【专项练习】备战中考数学58种模型专练 3.角平分线的四大模型—角平分线上的点向两边作垂线（含答案）

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3、角平分线的四大模型                    模型 1 ：角平分线上的点向两边作垂线 如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PA⊥OM 于点 A，PB⊥ON 于点 B。 结论：PB=PA。
 模型证明：∵OP平分∠MON，∴∠AOP=∠BOP；又 PA⊥OM ，PB⊥ON，∴∠OAP=∠OBP=90°；OP=OP；∴RT△OAP≌RT△OBP,∴PB=PA。  模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型， 为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的 突破口。   模型实例 （1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，BC=6，BD=4，那么点 D 到直线 AB 的距离是_____； （2）如图②，∠1=∠2，∠3=∠4。 求证：AP 平分∠BAC。   解析：（1）由角平分线模型知，D到AB的距离等于DC=2（2）如图分别做AB、BC、AC三边的高，由题意易得三边高相等， ∴AP 平分∠BAC 
            模型练习1．如图，在四边形 ABCD 中，BC>AB，AD=DC，BD 平分∠ABC。 求证：∠BAD+∠BCD=180°。  
证明：如图延长BA，过D作DE、DF垂直BA延长线、BC于E、F两点，∵BD 平分∠ABC∴DE=DF,又AD=DC     ∴RT△DEA≌RT△DFC     ∴∠DAE=∠BCD     ∴∠BAD+∠BCD=180°      2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线 CP 与内角∠ABC 的平分线 BP 交于点 P，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。