列剪纸作品中，是中心对称图形的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
2．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．“明天下雨的概率为80%”，意味着明天有80%的时间下雨
B．经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯
C．“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会有1张中奖
D．小明前几次的数学测试成绩都在90分以上这次数学测试成绩也一定在90分以上
【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．
【解答】解：A．明天下雨的概率为80%，只是说明明天下雨的可能性大，与时间无关，故本选项不符合题意；
B．经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，故本选项符合题意；
C．某彩票中奖概率是1%，买100张这种彩票中奖是随机事件，不一定会有1张中奖，故本选项不符合题意；
D．小明前几次的数学测试成绩都在90分以上这次数学测试成绩不一定在90分以上，故本选项不符合题意．
故选：B．
3．（4分）对于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（ ）
A．它的图象在第二、四象限
B．在每个象限内y随x的增大而增大
C．若x＞1，则﹣3＜y＜0
D．若点A （﹣1，y1）和点B （3，y2） 在这个函数图象上，则y1＜y2
【分析】直接利用反比例函数的性质结合图象上点的坐标特点分析得出答案．
【解答】解：A．y＝﹣，由﹣3＜0，则双曲线的两支分别位于第二、第四象限，故此选项不合题意；
B．y＝﹣，由﹣3＜0，则在每一象限内y随x的增大而增大，故此选项不合题意；
C．y＝﹣，若x＞1，则﹣3＜y＜0，故此选项不合题意；
D．y＝﹣，若点A （﹣1，y1）和点B （3，y2） 在这个函数图象上，则y1＞y2，故此选项符合题意；
故选：D．
4．（4分）2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，据有关部门统计，2018年末我国贫困人口还有1660万人，此后逐年下降，截至到2020年末我国贫困人口仅有551万人．若设贫困人口的年平均下降率为x，则可列方程为（ ）
A．551（1+x）2＝1660 B．1660（1﹣2x）＝551
C．1660（1﹣x%）2＝551 D．1660（1﹣x）2＝551
【分析】等量关系为：2018年贫困人口×（1﹣下降率）2＝2020年贫困人口，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设贫困人口的年平均下降率为x，，根据题意得：
1660（1﹣x）2＝551，
故选：D．
5．（4分）下列语句中不正确的有（ ）
①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤圆内接四边形的对角互补；⑥在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】根据垂径定理的推论、等弧的概念、轴对称图形、圆内接四边形的性质、圆周角定理判断即可．
【解答】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，本说法错误；
②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，本说法错误；
③能够完全重合的两条弧是等弧，本说法错误；
④圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，本说法错误；
⑤圆内接四边形的对角互补，本说法正确；
⑥在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等或互补，本说法错误；
故选：A．
6．（4分）如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是60cm，则这块扇形铁皮的半径是（ ）
A．40cm B．50cm C．60cm D．80cm
【分析】首先根据圆锥的底面直径求得圆锥的底面周长，然后根据底面周长等于展开扇形的弧长求得铁皮的半径即可．
【解答】解：∵圆锥的底面直径为60cm，
∴圆锥的底面周长为60πcm，
∴扇形的弧长为60πcm，
设扇形的半径为r，
则＝60π，
解得：r＝40cm，
故选：A．
7．（4分）已知反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝cx+a和二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据反比例函数的图象得出b＜0，逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系，抛物线与y轴的交点，即可得出a、b、c的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数的图象在二、四象限，
∴b＜0，
A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，
∴a＞0，b＜0，c＜0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，A错误；
B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，b＞0，
∴与b＜0矛盾，B错误；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，b＞0，
∴与b＜0矛盾，C错误；
D、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，
