云南省昆明市安宁实验学校2021-2022学年九年级上学期期中考试数学【试卷+答案】

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2021-2022学年云南省昆明市安宁实验学校九年级（上）期中
数学试卷
一．选择题（每小题4分，共32分）
1．（4分）以下分别是绿色包装、节水、回收、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）用配方法解方程x2﹣4x﹣4＝0，下列变形正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝2 B．（x﹣2）2＝4 C．（x﹣2）2＝6 D．（x﹣2）2＝8
3．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜3 B．m＞3 C．m≤3 D．m≥3
4．（4分）由二次函数y＝3（x﹣4）2﹣2可知（　　）
A．其图象的开口向下
B．其图象的对称轴为直线x＝4
C．其顶点坐标为（4，2）
D．当x＞3时，y随x的增大而增大
5．（4分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax﹣b和二次函数y＝﹣ax2﹣b的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
6．（4分）如图所示，某小区规划在一个宽为9m，长为16m的矩形地面上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），余下部分种草，耕地面积为112m2，设小路的宽为xm，那么x满足的方程是（　　）

A．2x2﹣25x+16＝0 B．x2﹣25x+32＝0
C．x2﹣17x+16＝0 D．x2﹣17x﹣16＝0
7．（4分）如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2m时，水面宽度为4m，那么水位下降1m时，水面的宽度为（　　）m．

A． B．2 C．﹣4 D．2﹣4
8．（4分）如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c＝0；②b＞2a；③ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c＞0．其中正确的命题是（　　）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③④
二．填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）平面直角坐标系中，一点P（﹣2，3）关于原点的对称点P′的坐标是　 　．
10．（3分）将抛物线y＝﹣2x2向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后，得到的抛物线为 　 　．
11．（3分）如图，AB是⊙O的直径，，∠BOC＝40°，则∠AOE的度数是　 　度．

12．（3分）汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）与行驶的时间t（单位：秒）的函数关系式是s＝15t﹣6t2，那么汽车刹车后　 　秒停下来．
13．（3分）已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，则m的值是　 　．
14．（3分）一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为　 　．

三．解答题（本大题共9小题，共70分）
15．（8分）解方程：
（1）（x+1）（x+3）＝8；
（2）3x2﹣5x+1＝0．
16．（6分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示：
（1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A2B2C，画出旋转后的△A2B2C．

17．（6分）抛物线的最低点为（﹣1，﹣4），且与y轴交于点（0，﹣2）．问点A（2，0）在此抛物线上吗？请通过计算说明．
18．（8分）李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份的盈利达到3456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同．
（1）求每月盈利的平均增长率；
（2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？
19．（6分）如图，翠湖公园一座拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度AB为24米，拱高CD为8米，求圆弧所在圆的半径为多少米？

20．（8分）为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为8元的杯子，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天售量y（个）与销售单价x（元）满足一次函数关系如图所示．
（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当售价定为多少元时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？

21．（8分）如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点．
（1）尝试探究：前8行的点数和为 　 　；用含n的式子表示，前n行的点数和为 　 　；
（2）根据（1）的结论，前n行的点数和能是100吗？如果能，求出n；如果不能，说明理由．

22．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣6（a≠0）的图象经过点A（4，﹣6），顶点为C（m，n）．
（1）求证：4a+b＝0；
（2）当a＞0时，求证：n+6＜0．
23．（12分）抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，C为抛物线的顶点．
（1）求抛物线解析式和点C的坐标；
（2）抛物线上是否存在点P，使得△ABP的面积为10．若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点M、N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位和5个单位长度，点Q为抛物线上点M、N之间（含M、N）的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围．

