【专项练习】备战中考数学58种模型专练 5.角平分线+垂直构造等腰三角形（含答案）

角平分线模型

模型 3 角平分线+垂线构造等腰三角形

如图，P 是∠MON 的平分线上一点，AP⊥OP 于 P 点，延长 AP交ON于点 B。

结论：△AOB 是等腰三角形。

模型证明：

由已知可得AP⊥OP,BP⊥OP,OP=OP,∠POA=∠POB

∴△POA≌△POB

∴OA=OB

∴△AOB 是等腰三角形

模型分析

构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等

的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线

和三线合一联系了起来。

模型实例

如图，已知等腰直角三角形 ABC 中，∠A=90°，AB=AC，BD 平分∠ABC，

CE⊥BD，垂足为 E。求证：BD=2CE。

证明：如图延长BA、CE交于点F则有：

      ∠ABE=∠CBE，BE=BE

     ∴RT△BEF≌RT△BEC

     ∴CE=EF

     ∴CF=2CE

     又∵∠ADB=∠CDE

     ∠DCE+∠CDE=∠DCE+∠F=90°

     ∴∠ADB=∠F

     又AB=AC

∴RT△BAD≌RT△CAF

∴BD=CF

∴BD=2CE.

模型练习

1．如图，在△ABC 中，BE 是角平分线，AD⊥BE，垂足为 D。

求证：∠2=∠1+∠C。

证明：如图延长AD交BC于点F则有

      BD=BD，∠ABD=∠FBD

     ∴RT△ADB≌RT△FDB

     ∴∠2=∠BFD=∠1+∠C

     ∴∠2=∠1+∠C

2．如图，在△ABC 中，∠ABC=3∠C，AD 是∠BAC 的角平分线，BE⊥AD 于点 E。

求证：BE= ½（AC-AB）。