∴a＜0，b＜0，c＜0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，D正确．
故选：D．
8．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①2a+b＝0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a＝；⑤当△ABC是等腰三角形时，a的值有3个．其中正确的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），可知二次函数的对称轴为直线x＝＝1，即﹣＝1，可得2a与b的关系；将A、B两点代入可得c、b的关系；函数开口向上，x＝1时取得最小值，则m≠1，可判断③；根据图象AD＝BD，顶点坐标，判断④；由图象知BC≠AC，从而可以判断⑤．
【解答】解：①∵二次函数与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．
∴二次函数的对称轴为直线x＝＝1，即﹣＝1，
∴2a+b＝0．
故①正确；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．
∴a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0．
又∵b＝﹣2a．
∴3b＝﹣6a，a﹣（﹣2a）+c＝0．
∴3b＝﹣6a，2c＝﹣6a．
∴2c＝3b．
故②错误；
③∵抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1．
∴x＝1时，二次函数有最小值．
∴m≠1时，a+b+c＜am2+bm+c．
即a+b＜am2+bm．
故③正确；
④∵AD＝BD，AB＝4，△ABD是等腰直角三角形．
∴AD2+BD2＝42．
解得，AD2＝8．
设点D坐标为（1，y）．
则[1﹣（﹣1）]2+y2＝AD2．
解得y＝±2．
∵点D在x轴下方．
∴点D为（1，﹣2）．
∵二次函数的顶点D为（1，﹣2），过点A（﹣1，0）．
设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2．
∴0＝a（﹣1﹣1）2﹣2．
解得a＝．
故④正确；
⑤由图象可得，AC≠BC．
故△ABC是等腰三角形时，a的值有2个．（故⑤错误）
故①③④正确，②⑤错误．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）儿童节期间，游乐场里有一种游戏的规则是：在一个装有6个红球和若干白球（每个球除颜色外，其它都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得欢动世界通票一张，已知参加这种游戏的有300人，游乐场为此游戏发放欢动世界通票60张，请你通过计算估计袋中白球的数量是 24 个．
【分析】设袋中共有m个球，根据摸到红球的概率求出球的总个数，即可解答．
【解答】解：设袋中共有m个红球，则摸到红球的概率P（红球）＝，
∴≈．（5分）
解得m≈24，
故答案为：24．
10．（3分）把二次函数y＝x2的图象先向左平移3个单位，向下平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为 y＝（x+3）2﹣5 ．
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：把二次函数y＝x2的图象先向左平移3个单位，向下平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为y＝（x+3）2﹣5．
故答案为y＝（x+3）2﹣5．
11．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是 k≤4且k≠2 ．
【分析】因为一元二次方程有实数根，所以△≥0，得关于k的不等式，求解即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+4x+2＝0有实数根，
∴△≥0且k﹣2≠0，
即42﹣4（k﹣2）×2≥0且k﹣2≠0
解得k≤4且k≠2．
故答案为：k≤4且k≠2．
12．（3分）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b＝20mm，则边长a＝ mm．
【分析】如图，连接OC、OD，过O作OH⊥CD于H．解直角三角形求出CD即可．
【解答】解：如图，连接OC、OD，过O作OH⊥CD于H．
∵∠COD＝＝60°，OC＝OD，
∴△COD是等边三角形，
∴∠COH＝90°﹣60°＝30°，
∵OH⊥CD，
∴CH＝DH＝CD，OH＝b＝10（mm），
∴CH＝10×tan30°＝（mm），
∴a＝2CH＝（mm），
故答案为：．
13．（3分）如图，正比例函数y＝kx（k＞0）与反比例函数的图象相交于A，C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连接BC，则△ABC的面积为 1 ．
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，点A，C关于原点对称，则△ABC的面积为△AOB面积的2倍，即S＝|k|．
【解答】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，
即S＝|k|，
依题意有S△ABC＝2S△AOB＝2××|k|＝1．
故答案为：1．
14．（3分）如图，已知A、B两点的坐标分别为（，0）、（0，2），P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP＝45°，则点P的坐标为 （+1，+1）或（﹣1，1﹣） ．