2021-2022学年云南省昆明市安宁实验学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题4分，共32分）
1．（4分）以下分别是绿色包装、节水、回收、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，即可判断出答案．
【解答】解：A、此图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、此图形是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．（4分）用配方法解方程x2﹣4x﹣4＝0，下列变形正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝2 B．（x﹣2）2＝4 C．（x﹣2）2＝6 D．（x﹣2）2＝8
【分析】先将常数项移到等式右边，再将两边都配上一次项系数一半的平方，最后依据完全平方公式将左边写成完全平方式即可得．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣4＝0，
∴x2﹣4x＝4，
则x2﹣4x+4＝4+4，即（x﹣2）2＝8，
故选：D．
3．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜3 B．m＞3 C．m≤3 D．m≥3
【分析】根据关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根可得Δ＝（﹣2）2﹣4m＞0，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4m＞0，
∴m＜3，
故选：A．
4．（4分）由二次函数y＝3（x﹣4）2﹣2可知（　　）
A．其图象的开口向下
B．其图象的对称轴为直线x＝4
C．其顶点坐标为（4，2）
D．当x＞3时，y随x的增大而增大
【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、最值及增减性，可求得答案．
【解答】解：∵y＝3（x﹣4）2﹣2，
∴抛物线开口向上，故A不正确；
对称轴为x＝4，故B正确；
当x＝4时，y有最小值﹣2，故C不正确；
当x＞4时，y随x的增大而增大，故D不正确；
故选：B．
5．（4分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax﹣b和二次函数y＝﹣ax2﹣b的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】可先根据一次函数的图象判断a、b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
【解答】解：A、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＞0，﹣b＞0，此时二次函数y＝﹣ax2﹣b的图象应该开口向下，顶点的纵坐标﹣b大于零，故A正确；
B、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＜0，﹣b＞0，此时二次函数y＝﹣ax2﹣b的图象应该开口向上，顶点的纵坐标﹣b大于零，故B错误；
C、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＜0，﹣b＞0，此时二次函数y＝﹣ax2+b的图象应该开口向上，故C错误；
D、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＞0，﹣b＞0，此时抛物线y＝﹣ax2﹣b的顶点的纵坐标大于零，故D错误；
故选：A．
6．（4分）如图所示，某小区规划在一个宽为9m，长为16m的矩形地面上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），余下部分种草，耕地面积为112m2，设小路的宽为xm，那么x满足的方程是（　　）

A．2x2﹣25x+16＝0 B．x2﹣25x+32＝0
C．x2﹣17x+16＝0 D．x2﹣17x﹣16＝0
【分析】如果设小路的宽度为xm，那么耕地的总长度和总宽度应该为16﹣2x，9﹣x；那么根据题意即可得出方程．
【解答】解：设小路的宽度为xm，
那么耕地的总长度和总宽度应该为16﹣2x，9﹣x；
根据题意即可得出方程为：（16﹣2x）（9﹣x）＝112，、
整理得：x2﹣17x+16＝0，
故选：C．
7．（4分）如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2m时，水面宽度为4m，那么水位下降1m时，水面的宽度为（　　）m．

A． B．2 C．﹣4 D．2﹣4
【分析】根据题意设抛物线解析式，求出解析式确定出水面的宽度即可．
【解答】解：设抛物线解析式为y＝ax2，
把（2，﹣2）代入得：﹣2＝4a，
解得：a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2，
把y＝﹣3代入得：x＝±，
则水面的宽度是2米，
故选：B．
8．（4分）如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c＝0；②b＞2a；③ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c＞0．其中正确的命题是（　　）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③④
【分析】根据抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）对①进行判断；根据对称轴方程为x＝﹣＝﹣1对②进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0）和（1，0），由此对③进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方，得到c＜0，而a+b+c＝0，则a﹣2b+c＝﹣3b，由b＞0，于是可对④进行判断．
【解答】解：∵x＝1时，y＝0，
∴a+b+c＝0，所以①正确；
∵x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，所以②错误；
∵点（1，0）关于直线x＝﹣1对称的点的坐标为（﹣3，0），
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0）和（1，0），
∴ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1，所以③正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
而a+b+c＝0，b＝2a，
∴c＝﹣3a，
∴a﹣2b+c＝﹣3b，
∵b＞0，
∴﹣3b＜0，所以④错误．
故选：C．
二．填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）平面直角坐标系中，一点P（﹣2，3）关于原点的对称点P′的坐标是　（2，﹣3）　．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），从而可得出答案．
【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（﹣2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是（2，﹣3）．
故答案为：（2，﹣3）．
10．（3分）将抛物线y＝﹣2x2向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后，得到的抛物线为 　y＝﹣2（x+3）2﹣1　．
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝﹣2x2向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后，得到的抛物线为：y＝﹣2（x+3）2﹣1，
故答案是：y＝﹣2（x+3）2﹣1．
11．（3分）如图，AB是⊙O的直径，，∠BOC＝40°，则∠AOE的度数是　60　度．