【分析】过圆心C作CF平行于OA，过P作PE垂直于x轴，两线交于F，由A和B的坐标得出OA及OB的长，利用勾股定理求出AB的长，由∠AOP＝45°，得到三角形POE为等腰直角三角形，得到P的横纵坐标相等，设为（a，a），再由∠AOB＝90°，利用圆周角定理得到AB为直径，外接圆圆心即为直径AB的中点，设为C，求出C的坐标，可得出PC＝2，根据垂径定理求出EF的长，用PE﹣EF表示出PF，用P的横坐标减去C的横坐标，表示出CF，在直角三角形PCF中，利用勾股定理列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，进而确定出P的坐标．
【解答】解：∵OB＝2，OA＝2，
∴AB＝＝4，
∵∠AOP＝45°，
∴P点横纵坐标相等，可设为a，即P（a，a），
∵∠AOB＝90°，
∴AB是直径，
∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，坐标C（，1），
可得P点在圆上，P点到圆心的距离为圆的半径2，
过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F，
∴∠CFP＝90°，
∴PF＝a﹣1，CF＝a﹣，PC＝2，
∴在Rt△PCF中，利用勾股定理得：（a﹣）2+（a﹣1）2＝22，
舍去不合适的根，可得：a＝1+，
则P点坐标为（+1，+1）．
∵P与P′关于圆心（，1）对称，
∴P′（﹣1，1﹣）．
故答案为：（+1，+1）或（﹣1，1﹣）
二、解答题（本大题共9小题，满分0分）
15．解下列方程：
（1）3x2﹣6x﹣2＝0（自选方法）．
（2）5（x﹣2）2＝2（2﹣x）（因式分解法）．
【分析】（1）利用配方法求解可得；
（2）移项后利用因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）3x2﹣6x﹣2＝0，
x2﹣2x＝，
x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）5（x﹣2）2＝2（2﹣x），
5（x﹣2）2+2（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（5x﹣10+2）＝0，
∴x﹣2＝0或5x﹣8＝0，
∴x1＝2，x2＝．
16．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（5，2）、B（5，5）、C（1，1）均在格点上．
（1）画出△ABC向左平移5个单位后的图形△A1B1C1，则A1点的坐标为 （0，2） ．
（2）画出△A1B1C1绕C1顺时针旋转90°后的图形△A2B2C1，则A2点的坐标为 （﹣3，﹣3） ．
（3）在（2）的条件下，求△A1B1C1扫过的面积．
【分析】（1）根据平移的性质分别找出对应点连接即可，由图形可知点的坐标；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A1、B1的对应点A2、B2，连接即可，由图形可知点的坐标；
（3）△A1B1C1扫过的面积可以看成是扇形的面积与三角形的面积的和．
【解答】解：（1）如图所示，即为所求，
由图形可知，A1（0，2）；
（2）如图所示，即为所求，
由图形可知，A2（﹣3，﹣3）；
（3）∵BC＝＝4，
∴S＝＝8π+6．
17．在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和1个白球，把它们充分搅匀．
（1）“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是 必然 事件，“从中任意抽取1个球是黄球”是 不可能 事件；
（2）为了更好的迎接“《生物多样性公约》第15次缔约方大会”（简称“COPL5”），昆明的某校决定开展使昆明的城市形象大变化、大转身的“城市美容”演讲，学校要在甲、乙两名同学中选取一名同学作为主持人，制定如下规则：从盒子中同时抓两个球，若两球颜色相同，则选甲；若两球颜色不同，则选乙．你认为这个规则公平吗？请用列表法或画树状图的方法说明理由．
【分析】（1）直接利用必然事件以及不可能事件的定义分别求解即可得出答案；
（2）首先根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出两个球颜色相同的情况数和不同的情况数，再利用概率公式即可求出答案．
【解答】解：（1）∵不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和1个白球，
∴“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是必然事件；
“从中任意抽取1个球是黄球”是不可能事件；
故答案为：必然，不可能；
（2）根据题意画图如下：
一共有12种可能出现的结果，其中两个球是同色的有6种情况，
则甲获胜的概率是＝，乙获胜的概率是，
∵＝，
∴这个规则公平．
18．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（1，3），B（3，n）．
（1）直接写出m＝ 3 ；n＝ 1 ；
（2）请结合图象直接写出不等式kx+b＞的解集是 x＜0或1＜x＜3 ；
（3）若点P为y轴上一点，△PAB的面积为4，求点P的坐标．
【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式求出m的值，从而得出反比例函数解析式，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出n的值；
（2）根据图象即可求得；
（3）利用待定系数法求出一次函数解析式，根据直线解析式求出与y轴的交点C的坐标，然后根据三角形的面积公式S△PAB＝S△PBC﹣S△PAC＝4，列式进行计算即可求解．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过A（1，3），
∴3＝，则m＝3，
∴反比例函数的表达式为y＝，
又∵点B（3，n）在反比例函数y＝的图象上．
∴n＝1，
故答案为：3，1；
（2）∵A（1，3），B（3，1），
观察图象可知，不等式kx+b＞的解集为x＜0或1＜x＜3；
（3）∵一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，3）、B（3，1）两点．
∴，
解得，
∴一次函数的表达式为y＝﹣x+4；
设直线y＝﹣x+4与y轴交于点C，则C（0，4）．
∵S△PAB＝S△PBC﹣S△PAC＝PC•（3﹣1）＝4，
∴PC＝4，
∴P（0，0）或（0，8）．
19．为应对新冠疫情，防止病毒传播，上级要求各校在开学前要对学校进行全方位消毒．某校按照要求对学生宿舍进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（毫克）与燃烧时间x（分）之间的关系如图所示（图象由线段OA与部分双曲线AB组成）．根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）求药物在燃烧释放过程中，y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）根据药物说明书要求，只有当空气中每立方米的含药量不低于4毫克时，对预防才有作用，且至少持续作用15分钟以上，才能完全消灭病毒，请问这次消毒是否彻底？
【分析】（1）首先根据题意，药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；
（2）将y＝4分别代入求得的正比例函数和反比例函数求得的x值，然后作差与15比较即可得出此次消毒是否有效．
【解答】解：（1）设双曲线AB的解析式为y＝，
将（20，5）代入解析式得，k＝20×5＝100，
∴药物在燃烧释放过程中，双曲线AB的函数解析式为y＝，
将y＝8代入解析式得，8＝，
解得x＝12.5，
故A（12.5，8），
设线段OA的函数解析式为y＝nx，
将A（8，12.5）代入可得：8n＝12.5，
解得：n＝0.64，
∴药物在燃烧释放过程中，线段OA的函数解析式为y＝0.64 x（0≤x≤12.5），
综上，y＝；
（2）将y＝4代入y＝中，
可得：，
解得：x＝25，
将y＝4代入y＝0.64x中，
0.64x＝4，
解得：x＝6.25，
Q＝25﹣6.25＝18.75＞15，
∴这次消毒很彻底．
20．如图，⊙O与△ABC的BC边相切于点B，与AC、AB边分别交于点D、E，DE∥OC，EB是⊙O的直径．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径是，AD＝2，求CD的长．
【分析】（1）先根据切线的性质得∠ABC＝90°，再根据平行线的性质得到∠COB＝∠OED，∠COD＝∠ODE，接着证明△COD≌△COE，所以∠ODC＝∠OBC＝90°，然后利用切线的判定定理得到结论；
（2）先利用勾股定理得到OA＝，则AB＝4，再证明△AOD∽△ACB，则利用相似比可求出BC＝3，然后利用△COD≌△COE得到BC的长．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵BC为⊙O切线，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵DE∥OC，
∴∠COB＝∠OED，∠COD＝∠ODE，
∵OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE，
∴∠COB＝∠COD，
在△COD和△COE中，
，
∴△COD≌△COE（SAS），
∴∠ODC＝∠OBC＝90°，
∴OD⊥CD，
而OD为半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）在Rt△AOD中，OA＝＝＝，
∴AB＝OA+OB＝+＝4，
∵∠OAD＝∠CAB，∠ADO＝∠ABC，
∴△AOD∽△ACB，
∴＝，即＝，解得BC＝3，
∵△COD≌△COE，
∴CD＝CB＝3．
21．专卖店卖某品牌文化衫，如果每件利润为30元（市场管理部门规定，该品牌文化衫每件利润不能超过50元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x元，每天售出y件．
（1）请写出y与x之间的函数表达式；（写出自变量x的范围）
（2）当x为多少时，超市每天销售这种品牌文化衫可获利润1932元？
（3）设超市每天销售这种文化衫可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？
【分析】（1）根据“每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件”列函数关系式即可；
（2）根据题意“每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件，超市每天销售这种玩具可获利润1932元”即可得到结论；
（3）根据题意得到w＝﹣（x﹣35）2+2112.5，根据二次函数的性质得到当x＜35时，w随x的增大而增大，于是得到结论．
【解答】解：（1）根据题意得，y＝﹣x+50（0＜x≤20）；
（2）根据题意得，（30+x）（﹣x+50）＝1932，
解得：x1＝54，x2＝16，
∵每件利润不能超过50元，
∴x＝16，
答：当x为16时，超市每天销售这种玩具可获利润1932元；
（3）根据题意得，w＝（30+x）（﹣x+50）＝﹣x2+35x+1500＝﹣（x﹣35）2+2112.5，
∵a＝﹣＜0，
∴当x＜35时，w随x的增大而增大，
∴当x＝20时，w最大＝2000，
答：当x为20时w最大，最大值是2000元．
22．（1）【学习心得】
小明同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝ 45 °．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝27°，求∠BAC的数．
（3）【问题拓展】
如图3，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是 2﹣2 .