【分析】由在同圆中等弧对的圆心角相等得，∠BOC＝∠COD＝∠EOD＝40°从而求得∠AOE的度数．
【解答】解：∵，∠BOC＝40°
∴∠BOC＝∠COD＝∠EOD＝40°
∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝60°．
12．（3分）汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）与行驶的时间t（单位：秒）的函数关系式是s＝15t﹣6t2，那么汽车刹车后　1.25　秒停下来．
【分析】根据二次函数的顶点坐标即可求解．
【解答】解：s＝15t﹣6t2＝﹣6（t﹣）2+．
因为﹣6＜0，当t＝时，s取得最大值为．
即刹车＝1.25秒后，汽车停下来．
故答案为1.25．
13．（3分）已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，则m的值是　﹣1　．
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把x＝1代入方程求解可得m的值．
【解答】解：把x＝1代入方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0得到（m﹣2）+4﹣m2＝0，
解得：m＝﹣1或m＝2，
∵m﹣2≠0
∴m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
14．（3分）一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为　15°或60°　．

【分析】分情况讨论：①DE⊥BC；②AD⊥BC．
【解答】解：分情况讨论：
①当DE⊥BC时，∠BAD＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∴α＝90°﹣∠BAD＝15°；
②当AD⊥BC时，α＝90°﹣∠C＝90°﹣30°＝60°．
故答案为：15°或60°
三．解答题（本大题共9小题，共70分）
15．（8分）解方程：
（1）（x+1）（x+3）＝8；
（2）3x2﹣5x+1＝0．
【分析】（1）整理后，利用因式分解法求解可得；
（2）利用公式法求解可得．
【解答】解：（1）（x+1）（x+3）＝8，
整理得：x2+4x﹣5＝0，
因式分解得：（x+5）（x﹣1）＝0，
则x+5＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣5，x2＝1；
（2）3x2﹣5x+1＝0，
∵a＝3，b＝﹣5，c＝1，
∴b2﹣4ac＝25﹣12＝13＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
16．（6分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示：
（1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A2B2C，画出旋转后的△A2B2C．

【分析】（1）根据旋转的性质找出△ABC三个顶点的对应点连接即可；
（2）根据旋转的性质找出△ABC三个顶点的对应点连接即可．
【解答】解：（1）如图所示，即为所求，

（2）如图所示，即为所求，

17．（6分）抛物线的最低点为（﹣1，﹣4），且与y轴交于点（0，﹣2）．问点A（2，0）在此抛物线上吗？请通过计算说明．
【分析】由抛物线的顶点坐标可设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2﹣4，代入点（0，﹣2）可求出a值，进而可得出抛物线的解析式，然后代入点A（2，0）判断即可．
【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2﹣4，
将（0，﹣2）代入y＝a（x+1）2﹣4，得：﹣2＝a（0+1）2﹣4，
解得：a＝2，
∴抛物线的解析式为y＝2（x+1）2﹣4，
把x＝2代入y＝2（x+1）2﹣4得，y＝2（2+1）2﹣4＝14≠0，
∴点A（2，0）不在此抛物线上．
18．（8分）李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份的盈利达到3456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同．
（1）求每月盈利的平均增长率；
（2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？
【分析】（1）设该商店的月平均增长率为x，根据等量关系：2月份盈利额×（1+增长率）2＝4月份的盈利额列出方程求解即可．
（2）5月份盈利＝4月份盈利×（1+增长率）．
【解答】解：（1）设该商店的每月盈利的平均增长率为x，根据题意得：
2400（1+x）2＝3456，
解得：x1＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
（2）由（1）知，该商店的每月盈利的平均增长率为20%，则5月份盈利为：
3456×（1+20%）＝4147.2（元）．
答：（1）该商店的每月盈利的平均增长率为20%．
（2）5月份盈利为4147.2元．
19．（6分）如图，翠湖公园一座拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度AB为24米，拱高CD为8米，求圆弧所在圆的半径为多少米？

【分析】延长CD到O，使得OC＝OA，则O为圆心，由垂径定理得AD＝AB＝12（米），设圆弧所在圆O的半径为x米，则OD＝（x﹣8）米，在Rt△AOD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：延长CD到O，使得OC＝OA，如图所示：
则O为圆心，
∵CD为拱高，
∴OC⊥AB，
∴AD＝AB＝12（米），
设圆弧所在圆O的半径为x米，
则OD＝（x﹣8）米，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD2+OD2＝OA2，
即122+（x﹣8）2＝x2，
解得：x＝13，
答：圆弧所在圆的半径为13米．

20．（8分）为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为8元的杯子，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天售量y（个）与销售单价x（元）满足一次函数关系如图所示．
（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当售价定为多少元时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？

【分析】（1）根据题意设出函数解析式为y＝kx+b，然后用待定系数法求函数解析式，再根据成本为8元，利润大于0求出自变量的取值范围；
（2）根据利润＝单个利润×销量列出函数解析式，根据函数的性质求最值．
【解答】解：（1）设函数解析式为y＝kx+b，
∵一次函数过（10，200）和（15，150），
∴，
解得：，
∴y＝﹣10x+300，
∵x＞8且﹣10x+300＞0，
∴8＜x＜30，
∴y与x的函数关系式y＝﹣10x+300（8＜x＜30）；
（2）设每天的利润为w元，根据题意，得：
w＝（x﹣8）y
＝（x﹣8）（﹣10x+300）
＝﹣10x2+380x﹣2400
＝﹣10（x﹣19）2+1210，
∵﹣10＜0，
∴当x＝19时，w最大，最大值为1210，
∴售价定为19元时，每天销售获得的利润最大，最大利润是1210元．
21．（8分）如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点．
（1）尝试探究：前8行的点数和为 　36　；用含n的式子表示，前n行的点数和为 　　；
（2）根据（1）的结论，前n行的点数和能是100吗？如果能，求出n；如果不能，说明理由．

【分析】（1）求1+2+3+4+•••+8的和即可得出结论；求1+2+3+•••+n的和即可得出结论；
（2）利用反证法令（1）中是第二个式子＝100，解一元二次方程，方程没有正整数根，由此可得结论．
【解答】解：（1）前8行的点数和为：
1+2+3+4+5+6+7+8＝36；
前n行的点数和为：
1+2+3+•••+n＝．
故答案为：36；；
（2）前n行的点数和不能是100．理由：
设前n行的点数和能是100，
则＝100．
∴n2+n﹣200＝0，
解得：n＝＝，
∵n为整数，
∴前n行的点数和不能是100．
22．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣6（a≠0）的图象经过点A（4，﹣6），顶点为C（m，n）．
（1）求证：4a+b＝0；
（2）当a＞0时，求证：n+6＜0．
【分析】（1）把点A坐标代入二次函数解析式，化简即得求证的结果；
（2）根据顶点坐标公式，用含a、b的式子表示顶点C的纵坐标n，求得n+6的值后由a、b的符号取值判定式子的正负性．
【解答】（1）证明：∵二次函数的图象经过点A（4，﹣6），
∴16a+4b﹣6＝﹣6，
∴4a+b＝0．
（2）证明：∵n＝＝﹣6﹣，
∴n+6＝﹣，
∵a＞0，4a+b＝0即b≠0，
∴b2＞0，
∴﹣＜0，
∴n+6＜0成立．
23．（12分）抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，C为抛物线的顶点．
（1）求抛物线解析式和点C的坐标；
（2）抛物线上是否存在点P，使得△ABP的面积为10．若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点M、N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位和5个单位长度，点Q为抛物线上点M、N之间（含M、N）的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围．
【分析】（1）把点A坐标代入解析式，可得抛物线的解析式，对解析式进行配方可求C的坐标，即可求解；
（2）先求出点AB的长，假设抛物线上存在点P，设点P的坐标为：（x，h），根据三角形面积公式可得|h|的值，代入解析式即可求解；
（3）先求出点M，点N坐标，即可求解．
【解答】解：（1）如图：

∵抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），
∴﹣1﹣b+3＝0，
∴b＝2，
∴抛物线解析式：y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点C的坐标为（1，4）；
（2）令y＝﹣x2+2x+3＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1，
∴B（3，0），
∴AB＝4，
假设抛物线上存在点P，设点P的坐标为：（x，h），
∵△ABP的面积为10．
∴AB•|h|＝10，
∴|h|＝5，
当h＝5时，即﹣x2+2x+3＝5，方程无解；
当h＝﹣5时，即﹣x2+2x+3＝﹣5，
解得：x＝﹣1，
∴P点坐标（﹣1﹣，5）或（﹣1+，5）．
（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴对称轴为直线x＝1，
∵点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，
∴点M的横坐标为﹣2或4，点N的横坐标为6，
∴点M坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5），点N坐标为（6，﹣21），
∵点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，
∴﹣21≤yQ≤﹣5或﹣21≤yQ≤4．
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日期：2021/11/11 5:17:16；用户：13675011392；邮箱：13675011392；学号：40932421