【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．
（2）由A、B、C、D共圆，得出∠BDC＝∠BAC，
（3）根据正方形的性质可得AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠3，然后求出∠AHB＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH＝AB＝2，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．
【解答】解：（1）如图1，
∵AB＝AC，AD＝AC，
∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上，
∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，
∴∠BDC＝∠BAC＝45°，
故答案是：45；
（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴点A、B、C、D共圆，
∴∠BDC＝∠BAC，
∵∠BDC＝27°，
∴∠BAC＝27°，
（3）如图3，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1＝∠2，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，
∴∠1+∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，
取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH＝AO＝AB＝2，
在Rt△AOD中，OD＝＝＝2，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值＝OD﹣OH＝2﹣2．
（解法二：可以理解为点H是在以AB为直径的半圆上运动，当O、H、D三点共线时，DH长度最小）．
故答案为：2﹣2．
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标；
（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】①将A，B点坐标代入抛物线解析式求出系数a，b的值，即可得解析式，
②数形结合思想找到PN和PM的数量关系，求PM最大值转化为求PN最大值问题，利用配方法求最值，
③分类讨论，应用一线三直角模型构造全等三角形，找到线段关系，从而出点坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）中，
得，
，
∴解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
故抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）当x＝0时，y＝3，
∴C（0，﹣3），
∵B（3，0），
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵PN∥y轴，
∴∠MNP＝45°，
∵PM⊥BC，
∴PM＝PN，则当PN最大时，PM也最大，
设BC的解析式为y＝mx+n，
∴，
解得，
∴BC解析式为y＝x﹣3，
设P（x，x2﹣2x﹣3），N（x，x﹣3），
∴PN＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，
当x＝时，PN最大，则PM＝PN＝×＝，
∴P（，），
故PM最大值为，P点坐标为（，﹣）；
（3）存在，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．
∵CEQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，
∴设Q（x，x2﹣2x﹣3），
①如图，过点E作x轴的垂线L，再分别过点C和点Q作垂线L的垂线，分别交于点M和点N，
∵∠CEQ＝90°，
∴∠QEM+∠CEN＝90°，
∵∠QEM+∠MQE＝90°，
∴∠EQM＝∠CEN，
∵∠CNE＝∠QME＝90°，EC＝EQ，
∴△EMQ≌△CNE（AAS），
∴CN＝EM＝x2﹣2x﹣3，MQ＝EN＝3，
∴|xQ|+NQ＝CM，﹣x+3＝x2﹣2x﹣3，
解得x＝﹣2，x＝3（舍去），
∴OE＝CM＝2+3＝5，E（﹣5，0），
②如图，过点E作x轴的垂线L，再分别过点C和点Q作垂线L的垂线，分别交于点M和点N，
同理：△EMC≌△QNE（AAS），
CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，
∴﹣x+x2﹣2x﹣3＝3，
解得x＝，x＝（舍去），
∴OE＝CM＝，E（，0），
③如图，点E和点O重合，点Q和点B重合，此时E（0，0），
④如图，过点E作x轴的垂线L，再分别过点C和点Q作垂线L的垂线，分别交于点M和点N，
同理：△EMC≌△QNE（AAS），
CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，
∴x+3＝x2﹣2x﹣3，
解得x＝，x＝（舍去），
∴OE＝CM＝，E（，0），
综上所述，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．
相关试卷
云南省昆明市云大附中一二一校区2023-2024 学年八年级上学期期中数学试卷： 这是一份云南省昆明市云大附中一二一校区2023-2024 学年八年级上学期期中数学试卷，共6页。
云南大学附属中学2023-2024学年上学期九年级开学数学试卷： 这是一份云南大学附属中学2023-2024学年上学期九年级开学数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
云南大学附属中学星耀校区2019—2020学年度下学期数学期中考试： 这是一份云南大学附属中学星耀校区2019—2020学年度下学期数学期中考试，共3页。试卷主要包含了填空题A．B．C．D．，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
